2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版)
2013届高考数学（理）一轮复习教案：第一篇集合与
常用逻辑用语
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【2013年高考会这样考】
1．考查四种命题的意义及相互关系．
2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．
3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】
复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判
定．
基础梳理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题表述形式
原命题若p，则q
逆命题若q，则p
否命题若綈p，则綈q
逆否命题若綈q，则綈p
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
一个区别
否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假．
三种方法
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．
(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．
解析①由2＞－3?/ 22＞(－3)2知，该命题为假；
②a2＞b2?|a|2＞|b|2?|a|＞|b|，该命题为真；
③a＞b?a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c?a＞b；
∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．
答案②③
2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．
答案 D
3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.
答案 B
4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.
答案 D
5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为.
答案若a≤b，则有2a≤2b－1
考向一命题正误的判断
【例1】?(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：
①A?B?对任意x∈A都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．
[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．
解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A?B但2∈A且2∈B.
②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A?B而A∩B＝{2}．
③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A?B但B?A.
④正确．
答案④
正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
【训练1】给出如下三个命题：
①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；
②设a，b∈R，且ab≠0，若a
b＜1，则
b
a＞1；
③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中不正确命题的序号是()．
A．①②③B．①②
C．②③D．①③
解析对于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，
可举反例：如a、b异号，虽然a
b ＜1，但b
a
＜0，故②错；对于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，
显然为偶函数，故选B.
答案 B
考向二四种命题的真假判断
【例2】?已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．
A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．
解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D
判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，
，g(x)＝e x都不是奇函数，故逆命题不正如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2
e x
确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．
答案 C
考向三充要条件的判断
【例3】?指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；
(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，
q：(x－1)(y－2)＝0.
[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．
解(1)在△ABC中，∠A＝∠B?sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A 与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．
(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q?綈p，但綈p?/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要
不充分条件．
(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，
所以p?q但q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．
答案：C
难点突破2——高考中充要条件的求解
从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．
判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．
一、充要条件与不等式的解题策略
【示例】?(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、充要条件与方程结合的解题策略
【示例】?(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
三、充要条件与数列结合的解题策略
【示例】?(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
四、充要条件与向量结合的解题策略
【示例】?(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
五、充要条件与三角函数结合的解题策略
【示例】?(2010·上海)“x＝2kπ＋π
4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座 —逻辑、推理与证明、复数、框图 一．课标要求： 1．常用逻辑用语 （1）命题及其关系 ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系； （2）简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。 （3）全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 2．推理与证明 （1）合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用； ②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理； ③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （2）直接证明与间接证明 ①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点； ②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点； （3）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题； （4）数学文化 ①通过对实例的介绍（如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想； ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用； 3．数系的扩充与复数的引入 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系； （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件； （3）了解复数的代数表示法及其几何意义； （4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 4．框图 （1）流程图 ①通过具体实例，进一步认识程序框图； ②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）； ③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用； （2）结构图 ①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息； ②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。 二．命题走向 常用逻辑用语 本部分内容主要是常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。 预测18年高考对本部分内容的考查形式如下：考查的形式以填空题为主，考察的重点是条件和复合命题真值的判断。
高考数学简易逻辑与推理1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为() A．所有实数的平方都不是正数 B．有的实数的平方是正数 C．至少有一个实数的平方是正数 D．至少有一个实数的平方不是正数 D[该命题是全称命题，其否定是特称命题，即存在实数，它的平方不是正数，故选项D正确．为真命题，故选D.] 2．(2019·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 A[由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．] 3．已知命题p：?x0∈R，tan x0＝1，命题q：?x∈R，x2＞0，下面结论正确的是() A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∧(q)”是假命题 C．命题“(p)∨q”是真命题 D．命题“(p)∧(q)”是假命题 D[取x0＝π 4，有tan π 4＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x 2＝0，故命 题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．] 4．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A．a≥1 B．a>1 C．a≥4 D．a>4 D[命题可化为x∈[1,2)，a≥x2恒成立． ∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)．∴命题为真命题的充要条件为a≥4，∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.]
