1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
(2)如果p?q，但q?p，则p是q的充分不必要条件；
(3)如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件；
(4)如果q?p，且p?q，则p是q的必要不充分条件；
(5)如果p?q，且q?p，则p是q的既不充分也不必要条件．
【知识拓展】
从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A?B，则p是q的充分条件；
(2)若A?B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( × )
(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( × ) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题．( √ ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )
(5)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ ) (6)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ )
1．下列命题为真命题的是( ) A ．若1x ＝1
y ，则x ＝y
B ．若x 2＝1，则x ＝1
C ．若x ＝y ，则x ＝y
D ．若x 答案 A 2．(教材改编)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．若x 答案 B 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”． 3．(教材改编)“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析由(x－1)(x＋2)＝0可得x＝1或x＝－2， ∵{1}{1，－2}， ∴“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件． 4．(2016·北京)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 答案 D 解析若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件． 5．(教材改编)下列命题： ①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分条件； ②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充分必要条件； ③“sin α＝sin β”是“α＝β”的充要条件； ④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件． 其中为真命题的是________．(填序号) 答案②④ 题型一命题及其关系 例1(2016·潍坊一模)有下列四个命题： ①若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题； ③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题． 其中真命题为() A．①②B．②③ C．①④D．①②③ 答案 D 解析①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．故选D. 思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． (1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是() A．若x>0，则x2≤0 B．若x2>0，则x>0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0 (2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是() A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有 C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福 答案(1)C(2)D 题型二充分必要条件的判定 例2(1)(2015·四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的() A．充要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 (2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案(1)B(2)A 解析(1)∵3a>3b>3，∴a>b>1，此时log a3 3a>3b>3，例如当a＝1 2，b＝ 1 3时，log a3 a>3b>3”是 “log a3 (2)由5x－6>x2，得2 即q：2 所以q?p，p?q，所以綈p?綈q，綈q?綈p， 所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A. 思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题． (1)(2016·四川)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 (2)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案(1)A(2)A 解析(1)当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p?q， 当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，即q?p， 故p是q的充分不必要条件． (2)(等价法)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1， 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1， 因为綈q?綈p但綈p?綈q， 所以綈q是綈p的充分不必要条件， 即p是q的充分不必要条件，故选A. 题型三 充分必要条件的应用 例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围． 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ?P . 则???? ? 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10， ∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 引申探究 1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴????? 1－m ＝－2，1＋m ＝10， 方程组无解， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 2．本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ?S 且S ?P . ∴[－2,10][1－m,1＋m ]． ∴????? 