第五章 二 重 积 分
1.定义:∑⎰⎰=→∆=n
k k k k D
f y x f 10
d ),(lim d ),(σηξσ
2.几何意义:
3.性质:
1) 比较定理: 若),(),(y x g y x f ≤,则⎰⎰⎰⎰≤D
D
y x g y x f .d ),(d ),(σσ
2) 估值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则.d ),(MS y x f mS D
⎰⎰≤≤σ
3) 中值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则S f y x f D
),(d ),(ηξσ⎰⎰=.
4.计算
1) 直角坐标: 2) 极坐标:
i) 适合用极坐标计算的被积函数:);(),(),(22y
x
f x y f y x f +
ii)适合用极坐标的积分域:
3) 利用奇偶性.
①若积分域D 关于y 轴对称,则:
⎰⎰
⎰⎰⎪⎩
⎪⎨⎧=≥D
D x x y x f y x f y x f d y x f x .
),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σ
σ
②若积分域关于x 轴对称,则
⎰⎰
⎰⎰⎪⎩
⎪⎨⎧=≥D
D y y y x f y x f y x f d y x f y .
),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ
4) 利用对称性:
若D 关于x y =对称,则`.d ),(d ),(⎰⎰⎰⎰=D
D
x y f y x f σσ
特别的： ⎰⎰⎰⎰=D
D
d y f d x f σσ)()(
题型一 计算二重积分
例5.1计算⎰⎰+D
x ye x σd )|(|2
，其中D 由曲线1||||=+y x 所围成.
解 由奇偶性知
原式=⎰⎰⎰⎰=1
4D D
xd d x σσ （其中1D 为D 在第一象限的部分）
.3
2410
10
==⎰⎰
-x xdy dx
例5.2设区域D 为2
2
2
R y x ≤+,则⎰⎰+D b y a x σd )(22
22=
.
解法1
)1
1(4)sin cos ()(22432002222
2222b a R d b a d d b y a x R D
+=+=+⎰⎰⎰⎰πρρθθθσπ. 解法2 由于积分域222:R y x D ≤+关于直线x y =对称，则
σσd b x a
y d b y a x D D ⎰⎰⎰⎰+=+)()(22
222222. 从而有 21
)(2222=+⎰⎰σd b y a
x D [左端 + 右端] σd y x b a D ⎰⎰++=)()11(212222
)11(4)11(212220043
22b
a R d d
b a R +=
+=⎰⎰ππρρθ 例 5.3设区域{}
0,0,4|),(22≥≥≤+y x y x y x D ,)(x f 为D 上正值连续函数,b a ,为常数,则⎰⎰
=
++D
y f x f y f b x f a σd )
()()
()(.
A)πab , B)
π2ab , C)π)(b a +, D)π2
b a +. 解法1直接法 由于积分域D 关于直线x y =对称，则
⎰⎰
⎰⎰
+
+=+
+D
D
d x f y f x f b y f a d y f x f y f b x f a σσ)
()()()()
()()()(.
原式])()()()()()()
()([21⎰⎰
⎰⎰+++++=D D
d x f y f x f b y f a d y f y f y f b x f a σσ πσ2)(21b
a d
b a D
+=+=
⎰⎰.
故应选（D ）. 解法2 排除法
取,1)(≡x f 显然符合题设条件，而
⎰⎰
+
+D
y f x f y f b x f a σd )
()()()(πσ2)(21b
a d
b a D
+=+=
⎰⎰. 显然（A ），（B ），（C ）均不正确，故应选（D ）。
例 5.4 计算⎰⎰++D
y x yf x σd )](1[22,其中D 是由1,1,3-===x y x y 围成的区
域,)(u f 为连续函数. 解
d x d y y x xyf xdxdy dxdy y x yf x D
D
D
⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++)()](1[2
222. 而
0)(2
2=+⎰⎰dxdy y x xyf D
， （利用奇偶性） ⎰⎰⎰⎰--==D
x xdy dx xdxdy 1113
52
， 则 原式.5
2
-=
例5.5 计算⎰⎰
D
y
y
σd sin ,其中D 由x y =和x y =围成. 解
⎰⎰⎰⎰⎰-=-==D
y y dy y y y dx y y dy dxdy y y
101021sin 1]sin [sin sin sin 例5.6计算d x d y y x D
⎰⎰+22,其中D 由曲线)0(222>=+a ay y x 所围成.
解 ⎰⎰⎰
⎰⎰==+ππθ
θρρθ0
3
sin 20
32
2
2sin 38d a d d dxdy y x a D
30339
32)cos 3cos (38a a =-=π
θθ. 例5.7计算⎰⎰+D
y x σd )(,其中D 由y x y x +≤+22所确定.
解法1 圆y x y x +=+22在极坐标下方程为θθ
ρs i n c o s +=，则 ⎰⎰
⎰⎰-++=+4
34
2sin cos 0
)sin (cos )(π
πθ
θρρθθθσd d d y x D
⎰-+=4
344)sin (cos 31π
πθθθd
⎰-+=4344)4
(sin 34π
πθπ
θd
⎰=+
ππ
θ04
sin 3
44
tdt t
2
2214338sin 38204π
ππ
=⋅⋅⋅==⎰tdt .
解法2 令⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=-,sin 21,cos 2
1θρθρy x 此时θρρσd d d =，则
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰=
⋅==++=+π
π
π
πρρθρρθρθρθσ20
20
210
210
2
4
1
2)1sin cos ()(d d d d d y x D
.
注意：⎰⎰==π
πθθθθ20
20
0sin cos d d .
解法3 由于⎰⎰⎰⎰+-+-=+D D
d y x d y x σσ]1)21
()21[()(
而
⎰⎰⎰⎰=-=-D D
d y d x 0)21
()21(σσ （利用奇偶性） 则
⎰⎰⎰⎰=
=+D
D
d d y x 2
)(π
σσ （积分域面积）.
解法4 由对称性知
S x xd d y x D
D
⎰⎰⎰⎰==+22)(σσ，
其中x 为积分域D 的形心的x 坐标，应为2
1
=x ，S 为积分域D 的面积，应为2
π
=
S ，则
2
)(π
σ=
+⎰⎰d y x D
.
