法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，所以选C. 答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·盐城调研)“m <1
4”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．
解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要
6．(2012·扬州模拟)下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <1
2”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________．
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x
2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <1
2”的充分不必要条件，③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案 ①② 三、解答题(共25分)
7．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0； (2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零．
解 (1)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，真命题． 否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，真命题． 逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，真命题． (2)逆命题：若x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，真命题． 否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，真命题． 逆否命题：若x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0，真命题．
8．(13分)已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 p ：x 2－8x －20≤0?－2≤x ≤10， q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0?1－a ≤x ≤1＋a . ∵p ?q ，q ?/ p ，
∴{x |－2≤x ≤10}{x |1－a ≤x ≤1＋a }．
故有???
1－a ≤－2，1＋a ≥10，
a >0，
且两个等号不同时成立，解得a ≥9.
因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．
B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·皖南八校模拟)“m ＝1
2”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的
( )．
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 由两直线垂直的充要条件知(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝－2或12，∴m ＝1
2时，两直线垂直，反过来不成立． 答案 B
2．(2012·潍坊二模)下列说法中正确的是
( )．
A ．命题“若am 2B ．若函数f (x )＝ln ? ?
???a ＋2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3 C ．?x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝4
3
成立
D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件
解析 A 中命题的逆命题是“若a
x ＋π4∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，因此C 是真命题．选项D ，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件．故选C. 答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2012·长沙模拟)若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．
解析 方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，∵方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f (3)<0，解得m >9，即：方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.
答案 m >9 4．已知集合
A ＝?
?????
???
?x ???
1
2<2x <8，x ∈R
，B ＝{x |－1的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 解析
A ＝??????
???
?x ?
??
12<2x
<8，x ∈R
＝{x |－13，即m >2. 答案 (2，＋∞) 三、解答题(共25分)
5．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.
证明 充分性：若a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－a －c ， ∴ax 2＋bx ＋c ＝0化为ax 2－(a ＋c )x ＋c ＝0， ∴(ax －c )(x －1)＝0，
∴当x ＝1时，ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.
必要性：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1， ∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.
综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.
6．(13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝
??????
???
?x |x －2x －(3a ＋1)<0， B ＝
??????
???
?x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝1
2时，求(?U B )∩A ；
(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1
2时，
A ＝??????
????x |x －2x －52<0＝??????
x |2??x |x －94x －12<0＝????
??x |12???
??
x |x ≤12或x ≥94.
∴(?U B )∩A ＝????
??x |94≤x <52. (2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a ①当3a ＋1>2，即a >1
3时，A ＝{x |2a ≤23a ＋1≤a 2
＋2
，即133时，A ＝?，不符合题意； ③当3a ＋1<2，即a <1
3时，A ＝{x |3a ＋1a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13. 综上所述，实数a 的取值范围是 ??????－12，13∪? ??
??13，3－52.
