第二十一章 重积分 1二重积分的概念
一、平面图形的面积
引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时
直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点；
(2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点.
将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)；
将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知，
对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记T
p I sup ={s p (T)} ,T
p I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I .
p I 称为内面积，p I 称为外面积.
定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积.
定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总
存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε.
证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)
ε, 记T 为由T 1与T 2合并所成的直线网，则 s p (T 1)≤s p (T), S p (T 2)≥S p (T)，∴s p (T)>I p -2ε, S p (T)
ε, 从而S p (T)-s p (T)<ε. [充分性]设对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知，
p I =p I ，∴平面图形
P 可求面积.
推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖.
定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0.
证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0.
定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零.
证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，从而一致连续. ∴∀ε>0, ∃δ>0, 当把区间[a,b]分成n 个小区间[x i-1,x i ] (i=1,2,…,n, x 0=a,x n =b)并满足 max{△x i =x i -x i-1 |i=1,2,…,n }<δ时，
可使f(x)在每个小区间[x i-1,x i ]上的振幅都有ωi <
a
b -ε
.
把曲线K 按自变量x=x 0,x 1,…,x n 分成n 个小段，则 每一个小段都能被以△x i 为宽, ωi 为高的小矩形所覆盖，又 这n 个小矩形面积的总和为i n
i i x ∆∑=1ω<
a
b -ε
∑=∆n
i i
x
1
<ε，
由定理21.1的推论即得曲线K 的面积为零.
推论1：参数方程x=φ(t), y=ψ(t), t ∈[α,β]所表示的光滑曲线K 的面积为零.
证：由光滑曲线的定义，φ’(t),ψ’(t)在[α,β]上连续且不同时为0. 对任意t 0∈[α,β]，不妨设φ’(t 0)≠0，则存在t ’的某邻域U(t 0), 使得 x=φ(t)在此邻域上严格单调，从而存在反函数t=φ-1(x). 又 由有限覆盖定理，可把[α,β]分成有限段：α=t 0 推论2：由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的. 注：并非平面中所有的点集都是可求面积的. 如D={(x,y)|x,y ∈Q ∩[0,1]}. 易知0=D I ≤D I =1, 所以D 是不可求面积的. 二、二重积分的定义及其存在性 引例：求曲顶柱体的体积(如图1). 设f(x,y)为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数. 求以曲面z=f(x,y)为顶，以D 为底的柱体体积V. 用一组平行于坐标轴的直线网T 把D 分成n 个小区域σi (i=1,2,…,n). ∵f(x,y)在D 上连续，∴当每个σi 都很小时， f(x,y)在σi 上各点的函数值近似相等； 可在σi 上任取一点(ξi ,ηi )，用以f(ξi ,ηi )为高， σi 为底的小平顶柱体的体积f(ξi ,ηi )△σi 作为V i 的体积△V i ，即△V i ≈f(ξi ,ηi )△σi . 把这些小平顶柱体的体积加起来， 就得到曲顶柱体体积V 的近似值： V=∑=∆n i i V 1 ≈i n i i i f σηξ∆∑=1 ),(. 当直线网T 的网眼越来越细密，即 分割T 的细度T =di n i ≤≤1max →0(di 为σi 的直径)时，i n i i i f σηξ∆∑=1),(→V. 概念：设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，f(x,y)为定义在D 上的函数. 用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 以△σi 表示小区域△σi 的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ， 以d i 表示小区域△σi 的直径，称T =di n i ≤≤1max 为分割T 的细度. 在每个σi 上任取一点(ξi ,ηi )，作和式 i n i i i f σ ηξ∆∑=1 ),(，称为函数f(x,y)在D 上属于分割T 的一个积分和. 定义2：设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数. J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有 J f i n i i i -∆∑=σ ηξ1 ),(<ε，则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D 上的二重积分，记作：J=⎰⎰D d y x f σ),(. 