1－m ≤－2，1＋m >10或????? 1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． (1)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－ 4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________________． (2)已知命题p ：－4 解析 (1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0 ∴? ???? a >0，a ＋1<4，解得00成立，得2 所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3， 又綈p 是綈q 的充分条件，所以? ???? a －4≤2，a ＋4≥3， 解得－1≤a ≤6，故答案为[－1,6]． 1．等价转化思想在充要条件中的应用 典例 (1)(2016·湖北七校联考)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－3] 思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到．本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化． 解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件． (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件． ∴{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，∴a ≥1. 答案 (1)A (2)A 1．命题“若α＝π 4，则tan α＝1”的否命题是( ) A ．若α≠π 4，则tan α≠1 B ．若α＝π 4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π 4 D ．若tan α≠1，则α＝π 4 答案 A 2．命题“如果x ≥a 2＋b 2，那么x ≥2ab ”的逆否命题是( ) A ．如果x 解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，“≥”的否定是“<”．故答案C 正确． 3．(2016·山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( ) A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．否定 答案 B 解析 命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题． 4．(2015·重庆)“x ＞1”是“log 12 (x ＋2)＜0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由x ＞1?x ＋2＞3?log 12 (x ＋2)＜0，log 12 (x ＋2)＜0?x ＋2＞1?x ＞－1，故“x ＞1”是 “log 12 (x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．故选B. 5．(2016·山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交； 若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A. 6．已知集合A ＝{x ∈R |1 2<2x <8}，B ＝{x ∈R |－1 件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≥2} B ．{m |m ≤2} C ．{m |m >2} D ．{m |－2 答案 C 解析 A ＝{x ∈R |1 2<2x <8}＝{x |－1 ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3， 即m >2，故选C. 7．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ?C ，B ??U C ”是“A ∩B ＝?”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由Venn 图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝?时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ?C ，B ??U C . 故“存在集合C 使得A ?C ，B ??U C ”是“A ∩B ＝?”的充要条件． 8．函数f (x )＝? ???? log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0 2 C.1 21 答案 A 解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点?函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点?函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1. 观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故选A. 9．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1. 又∵a ，b 为正数， ∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件． 10．有三个命题： ①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的序号为____________． 答案 ① 解析 命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0?－3≤x ≤2，故命题③是假命题．综上知只有命题①是真命题． 11．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 ∵綈p 是q 的必要不充分条件，∴q ?綈p 但綈p ?q ，其逆否命题为p ?綈q 但綈q ? p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 12．若x 解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x ∴????? －1≤m －1，m ＋1<3，或????? －1 ∴0≤m ≤2. 13．若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________． 答案 [3 2 ，＋∞) 解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 故所求λ的取值范围是[3 2 ，＋∞)． *14.(2016·贵州七校联考)以下四个命题中，真命题的个数是________． ①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ； ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，A 解析 ①原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；②根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；④根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A *15.