泰勒公式

泰勒公式

泰勒公式（Taylor's formula）

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）

证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α

是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n

来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足

P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；

P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；

P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：

P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n .

接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有

Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出

Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得

Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）

=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）

=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故

P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项

Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。

麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。

证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f( n+1)(ξ)/(n+1)!?x^(n+1)

由于ξ在0到x之间，故可写作θx，0<θ<1。

麦克劳林展开式的应用：

1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。

解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx ,

f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……

于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……

最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）

类似地，可以展开y=cosx。

2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。

解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!

取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。

3、欧拉公式：e^ix=cosx+isinx（i为-1的开方，即一个虚数单位）

证明：这个公式把复数写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。过程具体不写了，就把思路讲一下：先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂周期性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出欧拉公式。有兴趣的话可自行证明一下。

[编辑本段]

泰勒展开式

e的发现始于微分,当 h 逐渐接近零时,计算之值,其结果无限接近一定值2.71828...,这个定值就是 e,最早发现此值的人是瑞士著名数学家欧拉,他以自己姓名的字头小写 e 来命名此无理数.

计算对数函数的导数,得 ,当 a=e 时, 的导数为 ,因而有理由使用以 e 为底的对数,这叫作自然对数.

若将指数函数 ex 作泰勒展开,则得

以 x=1 代入上式得

此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是

将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由

透过这个级数的计算,可得

由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,

另方面,

所以,

我们不仅可以证明 e 是无理数,而且它还是个超越数,即它不是任何一个整系数多项式的根,这个结果是 Hermite 在1873年得到的.

甲)差分.

考虑一个离散函数(即数列) R,它在 n 所取的值 u(n) 记成 un,通常我们

就把这个函数书成或 (un).数列 u 的差分还是一个数列,它在 n 所取的值以定义为

以后我们干脆就把简记为

(例):数列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分数列为 3, 4, -1, -1, -8 ...

注:我们说「数列」是「定义在离散点上的函数」如果在高中,这样的说法就很恶劣.但在此地,却很恰当,因为这样才跟连续型的函数具有完全平行的类推.

差分算子的性质

(i) [合称线性]

(ii) (常数) [差分方程根本定理]

(iii)

其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列.

(iv) 叫做自然等比数列.

(iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1) (乙).和分

给一个数列 (un).和分的问题就是要算和 . 怎么算呢我们有下面重要的

结果:

定理1 (差和分根本定理) 如果我们能够找到一个数列 (vn),使得 ,则

和分也具有线性的性质:

甲)微分

给一个函数 f,若牛顿商(或差分商) 的极限存在,则我们就称此极限值为

f 为点 x0 的导数,记为 f'(x0) 或 Df(x),亦即

若 f 在定义区域上每一点导数都存在,则称 f 为可导微函数.我们称为 f 的导函数,而叫做微分算子.

微分算子的性质:

(i) [合称线性]

(ii) (常数) [差分方程根本定理]

(iii) Dxn=nxn-1

(iv) Dex=ex

(iv)' 一般的指数数列 ax 之导函数为

(乙)积分.

设 f 为定义在 [a,b] 上的函数,积分的问题就是要算阴影的面积.我们的

办法是对 [a,b] 作分割:

;其次对每一小段 [xi-1,xi] 取一个样本点 ;再求近似和 ;最后再取极限(让每一小段的长度都趋近于 0).

若这个极限值存在,我们就记为的几何意义就是阴影的面积.

(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)

积分算子也具有线性的性质:

定理2 若 f 为一连续函数,则存在.(事实上,连续性也「差不多」是积分存在的必要条件.)

定理3 (微积分根本定理) 设 f 为定义在闭区间 [a,b] 上的连续函数,我们欲求积分如果我们可以找到另一个函数 g,使得 g'=f,则

注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心!

上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样.

我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及 g 满

足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.