注：1、函数f(x,y)在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是f 在D 上有界. 2、设函数f(x,y)在D 上有界，T 为D 的一个分割，把D 分成n 个可求面积的小区域σ1, σ2,…, σn . 令M i =i y x σ∈),(sup f(x,y), m i =i y x σ ∈),(inf f(x,y), i=1,2,…,n. 作和式S(T)=i n i i M σ∆∑=1 , s(T)=i n i i m σ∆∑=1 . 它们分别称为函数f(x,y)关于分 割T 的上和与下和. 定理21.4：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：0lim →T S(T)=0lim →T s(T). 定理21.5：f(x,y)在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得S(T)-s(T)<ε. 定理21.6：有界闭区域D 上的连续函数必可积. 定理21.7：设f(x,y)在有界闭域D 上有界，且不连续点集E 是零面积集，则f(x,y)在D 上可积. 证：对任意ε>0, 存在有限个矩形(不含边界)覆盖了E ，而 这些矩形面积之和小于ε. 记这些矩形的并集为K ，则 D\K 是有界闭域(也可能是有限多个不交的有界闭域的并集). 设K ∩D 的面积为△k ，则△k <ε. 由于f(x,y)在D\K 上连续， 由定理21.6和定理21.5，存在D\K 上的分割T 1={σ1, σ2,…, σn }, 使得S(T 1)-s(T 1)<ε. 令T={σ1, σ2,…, σn , K ∩D}，则T 是D 的一个分割，且 S(T)-s(T)=S(T 1)-s(T 1)+ωK △k <ε+ωε, 其中 ωK 是f(x,y)在K ∩D 上的振幅，ω的是f(x,y)在D 上的振幅. 由定理21.5可知f(x,y)在D 上可积. 三、二重积分的性质 1、若f(x,y)在区域D 上可积，k 为常数，则kf(x,y)在D 上也可积，且 ⎰⎰D d y x kf σ),(=k ⎰⎰D d y x f σ),(. 2、若f(x,y), g(x,y)在D 上都可积，则f(x,y)±g(x,y)在D 上也可积，且 []⎰⎰±D d y x g d y x f σσ),(),(=⎰⎰D d y x f σ),(±⎰⎰D d y x g σ),(. 3、若f(x,y)在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则 ⎰⎰2 1),(D D d y x f σ=⎰⎰1 ),(D d y x f σ+⎰⎰2 ),(D d y x f σ. 4、若f(x,y)与g(x,y)在D 上可积，且f(x,y)≤g(x,y), (x,y)∈D ，则 ⎰⎰D d y x f σ),(≤⎰⎰D d y x g σ),(. 5、若f(x,y)在D 上可积，则函数|f(x,y)|在D 上也可积，且 ⎰⎰D d y x f σ),(≤⎰⎰ D d y x f σ),(. 6、若f(x,y)在D 上都可积，且m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈D ，则 mS D ≤⎰⎰D d y x f σ),(≤MS D , 其中S D 是积分区域D 的面积. 7、(中值定理)若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ， 使得⎰⎰D d y x f σ),(=f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积. 注：中值定理的几何意义：以D 为底，z=f(x,y) (f(x,y)≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于f(x,y)在区域D 中某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η). 习题 1、把重积分⎰⎰D xydxd σ作为积分和的极限，计算这个积分值，其中 D=[0,1]×[0,1]，并用直线网x=n i , y=n j , (i,j=1,2,…,n-1) 分割D 为许多小正方形，每个小正方形取其右顶点作为其节点. 解：⎰⎰D xydxd σ=2111lim n n j n i n j n i n ⋅⋅∑∑==∞→=21121lim n n j n n j n ⋅⋅+∑=∞→=224)1(lim n n n +∞→=41. 2、证明：若函数f(x,y)在有界闭区域D 上可积，则f(x,y)在D 上有界. 证：若f 在D 上可积，但在D 上无界，则 对D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, f 必在某个小区域σk 上无界. 当i ≠k 时，任取p i ∈σi ，令G=∑≠n k i i i p f σ)(, I=⎰⎰D dxdy y x f ),(. ∵f 在σk 上无界，∴存在p k ∈σk ，使得|f(p k )|> k G I σ∆++1, 从而 ∑=n i i i p f 1 )(σ =∑≠∆+n k i k k i i p f p f σσ)()(≥|f(p k )·△σk |-∑≠n k i i i p f σ)(>|I|+1. 又f 在D 上可积，∴存在δ>0，对任一D 的分割T={σ1, σ2,…, σn }, 当T <δ时，T 的任一积分和∑=n k k k p f 1)(σ都满足∑=-n k k k I p f 1 )(σ<1, 即∑=n k k k p f 1 )(σ<|I|+1，矛盾！∴f 在D 上可积，则f 在D 上有界. 3、证明二重积分中值定理：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰D f =f(ξ,η)S D , 其中S D 是积分区域D 的面积. 