例 5.8计算⎰⎰D
y x y d d ,其中D 是由2,0,2==-=y y x ,以及曲线22y y x --=
所围成.
解法1 在直角坐标下化为累次积分计算
dy y y y ydy dy y y y ydx dy ydxdy D
y y ⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰-----=--==2
22
2
20
2
22
222]22[
dy y y ⎰---=2
2)1(14 （令t y s i n
1=-） ⎰--
=+-=22
22
4c o s )s i n 1(4π
ππ
t d t t .
于是
⎰⎰-
=D
yd 2
4π
σ.
事实上，计算dy y y ⎰--2
2)1(1还有一种巧妙的方法：
dy y dy y y dy y y ⎰⎰⎰
--+---=--2
22
2
2
2
)1(1)1(1)1()1(1，
0)1(1)
1(2
2=---⎰dy y y .
而dy y ⎰--2
2)1(1应等于半圆的面积
2
π
，故 2
)1(120
2π
=
--⎰
dy y .
解法2
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰-=-θπ
πρθρθσsin 20
22
20
2
sin d d ydy dx yd D
⎰⎰-=-=πππ
θθθθ220
44sin 38
4sin 384d d
2
422143384π
π-=⋅⋅⋅-=.
解法3 由于积分域D 关于直线1=y 上下对称，则
⎰⎰=-D
d y 0)1(σ.
故
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-
==+-=D
D
D
d d y yd 2
4]1)1[(π
σσσ.
解法4 由形心计算公式知S y yd D
⎰⎰=σ. 由于积分域D 关于1=y 对称，则
1=y ，而2
4π
-
=S ，故 ⎰⎰-
=D
yd 2
4π
σ.
例5.9设二元函数
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+<+≤+=,
2|||x | 1 ,1
, 1|||x | , ),(222y y x y x y x f 计算二重积分⎰⎰D
y x f σd ),(，其中}.2|||||),{(≤+=y x y x D
解 原式=⎰
⎰⎰
⎰++-+θ
θθ
θπ
ρθcos sin 2cos sin 120
10
2
10
44d d dy x dx x
⎰++=20cos sin 43
1π
θθθd
=+
+=⎰
2
)
4
sin(2
4
31π
π
θθd )12ln(243
1
++ 例5.10 计算⎰⎰D y σd 2,其中D 由)20()cos 1()
sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与0=y 围成.
解 ⎰⎰⎰
⎰
⎰=
=D
a
x y a dx x y dy y dx d y ππσ20
)
(0
203
22)(3
1 ⎰--=
π203
3)cos 1()cos 1(3
1dt t a t a ⎰
⎰
==
π
π0
8420
84
sin 3
322
2
sin 3
16udu a u
t dt
t a 令
4
420
8
4
12
35221436587364sin 3
64a a udu a πππ
=⋅⋅⋅⋅⋅==
⎰
.
例5.11 设D 是全,⎩⎨⎧≤≤-=，x x x f 其它,02
1,)(计算⎰⎰-D
y x f x f σd )()(2.
解 原式=4
9)(12
22
122=
-⎰
⎰+--dy y x x dx x x
例5.12计算⎰⎰-+D
y y x σd 222,其中D 由422≤+y x 所确定.
解 ⎰⎰-+D
d y y x σ222
σσd y y x d y x y D D ⎰⎰⎰⎰-++--=2
1
)2()2(2222
])2()2([)2(1
1
222222σσσd y y x d y y x d y x y D D
D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=
σ
σd y x y d y y x D D
⎰⎰⎰⎰--+-+=1
)2(2)2(2222
⎰⎰⎰⎰
=-+=ππθ
πρρρθρθρρθ20
20
sin 20
239)sin 2(2d d d d .
例5.13计算⎰⎰+-D
y x
e y x σd },min{)
(22
,其中D 为全平面.
解
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+-+=1
2
22
22
22
)
()
()
(},min{D D y x
y x
y x
D
d y
e d xe d e y x σσσ
⎰⎰∞+∞
-∞
---⋅=y
y x dx e xe dy 2
2
2
dy e y ⎰+∞
∞
---=2
2
22
12
122
π
π-=-
=-
=⎰
∞+∞
--dt e t
y t .
注：⎰
∞+∞
--=πdt e t 2
，这是概率论中一个常用结论.
例5.14设)(x f 在区间]1,0[上连续,且⎰=1
d )(A x x f ,求⎰⎰1
1
.d )()(d x
y y f x f x 解 由对称性知
⎰
⎰1
1
d )()(d x
y y f x f x ⎰⎰≤≤≤≤=
1
01
0)()(21
y x dxdy y f x f .2
)()(212
1010A dy y f dx x f =
=⎰⎰ 题型二 累次积分交换次序及计算
例5.16 交换下列累次积分次序
1) ⎰
⎰-=221
0;d ),(d y y x y x f y I
2) ⎰
⎰⎰
⎰--+=x x x y y x f x y y x f x I 20
21
20
1
;d ),(d d ),(d 2
3) ⎰⎰=20
2;d ),(d x
x
y y x f x I
解 （1） ⎰⎰
⎰
⎰
-+=1
2
1
20
2
2),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx I .
（2） ⎰⎰
---=10
2112
),(y
y dx y x f dy I .
（3） ⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
--=10
2
1
42
2),(),(),(y y
y y
y
dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy I .
例5.17 交换累次积分⎰⎰
-=24
cos 20
d )sin ,cos (d π
πθρρθρθρθa f I 的次序)0(>a .
