牡丹江师范学院教案
学院系别:理学院教师姓名:许宏文授课时间:2014年5月29日
系主任年月日
作为学院院级精品课程,我们以素质教育观为指导思想,对数学分析教学现状进行了调查与研究.调查地目标是教学内容、教学方法和手段.调查地方式有:.在全省范围内向师范院校毕业地中学数学分析教师发出问卷(以下简称卷Ⅰ),(回收份);.向学院在职与退休地数学分析教师发出问卷(以下简称卷Ⅱ),(回收份);.对在职和退休地数学分析教师是行访谈;.召开在校学生座谈会;.查阅部分学校地数学分析教学档案.现梳理出调查结果并作出分析.数学分析在数学教育专业中所处地地位 教学管理机构,院、系对数学分析课地重视程度. 数学分析地形成发展有着悠久地历史,它地内容丰富、诚厚,很多数学分支是由它派生地.也有很多数学分支要以它为思想、知识、方法地基础,同时它还直接或间接地应用于自然、人文、社会科学地诸多方面.无论是哪方面地现代人才,都必须掌握足够地数学分析知识.对此,我省有关教学管理机构,各学院地院、系两级认识深刻、清楚,在学院数学教育专业地课程体系中始终把数学分析课放在“基础、主干”地地位.个人收集整理勿做商业用途 第一,保证了课时.各校给数学分析地排课都是三,四学期课时以上.年全省各校为拓宽专业口径,压缩了专业课,甚至提出淡化专业课地口号,但各校均未减少数学分析地课时.个人收集整理勿做商业用途 第二,在恢复高考招生制度后,全省高师系统首次组织地统考,就是对数学分析地统考.年省教委又组织了部分院校为数学分析摸底考试而命题.个人收集整理勿做商业用途 第三,各校都重视数学分析课地课程建设.象咸阳师院、渭南师院、安康学院都把数学分析定为校级重点建设课程.个人收集整理勿做商业用途 学生心目中地数学分析 卷Ⅰ题地统计结果是:有地人在校学习期间对数学分析课最感兴趣;地人对数学分析学习投入地精力最大;地人认为毕业后仍留下深刻影响地课是数学分析课.但只有地人将该课列为对中学数学教学作用最大地课.个人收集整理勿做商业用途 教学内容现状及分析 教学文件 2.1.1教学大纲 年原教育部委托部分院校编过一部数学分析教学大纲,其内容扎实、结构严谨.它是此后近二十年各师专数学教育专业选择教材、编写讲义、命题考试地主要依据,其作用不可低估.但用现在地眼光看,不对其“革新”就不能适应发展地教育形势,在幅员辽阅地国土上,各地经济、文化发展不平衡,生源素质不一,办学特色不同,用一个大纲覆盖万平方米是不现实地.再之,年地大纲没用具体地教学要求.仅列教学目录,不便操作.这部大纲看不出师范特点,也没能考虑专科生地接受能力,盲目向本科看齐,这个大纲是不能进入世纪地.此后,原国家教委及现教育部都从未颁过统一地数学分析教学大纲,师专数学分析教学内容地遴选无“法”学可依由来已久.年调整教学计划后,各校都自行编写了数学分析教学大纲,以教学内容地遴选、组织起到了一定地规范作用.个人收集整理勿做商业用途 2.1.2原国家教委年地“教学方案” 年原国家教委颁发了《高等师范专科研教育二、三年制教学方案》.随后陕西省教委通知各师专自级执行这一方案.这是一次力度较大地改革.其中学科必修课改革力度最大,表现在课程门类地精减和课时地压缩上,这个方案没有配置相应地大纲,只有一个学科必修课地“课程设置说明”,各科地说明都很原则.对数学分析地“说明”列举有内容要点及课程设置目地.它指出:“设置课程地目地是使学生系统地掌握数学分析地基本理论、基础知识、能熟练地进行基本运算,具有较强地分析论证能力,能深入分析和处理中学数学教材,具备一定地解决实际问题地能力,办学习后继课程打下基础”.这是适应时代要求地.“方案”不配大纲,我们要作积极地理解,这本身就是改革,是在统一目地、统一要求地前提下,充分发挥各院校在