证：∵f 在有界闭区域D 上连续,∴f 在D 上有最大值M 和最小值m, 对D 中一切点有m ≤f ≤M ，∴mS D ≤⎰⎰D f ≤MS D , 即m ≤ ⎰⎰D D f S 1 ≤M. 由介值性定理知，存在(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰D f =f(ξ,η)S D . 4、证明：若f(x,y)为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒 为零，则⎰⎰D d y x f σ),(>0. 证：由题设知存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使f(p 0)>0，令δ=f(p 0)， 由连续函数的局部保号性知：∃η>0使得对一切p ∈D 1(D 1=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>2 δ. 又f(x,y)≥0且连续，∴⎰⎰D f =⎰⎰1 D f + ⎰⎰ -1 D D f ≥ 2 δ·△D 1>0. 5、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域D ’⊂D 上有⎰⎰' D d y x f σ),(=0，则在D 上f(x,y)≡0. 证：假设存在p 0(x 0,y 0)∈D ，使得f(p 0)≠0, 不妨设f(p 0)>0. 由连续函数的保号性知，∃η>0使得对一切p ∈D ’(D ’=U(p 0,η)∩D), 有f(p)>0，由第4题知⎰⎰' D f >0，矛盾！ ∴在D 上f(x,y)≡0. 6、设D=[0,1]×[0,1]，证明： 函数f(x,y)=⎩ ⎨ ⎧内非有理点为皆为有理数即内有理点为D y x y x D y x ),(,0) ,(),(,1在D 上不可积. 证： 设D 的任一分割T={σ1, σ2,…, σn }, 则 每一个小区域σi 内必同时含有D 内有理点和非有理点，从而 M i =i y x σ∈),(sup f(x,y)=1, m i =i y x σ ∈),(inf f(x,y)=0, i=1,2,…,n. ∴S(T)=i n i i M σ∆∑=1 =1, s(T)=i n i i m σ∆∑=1 =0，由T 的任意性知： lim →T S(T)=1≠0=0 lim →T s(T). ∴f 在D 上不可积. 7、证明：若f(x,y)在有界闭区域D 上连续，g(x,y)在D 上可积且不变 号，则存在一点(ξ,η)∈D ，使得⎰⎰D d y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰D d y x g σ),(. 证：不妨设g(x,y)≥0, (x,y)∈D ，则⎰⎰D d y x g σ),(≥0. 令 M,m 分别为f 在D 上的最大、最小值，则 m ⎰⎰D d y x g σ),(≤⎰⎰D d y x g y x f σ),(),(≤M ⎰⎰D d y x g σ),(. 若⎰⎰D d y x g σ),(=0, 则⎰⎰D d y x g y x f σ),(),(=0，任取(ξ,η)∈D ，得证！ 若⎰⎰D d y x g σ),(>0, 则m ≤ ⎰⎰⎰⎰D D d y x g d y x g y x f σ σ ),(),(),(≤M. 由介值性定理知， 存在一点(ξ,η)∈D ，使得f(ξ,η)= ⎰⎰⎰⎰D D d y x g d y x g y x f σ σ),(),(),( ，即 ⎰⎰D d y x g y x f σ),(),(=f(ξ,η)⎰⎰D d y x g σ),(. 8、应用中值定理估计积分：I=⎰⎰ ++D y x d 22cos cos 100σ 的值, 其中 D={(x,y)||x|+|y|≤10}. 解：∵f(x,y)= y x 22cos cos 1001 ++ 在D={(x,y)||x|+|y|≤10}上连续， 根据中值定理知：存在(ξ,η)∈D ，使得I= η ξ22cos cos 100++∆D , 从而 102D ∆≤I ≤100D ∆, △D 为D 的面积，∴51 100 ≤I ≤2. 9、证明：若平面曲线x=φ(t), y=ψ(t), α≤t ≤β光滑 (即φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数且φ’2(t)+ψ’2(t)≠0)，则 此曲线的面积为0. 证法1：该平面曲线L 的长度为l=dt t t ⎰'+'β αψϕ)()(22为有限值. 对∀ε>0, 将L 分成n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡εl +1段：L 1,L 2,…,L n , 在每段L i 上取一点P i , 使P i 与其一端点的弧长为n l 2，以P i 为中心作边长为的ε正方形△i ， 则L i ⊂△i (i=1,2,…,n), 从而L ⊂n i 1= △i ，记△=n i 1= △i ，则△为一多边形. 设△的面积W ，则W ≤n ε2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1εl ε=(1+ε)ε，∴L 的面积W L ≤W ≤(1+ε)ε. 即此曲线的面积为0. 证法2：在曲线上任取参数t 的点M ，∵φ’2(t)+ψ’2(t)≠0， 由隐函数存在定理知，存在σ=(t-δ,t+δ) 使曲线上对应的一段可以表示成显式方程. 应用有限覆盖定理，[α,β]被开区间集{σ}有限覆盖，得出有限个区间， 使曲线分成有限部分，每一部分可以表示成显式方程y=f(x)或x=g(y)， 其中f,g 为连续函数，由定理21.3知光滑曲线的面积为0. 第二十一章 重积分 1二重积分的概念 一、平面图形的面积 引例：若构成平面图形P 的点集是平面上的有界点集， 即存在矩形R ，使P ⊂R ，则称平面图形P 有界. 用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割P(如图)，这时 直线网T 的网眼——小闭矩形△i 可分为三类： (1)△i 上的点都是P 的内点； (2)△i 上的点都是P 的外点，即△i ∩P=Ø； (3)△i 上含有P 的边界点. 