解 θρc o s 2a =是圆ax y x 222=+，则
θρθρθρρθρθρθρρρ
π
ρ
ρ
d f d d f d I a
a
a a
a
a
⎰
⎰
⎰
⎰
-
-+=20
2arccos 4
222arccos
2arccos
)sin ,cos ()sin ,cos (
例5.18累次积分⎰⎰
2
cos 0
d )sin ,cos (d π
θρρθρθρθf 可写成
A) ⎰
⎰-20
1
,),(d y y dx y x f y B) ⎰
⎰-210
1
0,),(d y dx y x f y C) ⎰⎰1
10
,d ),(d y y x f x D) ⎰⎰-2
1
0.d ),(d x x y y x f x
例5.19计算下列累次积分
1）;d d 2
2
2
y e x x
y ⎰⎰-
2）;d 2sin
d d 2sin
d 2
42
21
⎰⎰⎰⎰+x
x
x
y y
x
x y y
x
y ππ
3）)0(;d )
(41d 222
2
2
>+-⎰
⎰-+--a y y x a x x a a x
a
；
解 1）交换积分次序得
⎰⎰⎰⎰⎰
---==2
20
2
2
2
2
2
x
y
y y y dy ye dx e dy dy e dx
)1(2
1
2
1420
2---=
-=e e y
. 2）交换积分次序得
⎰
⎰
⎰⎰+
=
-
=-
==2
1
3
2
1
2
2
2
1
8
4
2
sin
4
2
cos
2
2sin
2
π
π
ππ
πππy
yd dy y
y dx y
x
dy y y
原式.
3）将原累次积分化为极坐标下先ρ后θ的累次积分得
a d a d a 2
2
2404
sin 20
2
2
-=
-=⎰⎰
--πρρ
ρ
θπθ原式
例5.20设)(x f 为连续. 证明: ⎰⎰⎰
--=-D
A A
dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(
2
|| ,2|| :A y A x D ≤≤
证 ⎰⎰⎰
⎰
---=-D
A
A A A dy y x f dx dxdy y x f 22
22
)()(
⎰
⎰
+
--=-2222
)()(A x A x A A du u f dy y x f （令u y x =-）
⎰⎰⎰
⎰
-+
-=-D
A A A x A x du u f dx dxdy y x f 22
22)()( （交换积分次序）
⎰
⎰⎰
⎰-
+--+=2
2
2
2
0)()(A A u A
A u A A
dx u f du dx u f du
du u A u f A A
))((⎰
--=
题型三 与二重积分有关的综合题：
例5.21设)(x f 为连续函数，⎰⎰=t
y
t
dx x f dy t F )()(1
，则)2(F '等于
A ）)2(2f
B ）)2(f
C ）)2(f -
D ）0 解法1 交换积分次序得
⎰⎰⎰-==t x t
dx x f x dy x f dx t F 1
1
1
)()1()()(.
则 )()1()(t f t t F -='，则)2()2(f F =' 故应选（B ）.
解法2 排除法 1)(=t f
例5.22设区域D 由y y x ≤+22和0≥x 所确定，),(y x f 为D 上的连续函数，且⎰⎰-
--=D
v u v u f y x y x f .d d ),(8
1),(22π
求),(y x f .
解法1 令A dudv v u f D
=⎰⎰),(， ①
则 A y x y x f π
8
1),(22---=.
将A y x y x f π
8
1),(22-
--=代入①式得
⎰⎰=---D
A dxdy A y x ]8
1[2
2π
，
即
⎰⎰
=---D
A A dxdy y x 221，
于是 )3
22(61121121s i n 02202
2-=-=--=⎰⎰⎰⎰πρρρθθπ
d d dxdy y x A D .
故 )3
22(341),(22----=ππy x y x f . 解法2 等式dudv v u f y x y x f D
⎰⎰---=),(8
1),(22π
两端在区域D 上作二重积分得
dudv v u f dxdy y x dxdy y x f D
D
D
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
---=),(1),(22.
则
)322(61121),(2
2-=--=
⎰⎰⎰⎰
πdxdy y x dxdy y x f D
D
. （解法一中已算过） 故 )3
2
2(341),(22--
--=ππy x y x f . 例5.23设)(t f 在),0[+∞上连续,且满足⎰⎰
≤+++
=2
22
2
422
4d d )2
1(
)(t y x t y x y x f e t f π,求)(t f . 解 显然1)0(=f ，且
⎰⎰
⎰⎰⎰≤+==+2
22
420202022)2
1
(2)21()21(
t y x t t d f d f d dxdy y x f πρρρπρρρθ，
则 ρρρππd f e t f t t ⎰+=204)2
1
(2)(2.
)(88)(2
4t tf te t f t πππ+='
2
2
42848)4(]8[)(t tdt t tdt e C t C dt e te e t f ππππππ+=+=⎰⎰-⎰.
由1)0(=f 得1=C ，因此2
42)14()(t e t t f ππ+=.
例5.24设),(y x f 是定义在10,10≤≤≤≤y x 上的连续函数,1)0,0(-=f ,求极限
3
21d ),(d lim
0x x t x
x e
u
u t f t -→-⎰⎰
+
.
解法1 交换积分次序得
)~1(),(lim 1),(lim
33
03
23
2x e x dt
u t f du e du
u t f dt x x
u x x
x t x
x -→-→--=-⎰⎰
⎰⎰
+
+
2
03),(lim
2
x
dt x t f x x ⎰+
→-= （应用罗必达法则）
2203),(lim x x c f x x +
→-= （20x c ≤≤，这里应用了积分中值定理） 3
1)0,0(31=-
=f . 解法2 由以上分析知
⎰
⎰⎰⎰
-=-=2
),(),(),(x D
t x
S f dtdu u t f du u t f dt ηξ，
其中S D ,),(∈ηξ为D 的面积.
而 ⎰⎰⎰=
-==2
2
03
031)(x x x
t x dt t x du dt S ,
故 313)0,0(31),(l i m 1),(l i m 33
0003
2=-=⋅-=-++→-→⎰⎰f x x f e du u t f dt x x
x t x x ηξ 例5.25 设),(y x f 在单位圆122≤+y x 上有连续一阶偏导数,且在边界上取值为零,证明:=)0,0(f y x y
x yf xf D y x d d 21lim 220
⎰⎰++-+
→πε其中D 为圆环域≤+≤2
22y x ε 1. 证 从积分域和被积函数不难看出，应在极坐标下将本题中的重积分化为累次积分.