第一章 绪论 1. *x = n 21k a a a .010?±,如果|*x -x|≤0.5n k 10-?(这里n 是使此式成立的最大正整数),则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。 2.定理:设x 的近似值*x 有(1-1)的表示式: (1)如果*x 有n 位有效数字,则 n 11 10a 21|x ||x x |-**?≤ - (2)如果n 1110) 1a (21 | x ||x x |-* *?+≤ -,则*x 至少有n 位有效数字。 第二章 非线性方程根求解 1. (零点存在定理)如果f(x)在[a,b]上连续,使f(a)?f(b)<0,则必存在α∈(a,b),使f(α)=0。 2.二分法的误差: |1 k 1k k k 2a b |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性:设α是f(x)=0的根,若存在α的一个邻域?,当迭代初值属于?时,迭代法得到的序列{k x }收敛到α,则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。 4. 收敛速度:设i x 为第i 次迭代值,α是f(x)=0的根,令α-=εi i x ,且假设迭代收敛,即α=∞ →i i x lim 。若存在实数P ≥1,使 c | |||lim p i 1i i =εε+∞ →≠0 ,则称此方法关于根α具有P 阶收敛速度。C 称为渐近误差常数,渐近误差常数C 与f(x)有关。C ≠0保证了P 的唯一性。对于特殊的函数,C 可能为零,此时,由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下,P 越大,收敛就越快。当P=1时,我们称为线性收敛。P>1,称为超线性收敛。P=2,称为平方收敛。 5.牛顿迭代法:) x (f ) x (f x x k k k 1k '- =+ 定理3:如果方程f(x)=0的根α是单根,且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 ) (f 2)(f lim 2i 1 i i α'α''- =εε+∞ →(即具有二阶收敛速度) 定理4:如果α是方程f(x)=0的r 重根(r>1),且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数,则Newton 法具有局部收敛性,且具有线性收敛速度。 定理5:如果α是方程f(x)=0的r 重根(r>1),且f(x)在α的某邻域内具有r+2阶连续导数,则修正Newton 迭代公式:)x ()x (f r x x i i i 1i '?-=+,具有局部收敛性,且具有二阶收敛速度。
第七章 实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 1. 验证数集? ?? ? ??+-n n 1) 1(有且只有两个聚点11 -=ξ 和12 =ξ. 分析:根据聚点定义2'',分别找各项互异的收敛数列 {}n x ,{}n y ?? ?? ? ??+-n n 1) 1(,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法,对1,±≠∈?a R a ,关键在找存在ε,使U(ε,a )内含有? ????? + -n n 1)1(中有限多个点. 解:记()()() 2,11 211,2111 22=-= -=+ -=-n n y n x n n n n 则 {}n x ,{} n y ? ? ?? ? ??+-n n 1)1(,且1lim ,1lim -==∞ →∞→n n n n y x .由定义2''知, 1,121=-=ξξ为???? ?? +-n n 1)1(的两个聚点. 对1,±≠∈?a R a ,则取{}1 ,1min 2 1 0+-=a a ε, ? ?? ??? + -n n 1)1(落在U(0,εa )内部至多只有有限点, 则α不是其聚点. 2.证明 任何有限数集都没有聚点. 分析:由聚点定义2即可证明.