5．若命题“?x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围 是( ) A ．[－1,3] B ．(－1,3) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D [因为命题“?x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3，故选D.] 6．已知命题p ：若α∥β，a ∥α，则a ∥β； 命题q ：若a ∥α， a ∥β， α∩β＝b, 则a ∥b, 下列是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(q ) C ．p ∧(q ) D ．(p )∧q D [若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ?β，故p 假，p 真；若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b ，正确， 故q 为真，q 为假，∴(p )∧q 为真，故选D.] 7．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：?x ∈? ?? ??0，π2， f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题， p ：?x ∈? ????0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题， p ：?x 0∈? ????0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题， p ：?x 0∈? ????0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，p ：?x ∈? ?? ??0，π2，f (x )>0 C [因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈? ?? ??0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对?x ∈? ?? ??0，π2，f (x ) 集合与简易逻辑 知识点整理 班级： 姓名： 1.集合中元素的性质（三要素）： ； ； 。 2.常见数集：自然数集 ；自然数集 ；正整数集 ； 整数集 ；有理数集 ；实数集 。 3.子集：A B ?? ； 真子集：A B ≠ ?? ； 补（余）集：A C B ? ； 【注意】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 4.交集：A B ?? ； 并集：A B ?? 。 笛摩根定律：()U C A B ?= ；()U C A B ?= 。 性质：A B A ?=? ；A B A ?=? 。 5.用下列符号填空: "","","","","",""≠ ∈???=≠ 0 N ；{}0 R ；φ {}0；{}1,2 {}(1,2)；{}0x x ≥ {} 0y y ≥ 6.含绝对值的不等式的解法：【注意】含等号时端点要取到。 x a < (0)a >的解集是 ；x a > (0)a >的解集是 。 (0)ax b c c +<>? a x b <+< ；(0)ax b c c +< 一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a ≠恒成立? 。 一元二次不等式2 0ax bx c ++≥(0)a ≠恒成立? 。 9．简单分式不等式的解法： () 0()f x g x > ?()()0f x g x ?>?()0()0f x g x >??>?或()0()0f x g x ；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>?；则p q 是的 条件； 若p q ?；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>≠>；则p q 是的 条件。 普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座41—逻辑、推理与证明、复数、 框图） 一．课标要求： 1．常用逻辑用语 （1）命题及其关系 ①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系； （2）简单的逻辑联结词 通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。 （3）全称量词与存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 2．推理与证明 （1）合情推理与演绎推理 ①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用； ②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理； ③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （2）直接证明与间接证明 ①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点； ②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法--反证法；了解反证法的思考过程、特点； （3）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题； （4）数学文化 ①通过对实例的介绍（如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想； ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用； 3．数系的扩充与复数的引入 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系； （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件； （3）了解复数的代数表示法及其几何意义； （4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。 4．框图 （1）流程图 ①通过具体实例，进一步认识程序框图； ②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）； 2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑 专题一 集合与简易逻辑 一、选择题 1．若A={x ∈Z|2≤22-x <8}, B={x ∈R||log 2x|>1}， 则A ∩(C R B)的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．命题“若x 2<1，则-1 {x|x>0}=ф，则实数m 的取值范围是_________． 10．（2008年高考·全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充分条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①_____________________； 充要条件②_____________________．（写出你认为正确的两个充要条件） 11．下列结论中是真命题的有__________（填上序号即可） ①f(x)=ax 2+bx+c 在[0, +∞)上单调递增的一 个充分条件是-2a b <0； ②已知甲：x+y ≠3；乙：x ≠1或y ≠2．则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }, n ∈N * 是等差数列的充要条件是 P n (n, n S n )共线． 三、解答题 12．设全集U=R ，集合A={x|y=log 2 1 (x+3)(2-x)}, B={x|e x-1 ≥1}． （1）求A ∪B ； （2）求(C U A)∩B ． 福利：本教程由捡漏优惠券（https://www.doczj.com/doc/2d7802709.html, ）整理提供 领红包：支付宝首页搜索“527608834”即可领取支付宝红包哟 领下面余额宝红包才是大红包，一般都是5-10元 支付的时候把选择余额宝就行呢 每天都可以领取早餐钱哟！ 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练 合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理 1 与数字有关的等式的推理 【易错点】 例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理 例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n 一、集合与常用逻辑用语 一、选择题 1．（重庆理2）“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】A 2．（天津理2）设则“且”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 3．（浙江理7）若为实数，则“”是的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 4．