已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[3 4，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的 充分条件，求实数m 的取值范围． 解 y ＝x 2－3 2x ＋1 ＝(x －34)2＋716 ， ∵x ∈[34，2]，∴7 16≤y ≤2. ∴A ＝{y |7 16≤y ≤2}． 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ?B ，∴1－m 2≤7 16， 解得m ≥34或m ≤－3 4 ， 故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[3 4 ，＋∞)． 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 一、知识梳理 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件p?q且q?/p p是q的必要不充分条件p?/q且q?p p是q的充要条件p?q p是q的既不充分也不必要条件p?/q且q?/p 才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题． 常用结论 1．充要条件的两个结论 (1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件． 2．一些常见词语及其否定 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 1．(选修1-1P8A 组T2改编)命题“若x 2 >y 2 ，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x 命题及其关系 知识点： 1. 命题： 1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类： 真命题 假命题 1.3 关系： 原命题 逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则 这两个命题称为互逆命题。 若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和 条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题 若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况） 规律： 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 2. 充分必要条件： 2.1 概念： 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题 “对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题 “存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题； 当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨ 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ? 若p 是真命题，则p ?必是假命题 若p 是假命题，则p ?必是真命题 2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?． 全称命题的否定是特称命题． 练习： 1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 复合命题及其形式练习题 一、下列命题各属何种复合命题用适当的符号写出它们的命题形式。 1.倘能生存，我当然仍要学习。 2.工人、农民、解放军他都当过。 3.除非有效地治理各种人为的污染，否则不能保护环境。 4.当且仅当A和B两公式的逻辑值完全相同，它们才有等值关系。 5.并非强权就是公理。 6.只有什么事都不干的人，才不会犯错误。 7.如果某化合物具有很强的毒性，那么就要严格限制它的生产。 8.要么在沉默中死亡，要么在沉默中爆发。 9.某甲和某乙至少有一个人是案犯。 10.所有可靠的论证都是有效的，并且它们有真前提。 11.不实事求是，就不能做好工作。 12.你明天或者去看电影，或者去看球赛，二者不可兼得。 13.天下雨，路又滑。 14.人生不是一种享受，而是一桩十分沉重的工作。 15.某甲和某乙或者都是案犯，或者都不是案犯。 16.有则改之，无则加勉。 17.人要是没有自知之明，就会做蠢事。 18.这件事情的结局，不会有利于被告，只会有利于原告。 二、分析下列多重复合命题的形式。 1.行为在客观上虽然造成了损害结果，但是不是出于故意或者过失，而是由于不能抗拒或者不能预见的原因所引起的，不是犯罪。 2.明知自己的行为会发生危害社会的结果，并且希望或者放任这种结果发生，因而构成犯罪的，是故意犯罪，应当负刑事责任。 3.因不可抗力不能履行合同或者造成他人损害的，不承担民事责任，法律另有规定的除外。 参考答案一、 1.假言命题p→q 2.联言命题p∧q∧r 3.必要条件假言命题﹁p→﹁q 4.等值命题p←→q 5.负命题﹁p 6.必要条件假言命题﹁p→﹁q 7.假言命题p→q 8.排斥选言命题﹁(p←→q) 9.选言命题p∨q 10.联言命题p∧q 11.必要条件假言命题﹁p→﹁q 12.排斥选言命题﹁(p←→q) 13.联言命题p∧q 14. 联言命题p∧q 15.等值命题p←→q 16.联言命题(p→q)∧(﹁p→r) 17.假言命题p→q 18.联言命题p∧q 二、 第2讲 四种命题及其关系 【学习目标】 1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论； 2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假； 3．能熟练判断命题的真假性. 【要点梳理】 要点一、命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 要点诠释： 1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“2x >”，“2不一定大于3”. 2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等. 3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性. 要点二、命题的结构 命题可以改写成“若p ，则q ”的形式，或“如果p ，那么q ”的形式.其中p 是命题的条件，q 是命题的结论. 要点诠释： 1. 一般地，命题“若p 则q ”中的p 为命题的条件q 为命题的结论. 2. 有些问题中需要明确指出条件p 和q 各是什么，因此需要将命题改写为“若p 则q ”的形式. 要点三、四种命题 原命题：“若p ，则q ”； 逆命题：“若q ，则p ”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非p ，则非q ”，或“若p ?，则q ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非q ，则非p ”，或“若q ?，则p ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定. 要点诠释： 对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p ，则q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题. 要点四、四种命题之间的关系 四种命题之间的构成关系 课时作业(三) [第3讲命题及其关系、充分条件、必要条件] (时间：35分钟分值：80分) 基础热身 1．