将所有属于直线网T 的第(1)类小矩形(图中阴影部分)的面积加起来， 记和数为s p (T)，则有s p (T)≤△R (矩形R 的面积)； 将所有第(1)类与第(3)类小矩形(图中粗线所围部分)的面积加起来， 记作S p (T)，则有s p (T)≤S p (T). 由确界存在定理知， 对于平面上所有直线网，数集{s p (T)}有上确界，数集{S p (T)}有下确界， 记T p I sup ={s p (T)} ,T p I inf ={S p (T)}. 显然有0≤p I ≤p I . p I 称为内面积，p I 称为外面积. 定义1：若平面图形P 的内面积p I 等于它的外面积p I , 则称P 为可求面积，并称其共同值I p =p I =p I 为P 的面积. 定理21.1：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给ε>0, 总 存在直线网T ，使得S p (T)-s p (T)< ε. 证：[必要性]设P 的面积为I p , 由面积的定义知, I p =p I =p I . ∀ε>0, 由p I 及p I 的定义知，分别存在直线网T 1与T 2，使得 s p (T 1)>I p -2ε, S p (T 2)I p -2ε, S p (T)0, 存在某直线网T ，使得S p (T)-s p (T)<ε. 但s p (T)≤p I ≤p I ≤S p (T)，∴p I -p I ≤S p (T)-s p (T)<ε. 由ε的任意性知， p I =p I ，∴平面图形 P 可求面积. 推论：平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积p I =0，即对任给的ε>0, 存在某直线网T ，使得S p (T)<ε，或 平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖. 定理21.2：平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为0. 证：由定理21.1，P 可求面积的充要条件是：∀ε>0, ∃直线网T ， 使得S p (T)-s p (T)<ε. 即有S K (T)=S p (T)-s p (T)<ε， 由推论知，P 的边界K 的面积为0. 定理21.3：若曲线K 为定义在[a,b]上的连续函数f(x)的图象，则曲线K 的面积为零. 第二十一章 重积分 2直角坐标系下二重积分的计算 定理21.8：设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]×[c,d]上可积,且对每个x ∈[a,b], 积分?d c dy y x f ),(存在，则累次积分??d c b a dy y x f dx ),(也存在，且 ?? D d y x f σ),(=??d c b a dy y x f dx ),(. 证：令F(x)=?d c dy y x f ),(, 分别对区间[a,b]与[c,d]作分割： a=x 0 欧阳光中数学分析答案 【篇一：数学分析目录】 合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的 第十一章 重积分 §1 二重积分的概念 1.把重积分 ??D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0?,并用直线网x=n i ,y=n j (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点. 2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界. 3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积. 4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7. 性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且 ()?+D g f =??+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ??≤D D g f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得 ()D ,f f D ?ηξ=?. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且 210D D D Y =,?=11D int D int I , 试证二重积分性质3. 性质3(区域可加性) 若210D D D Y =且11D int D int I ?=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且 ?0D f =??+2 1D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明: (1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D >?; (2)若在D 内任一子区域D D ?'上都有 ?' =D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。 . 7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得 ()()??D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()??D dxdy y ,x g . 考研数学二（二重积分）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成( )． A． B． C． D． 正确答案：D 解析：积分区域的直角坐标形式为D={(x，y)｜x2+y2≤x，y≥0}，则原式=，应选(D)．知识模块：二重积分 填空题 2．cos(2x+y)dxdy=_______，其中D：x2+y2≤r2． 正确答案：1 解析：由积分中值定理，存在(ξ，η)∈D，使得知识模块：二重积分 3．