甲)Taylor展开公式

这分别有离散与连续的类推.它是数学中「逼近」这个重要想法的一个特例.逼近想法的意思是这样的:给一个函数 f,我们要研究 f 的行为,但 f 本身可能很复杂而不易对付,于是我们就想法子去找一个较「简单」的函数 g,使其跟 f 很「靠近」,那么我们就用 g 来取代 f.这又是以简御繁的精神表现.由上述我们看出,要使用逼近想法,我们还需要澄清

两个问题:即如何选取简单函数及逼近的尺度.

(一) 对于连续世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是选取多项函数作为简单函数,并且用局部的「切近」作为逼近尺度.说得更明白一点,给一个直到到 n 阶都可导微的函数 f,我们要找一个 n 次多项函数 g,使其跟 f 在点 x0 具有

n 阶的「切近」,即 ,答案就是

此式就叫做 f 在点 x0 的 n 阶 Taylor 展式.

g 在 x0 点附近跟 f 很靠近,于是我们就用 g 局部地来取代 f.从而用 g 来求得 f 的一些局部的定性行为.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.当f是足够好的一个函数,即是所谓解析的函数时,则 f可展成 Taylor 级数,而且这个Taylor 级数就等于 f 自身.

值得注意的是,一阶 Taylor 展式的特殊情形,此时 g(x)=f(x0）

+f'(x0)(x-x0) 的图形正好是一条通过点 (x0,f(x0)) 而且切于 f 的图形之直线.因此 f 在点 x0 的一阶 Taylor 展式的意义就是,我们用过点 (x0,f(x0)) 的切线局部地来取代原来 f 曲线.这种局部化「用平直取代弯曲」的精神,是微分学的精义所在.

利用 Talor 展式,可以帮忙我们做很多事情,比如判别函数的极大值与极小值,求积分的近似值,作函数表(如三角函数表,对数表等),这些都是意料中事.事实上,我们可以用逼近的想法将微积分「一以贯之」.

复次我们注意到,我们选取多项函数作为逼近的简单函数,理由很简单:在众多初等函数中,如三角函数,指数函数,对数函数,多项函数等,从算术的观点来看,以多项函数最为简单,因为要计算多项函数的值,只牵涉到加减乘除四则运算,其它函数就没有这么简单.

当然,从别的解析观点来看,在某些情形下还另有更有用更重要的简单函数.例如,三角多项式,再配合上某种逼近尺度,我们就得到 Fourier 级数展开,这在应用数学上占有举足轻重的地位.(事实上,Fourier 级数展开是采用最小方差的逼近尺度,这在高等数学中经常出现,而且在统计学中也有应用.) 注:取 x0=0 的特例,此时 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不过只要会做特例的展开,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或变数代换)就好了.因此我们大可从头就只对 x=0 点作 Taylor 展式.

(二) 对于离散的情形,Taylor 展开就是:

给一个数列 ,我们要找一个 n 次多项式数列 (gt),使得 gt 与 ft 在 t=0 点具有 n 阶的「差近」.所谓在 0 点具有 n 阶差近是指:

答案是此式就是离散情形的 Maclaurin 公式.

乙)分部积分公式与Abel分部和分公式的类推

(一) 分部积分公式:

设 u(x),v(x) 在 [a,b] 上连续,则

(二) Abel分部和分公式:

设(un),(v)为两个数列,令 sn=u1+......+un,则

上面两个公式分别是莱布尼慈导微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及莱布尼慈差分公式的结论.注意到,这两个莱布尼慈公式,一个很对称,另一个则不然.

(丁)复利与连续复利 (这也分别是离散与连续之间的类推)

(一) 复利的问题是这样的:有本金 y0,年利率 r,每年复利一次,要问 n 年后的本利和 yn= 显然这个数列满足差分方程 yn+1=yn(1+r)

根据(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 这就是复利的公式.

(二) 若考虑每年复利 m 次,则 t 年后的本利和应为

令 ,就得到连续复利的概念,此时本利和为y(t)=y0ert

换句话说,连续复利时,t 时刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.