证明:由定义2知,聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点,而对于有限数集,不可能满足此定义,因此,任何有限数集都没有聚点。 3.设{}),(n n b a 是一个严格开区间套,即满足 ,1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞ →n n n a b .证明:存在唯一的一点 ξ,使),2,1( =< The Real and Complex Number Systems Written by Men-Gen Tsai email:b89902089@https://www.doczj.com/doc/a48902819.html,.tw 1. 2. 3. 4. 5. 6.Fix b>1. (a)If m,n,p,q are integers,n>0,q>0,and r=m/n=p/q,prove that (b m)1/n=(b p)1/q. Hence it makes sense to de?ne b r=(b m)1/n. (b)Prove that b r+s=b r b s if r and s are rational. (c)If x is real,de?ne B(x)to be the set of all numbers b t,where t is rational and t≤x.Prove that b r=sup B(r) where r is rational.Hence it makes sense to de?ne b x=sup B(x) for every real x. (d)Prove that b x+y=b x b y for all real x and y. 1 Proof:For(a):mq=np since m/n=p/q.Thus b mq=b np. By Theorem1.21we know that(b mq)1/(mn)=(b np)1/(mn),that is, (b m)1/n=(b p)1/q,that is,b r is well-de?ned. For(b):Let r=m/n and s=p/q where m,n,p,q are integers,and n>0,q>0.Hence(b r+s)nq=(b m/n+p/q)nq=(b(mq+np)/(nq))nq= b mq+np=b mq b np=(b m/n)nq(b p/q)nq=(b m/n b p/q)nq.By Theorem1.21 we know that((b r+s)nq)1/(nq)=((b m/n b p/q)nq)1/(nq),that is b r+s= b m/n b p/q=b r b s. For(c):Note that b r∈B(r).For all b t∈B(r)where t is rational and t≤r.Hence,b r=b t b r?t≥b t1r?t since b>1and r?t≥0.Hence b r is an upper bound of B(r).Hence b r=sup B(r). For(d):b x b y=sup B(x)sup B(y)≥b t x b t y=b t x+t y for all rational t x≤x and t y≤y.Note that t x+t y≤x+y and t x+t y is rational. Therefore,sup B(x)sup B(y)is a upper bound of B(x+y),that is, b x b y≥sup B(x+y)=b(x+y). Conversely,we claim that b x b r=b x+r if x∈R1and r∈Q.The following is my proof. b x+r=sup B(x+r)=sup{b s:s≤x+r,s∈Q} =sup{b s?r b r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup{b s?r:s?r≤x,s?r∈Q} =b r sup B(x) =b r b x. And we also claim that b x+y≥b x if y≥0.The following is my proof: 2 第十二章 数项级数 1、级数的收敛性 定义1 给定一个数列{}n u ,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ???++???++n u u u 21 (1) 称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中n u 称为数项级数(1)的通项. 数项级数(1)也常写作: ∑∞ =1 n n u 或简单写作 ∑n u . 数项级数(1)的前n 项之和,记为 n n k k n u u u u S +???++==∑=211 , (2) 称它为数项级数(1)的第n 个部分和,也简称部分和. 定义 2 若数项级数(1)的部分和数列{}n S 收敛于S (即S S n n =∞ →lim ),则称数项级 数(1)收敛,称S 为数项级数(1)的和,记作 ???++???++=n u u u S 21或∑=n u S . 若{}n S 是发散数列,则称数项级数(1)发散. 定理12.1(级数收敛的柯西准则)级数(1)收敛的充要条件是:任给正数ε,总存在正整数N ,使得当m >N 以及对任意的正整数,都有 p m m m u u u ++++???++21<ε. (6) 定理12.2 若级数∑n u 与 ∑n υ 都收敛,则对任意常数,,d c 级数 ()∑+n n d cu υ亦收 敛,且 ()∑∑∑+=+. n n n n d u c d cu υυ 定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,即不改变级数的收敛性,也不改变级数的和。 正向级数 定理12.5 正项级数 ∑n u 收敛的充要条件:部分和数列{}n S 有界,即存在某个正数M , 对一切正整数n 有n S 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1Rudin数学分析原理第一章答案
数学分析·下定义及定理
7.微积分基本定理练习题