设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=y2+f(x，y)dxdy，则f(x，y)=_______ 正确答案： 解析：令则f(x，y)=y2+Ax，两边积分得知识模块：二重积分 4．设区域D为x2+y2≤R2，则=________ 正确答案： 解析：由对称性得知识模块：二重积分 5．交换积分次序=_____ 正确答案：涉及知识点：二重积分 6．交换积分次序，则=_______ 正确答案： 解析：积分区域D={(x，y)｜，0≤y≤2}，则原式= 知识模块：二重积分 7．交换积分次序=_______ 正确答案： 解析：令D1={(x，y)｜0≤x≤，x2≤y≤x}，则知识模块：二重积分 8．=______ 正确答案： 解析：知识模块：二重积分 9．设f(x)=，D为-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，则=_______ 正确答案： 解析：f(y)f(x+y)=则知识模块：二重积分 解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10．求 正确答案：交换积分次序得涉及知识点：二重积分 11．将积分f(x，y)dxdy化成极坐标形式，其中D为x2+y2=-8x所围成的区域． 正确答案：令涉及知识点：二重积分 12．已知f(x)可导，且满足f(t)=，求f(x)． 正确答案：改变积分次序得原式化为f(t)=，两边求导得f’(t)-f(t)=0，解得f(t)=Cet，由f(0)=1得C=1，则f(x)=ex．涉及知识点：二重积分 13．求极限 正确答案：交换积分次序得涉及知识点：二重积分 14．设函数f(x)在区间[0，1]上连续，并设 正确答案：令涉及知识点：二重积分 15．计算，其中D={(x，y)｜y≥0，x2+y2≤1，x2+y2≤2x}． 正确答案：涉及知识点：二重积分 第二十一章 重积分 4二重积分的变量变换 一、二重积分的变量变换公式 定积分的变量变换：设f(x) 在[a,b]上连续，x=φ(t)当t 从α变到β时，严格单调地从a 变到b ，且φ(t)连续可导，则⎰b a dx x f )(=⎰'β αϕϕdt t t f )())((. 当α<β(即φ’(t)>0)时，记X=[a,b], Y=[α,β]，则X=φ(Y), Y=φ-1(X)，则 上面的公式可以写成⎰X dx x f )(=⎰-') (1 )())((X dt t t f ϕ ϕϕ. 当α>β(即φ’(t)<0)时，又可改写成⎰X dx x f )(=-⎰-') (1 )())((X dt t t f ϕ ϕϕ， 即当φ(t)严格单调且连续可微时，有⎰X dx x f )(=⎰-') (1 )())((X dt t t f ϕϕϕ. 引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)= ),() ,(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆ dudv v u J ),(. 证：当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时， (后面章节证明只具有一阶连续导数的情况) ∵T 为一对一变换, 且J(u,v)≠0, ∴T 把△的内点变成D 的内点， △的按段光滑边界曲线L △变换到D 时，其边界曲线L D 也按段光滑. 设曲线L △的参数方程为u=u(t), v=v(t) (α≤t ≤β), 由L △光滑知， u ’(t), v ’(t)在[α,β]上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上连续. ∵L D =T(L △), ∴x=x(t)=x(u(t),v(t)), y=y(t)=y(u(t),v(t)) (α≤t ≤β). 若规定t 从α变到β时，对应于L D 的正向，则 《数学分析》课程教学大纲 一、选用专业，学时及学分 本课程适用专业为：数学与应用数学专业；学时：264，学分:15学分，分三学期授课（第一、二、三学期）。 二、课程的性质、目的和任务 本课程是高等师范院校数学教育专业的一门最重要的基础课，授课时间最长。通过本课程的学习使学生掌握极限论，一元函数微积分学，无穷级数及多元函数微积分学方面的系统知识，为进一步学习复变函数论，微分方程，微分几何，概率论与数理统计，实变函数，数学模型等后续课程，也是为深入理解初等数学及从事中学数学工作打下坚实的基础。 三、课程的基本内容、重点及难点 （一）函数 函数概念，函数的四则运算、图象、数列、函数的有界性、单调性，奇偶性、周期性，复合函数，反函数，初等函数。 重点和难点：函数的概念与表示，函数的复合运算。 （二）数列极限 极限思想、数列极限概念、收敛数列的性质：唯一性、有界性、单调性，保号性、迫敛性；收敛数列的四则运算，数列收敛的判别法；单调有界定理，柯西收敛准则；子数列及其收敛性。 重点和难点：数列极限概念，ε—N方法的运用，数列收敛的判别。 （三）函数极限 x→∞时函数f（X）的极限，x→a时函数f（X）的极限，单侧极限，函数 极限的性质，函数极限与数列极限的关系，函数极限存在判别法，无穷小，无穷大，无穷小的比较。 重点和难点：函数极限概念，ε---δ方法的运用，函数极限存在判别法。 （四）连续函数 函数在一点的连续性，函数在区间的连续性，单侧连续性，间断点及其分类，连续函数的局部性质；闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，一致连续性；连续函数的四则运算，反函数，复合函数及初等函数的连续性。 重点和难点：连续函数的概念，连续函数的性质，一致连续性。 （五）实数的连续性 实数连续性的基本定理：闭区间套定理，确界定理，有限复盖定理，聚点定理，致密性定理，柯西收敛准则；闭区间连续函数性质的证明。 重点及难点：柯西收敛准则，实数完备性定理的等价性。 （六）导数与微分 引出导数概念的实例，导数概念；求导法则与导数公式;隐函数与参数方程求导法则；微分概念及运算，近似计算；高阶导数与高阶微分。 重点和难点：导数概念及其计算，复合函数微分法。 （七）微分学基本定理及其应用 微分中值定理；待定型计算的洛必达法则；泰勒公式；导数在研究函数上的应用：单调性的判定，极限与最值，曲线凹凸性，拐点，渐进线；函数图象的描绘。 重点与难点：拉格朗日中值定理及其证明方法，极值的判定。 （八）不定积分 第七节 二重积分的概念与性质 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算. 内容分布图示 ★ 曲顶柱体的体积 ★ 二重积分的概念 ★ 二重积分的性质 ★ 二重积分的中值定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-7 ★ 返回 内容提要： 一、 二重积分的概念 定义1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ, 作乘积 ),,2,1(,),(n i f i i i =∆σηξ 并作和 ,),(1∑=∆n i i i i f σηξ 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分, 记为,),(⎰⎰D d y x f σ 即 ⎰⎰D d y x f σ ),(∑=→∆=n i i i i f 10),(lim σηξλ (7.2) 其中),(y x f 称为被积函数,σd y x f ),(称为被积表达式, σd 称为面积微元, x 和y 称为积分变量,D 称为积分区域, 并称 ∑=∆n i i i i f 1),(σηξ为积分和. 对二重积分定义的说明: 考研数学一（解答题）模拟试卷46(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,=a，其中D={(x，y)丨0≤x≤1，0≤yY≤1}，计算二重积分 正确答案：涉及知识点：多元函数积分学 2．假设A，B均为n阶方阵，且满足AB=A+B，试证明A，B可交换。 正确答案：等式AB=A+B等价于AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E。由此可知，A-E与B-E互为逆矩阵，由逆矩阵的定义可知(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)=E，将以上等式展开可得AB-A-B+E=BA-A-B+E，故AB=BA，即A，B可交换。涉及知识点：矩阵 3．求下列积分： 正确答案：涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用 4．设函数f(x)在x＝1的某邻域内有定义，且满足｜f(x)－2ex｜≤(x一1)2，研究函数f(x)在x＝1处的可导性． 正确答案：把x＝1代入不等式中，得f(1)＝2e．当x≠1时，不等式两边同除以｜x一1｜，得涉及知识点：高等数学部分 5．3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A5一4A3+E．(1)求B的特征值和特征向量．(2)求 B． 正确答案：(1)记f(x)=x5一4x3+1，则B的特征值为f(1)=一2，f(2)=1，f(一2)=1．α1=(1，一1，1)T是A的属于1的特征向量，则它也是B的特征向量，特征值一2．B的属于一2的特征向量为cα1，c≠0．B也是实对称矩阵，因此B的属于特征值1的特征向量是与α1正交的非零向量，即是x1一x2+x3=0的非零解．求出此方程的基础解系α2=(1，1，0)T，α3=(0，1，1)T，B的属于特征值1的特征向量为c1α2+c2α3，c1，c2不全为0．(2)B(α1，α2，α3)=(一2α1，α2，α3)．解此矩阵方程求得涉及知识点：线性代数 6．已知α＝(1，1，－1)T是A＝的特征向量，求a，b和α的特征值λ． 考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编31(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设函数f(u)连续，区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，则f(xy)dxdy等于( ) A．∫－11dxf(xy)dy。 B．2∫02dyf(xy)dx。 C．∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)dr。 D．∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr。 正确答案：D 解析：积分区域如图所示。在直角坐标系下，故应排除A，B。在极坐标系下，则f(xy)dxdy=∫0πdθ∫02sinθf(r2sinθcosθ)rdr，故应选D。知识模块：二重积分 2．设f(x，y)为连续函数，则∫0π／4dθ∫01f(rcosθ，rsinθ)rdr等于( ) A． B． C． D． 正确答案：C 解析：先还原出积分区域，由于r的取值范围为0到1，可知积分区域在圆x2+y2=1的内部；又由于θ的取值范围为0到π／4，可知积分区域为x的正半轴和射线θ=π／4之间的部分。如图所示：由积分区域的形状可知，应该先对x 积分，可得原式=f(x，y)dx。知识模块：二重积分 3．设函数f连续，若F(u，v)=dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则=( ) A．vf(u2)。 B．v／uf(u2)。 C．vf(u)。 D．v／uf(u)。 正确答案：A 解析：图中所示区域用极坐标表示为0≤θ≤v，1≤r≤u。因此可知F(u，v)=dxdy=∫0vdθ∫1uf(r2)／rrdr=v∫1uf(r2)dr，根据变限积分求导可得=vf(u2)。知识模块：二重积分 考研数学二（二重积分）模拟试卷11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设D是有界闭区域，下列命题中错误的是 A．若f(x，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有f(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)． B．若f(x，y)在D可积，f(x，y)≥0但不恒等于0((x，y)∈D)，则f(x，y)d σ＞0． C．若f(x，y)在D连续f2(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)． D．