⎰
⎰⎰⎰
+=++π
ε
ρθρθρθθρθρθθ20
1
2
2)]sin ,cos (sin )sin ,cos ([cos d f f d dxdy y x yf xf y x D
y x
θθεθεθθρθρπ
π
εd f d f ⎰
⎰-==20
20
1
)sin ,cos (])sin ,cos ([
]2,0[),sin ,cos (2πθθεθεπ∈-=f 则 )0,0()s i n ,c o s (lim 22lim 02
20
f f dxdy y x yf xf D
y
x ==++-++
→→⎰⎰θεθεπεε 题型四 与二重积分有关的积分不等式问题
例5.26设,d )(,d ||2,d )(1
||||2
231
||||212
2122⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
≤+≤+≤++=
=+=
y x y x y x y x I xy I y x I σσσ则 A) 321I I I <<; B) 132I I I <<; D) 213I I I <<; D) ;123I I I <<
解 先比较1I 和3I 的大小，由于1I 和3I 被积函数相同且非负，而1I 的积分域包含了3I 的积分域，则1I >3I .
再比较2I 和3I ，2I 和3I 积分域相同，但xy y x 222≥+，则3I >2I . 从而有 1I >3I >2I . 故应选（B ）. 例5.27设⎰⎰
≤++=
13
22)(y x d y x M σ，⎰⎰
≤++=1
2
22)(y x d y x N σ， σd e
P y x y x ⎰⎰≤+---=
1
222
2)1(，则必有（ ）.
（A ）P N M >> （B ）P M N >> （C ）N P M >> （D ）M P N >> 解 选（B ）
例5.28设)(x f 在],[b a 上连续,且0)(>x f ,证明:
⎰
⎰
-≥b a
b a
a b x x f x x f 2)(d )
(1
d )(. 证明 若记},),{(b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，则
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰=⋅=⋅b a
b a
b a b a D
dxdy y f x f dy y f dx x f dx x f dx x f )()()(1)()(1)(
由于积分域D 关于x y =对称，则
])()()()([21)(1)(⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰+=⋅b a
b a
D
D dxdy x f y f dxdy y f x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥+=+=D D D dxdy dxdy y f x f y f x f dxdy y f x f y f x f 1)()(2)
()()()()()(212222
2)(a b -=.
例5.29设)(x f 在]1,0[上单调减的正值函数,证明:
⎰
⎰⎰
⎰
≤
1
1
21
1
2d )(d )(d )(d )(x
x f x x f x
x xf x
x xf
证 若记}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，则
⎰⎰⎰⎰-=10
10
10
1
22)()()()(dx x f dx x xf dx x xf dx x f I
⎰⎰⎰⎰⋅-⋅=1
10
1
1
2
2
)()()()(dy y f dx x xf dy y yf dx x f
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=D
D
D
dxdy x y y f x f dxdy y f x xf dxdy y f x yf ))(()()()()()(222.
由于D 关于x y =对称，则
⎰⎰⎰⎰-=-=D
D
dxdy y x x f y f dxdy x y y f x f I ))(()())(()(22，
]))(()())(()([21
22⎰⎰⎰⎰-+-=D
D
dxdy y x x f y f dxdy x y y f x f I
dxdy y f x f x y y f x f D
⎰⎰--=
)]()()[)(()(21
. 由于)(x f 单调减且大于零，则0)]()()[)(()(≥--y f x f x y y f x f ，故0≥I . 原题得证.
第五章 二 重 积 分 1.定义:∑⎰⎰=→∆=n k k k k D f y x f 10 d ),(lim d ),(σηξσ 2.几何意义: 3.性质: 1) 比较定理: 若),(),(y x g y x f ≤,则⎰⎰⎰⎰≤D D y x g y x f .d ),(d ),(σσ 2) 估值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则.d ),(MS y x f mS D ⎰⎰≤≤σ 3) 中值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则S f y x f D ),(d ),(ηξσ⎰⎰=. 4.计算 1) 直角坐标: 2) 极坐标: i) 适合用极坐标计算的被积函数:);(),(),(22y x f x y f y x f + ii)适合用极坐标的积分域: 3) 利用奇偶性. ①若积分域D 关于y 轴对称,则: ⎰⎰ ⎰⎰⎪⎩ ⎪⎨⎧=≥D D x x y x f y x f y x f d y x f x . ),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σ σ ②若积分域关于x 轴对称,则 ⎰⎰ ⎰⎰⎪⎩ ⎪⎨⎧=≥D D y y y x f y x f y x f d y x f y . ),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ 4) 利用对称性: 若D 关于x y =对称,则`.d ),(d ),(⎰⎰⎰⎰=D D x y f y x f σσ 特别的： ⎰⎰⎰⎰=D D d y f d x f σσ)()( 题型一 计算二重积分
例5.1计算⎰⎰+D x ye x σd )|(|2 ，其中D 由曲线1||||=+y x 所围成. 解 由奇偶性知 原式=⎰⎰⎰⎰=1 4D D xd d x σσ （其中1D 为D 在第一象限的部分） .3 2410 10 ==⎰⎰ -x xdy dx 例5.2设区域D 为2 2 2 R y x ≤+,则⎰⎰+D b y a x σd )(22 22= . 解法1 )1 1(4)sin cos ()(22432002222 2222b a R d b a d d b y a x R D +=+=+⎰⎰⎰⎰πρρθθθσπ. 解法2 由于积分域222:R y x D ≤+关于直线x y =对称，则 σσd b x a y d b y a x D D ⎰⎰⎰⎰+=+)()(22 222222. 从而有 21 )(2222=+⎰⎰σd b y a x D [左端 + 右端] σd y x b a D ⎰⎰++=)()11(212222 )11(4)11(212220043 22b a R d d b a R += +=⎰⎰ππρρθ 例 5.3设区域{} 0,0,4|),(22≥≥≤+y x y x y x D ,)(x f 为D 上正值连续函数,b a ,为常数,则⎰⎰ = ++D y f x f y f b x f a σd ) ()() ()(. A)πab , B) π2ab , C)π)(b a +, D)π2 b a +. 解法1直接法 由于积分域D 关于直线x y =对称，则 ⎰⎰ ⎰⎰ + +=+ +D D d x f y f x f b y f a d y f x f y f b x f a σσ) ()()()() ()()()(. 原式])()()()()()() ()([21⎰⎰ ⎰⎰+++++=D D d x f y f x f b y f a d y f y f y f b x f a σσ πσ2)(21b a d b a D +=+= ⎰⎰.