由上述我们看出离散复利问题由差分方程来描述,而连续复利的问题由微分方程来描述.对于常系数线性的差分方程及微分方程,解方程式的整个要点就是叠合原理,因此求解的办法具有完全平行的类推.

(戊)Fubini 重和分定理与 Fubini 重积分定理(也是离散与连续之间的类推)

(一) Fubini 重和分定理:给一个两重指标的数列 (ars),我们要从 r=1 到m,s=1到 n, 对 (ars) 作和 ,则这个和可以这样求得:光对 r 作和再对 s 作

和(反过来亦然).亦即我们有

(二)Fubini 重积分定理:设 f(x,y) 为定义在上之可积分函数,则

当然,变数再多几个也都一样.

(己)Lebesgue 积分的概念

(一) 离散的情形:给一个数列 (an),我们要估计和 ,Lebesgue 的想法是,不管这堆数据指标的顺序,我们只按数值的大小来分堆,相同的分在一堆,再从每一堆中取一个数值,乘以该堆的个数,整个作和起来,这就得到总和.

(二)连续的情形:给一个函数 f,我们要定义曲线 y=f(x) 跟 X 轴从 a 到

b 所围出来的面积.

Lebesgue 的想法是对 f 的影域作分割:

函数值介 yi-1 到 yi 之间的 x 收集在一齐,令其为 , 于是 [a,b] 就相应分割成 ,取样本点 ,作近似和

让影域的分割加细,上述近似和的极限若存在的话,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 积分.

泰勒公式的余项

f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… +

f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n)是f的n阶导数]

泰勒余项可以写成以下几种不同的形式：

1.佩亚诺(Peano)余项：

Rn(x) = o((x-a)^n)

2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：

Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^(n+1-p)(x-a)^(n+1)/(n!p)

[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]

3.拉格朗日(Lagrange)余项：

Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(x-a)^(n+1)/(n+1)!

[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]

4.柯西(Cauchy)余项：

Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n!

[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]

5.积分余项：

Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n!

[f(n+1)是f的n+1阶导数]

泰勒简介

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。

由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论的问题。1708年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起了人们的注意，在这个工作中他用了牛顿的瞬的记号。从1714年到1719年，是泰勒在数学牛顿产的时期。他的两本著作：《正和反的增量法》及《直线透视》都出版于1715年，它们的第二版分别出于1717和1719年。从1712到1724年，他在《哲学会报》上共发表了13篇文章，其中有些是通信和评论。文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。

在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本著作《哲学的沉思》在他死后由外孙W.杨于1793年出版。

泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。

1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。他以极严密之形式展开其线性透视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念，这对摄影测量制图学之发展有一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。

泰勒公式

泰勒公式 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α 是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足 P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)； P'(x.)=A1,A1=f'(x.)； P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得： P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n . 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出 Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得 Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0） =Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0） =Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故 P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：

常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式 常用泰勒展开公式如下:1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(- ∞

阶导数)泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数。 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。 泰勒公式还对于此处，这里o(x^5)和o(x^6)都是可以的∵sinx继续往后展开的次数为x^7∴可以写o(x^5)，也可以写o(x^6)但是写o(x^6)对这个无穷小的阶更准确通常的展开是分别按x，x，x，..展开的∴如果展开到x^n，那么后面一般就写o(x^n)就可以了

常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒绽开公式 常用bai泰勒绽开公式如下： 1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+…… 2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) 3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