（四川理5）函数，在点处有定义是在点 处连续的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 【答案】B 【解析】连续必定有定义，有定义不一定连续。 5．（陕西理1）设是向量，命题“若，则∣∣= ∣∣”的逆命题是 A ．若，则∣∣∣∣ B ．若，则∣∣∣∣ C ．若∣∣∣∣，则 D ．若∣∣=∣∣，则= - 【答案】D 6．（陕西理7）设集合M={y|y=x —x|,x ∈R},N={x||x — ,i 为虚数单位，x ∈R}, 则M ∩N 为 A ．（0,1） B ．（0,1] C ．[0,1） D ．[0,1] 【答案】C 7．（山东理1）设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = A ．[1,2） B ．[1,2] C ．（ 2,3] D ．[2,3] 【答案】A 8．（山东理5）对于函数,“的图象关于y 轴对称”是“=是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】B 9．（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 x <-1x 2 -1>0,,x y R ∈2x ≥2y ≥2 2 4x y +≥,a b 01m ab ＜＜ 11a b b a ＜或＞ ()f x 0x x =()f x 0x x =,a b a b =-a b a b ≠-a ≠b a b =-a ≠b a ≠b a b ≠-a b a b 2cos 2 sin 1 i 2 60x x +-<(),y f x x R =∈|()|y f x =y ()f x θ12:||1[0, )3p a b πθ+>?∈22:||1(,]3p a b π θπ+>?∈13:||1[0,)3p a b πθ->?∈4:||1(,]3p a b π θπ->?∈ 2020年高考第二轮专题复习（教学案）：逻辑与推理 考纲指要： 掌握常用的逻辑用语，包括命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式，合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容。 考点扫描： 1．常用逻辑用语：（1）命题及其关系；（2）简单的逻辑联结词；（3）全称量词与存在量词 2．推理与证明：（1）合情推理与演绎推理；（2）直接证明与间接证明。 考题先知： 例1。已知p |1－ 3 1-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2 ≤0(m >0),若?p 是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围 分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决 解由题意知 命题若?p 是?q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p 是q 的充分不必要条件 p :|1－ 31-x |≤2?－2≤31-x －1≤2?－1≤31 -x ≤3?－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2 ≤0?［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 * ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴不等式|1－3 1-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2 ≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0 ∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴? ??≥≥????≥+-≤-91 10121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞) 点评：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难 例2．已知函数()(),02 32 32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g 在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围； （II ）当2 1 ≥a 时， 2021年高考文科数学《集合与简易逻辑》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 集合的交并补运算 例1 ：已知集合{0,2}=A ，{21012}=--， ，，，B ，则A B =（ ） A ．{0,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{21012}--， ，，， 【答案】A 【解析】由题意{0,2}A B =，故选A ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 例2已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{3} B ．{5} C ．{3,5} D ．{}1,2,3,4,5,7 【答案】C 【解析】因为{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，所以{3,5}A B =，故选C ． 【易错点】交并不分 【思维点拨】概念的应用 题型二 集合的交并补与不等式结合 例3：已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则（ ） A ．3{|}2A B x x =< B ．A B =? C ．3 {|}2 A B x x =< D ．A B =R 【答案】A 【解析】∵3{|}2 B x x =<，∴3 {|}2 A B x x =<， 选A ． 【易错点】不等式解错 【思维点拨】掌握常规不等式的解答 例4：设集合2 {|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1) D ．(－∞，1] 2 【答案】A 【解析】∵{0,1}M =，{|01}N x x ≤=<，∴M N =[0,1]． 【易错点】方程解错，对数不等式不会解答 【思维点拨】基本函数和方程思想的掌握 题型三 四种命题的基本考查 例5：设m R ∈，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则 0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 【答案】D 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D ． 【易错点】概念混淆 【思维点拨】加强对四种命题的强化 题型四 充要条件的判断 例6：设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由38x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“3 8x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件，故选A ． 【易错点】解不等式 【思维点拨】加强部分不等式的解答 例7：设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 高中数学演绎推理综合测试题（有答案） 选修2-2 2.1.2 演绎推理 一、选择题 1．“∵四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B [解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B. 2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是() A．大前提错 B．小前提错 C．结论错 D．正确的 [答案] D [解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D. 3．《论语学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则 事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是() A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 [答案] C [解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．4．“因对数函数y＝logax(x0)是增函数(大前提)，而y＝log13x是对数函数(小前提)，所以y＝log13x是增函数(结论)”．上面推理的错误是() A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A [解析] 对数函数y＝logax不是增函数，只有当a1时，才是增函数，所以大前提是错误的． 5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是() 《成人高等学校招生考试（数学理科）》教案 【组织教学】 1. 起立，师生互相问好 2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题 【导入新课】 本课我们来学习集合和简易逻辑。