第 函数 极限 连续 第一节 函 数 1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性 定义：单调增： ).()(2121x f x f x x '单调增； 2)奇偶性 定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义： (2）设)(x f 可导，则： a))(x f 是奇函数? )(x f '是偶函数； b))(x f 是偶函数? )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数； 连续的偶函数其原函数之一是奇函数。 3)周期性 定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义； (2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性
定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈?>?则称)(x f 在I 上有界。 判定：（1）定义： （2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ?在],[b a 上有界； （3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ?在 ）（b a ,上有界； （4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ?在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本初等函数与初等函数 基本初等函数: 常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形. 初等函数: 由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数. 题型一 复合函数 例1．1已知)1(+x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[--a (B) ]1,1[+a (C) ]1,[+a a (D) ],1[a a - 解 应选 (B) 例1．2已知,1)]([,)(2 x x f e x f x -==?且,0)(≥x ?求)(x ?及其定义域。 解 由2 )(x e x f =，,1)]([x x f -=?知 x e x -=1) (2? )0() 1ln()(2≤-=x x x ? )0()1ln()(≤-=x x x ? 例1．3 设???≥<=0,10,0)(x x x f , ???≤-<-=||1,2||1||,2)(2x x x x x g 试求)]([)],([x f g x g f .
2008年考研数学高数点评 ——刘德荫（北京新东方学校） 2008年考研数学其中高等数学部分在全试卷中所占比例分析如下： 数学（一）、（三）、（四）客观性试题8个，满分32分，主观性试题5个，满分50分，一共82分，占54.7%，考纲规定约占56%。 数学（二），客观性试题11个，满分44分，主观性试题7个，满分72分，一共116分，占77.3%，考纲规定约占78%。 农学门类 客观性试题8个，满分32分，主观性试题5个，满分52分，一共84分，占56%，考纲规定约占56%。 通过上述统计可知2008年考研数学高等数学在全卷中的比例符合考试大纲规定的比例。 2008年考研数学高等数学部分，在考查基本概念，基本方法和基本原理为主，例如数学（一）第（4）题，数学（二）第（5）题，考查单调有界数列收敛准则，数学（一）第（9）题，考查最简单的可分离变量的一阶微分方程，可以说是送分题。数学（一）第（10）题，数学（二）第（11）题，农学门类第（11）题，考查曲线在某定点的切线方程。在往年考研数学试题中很少见到的就是考高等数学教材中定理的证明，例如数学（一）第（18）（I ）题数学（二）第（20）（I ）题，有是题目是考查考生综合运用所学知识解决实际问题的能力，例如数学（三）第（19）题，总之08年考研高数试题难易适中，无偏题、怪题，完全符合考试大纲要求。 下面对具体考题作一些分析 一、 数学（一）、（二）第（15）题 4 sin sin sin sin lim x x x)](x-[x → 略解：原式＝ 3 00) sin(sin sin sin lim lim x x x x x x x -→→ ＝1 61 3)cos(sin cos 3 lim =-→x cox x x x 点评：本小题主要考查，利用洛必达法则示“ 60”型权限以及重要权限1sin lim =→x x x 等知识。 类似题：《新东方考研数学高等数学讲义（强化班）》（以下简称《讲义》）P6第38题： 例38. 222 01cos lim()sin x x x x →-
报告人：清华大学数学科学系刘坤林 一．关于新大纲 2009 考研数学改为三个试卷：数一数二维持不变，数三、 数四改变为新数三： 教育部决定从2009年起，将原数学三、数学四进行整合，整合后称为 “数学三”。原使用数学三或数学四的招生专业从2009年开始使用新的“数学三”。 “数学三”的考试内容和考试要求调整如下： 1.新“数学三”的考试内容为微积分、线性代数、概率论与数理统计，其 分数比例依次约为56%、22%和22% 。 2.新“数学三”较原数学四的变化有： （1）增加了无穷级数的相关内容； （2）增加了线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶微分方程及差分方程的相关内容； （3）增加了数理统计的基本概念、点估计的概念、矩估计法及最大似然估计的相关内容。 3.新“数学三”较原数学三的变化有: (1)降低了无穷级数中部分考试内容的考试要求； (2)降低了常微分方程与差分方程中二阶微分方程、差分方程的考试要求； (3)降低了概率论中切比雪夫不等式的考试要求； (4)降低了数理统计的基本概念中部分考试内容的考试要求； (5)降低了参数估计中点估计等概念的考试要求； (6)删除了参数估计中估计量的评选标准和区间估计的考试内容； (7)删除了假设检验的全部考试内容。 4. 新“数学三”的参考试题根据考试内容和考试要求的变化做了相应调整。二．考研数学要走对路找对点 1．试题基本特点 07-09年考题以基本的概念、理论和技巧为主, 注意考察基础知识 的理解与简单综合运用。各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大 纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何 经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说 是理工类数学的能力。这是对2010年考生的重要参考。09年考题凸现 注重考察对基本概念与基本知识点理解的准确性，基础知识的理解与简 单综合运用，以及基本计算能力。各套试题共用题目比例有较大幅度提 高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年 并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学， 确切说是理工类数学的能力。这是对09年考生的重要参考。 2009年考研数学试题，与2005-08年相比，难度有降低。这也是 水木艾迪老师所预测的结果。三份考研数学试卷的设计，突出了 对三个数学学科基本知识点理解的准确性与全面性的考察，以及 对数学基本计算与分析能力的考察，知识覆盖面合理，题意明确， 叙述准确，档次明显，适于选拔考试。三个试卷考试题目非常基本，
一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-多元函数积分学知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 多元函数积分学 综述：多元函数积分学是对一元函数的不定积分与定积分相关知识的推广，主要涉及重积分和曲线、曲面积分的计算与应用.本章在考研数学数学一的考试中所占的比重非常大，一般来说，每次考试平均会出两道大题、一道小题，所占分值在24分左右. 本章的主要知识点有：各种积分（二重积分、三重积分，对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分）的定义与性质，各种积分的基本计算方法，联系各种积分的公式（格林公式，高斯公式，斯托克斯公式），以及场论的一些初级的知识.考生复习的时候要注意： 1.定积分是所有积分的基础，计算其它积分本质上也是在计算定积分，而所有积分定义本质上也都是和定积分一致的. 2.具体地来说，计算二重积分等价于计算两次定积分，计算三重积分等价于计算三次定积分.对于重积分，考生主要要掌握各种坐标的定限方法和适用范围. 3.而对弧长和对坐标的曲线积分的计算本质上也都是定积分的计算.其中，考试对对弧长的曲线积分要求较低，只需掌握计算公式即可.而对对坐标的曲线积分，除了要掌握计算公式，还需要理解它和对弧长的曲线积分之间的关系，更重要的还需要掌握格林公式以及由它所引申出的积分与路径无关的条件以及二元函数的全微分等知识点.这是本章的第一个重点. 4.然后，对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分的计算本质上是二重积分的计算.其中考试对对面积的曲面积分要求较低，掌握计算公式即可.对坐标的曲面积分这一块考点较多：首先要掌握基本的计算公式和两类曲面积分之间的关系，然后还需要重点掌握高斯公式以及斯托克斯公式的应用.这是本章的另一个重点.