若f(x，y)在D连续，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0． 正确答案：B 解析：直接指出其中某命题不正确．因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积，因此命题(B)不正确．设(x0，y0)是D中某点，令f(x，y)=则在区域D上2f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此选(B)．或直接证明其中三个是正确的．命题(A)是正确的．用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证．若f(x，y)在D不恒为零(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨设f(x0，y0)＞0，由连续性有界闭区域D0 D，且当(x，y)∈D0时f(x，y)＞0f(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．因此，f(x，y)≡0 ((x，y)∈D)．命题(D)是正确的．利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证．这是因为f(x，y)≥=f(x0，y0)＞0，其中(x0，y0)是D中某点．于是由二重积分的不等式性质得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面积．命题(C)是正确的．若f(x，y)在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假设f2(x，y)在D连续f2(x，y)dσ＞0与已知条件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此选 B．知识模块：二重积分 2．比较下列积的大小：(Ⅰ)l1=ln3(x+y)dxdy，I0=(x+y)3dxdy，I3=[sin(x+y)]3dxdy，其中D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，则I1，I2，I3之间的大小顺序为 A．I1＜I2＜I3． B．I3＜I2＜I1． C．I1＜I3＜I2． D．I3＜I1＜I2． 正确答案：C 解析：在区域D上，≤x+y≤1．当≤t≤1时，lnt≤sint≤t，从而有(x，y)∈D时，ln3(x+y)sin3(x+y)(x+y)3，则ln3(x+y)dσ＜sin3(x+y)dσ＜(x+y)3dσ．因此选 C．知识模块：二重积分 第九章重积分A 1、填空题 1）交换下列二次积分的积分次序 （1） ______________________________________________ （2） ______________________________________________ （3） _______________________________________________ （4） ___________________________________________ （5） ______________________________________________ （6） ________________________________________ 2）积分 的值等于__________________________________ 3)设 ，试利用二重积分的性质估计 的 值则。 4)设区域 是有 轴、 轴与直线 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 与 的大小________________________________ 5）设 ，则积分 ___________________________________________ 6)已知 是由 所围，按先 后 再 的积分次序将 化为累次积分，则 7）设 是由球面 与锥面 的围面，则三重积分 在球面坐标系下的三次积分表达式为 2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值 1） 2） 3、利用极坐标计算下列各题 1） ，其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域. 2） ，其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域. 3） ，其中 是由圆周 及直线 所围成的在第一象限的闭区域. 4、选用适当的坐标计算下列各题 1) §_9_重积分习题与答案 第九章重积分 A 1、填空题 1）交换下列二次积分的积分次序 （1）()=?? -dx y x f dy y y 102,______ （2）()=??dx y x f dy y y 20 22,________ （3） ()=??dx y x f dy y 1 ,________ （4）()=??---dx y x f dy y y 1 112 2 ,______ （5） ()=?? dy y x f dx e x 1ln 0 ,_______ （6）()()=?? ---dx y x f dy y y 4 42 1 4,_______ 2）积分 dy e dx x y ? -2 2 2 的值等于______ 3)设(){} 10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D +=的 值则 4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2??