集合是现代的数学的重要概念，,运用集合可以方便又准确地描述和解决某些数学问题。简易逻辑是分析、判断命题正确与否的基础，学习和掌握简易逻辑能够提高分析和判断能力。通过本课的学习，同学们要加深掌握集合的定义及其表示方法,掌握空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，记牢各种集合符号及其意义，并能用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系；能够运用简易逻辑学的知识分析和判断简易逻辑问题。 【讲授新课】 第一章 集合和简易逻辑 §1.1 集合 一、集合的概念 1．集合 具有某种属性的事物的全体称为集合。集合常用大写字母A 、B 、C 等表示，如}{ 5,6,7,8 A =。 2.元素 集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，也叫“元”。元素常用小写字母a 、b 、c 等表示。集合的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。元素具有无序性、互异性、确定性。 3.元素与集合的关系 个体与整体的关系。如果a 是集合A 的元素，记作a A ∈，读作a 属于A ；如果a 不是集合A 的元素，记作a A ?（或a A ∈），读作a 不属于A 。 4. 有限集、无限集、单元素集、空集 （1）有限集 含有有限个元素的集合，如}{ 1,2,3A =。 （2）无限集 含有无限个限个元素的集合，如}{ A x x =-∞<<+∞。 （3）单元素集 只有一个元素的集合，如}{ 1A =。 （4）空集 不含任何元素的集合，空集用?(不是希腊字母的φ)表示。空集不是无；它是内部没有元素的集合。若将集合想象成一个袋子和它里面的事物，则空集就是里面没装事物的空袋子。空集?是任何集合的子集. 5．数集 元素为数的集合叫做数集，常用的数集有： （1）实数集 全体实数组成的集合，常用符号R 表示。 （2）有理数集 全体有理数组成的集合，常用符号Q 表示。 （3）整数集 全体整数组成的集合，常用符号Z 表示。 1非负整数集—自然数集,用N 表示。 根据国家标准，现在自然数集包括元素0（以前不包括元素0）； 2正整数集,用N +或N *表示。正整数集不包括元素0。 二、集合的表示法 1．列举法 列举法是把集合的元素一一写在大括号里的表示法，如 }{1,2,3A =。红色、白色、蓝色和绿色的集合可写成}{D =红色,白色,蓝色,绿色 2．描述法 把集合中的元素的公共特性写在大括号里的表示法，如 “所有等腰直角三角形”组成的集合可写成}{ A =等腰直角三角形； 方程2 60x x +-=的根组成的集合A 可写成} { 2 60B x x x =+-=； 大于零的前三个自然数的集合可写成}{C =大于零的三个自然数。 3．图解法 在不严格的意义下，为直观起见，有时也用图来表示集合，如右图： 高中数学演绎推理综合测试题（有答案）选修2-2 2.1.2 演绎推理 一、选择题 1．“∵四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B [解析]由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B. 2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是() A．大前提错 B．小前提错 C．结论错 D．正确的 [答案] D [解析]前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D. 3．《论语学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事 不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是() A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 [答案] C [解析]这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式． 4．“因对数函数y＝logax(x0)是增函数(大前提)，而y＝log13x 是对数函数(小前提)，所以y＝log13x是增函数(结论)”．上面推理的错误是() A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A [解析]对数函数y＝logax不是增函数，只有当a1时，才是增函数，所以大前提是错误的． 5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是() 推理与证明 【三年高考】 1. 【2017课标II ，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A.乙可以知道两人的成绩 B.丁可能知道两人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D. 2. 【2017北京，文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 【答案】6,12 【解析】设男生数，女生数，教师数为,,a b c ，则2,,,c a b c a b c >>>∈N ，第一小问：max 846a b b >>>?=， 第二小问：min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>?==?++= 3. 【2016高考新课标2文数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后 说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”， 丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3 【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 4.【2016高考山东文数】观察下列等式： 2020高考真题分类汇编：集合与简易逻辑 1.【2020高考真题浙江理1】设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2 x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 【答案】B 2. 【 2020 高 考 真 题 新 课 标 理 1 】 已 知 集 合 {1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为（ ） ()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10 【答案】D 3.【2020高考真题陕西理1】集合{|lg 0}M x x =>，2 {|4}N x x =≤，则M N =I （ ） A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2] 【答案】C. 4.【2020高考真题山东理2】已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则 U C A B U 为 （A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4 【答案】C 5.【2020高考真题辽宁理1】已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U I 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。采用解析二能够更快地得到答案。 6.【2020高考真题辽宁理4】已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则?p 是 (A) ?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 【3年高考2年模拟】第一章集合、简易逻辑第一部分三年高考荟萃 2012年高考题 2012年高考文科数学解析分类汇编：集合与简易逻辑 一、选择题 1 ．（2012年高考（浙江文））设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(CUQ)= （ ） A ．{1,2,3,4,6} B ．{1,2,3,4,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2} 2 ．（2012年高考（四川文））设集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则A B = （ ） A ．{}b B ．{,,}b c d C ．{,,}a c d D ．{,,,}a b c d 3 ．（2012年高考（陕西文））集合{|lg 0}M x x =>, 2 {|4}N x x =≤,则M N =( ) （ ） A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[1,2] 4 ．（2012年高考（山东文））已知全集{0,1,2,3,4}U =,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则() U A B e为 （ ） A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4} 5 ．