第六章多元函数微积分（上） 本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。 第一节多元函数微分学 多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。 【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。 【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。 在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。 在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。 【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。 一、多元函数微分学的基本概念及其关系 定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点f（x,y）以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时， 。 定义2 如果连续。 如果f（x,y）在区域D上每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续。 定理1 最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。 定理2 介值定理；在有界闭区域D上的多元连续函数，可以取到它在D上的最小值与最大值之间的任何值。 定义3 偏导数的定义；设函数的某个邻域内有定义，如果极限 存在，则称此极限为函数处对x的偏导数，
武忠祥高等数学辅导讲义 【原创实用版】 目录 一、武忠祥及其高等数学辅导讲义简介 二、武忠祥高数辅导讲义的价值和特点 三、武忠祥高数辅导讲义与其他辅导资料的比较 四、如何有效利用武忠祥高数辅导讲义 正文 一、武忠祥及其高等数学辅导讲义简介 武忠祥是一位著名的数学教育家，他在考研数学领域有着丰富的教学经验和深厚的学术造诣。武忠祥高等数学辅导讲义是他针对考研数学高等数学部分编写的一本辅导资料，旨在帮助广大考研学生更好地掌握和运用高等数学知识。 二、武忠祥高数辅导讲义的价值和特点 1.价值 武忠祥高等数学辅导讲义具有很高的实用价值，它紧密围绕考研数学大纲和命题趋势，对知识点进行了系统、全面的梳理，为学生提供了一条清晰的复习路径。该书内容丰富，涵盖了高等数学的各个重要模块，如极限、导数、积分、微分方程等，能够满足学生对于考研数学高等数学部分的学习需求。 2.特点 （1）注重基础：武忠祥高数辅导讲义在讲解知识点时，注重从基础知识入手，让学生在掌握基本概念和原理的基础上，逐步深入理解高等数学的复杂内容。
（2）条理清晰：本书在编排上采用模块化、层次化的方式，使得知识点更加系统、条理更加清晰，便于学生学习和查阅。 （3）例题丰富：书中附有大量的例题和习题，这些例题和习题既能够帮助学生巩固所学知识，又能够提高学生的解题能力。 三、武忠祥高数辅导讲义与其他辅导资料的比较 虽然武忠祥高数辅导讲义在考研数学辅导资料中具有较高的口碑和 实用价值，但学生仍然需要根据自己的实际情况和需求，选择适合自己的辅导资料。与一些其他的考研数学辅导资料相比，武忠祥高数辅导讲义具有以下特点： （1）针对性强：武忠祥高数辅导讲义针对考研数学大纲和命题趋势编写，因此对于备考考研数学的学生来说，具有很高的针对性。 （2）系统性强：该书对高等数学的各个知识点进行了全面、系统的梳理，学生可以借助本书建立起完整的高等数学知识体系。 （3）权威性强：武忠祥作为一位著名的数学教育家，其编写的高数辅导讲义具有很高的权威性，深受广大师生的信任和喜爱。 四、如何有效利用武忠祥高数辅导讲义 要想充分发挥武忠祥高数辅导讲义的价值，学生需要做到以下几点：（1）制定合理的学习计划：学生应该根据自身的学习进度和时间安排，制定一份合理的学习计划，确保在有限的时间内系统地学习高等数学知识。 （2）注重知识点的理解和运用：学生在学习过程中，要注重对知识点的理解和运用，不仅要掌握基本概念和原理，还要学会运用这些知识点解决实际问题。 （3）勤做习题，提高解题能力：书中附有大量的例题和习题，学生应该充分利用这些资源，通过不断地练习，提高自己的解题能力。
第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑=∞→++ n i n n i n 1 211 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；
（3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； （5）203)3(lim x x x x x -+→； （6）设A a x x f x x =-+ →1 ) sin ) (1ln(lim ，求20)(lim x x f x →。 2．求下列极限：x x e x x x sin cos lim 32 02 - →- 类型四：极限存在性问题： 1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞ →lim 。 2．设)(x f 在),0[+∞上单调减少、非负、连续，),2,1()()(1 1 =-= ? ∑=n dx x f k f a n n k n ，证明： n n a ∞ →lim 存在。 类型五：夹逼定理求极限问题： 1．求?+∞→1 01sin lim dx x x n n ； 2．),,()(lim 1非负c b a c b a n n n n n ++∞ →； 3．)0(21lim 2≥??? ? ??++∞ →x x x n n n n 。 类型六：含参数的极限问题： 1．设0)3sin (lim 2 3 =++--→b ax x x x ，求b a ,； 2．设3)11lim 2=??? ? ??+-++∞→b ax x x x ，求b a ,； 类型七：中值定理法求极限： 1、)1 arctan (arctan lim 2 +-∞ →n n n n π π ； 2、)(lim 1 211 21 2 +-+∞ →-x x x e e x 。 类型八：变积分限函数求极限： 1、) 11)(tan (2 cos lim 2 00-+---?→x x x x x tdt e x t x 。
高等数学(数二> 一.重点知识标记 高等数学 科目大纲章节知识点题型重要度等级 高等数学 第一章函数、极限、连续 1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型 3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1 .导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连 续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1. 二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分：