常用泰勒公式

常用泰勒公式 泰勒公式是微积分中非常重要且常用的数学工具，它可以将一个光滑 函数在一些点附近展开成一个幂级数。这个级数可以用来近似计算函数的 值或者研究函数的性质，对于数学分析和物理学等领域都有广泛的应用。 本文将讨论常用的泰勒公式，以及它们的推导和应用。 在数学中，给定一个函数f(x)，我们希望在一些点a附近用一个多 项式来近似表示它，那么泰勒公式就是这个多项式的展开式。它的一般形 式可以表示为： f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+... 这里f'(x)表示函数f(x)的一阶导数，f''(x)表示函数f(x)的二阶 导数，依此类推。上式中的a表示展开点。 泰勒公式的推导需要使用泰勒定理，即函数在展开点a附近满足若干 阶导数连续的条件。根据泰勒定理，我们可以得到泰勒公式的不同形式。 接下来，我们将讨论常用的几种泰勒公式及其推导与应用。 1.麦克劳林级数：当展开点a=0时，泰勒公式就变成了麦克兰林级数。对于一个在原点附近光滑的函数f(x)，它的麦克兰林级数可以表示为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+... 例如，可以使用麦克兰林级数来近似计算指数函数e^x的值： e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+... 通过不断增加级数的项数，我们可以得到越来越精确的近似值。这在 计算机科学和工程学中经常用到。

2.海涅级数：当展开点a不等于零时，泰勒公式变成了海涅级数。它 可以表示为： f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+... 通过选择合适的展开点，海涅级数可以用来近似计算函数在该点附近 的值。 3.二次逼近：当我们只考虑泰勒公式的前两项时，称之为二次逼近。 它可以表示为： f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a) 二次逼近常用于函数在一些点的切线方程中，可以近似地求解函数在 该点的性质。 4.奇函数逼近：如果一个函数f(x)是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)， 那么它的泰勒展开只包含奇次幂的项。这是因为偶次幂的项会在奇函数中 相互抵消。奇函数逼近常用于求解奇函数在一些点附近的近似值。 除了上述常见的泰勒公式，还有很多其他形式和应用。例如，利用泰 勒公式可以导出三角函数的近似公式，或者求解微分方程的初值问题等。 在科学和工程领域，泰勒公式是一个重要的工具，可以帮助我们理解函数 的性质、计算近似值以及研究其他数学问题。它在数学分析、物理学、计 算机科学等领域都有重要的应用。 总结起来，泰勒公式是微积分中的一个重要工具，它可以将一个光滑 函数在一些点附近展开为一个级数。通过不断增加级数的项数，我们可以 得到越来越精确的近似值。常用的泰勒公式有麦克兰林级数、海涅级数、 二次逼近和奇函数逼近等。这些公式在数学分析和物理学中有广泛的应用，帮助我们理解函数的性质、计算近似值以及解决其他数学问题。

泰勒展开的公式

泰勒展开的公式 （实用版） 目录 1.泰勒公式的定义与意义 2.泰勒公式的推导过程 3.泰勒公式的应用领域 4.泰勒公式的局限性 正文 1.泰勒公式的定义与意义 泰勒公式，又称泰勒展开式，是由英国数学家布鲁克·泰勒在 18 世纪初提出的一种数学公式。泰勒公式是一种用于描述一个可微函数在某一点附近的近似值的方法，它将函数展开为一个无穷级数。泰勒公式在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，是微积分学中的一个重要概念。 2.泰勒公式的推导过程 泰勒公式的推导过程相对简单。假设有一个可微函数 f(x)，我们在函数的某一点 a 附近进行泰勒展开。首先，我们计算函数的导数 f"(x)，然后在 a 点进行泰勒展开，得到： f"(a) = f(a) - f(a^0) 其中，a^0 表示 a 的某个邻域。接下来，我们将 f"(x) 带入到上式中，并将 f"(x) 展开，得到： f"(a) = f(a) - f(a^0) + f""(a)(a-a^0) + f"""(a)(a-a^0)^2/2! +...+ f^n(a)(a-a^0)^n/n! + Rn(x) 其中，f^n(x) 表示 f(x) 的 n 阶导数，Rn(x) 表示泰勒展开的余项。随着 n 的增大，余项 Rn(x) 的值会趋近于 0，因此我们可以用泰