（2012年高考（辽宁文））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则 ()()U U C A C B ?= （ ） A ．{5,8} B ．{7,9} C ．{0,1,3} D ．{2,4,6} 6 ．（2012年高考（课标文））已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1 第5课时 简易逻辑 一．课题：简易逻辑 二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义； 理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用． 三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题； 2．由真值表判断复合命题的真假； 3．四种命题间的关系． （二）主要方法： 1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注 意类比； 2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ?且q ?”、“p 且q ”的否定为“p ?或q ?”、 “全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等； 3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ” 的形式； 4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、 定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾． （三）例题分析： 例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假： （1）菱形对角线相互垂直平分． （2）“23≤” 解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平 分， ∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题． （2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=， ∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题． 注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的 真假，再由真值表判断复合命题的真假． 例2．分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题． 解：否命题为：若220x y +≠，则,x y 不全为零 逆命题：若,x y 全为零，则220x y += 逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠ 注：写四种命题时应先分清题设和结论． 例3．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论． 解：方法一：原命题是真命题， ∵0m >，∴140m ?=+>， 因而方程2 0x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题； 又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题． 方法二：原命题“若0m >，则2 0x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无 实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根 典型例题： 例1. （2012年全国大纲卷理5分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边 BC 上， 3 7 AE BF == ，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。 当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为【 】 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【答案】A 。 【考点】反射原理，正方形的性质，三角形相似的判定和性质。 【解析】结合已知中的点E ,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到E 点时，需要碰撞14次即可。 也可以通过三角形相似的相似比求解：如图， 为便是于计算，将正方形ABCD 的边长扩大7倍，这样边长为7，3AE BF ==，4BE CF ==。 ∴这些三角形相似的两边长之比 4 3 BE BF =。 ∴431616574333CF GC DG GC GC ==?=?=-=； 35 5443 DH DH DH DG ==?=； 5 313131477 74222 CI CI DH CI BI - -==?=?=-=； 1 32219274333 BI BJ AJ BJ BJ ==?=?=-=； 31919971944443 AK AK AK DK AJ ==?=?=-=； 9 3434DK DL DL DL ==?=。 ∴经过7次碰撞，到达与点E 成轴对称的点L 处，根据正方形的对称性，再经过7次碰撞，到达点E ，共14次碰撞。故选A 。 例2. （2012年全国大纲卷文5分）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边 BC 上， 09级高三数学总复习讲义——逻辑与关联词 一、知识清单： 1．常用逻辑用语 （1）命题 命题：可以判断真假的语句叫命题； 逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。 （2）复合命题的真值 “非p “p且q “p且q 注： 1°像上面表示命题真假的表叫真值表； 2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q 同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。 （3）四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题； 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。 两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 （4）条件 一般地，如果已知p q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。 可分为四类： （1）充分不必要条件，即p ?q,而q ?p ； (2)必要不充分条件，即p ?q,而q ?p ； (3)既充分又必要条件，即p ?q ，又有q ?p ； (4)既不充分也不必要条件，即p ?q ，又有q ?p 。 一般地，如果既有p ?q ，又有q ?p ，就记作：p ?q.“?”叫做等价符号。p ?q 表示p ?q 且q ?p 。 这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。 （5）全称命题与特称命题 这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号?表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号?表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。 课前练习 1写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。 2:“若325≠≠≠+b a b a 或，则” 是____命题.(填真、假) 3命题“若ab =0，则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题为____________。 4：用反证法证明：已知x 、y ∈R ，x +y ≥2，求 证x 、y 中至少有一个不小于1。 5已知.0>c 设P ：函数x c y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的 解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 6:5____52x x x >><或.(填,??,?) 7:条件甲:12x y ≠≠且;条件乙:3x y +≠, 则乙是甲的_____条件. 8“α≠β”是cosα≠cosβ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9 已知p ：方程x 2+ax +b =0有且仅有整数解，q ：a ，b 是整数，则p 是q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 10．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22?列联表计算得2 3.918K ≈，经查对临界值表 知2( 3.841)0.05P K ≥≈． 对此，四名同学做出了以下的判断：集合与简易逻辑知识点整理
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