极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。 二、微分学部分： 主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。 一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。 多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。 三、积分学部分： 一元函数积分学 一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求>，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。 多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。 四、微分方程： 这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。 线性 第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1. 矩阵的运算 2. 求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量 1. 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 2. 向量组的线性相关性★★★★★ 3. 线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示★★★★
考研数学90-100分的复习规划考研数学要考90-100分这个档位的一个复习规划！01 试卷分数组成 选择题、填空题、解答题的分值（如下图） 数（一）/（二）/（三）中三科的分值（如下图）
02 复习方向 清楚整张卷子的分值组成以后，按照自身备考经验以及4年的考研辅导经验给予如下建议。 仅参考！大家也可以按照自己的复习程度 仅参考！大家也可以按照自己的复习程度 仅参考！大家也可以按照自己的复习程度分数档：90分- 100分 容错率：
复习建议： 目标90-100这个档位的同学在复习的过程中要把大部分的精力都集中在【夯实基础】，证明题、数列极限等较难的题目可以适当取舍。 【以高等数学为例】 基础阶段 《高等数学基础篇》+ 武忠祥老师基础班 《660》重点题 复习建议 ○ 完整听完基础班的全部内容 ○ 吃透《高等数学基础篇》定义下的例题 ○ 一刷完《660》重点题目 阶段目标 知识点（仅参考） ○ 掌握极限、导数、积分的常规计算 ○ 掌握常微分方程的公式与运算 ○ 多元函数微分的定义和常规计算 ○ 二重积分常规计算 ○ 无穷级数的概念和运算（数二不用）
○ 向量代数、空间平面与直线、曲面与空间曲线的相关概念（数二、三不用） ○ 三重积分、曲线/面积分的相关概念（数二、三不用） 量化要求（仅参考） ○ 每个知识点至少要做5-10道题 ○ 高数部分累计做题320题+ ○ 掌握60%已经做过的题型 由于每个人开始准备的时间不同，每天能投入的时间也不同，大家自己把握一下复习时间。 这个阶段考研人的常见问题 问 基础阶段要做错题本吗？ 暂时不用。 首先，基础阶段的同学知识点储备还不全面，很多题目的错误是因为知识点不清楚等原因，而这些错误原因只需要加强对定义的理解即可，做错题本意义不大； 其次，基础阶段的错题太多啦，如果真的都要整理，那估计是抄了大半本习题册。 （说的是自己，没有内涵谁谁谁！） 最后，针对错误的题目用记号笔标一下即可，以便后期二刷。 问
理工类专业需要考高数一 经管类专业需要考高数二 高数一的内容多，知识掌握要求一般要比高数二要高，大部分包含了高数二的内容。 高数一内容如下： 第一章：函数定义，定义域的求法，函数性质。 第一章：反函数、基本初等函数、初等函数。 第一章：极限（数列极限、函数极限）及其性质、运算。 第一章：极限存在的准则，两个重要极限。 第一章：无穷小量与无穷大量，阶的比较。 第一章：函数的连续性，函数的间断点及其分类。 第一章：闭区间上连续函数的性质。 第二章：导数的概念、几何意义，可导与连续的关系。 第二章：导数的运算，高阶导数（二阶导数的计算） 第二章：微分 第二章：微分中值定理。 第二章：洛比达法则 1 第二章：曲线的切线与法线方程，函数的增减性与单调区间、极值。 第二章：最值及其应用。 第二章：函数曲线的凹凸性，拐点与作用。 第三章：不定积分的概念、性质、基本公式，直接积分法。 第三章：换元积分法 第三章：分部积分法，简单有理函数的积分。 第三章：定积分的概念、性质、估值定理应用。 第三章：牛一莱公式 第三章：定积分的换元积分法与分部积分法。 第三章：无穷限广义积分。 第三章：应用（几何应用、物理应用） 第四章：向量代数 第四章：平面与直线的方程 第四章：平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，简单二次曲面。 第五章：多元函数概念、二元函数的定义域、极限、连续、偏导数求法。 第五章：全微分、二阶偏导数求法 第五章：多元复合函数微分法。 第五章：隐函数微分法。 第五章：二元函数的无条件极值。 第五章：二重积分的概念、性质。
第五章：直角坐标下的计算。 1 第五章：在极坐标下计算二重积分、应用。 第六章：无穷级数、性质。 第六章：正项级数的收敛法。 第六章：任意项级数。 第六章：幂级数、初等函数展开成幂级数。 第七章：一阶微分方程。 第七章：可降阶的微分方程。 第七章：线性常系数微分方程。 高数二的内容如下： 1. 数列的极限 2. 函数极限 3. 无穷小量与无穷大量 4. 两个重要极限、收敛原则 5. 函数连续的概念、函数的间断点及其分类 6. 函数在一点处连续的性质 7. 闭区间上连续函数的性质 9. 导数的概念 10. 求导公式、四则运算、复合函数求导法则 11. 求导法（续）高阶导数 12. 函数的微分 13. 微分中值定理 14. 洛必塔法则 15. 曲线的切线与法线方程、函数的增减性与单调区间 16. 函数的极值与最值 17. 曲线的凹凸性与拐点 19. 不定积分的概念、性质、直接积分法 20. 换元积分法 21. 不定积分的分部积分法 22. 简单有理函数的积分 23. 定积分的概念、性质、几何意义 24. 牛顿--不莱尼茨公式与定积分计算 25. 定积分的换元法 26. 定积分的分部积分法 27. 无穷区间上的广义积分 28. 定积分的应用
河南专升本高等数学考试考点大纲 第一章、函数、极限和连续 考点一：求函数的定义域 考点二：判断函数是否为同一函数 考点三：求复合函数的函数值或复合函数的外层函数 考点四：确定函数的奇偶性、有界性等性质的问题 考点五：有关反函数的问题 考点六：有关极限概念及性质、法则的题目 考点七：简单函数求极限或极限的反问题 考点八：无穷小量问题 考点九：分段函数求待定常数或讨论分段函数的连续性 考点十：指出函数间断点的类型 考点十一：利用零点定理确定方程根的存在性或证明含有的等式 考点十二：求复杂函数的极限 第二章、导数与微分 考点一：利用导数定义求导数或极限 考点二：简单函数求导数 考点三：参数方程确定函数的导数 考点四：隐函数求导数 考点五：复杂函数求导数 考点六：求函数的高阶导数 考点七：求曲线的切线或法线方程或斜率问题 考点八：求各种函数的微分 第三章、导数的应用 考点一：指出函数在给定区间上是否满足罗尔定理、拉格朗日定理或满足定理求定理中的值 考点二：利用罗尔定理证明方程根的存在性或含有的等式