勒公式来近似表示函数 f(x) 在点 a 附近的值。 3.泰勒公式的应用领域 泰勒公式在许多领域都有广泛的应用，例如： （1）在数值分析中，泰勒公式可以用来逼近非线性函数，从而求解 方程或不等式； （2）在工程领域，泰勒公式可以用来近似计算复杂函数的值，从而 优化工程设计； （3）在物理学中，泰勒公式可以用来求解物体在特定条件下的运动 轨迹。 4.泰勒公式的局限性 虽然泰勒公式在许多领域具有广泛的应用，但它也存在一定的局限性。首先，泰勒公式的展开级数可能不收敛，导致无法得到准确的近似值；其次，泰勒公式在某些情况下可能无法很好地描述函数的特征，例如在函数的转折点附近。

【泰勒展开】常见泰勒公式大全

【泰勒展开】常见泰勒公式大全几个常见的泰勒公式(x\rightarrow0) ： sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3) cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad arccosx=? [1] tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3) e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha- 1)}{2}x^2+o(x^2) 另外 \begin{align} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\ &\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{， 则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x- \frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \\ &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x- \frac{1}{9}x^2+o\left( x^2 \right) \end{align} 习题中常见(x \rightarrow 0) ： \begin{align} tanx - sinx &= \frac{1}{2}x^3+o(x^3)\\ x - sinx &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ arcsinx - x &=

泰勒常用公式

泰勒常用公式 泰勒常用公式可以将一个函数表示为无穷级数的形式。它的一般形式如下： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ... 其中，f(x)是要近似计算的函数，a是选择的一个点，f(a)是函数在该点的值，f'(a)、f''(a)等是函数在该点的各阶导数。 泰勒常用公式的优点是可以用简单的项来近似表示一个复杂的函数，这使得计算变得更加简单。例如，在物理学中，我们经常需要计算非线性函数的近似值。通过使用泰勒常用公式，我们可以将这些非线性函数近似为一系列简单的线性函数，从而简化计算过程。 另一个重要的应用是在数值计算中。计算机无法直接处理复杂的函数，而是通过近似的方式来计算。泰勒常用公式为我们提供了一种有效的数值计算方法。通过将函数展开为无穷级数的形式，我们可以通过计算有限项的和来得到一个足够精确的近似值。 泰勒常用公式还可以用于函数的插值和外推。通过选择合适的点和阶数，我们可以用泰勒常用公式来逼近函数的值，从而进行函数的插值。而通过增加阶数，我们可以对函数进行外推，从已知的点向未知的点进行近似计算。

泰勒常用公式还有一些变种，如麦克劳林级数和拉格朗日余项等。这些变种在不同的应用中发挥着重要的作用。 总结起来，泰勒常用公式是一种重要的数学工具，它可以将一个复杂的函数近似表示为一系列简单的项的和。这个公式在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。通过使用泰勒常用公式，我们可以简化计算过程，得到足够精确的近似值，并进行插值和外推等操作。这使得我们能够更好地理解和分析复杂的函数。

泰勒公式常用

泰勒公式常用 泰勒公式是高等数学中的重要概念，是一种用于近似计算函数值的方法。在实际应用中，我们经常需要计算某些函数在某个点的值，但是有些函数并不容易直接计算。此时，泰勒公式就可以派上用场了。 泰勒公式的基本形式是： $f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 其中，$f(x)$是要计算的函数，$a$是近似点，$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。泰勒公式的意义是将一个函数在某个点处展开成一个无限级数，每一项都是函数在该点处的导数与$(x-a)$的$n$次方的乘积，乘以$1/n!$。当$n$趋近于无穷大时，级数的和就会越来越接近函数在该点处的真实值。 泰勒公式在实际应用中非常有用，可以用来近似计算各种函数的值。比如，我们可以用泰勒公式来计算正弦函数在$x=pi/6$处的值： $sin(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(x-frac{pi}{2 })^{2n+1}$ 将$x=pi/6$代入上式，得到： $sin(frac{pi}{6})=frac{(-1)^0}{1!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2}) ^1+frac{(-1)^1}{3!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})^3+frac{(-1)^2} {5!}(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})^5+...$

