2021年高考数学一轮复习第一篇集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关
系、充分条件与必要条件教案理
【xx年高考会这样考】
1．考查四种命题的意义及相互关系．
2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．
3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．
【复习指导】
复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判
定．
基础梳理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题表述形式
原命题若p，则q
逆命题若q，则p
否命题若綈p，则綈q
逆否命题若綈q，则綈p
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
一个区别
否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假．
三种方法
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．
(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．
解析①由2＞－3?/ 22＞(－3)2知，该命题为假；
②a2＞b2?|a|2＞|b|2?|a|＞|b|，该命题为真；
③a＞b?a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c?a＞b；
∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．
答案②③
2．(xx·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )．
\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．
答案 D
3．(xx·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.
答案 B
4．(xx·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )．
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.
答案 D
5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为 .
答案若a≤b，则有2a≤2b－1
考向一命题正误的判断
【例1】?(xx·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：
①A?B?对任意x∈A都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B?A；
④A ?B ?存在x ∈A ，使得x ?B .
其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)． [审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．
解析 ①不正确，如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，有A ?B 但2∈A 且2∈B . ②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，有A ?B 而A ∩B ＝{2}． ③不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2}，有A ?B 但B ?A . ④正确． 答案 ④
正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要． 【训练1】 给出如下三个命题：
①四个非零实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的充要条件是ad ＝bc ； ②设a ，b ∈R ，且ab ≠0，若a b ＜1，则b a
＞1； ③若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中不正确命题的序号是( )． A ．①②③ B ．①② C ．②③
D ．①③
解析 对于①，可举反例：如a ，b ，c ，d 依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a 、b 异号，虽然a b ＜1，但b a
＜0，故②错；对于③，y ＝f (|x |)＝log 2|x |，显然为偶函数，故选B. 答案 B
考向二 四种命题的真假判断
【例2】?已知命题“若函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )．
A ．否命题是“若函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题 B ．逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D ．逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．
解析 f ′(x )＝e x
－m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m ≤e x
在(0，＋∞)上恒成立，故m ≤1，这说明原命题正确，反之若m ≤1，则f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D
判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
【训练2】 已知命题“函数f (x )、g (x )定义在R 上，h (x )＝f (x )·g (x )，如果f (x )、g (x )均为奇函数，则h (x )为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析 由f (x )、g (x )均为奇函数，可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2
是偶函数，但函数f (x )＝x 2
e x ，g (x )＝e x
都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不
正确，即只有原命题和逆否命题正确． 答案 C
考向三 充要条件的判断
【例3】?指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ； (2)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ； (4)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2
＋(y －2)2
＝0，
q ：(x －1)(y －2)＝0.
[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．
解 (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ?sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．
(2)易知，綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6，显然綈q ?綈p ，但綈p ?/ 綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件． (3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件． (4)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2， 所以p ?q 但q ?/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．
判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
【训练3】 (xx·山东)设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1＜a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．
答案：C
难点突破2——高考中充要条件的求解
从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．
判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．
一、充要条件与不等式的解题策略
【示例】?(xx·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、充要条件与方程结合的解题策略
【示例】?(xx·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
三、充要条件与数列结合的解题策略
【示例】?(xx·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
四、充要条件与向量结合的解题策略
【示例】?(xx·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
五、充要条件与三角函数结合的解题策略
【示例】? (xx·上海)“x ＝2k π＋π
4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件