考点三：利用拉格朗日定理证明连体不等式 考点四：洛必达法则求极限 考点五：求函数的极值或极值点 考点六：利用函数单调性证明单体不等式 考点七：利用函数单调性证明方程根的唯一性 考点八：求曲线的凹向区间 考点九：求曲线的拐点坐标 考点十：求曲线某种形式的渐近线 考点十一：一元函数最值得实际应用问题 第四章、不定积分 考点一：涉及原函数与不定积分的关系，不定积分性质的题目 考点二：求不定积分的方法 考点三：求三种特殊函数的不定积分 第五章、定积分 考点一：定积分概念、性质和几何意义等题目 考点二：涉及变上限函数的题目 考点三：求定积分的方 考点四：求几种特殊函数的定积分 考点五：积分等式的证明 考点六：判断广义积分收敛或发散 第六章、定积分的应用 考点：直角坐标系下已知平面图形，求面积及这个平面图形绕坐标走旋转一周得到的旋转体的体积 第七章、向量代数与空间解析几何 考点一：有关向量之间的运算问题 考点二：求空间平面或直线方程 考点三：确定直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系; 或已知位置关系求待定系数 考点四：由方程识别空间曲面或曲线的类型
第六章 常微分方程 1．一阶方程 1）可分离变量)()(y g x f y =' 2）齐次 )(x y f y ='， 令 u x y =。 3）线性 )()(x Q y x P y =+' 通解： ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x p dx x p )()()( 4）伯努利 )1()()(≠=+'ααy x Q y x P y ， 令.1u y =-α 5）全微分 .0),(),(=+dy y x Q dx y x P a) 判定:x Q y P ∂∂=∂∂ b) 解法: 1) 偏积分 2) 凑微分 3) 线积分⎰⎰+=y y x x dy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0 2．可降阶方程:（数三不要求） 1) )(x f y ='' 2) ),(y x f y '='' 令dx dP y P y =''=', 3) ),(y y f y '='' 令dy dP P y P y =''=', 3．高阶线性方程: 1) 变系数: )()()(x f y x q y x p y =+'+'' 非齐次 0)()(=+'+''y x q y x p y 齐次 解的结构: a) 齐次通解2211y c y c +=,其中21,y y 为齐次两线性无关特解 b) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
c) 非齐次特解I — 非齐次特解II = 齐次特解 2)常系数: a) 齐次 021=+'+''y a y a y 特征方程 0212=++a a ρρ 设21,ρρ是特征方程两个根 1）不等实根：21ρρ≠， x x e C e C y 2121ρρ+=； 2）相等实根：ρρρ==21， )(21x C C e y x +=ρ； 3）共轭复根：βαρi ±=2,1， )sin cos (21x C x C e y x ββα+=； b) 非齐次： )(21x f y a y a y =+'+'' ux n e x P x f )()(,1= 令ux n k e x Q x y )(=* k 等于u 作为特征方程根的重数. []x x P x x P e x f m l x ββαsin )(cos )()(,2+= 令[]},max{.sin )(cos )(m l n x x W x x Q e x y n n x k =+=*ββα 3） 欧拉方程 （仅数一要求） )(1)1(11)(x f y a y x a y x a y x n n n n n n =+'+⋅⋅⋅++--- 令t e x =， y k D D D y x k k )1()1()(+-⋅⋅⋅-= 4． 差分方程（仅数三要求） 1。一阶常系数线性齐次差分方程 ,01=++t t ay y （1） 通解为 ,)()(t c a C t y -⋅= 2。一阶常系数线性非齐次差分方程 ),(1t f ay y t t =++ （2） 通解为 .)(*t c t y t y y +=
本学期《高等数学》的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法． 我们用了90课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围． 对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题．对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节．逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固． 考试题型为： 一.选择题（每小题3分，共15分） 二.填空题（每小题3分，共15分） 三.计算题（8小题，共40分） 四.应用题（2小题，共16分） 五.证明题（2小题，共14分） 下面分章复习所学知识 第五章 定积分的应用 定积分在几何上的应用：求平面图形的面积 （1） 直角坐标情形：由平面曲线(),()[()()]y f x y g x f x g x ==≥ ,()x a x b a b ==<所围图形的面积为 [()()].b a A f x g x dx =-⎰ （2）极坐标情形：由曲线()r r θ=及射线,()θαθβαβ==<所围成的曲边扇形的面积为 21 ().2A r d β α θθ=⎰ 例 （填空题） 由曲线x y 1 =及直线0,2,===y x x y 围成的平面图形的面积 .
第六章 向量代数与空间解析几何 （一）向量代数 1.空间两点111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 的距离公式 22212 1212 ()()()d x x y y z z =-+-+- 2.非零向量 {}123,,a a a a =的方向余弦公式 3122 222222221 2 3 1 2 3 1 2 3 cos ,cos ,cos a a a a a a a a a a a a αβγ= = = ++++++ 3.向量的运算 设 {}{}123123,,,,,a a a a b b b b ==，则 112 23 31 2 3 123 , i j k a b a b a b a b a b a a a b b b ⋅=+ +⨯= 两非零向量垂直、平行的充要条件 11223 3 312123 00//0a b a b a b a b a b a a a a b a b a b b b b λ⊥⇔⋅=⇔++=⇔=⇔⨯=⇔== 4.向量{}123,,a a a a =在非零向量{}123,,b b b b =上的投影 112233 22 2 123Pr cos ,b b a b a b a b a b a j a a a b b b b b ++⋅∏==<>== ++ （二）平面与直线 1.平面方程 （1）一般式：0;Ax By Cz D +++= （2）点法式：000()()()0;A x x B y y C z z -+-+-= （3）截距式：1;x y z a b c ++= （4）三点式：111 21 21 213131 31 0.x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 2.直线方程