[2012·重庆卷] 命题“若p，则q”的逆命题是( ) A．若q，则p B．若綈p，则綈q C．若綈q，则綈p D．若p，则綈q 2．[2012·佛山模拟] 已知非零向量a，b，则“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题 C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题 4．[2013·扬州中学月考] 已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2 ＋b2＋c2≥3”的否命题是________________________．能力提升 5．“a＝2”是“函数f(x)＝x a－1 2 为偶函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列有关命题的说法中，正确的是( ) A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1” B．“x>1”是“x2＋x－2>0”的充分不必要条件 C．命题“?x0∈R，使得x20＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，都有x2＋x＋1>0”D．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题 7．下列命题中，真命题的个数是( ) ①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题； ②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题； ③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题． A．0 B．1 2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版) 2013届高考数学（理）一轮复习教案：第一篇集合与 常用逻辑用语 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【2013年高考会这样考】 1．考查四种命题的意义及相互关系． 2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解． 3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】 复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判 定． 基础梳理 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题表述形式 原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若綈p，则綈q 逆否命题若綈q，则綈p (2)四种命题间的逆否关系 (3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件． 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假． 三种方法 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件． (2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 第四章复合命题及其复合命题推理答案 一、填空题 1.复合命题的逻辑性质是由联结词的逻辑性质决定的，复合命题的真假是由支命题的真假决定的。 2.只有在前件真而后件假时，充分条件假言命题才假。 3.“老赵、老李、老孙三人中至少有一个人是火车司机”这一复合命题的逻辑形式是 p∨q∨r 。 4.当q真时，p→q 真，p∨q 真；当?p∨q为真且q为假时，p的取值为假。 5.若p→q取值为假，则?p∨q 假，p∧?q 真。 6.已知p真且q假，则p∧q 假；p∨q 真； p→q 假； p←q 真；p←→q 假。 二、单项选择题 1.两个假言命题的逻辑形式相同，是指（ D ）相同。 A.前件和后件 B.前件和联结词 C.后件和联结词 D.联结词 2.“要么甲，要么乙”这个命题的逻辑含义是（ D ） A.甲和乙必有一真，并可同真 B.甲和乙至少一真，也可同假 C.甲和乙必有一假，也可同假 D.甲真或乙真，但不可同真 3.下列推理形式中，正确的是（ C ） A.（p←→q）∧?p→q B.（p→?q）∧p→q C.（?p∧q）→（q∧?p） D.（p∨?q∨r）∧?q→（p∨r） 4.要使（?p（）q）∧p→?q成为有效式，括号里应填入联结词（ D ） A.∨ B.∧ C.→ D.← 5.“如果某人未犯法，那么某人未犯罪；某人犯罪，所以，某人犯法。”这个推理属于充分条件假言推理的（D） A.肯定前件式 B.肯定后件式 C.否定前件式 D.否定后件式 6.“如果患了肺炎，就会发烧；此人发烧，所以，他患了肺炎。”这个推理属于（ B ） A.有效的充分条件假言推理 B. 非有效的充分条件假言推理 C.有效的必要条件假言推理 D. 非有效的必要条件假言推理 7.“一个推理结论不必然正确，或者是由于前提虚假，或者是由于推理形式不正确；这个推理结论不必然正确是由于前提虚假；所以，整个推理结论不必然正确不是由于推理形式不正确。”这个推理是（ C ） A.正确的相容选言推理 B. 正确的不相容选言推理 C.错误的相容选言推理 D. 错误的不相容选言推理 8.若p、q都为假，则与“p或者q”等值的命题是（ C ） A.如果p，那么q B.只有p，才q 并且q 当且仅当q 9.与“只有非p，才非q”等值的命题是（ B ） A.如果非p，则非q B.如果非q，则非p C.如果p，则非q 并且非p 三、双项选择题 1.下列推理形式中，有效式是（ AB ） A.（p∧q∧r）→（p∧r ） B.（?p→?q）∧q→p C.（p∨q）∧p→?q D.（?p←q )∧?p→q E.（p→?q）∧?p→q 2.下列推理形式中，无效式是（AC） 第2讲命题及其关系、充要条件 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________． 解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”． 答案若q，则p 2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 3．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行” 的________条件． 解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1. 答案充分不必要 4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”． 答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数 5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B” 是“x∈C”的________条件． 解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件． 答案充分必要 6．(·盐城调研)“m<1 4”是“一元二次方程x 2＋x＋m＝0有实数解”的________ 条件． 解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要 7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________． 