化简得： $sin(frac{pi}{6})=-frac{1}{2}frac{pi}{6}+frac{1}{6}frac{pi^ 3}{2^3}+O((frac{pi}{6})^5)$ 其中，$O$表示截断误差，意味着剩余的项都很小，可以忽略不计。这个式子可以进一步化简为： $sin(frac{pi}{6})=frac{1}{2}$ 这个结果是比较容易理解的，因为正弦函数在$x=pi/6$处的值是$1/2$。 泰勒公式不仅可以用来计算函数值，还可以用来计算函数的导数和高阶导数。比如，我们可以用泰勒公式来计算$f(x)=ln(x)$在$x=1$处的二阶导数： $f(x)=ln(x)$ $f^{(1)}(x)=frac{1}{x}$ $f^{(2)}(x)=-frac{1}{x^2}$ 将$x=1$代入上式，得到： $f^{(2)}(1)=-1$ 这个结果也是比较容易理解的，因为$ln(x)$的二阶导数是 $-1/x^2$，在$x=1$处的值就是$-1$。 泰勒公式的应用范围非常广泛，可以用来计算各种函数的值和导数。但是，在实际应用中，我们通常只需要计算一部分级数，就可以得到足够精确的结果。因此，我们需要掌握如何截断级数，以便在保

常用的泰勒公式

常用的泰勒公式 泰勒公式是数学中经常使用的一种近似计算方法。它可 以将一个函数在某个点附近用其在该点的导数值来表示，从而简化计算。泰勒公式由英国数学家布鲁赛尔·泰勒于18世纪 提出，至今在科学和工程领域中广泛应用。 泰勒公式的一般形式如下： 设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么在x=a附近的点x，函数f(x)可以通过泰勒展开式来近似表示： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ... + fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n! + Rⁿ(x) 其中，f'(a)，f''(a)，f'''(a)，...，fⁿ(a)分别表示函数 f(x)在x=a处的一阶、二阶、三阶，...，n阶导数的值， Rⁿ(x)为拉格朗日余项。 泰勒公式的应用有很多，下面将介绍几个常见的应用场景： 1. 函数的近似计算：通过泰勒公式，可以将函数在某一 点的值通过导数值的近似表示来计算。这在科学计算中经常使用，特别是在计算机程序中，可以通过泰勒公式来实现复杂函数的近似计算。 2. 极限计算：通过泰勒公式，可以将复杂的极限计算转 化为对函数在某一点的导数值的计算。这样可以简化极限计算过程，提高计算效率。 3. 误差分析：在实际应用中，我们常常需要对测量数据 进行处理和分析。泰勒公式可以用于对测量数据进行近似处理，

计算近似值与真实值之间的误差范围。 4. 函数图像的绘制：通过泰勒公式，可以对函数的局部 形态进行描述，从而更好地理解函数的性质和行为。这对于绘制函数图像有很大的帮助。 总之，泰勒公式是数学中一种重要的近似计算方法，广 泛应用于科学和工程领域。它简化了复杂函数的计算和分析过程，提高了计算效率和准确性。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适合的泰勒展开项，以满足计算的需求。通过深入学习和理解泰勒公式，我们能更好地应用它来解决实际问题。

8个泰勒公式总结

8个泰勒公式总结 1. 一阶泰勒公式 一阶泰勒公式是数学中用来近似计算函数值的重要公式。它基于函数在某一点 的导数，可以将函数在该点附近的近似值表示为一个线性函数。 一阶泰勒公式可以表示为： f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) 其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在 点a处的导数。 2. 二阶泰勒公式 二阶泰勒公式是泰勒公式的推广，可以更精确地近似计算函数值。它基于函数 在某一点的导数和二阶导数，可以将函数在该点附近的近似值表示为一个二次函数。 二阶泰勒公式可以表示为： f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2 其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在 点a处的一阶导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数。 3. 多项式泰勒公式 多项式泰勒公式是泰勒公式的另一种表现形式。它通过将函数展开成一系列幂 函数的和，来近似计算函数值。 多项式泰勒公式可以表示为： f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + (1/2)f''(a)(x-a)^2 + ... + (1/n!)f^(n)(a) (x-a)^n 其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在 点a处的一阶导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数，f^(n)(a)是函数在点a 处的n阶导数，n!表示n的阶乘。 4. 常用的泰勒公式展开函数 在实际计算中，有一些常见的函数的泰勒公式展开式被广泛使用。这些函数包 括正弦函数、余弦函数、指数函数等。 正弦函数的泰勒公式展开式为：