+=与()σd y x I D 3 +=的大小_________ 5）设() ≤ ≤≤ ≤=20,2 0,ππ y x y x D ，则积分()dxdy y x I D +-=2 sin 1 ___________ 6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 Ω =xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________ =I 7）设Ω是由球面222y x z --= 与锥面22y x z +=的围面，则三重积分 dxdydz z y x f I Ω ++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为 2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值 1） -+a x ax dy y x dx 20 20 222 )( 2）?? +a x dy y x dx 0 22 3、利用极坐标计算下列各题 1）??+D y x d e σ2 2 ，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域. 2） ++D d y x σ)1ln(2 2，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域. （三十二）数学分析试题（二年级第一学期） 一 叙述题（每小题10分，共30分） 1 叙述含参变量反常积分 ⎰ +∞ a dx y x f ),(一致收敛的Cauchy 收敛原理。 2 叙述Green 公式的内容及意义。 3 叙述n 重积分的概念。 二 计算题（每小题10分，共50分） 1．计算积分⎰+-= C y x ydx xdy I 2243，其中C 为椭圆1322 2=+y x ，沿逆时针方向。 2．已知 ),,(y z xz f z -= 其中),(v u f 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z 关于y x ,的二阶偏导数。 3．求椭球体122 2222=++c z b y a x 的体积。 4．若l 为右半单位圆周，求⎰ l ds y ||。 5．计算含参变量积分⎰ +-= π 2)cos 21ln( )(dx a x a a I (1ε， 存在与y 无关的正数0A ， 使得对于任意的0,A A A >'， ],[ ,),(d c y dx y x f A A ∈<⎰ ' ε成立。 2 Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续偏导数，那么 ⎰⎰∂∂∂-∂∂=+D D dxdy x P x Q Qdy Pdx )( ， 第9章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥； (2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体 解答：(1) 222d ,{(,)|}D V x y D x y x y R ==+≤； (2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D V x y x y D x y x y =--=+≤⎰⎰ 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1)，其中D 为222x y a +≤； (2) ，其中D 为222,0x y a b a +≤>> 解答：(1)32 π3D a σ=； (2)232 (ππ3D b a b a σ=-⎰⎰ 所属章节：第九章第一节 难度：一级 3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且 (,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答： 所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答： 所属章节：第九章第一节 难度：一级 5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1)与，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2)与222ln(1)d D I x y σ=++⎰⎰，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； (3)与，其中D 是任一平面有界闭区域； (4)与，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1； 解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2； (2)在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3)由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4) D I D x y x y x y σ ==≤≤≤≤++⎰⎰ ； (2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ⎧ ⎫=+=≤+≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰； (3) 22 1 d ,{(,)|||||1}100cos cos D I D x y x y x y σ==+≤++⎰⎰ ； (4) 2 2 221e d ,(,)4x y D I D x y x y σ+⎧ ⎫==+≤⎨⎬⎩ ⎭⎰⎰ 解答：(1)由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111 ln16ln(4)ln 4 x y ≤≤++，而等号不恒成立，故； (2)由于22π3π(,)44D x y x y ⎧ ⎫=≤+≤⎨⎬⎩ ⎭的面积为212π，在其中，而等号不恒成立，故； (3) 由于{(,)|||||1}D x y x y =+≤的面积为2，在其中22111 102100 100cos cos x y ≤≤ ++，而等号不恒成立，故； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}D x y x y =+≤改为 {(,)|||||10}D x y x y =+≤，则区域面积为200，结论为数学分析21.1二重积分的概念(含习题及参考答案)
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