解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确． 答案 2 8．(·扬州模拟)下列四个说法： ①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________． 解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真 命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0 或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命 题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案 ①② 二、解答题 9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下： ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题． 10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要 原子命题符号化及复合命题真假判断 原子命题符号化： 所谓原子命题，就是上一讲所提到的没有联结词的简单命题。 比如复合命题：“我是学生并且他是学生”。在该命题中，“我是学生”就是一个原子命题，同样，“他是学生”也是一个原子命题。 用符号表示： p: 我是学生 q: 他是学生 p∧q:我是学生并且他是学生 同样 p∨q:我是学生或者他是学生 p→q:如果我是学生，那么他是学生 当然，也可以由多个连接词构成复杂的复合命题。 为了使表达式的意义明确，需要规定优先级，优先顺序如下： （），￢，∧，∨，→，? 下面举个例子 比如（（￢p）∧q）∨（p∧（￢q））表示我不是学生且他是学生或者我是学生他不是学生（更清晰地表述是我和他之间有且仅有一个学生）。 由优先级顺序知，括号是完全可以省掉的：￢p∧q∨p∧￢q 以上各个符号及表达式都称为命题公式。 复合命题真假判断 复合命题的真假是通过原子命题（在复合命题中称为命题变项或命题变元）的真假来判断的首先由第一讲已经得出了￢ p, p∧p ,p ∨p, p→q, p?q 这五种命题公式的真值判断。在其基础上，我们可以进行更复杂的真值判断。 比如￢p∧q∨p∧￢q，首先给定p为真，q为假。 那么￢p是假，由此￢p∧q是假。￢q为真，由此p∧￢q为真。此时，我们知道了∨两边是一真一假，因此整个表达式为真。 也可以用真值表来判断，在命题公式不太复杂的情况下，用真值表来判断是一种非常清楚的方法，但是在很多原子命题或者命题公式的组成十分复杂时，真 翻译就是在自然语言和命题公式之间进行转换。 上面提到的命题公式： ￢p∧q∨p∧￢q 和自然语言： 我不是学生且他是学生或者我是学生他不是学生（或者表述为：我和他之间有且仅有一个学生） 就是一种翻译。 这个比较容易理解。举几个例子说明下吧： 例子一： p:天下雨 q:我有伞 r:我出去游玩 ￢p∨p∧q→r 翻译为：天不下雨或者天下雨我有伞，那么我出去游玩。 例子二： 如果老师上课无趣，或者该课的习题很难，那么学生不喜欢这门课 先将原子命题符号化 p: 师上课有趣 q: 该课的习题难 r: 学生喜欢这门课 翻译为￢p∨q→￢r 命题及其关系、充分条件与必要条件教学讲义 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的__陈述句__叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①若两个命题互为逆否命题，则它们有__相同__的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__没有关系__. 3．充分条件、必要条件与充要条件 若p?q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件p?q且q p p是q的__必要不充分__条件p q且q?p p是q的__充要__条件p?q p是q的__既不充分又不必要__条件p q且q p 1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A?B，则p是q的充分条件； (2)若A?B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A B，则p是q的必要不充分条件； (6)若A B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．充分条件与必要条件的两个特征： (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”?“q?p”． (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)． 注意：不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p ?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题． 1．下列语句为命题的是(D) A．对角线相等的四边形 B．a<5 C．x2－x＋1＝0 D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 [解析]只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D． 2．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题是(A) A．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 B．不是平行四边形的四边形对角线不互相平分 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．不是平行四边形的四边形对角线互相平分 [解析]原命题即“若四边形是平行四边形，则其对角线互相平分”，故其逆否命题“若四边形的对角线不互相平分，则其不是平行四边形”，即“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”． 3．(教材改编题)“x＝2”是“x2－4＝0”的(A) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 [解析]x2－4＝0，则x＝±2，故是充分不必要条件．故选A． 4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(A) A．逆否命题B．逆命题 C．否命题D．原命题 命题及其关系、充分条件与必要条件 1．了解命题的概念． 2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 一、基础知识 A ．命题 1．命题 可以判断 真假 的陈述句，叫做命题． 注：（1）数学命题的表达形式有：语言、符号、式子等． （2）判断一个语句是否是命题，一看“陈述句”，二看“可判断真假”仅此两点． 例如，①今天天气不错；②两直线平行，内错角相等；③213x +=；④若a b =，c d =，则a c b d +=+． 以上四个句子中，①虽是陈述句，但不能判断其真假．“天气不错”的标准不明确．②是陈述句，且能判断正确，因此是命题．对于③，当1x =时，为真；当1x ≠时，为假．这句话虽是陈述句，但无真假可言，因此不是命题. ④显然是命题． 2．假命题、真命题 真命题：可以判断为 真 的命题，即当题设成立时，结论一定成立，叫做真命题． 假命题：可以判断为 假 的命题，即当题设成立时，结论不一定成立或一定不成立，叫做假命题． 