泰勒展开的公式

泰勒展开的公式 摘要： 1.泰勒公式的定义 2.泰勒公式的用途 3.泰勒公式的证明方法 4.泰勒公式的实际应用 正文： 1.泰勒公式的定义 泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为： f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x) 其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。 2.泰勒公式的用途 泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点： （1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。

（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。 （3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。 3.泰勒公式的证明方法 泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。 4.泰勒公式的实际应用 泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。 例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。将这些值代入泰勒公式，我们可以得到： sin(x) ≈ 1 + 0*(x-π/2) + (-1)*(x-π/2)^2 / 2! + 0*(x-π/2)^3 / 3! +... 将x=π/2 代入上式，我们可以得到： sin(π/2) ≈ 1 由此可见，泰勒公式可以帮助我们在一定程度上精确地求解函数的值。

taylor 公式

taylor 公式 Taylor公式是数学分析中常用的一种近似计算方法，它通过泰勒级数展开将一个函数表示为无穷级数的形式。泰勒级数展开是一种用多项式逼近函数的方法，常用于求解函数的近似值以及研究函数的性质。 泰勒级数展开的基本思想是将函数在某一点附近进行展开，然后利用多项式来逼近原函数。对于一个可导函数f(x)，在某一点a处，可以通过泰勒级数展开来表示： f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... 其中，f'(a)表示f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在点a处的二阶导数，f'''(a)表示f(x)在点a处的三阶导数，以此类推。 泰勒级数展开的优点在于可以通过前几项的近似值来逼近函数的真实值。当使用更多的项进行展开时，逼近的精度会逐渐提高。因此，在实际应用中，可以根据需要选择适当的项数来进行计算。 泰勒级数展开在科学计算、工程应用以及物理学等领域中具有广泛的应用。例如，在数值计算中，可以利用泰勒级数展开来近似计算各种复杂函数的值，从而简化计算过程。在物理学中，泰勒级数展开可以用于描述物体的运动规律，分析物体的加速度、速度和位移等参数。

除了泰勒级数展开外，还有一些相关的展开方法，如麦克劳林级数展开和泰勒-麦克劳林级数展开。麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，当展开点a为0时，泰勒级数展开就变成了麦克劳林级数展开。 尽管泰勒级数展开在数学和科学领域中具有重要的应用价值，但在实际计算中也存在一些限制和注意事项。首先，泰勒级数展开只在给定点附近有效，如果考虑到整个定义域，展开后的级数可能会发散。其次，泰勒级数展开的逼近精度受到展开点的选择和项数的限制，需要根据具体问题进行调整。 Taylor公式是一种重要的数学工具，通过泰勒级数展开可以将一个函数表示为无穷级数的形式，从而实现对函数的近似计算。它在科学计算、工程应用以及物理学等领域中具有广泛的应用价值，为解决复杂问题提供了便利。然而，在应用过程中需要考虑到展开点的选择和项数的限制，以确保逼近结果的准确性和可靠性。

8个常用泰勒公式

8个常用泰勒公式 以下是8个常用的泰勒公式及其相关参考内容： 1. 一阶泰勒公式：$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ 参考内容：一阶泰勒公式是利用函数在某一点的导数来对其进行局部逼近，适用于解决求解函数近似值的问题。比如在求解微积分、计算机算法等方面都会涉及到一阶泰勒公式的应用。 2. 二阶泰勒公式：$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x- a)^2$ 参考内容：二阶泰勒公式是在一阶泰勒公式的基础上对函数进行更加准确的局部逼近。它在求解驻点、计算误差等方面应用较广。 3. 麦克劳林公式：$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x- a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+ \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ 参考内容：麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况，即以 $x=a$为中心展开的函数幂级数。它可以将函数以简单而优美 的形式表示出来，并且适用于求得函数在某一点处的严格值。 4. 泰勒级数：$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x- a)^n$ 参考内容：泰勒级数是把一个函数展开成一个无穷级数的形式，它适用于对于一些函数的全局逼近。它的应用涵盖到了物理、

数学、计算机科学等众多领域。 5. 拉格朗日余项：$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x- a)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ 参考内容：拉格朗日余项是泰勒公式的剩余部分，它表达了逼近误差的精确值，并且可以用于误差估计和控制。 6. 皮亚诺余项：$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x- a)^k+\frac{1}{(n+1)!}(x-\xi)^{n+1}f^{(n+1)}(\xi)$ 参考内容：皮亚诺余项是在拉格朗日余项的基础上对剩余项进行了更严格的控制，它在微积分和数学分析等领域的应用较为广泛。 7. 勒让德展开式：$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nP_n(x)$ 参考内容：勒让德展开式可以把任意一个函数展开成一个勒让德多项式（$P_n(x)$）的无穷级数的形式，它适用于探究物理问题、解决微分方程等方面。 8. 傅里叶级数： $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\left(\frac{n\p i x}{L}\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)$ 参考内容：傅里叶级数可以将周期函数分解成基本的正弦函数和余弦函数的和的形式，它在信号处理、物理学和数学等方面的应用十分广泛。

8个泰勒公式常用公式

8个泰勒公式常用公式 泰勒公式是一种对于一个函数在一些点处的近似表示的数学工具。它通过使用函数在该点处的各阶导数来构建一个多项式。这里将介绍8个常用的泰勒公式。 1.一阶泰勒公式： 简单的一阶泰勒公式将函数在其中一点的值表示为该点处的函数值和函数的一阶导数之积。对于函数f(x)，在点x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a) 2.二阶泰勒公式： 二阶泰勒公式是对函数在其中一点处的函数值和一阶导数、二阶导数的线性组合的近似。对于函数f(x)，在点x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2 3.n阶泰勒公式： n阶泰勒公式将函数在其中一点处的值表示为该点处的函数值和函数的前n阶导数的多项式。对于函数f(x)，在点x=a处的泰勒公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n! 4.拉格朗日形式泰勒公式： 拉格朗日形式泰勒公式是将泰勒公式中的余项以拉格朗日中值定理的形式表示出来。对于函数f(x)，在点x=a和x=x0之间的其中一点x1，存在一个介于a和x之间的数c，使得泰勒公式可以表示为：

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(c)(x-a)^2/2! 5.泰勒级数： 泰勒级数是将泰勒公式中的所有阶导数都考虑进来，从而得到一个无限级数的形式。对于函数f(x)，泰勒级数在点x=a处的表达形式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x- a)^n/n!+... 6.指数函数的泰勒展开： 指数函数可以通过泰勒展开表示为一个简单的无限级数。对于指数函数exp(x)，在点x=0处的泰勒展开为： exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + ... 7.正弦函数的泰勒展开： 正弦函数可以通过泰勒展开表示为一个无限级数。对于正弦函数 sin(x)，在点x=0处的泰勒展开为： sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... + (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)! + ... 8.余弦函数的泰勒展开： 余弦函数可以通过泰勒展开表示为一个无限级数。对于余弦函数 cos(x)，在点x=0处的泰勒展开为： cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... + (-1)^n * x^(2n)/(2n)! + ...

泰勒公式

泰勒公式 百科名片 泰勒公式 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 目录 公式定义 证明 1.麦克劳林展开式 2.麦克劳林展开式的应用 泰勒展开式 1.原理 2.余项 泰勒简介 1.简介

公式定义 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明 我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足 P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以 A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)； P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x- x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出 Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得 Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0） =Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An 是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可