注:判断一个命题的真假时，如果说一个命题是真命题，那么必须证明它的正确性；而判断一个命题是假命题时，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 延伸阅读: 开句、命题函数、开句的取真集（内容不要求掌握） （1）开句、命题函数 形如“213x +=”、“32x +>”等单独的方程、不等式语句，都不是命题，因为它们也对也不对，即无真假可言．这些语句在数理逻辑上叫做开句．开句又叫做命题函数，意思是当变元（这里的x ）取不同的个体的时候，就得到不同的命题． 开句常记作()P x 、()Q y ，其中变元,x y 是在一定范围里变化.当x 取某个个体a 时，开句()P x 就变成了命题()P a （与开句相对，有的书上把命题叫做句）．如：对于“32x +>”而言，当1x >-时，为真；当1x ≤-时，为假． （2）开句的取真集 对于开句，最为关心的是，哪些个体使句子为真，哪些个体使句子为假．例如，对于“32x +>”而言，“”时为真，“”时为假.使开句()P x 取真的x 的范围叫做的取真集，记作{|()}x P x ．对开句来说，取真集为{|32}{|1}x x x x +>=>-． 解方程，解不等式，本质上是找开句的取真集． （3）将命题函数()P x 变成命题 命题函数()P x 变成命题的方法有两个． 方法一：将命题函数()P x 中的x 用特殊个体a 代入，从而得到对特殊个体a 进行判断的命题，这种命题叫做单称命题()P a ． 例如“张三是共产党员”，其中“张三”是被判断的个体，“是共产党员”是谓词，“是”是判断词． 再如，命题函数():32P x x +>，对x 赋值1,3-，可得到命题(1)P 和(3)P -，即(1):132P +>，和(3):(3)32P --+>． 当然(1)P 是真命题，(3)P -是假命题． 方法二：利用量词来限制个体的范围 1.1 命题及其关系 校本作业 一、选择题： 1.（基础题）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（） A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 2.（基础题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=， 则b=（） A. B. C. 2 D. 3 3.（中档题）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A. B. C. D. 4.（中档题）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（） A. B. C. D. 5.（提高题）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（） 的x取值范围是（） A. B. C. D. 6.（提高题）已知是奇函数，当时，当时，等 于 A. B. C. D. 二、填空题： 7.（基础题）若命题“?t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 8.（中档题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2， 则f（2）=______． 9.（提高题）已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x-15，则f（x）的解析式 为______ ． 三、解答题： 10.（基础题）设p：实数x满足x2+2ax-3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x-8＜0， 且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围． 11.（中档题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A） =c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 12.（提高题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方 形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°． （Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值． 高考数学一轮专题复习：第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2018高二上·大庆期中) 命题“若x2＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（） A . 若，则或 B . 若，则 C . 若或，则 D . 若或，则 2. （2分）下列命题中，正确命题的个数是（） ①命题“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”． ②双曲线（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为． ③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列． ④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=． A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个 3. （2分）(2020·上饶模拟) 已知直线平面，则“直线”是“ ”的（） A . 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件 4. （2分）已知则""是""成立的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2分）命题“若≠，则且”的逆否命题是（） A . 若≠，则≠且≠ B . 若≠，则≠或≠ C . 若且，则≠ D . 若≠或≠，≠ 6. （2分） (2019高一上·北京期中) 对于集合，给出如下三个结论：①如果 ，那么；②如果，那么；③如果，，那么 .其中正确结论的个数是（） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 7. （2分） (2016高二下·昆明期末) 有下列命题中，正确的是（） A . “若，则”的逆命题 第3讲复合命题及其推理 【复合命题，是指由简单命题通过联结词而构成的命题。由于联结词的不同，复合命题就有联言命题、选言命题、假言命题等不同的种类形式。】 3、1 联言命题及其推理 1、联言命题 联言命题就是断定事物的若干种情况同时存在的命题。 例如，“鲁迅是文学家并且是思想家”。 联言命题的一般公式是：p并且q；也可表示为 p∧q 。 其中，“并且”（现代逻辑上通常用符号“∧”表示，涵义为“合取”）为联结词，p、q称为联言肢（联言命题的肢命题）。 日常语言中的“…和…”、“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”等表示并列关系、递进关系、转折关系的语词都是“并且”的意思。 一个联言命题是真的，则其每一个肢命题都必须是真的。只要有一个肢命题假，则联言命题就是假的。 联言命题的真假特征可以表示如下： p q p∧q 真真真 真假假 假真假 假假假 2、联言推理 联言推理就是前提或结论为联言命题，并且根据联言命题的逻辑特征所进行的推理。一个联言命题是真的，当且仅当其所有肢命题是真的。联言推理的推理形式有分解式和组合式。 分解式就是由前提中一个联言命题为真推出其任一肢命题为真的联言推理。公式是： p并且q p并且q p 或者 q 组合式就是由前提中一些肢命题为真推出这些肢命题所组成的联言命题为真的联言推理。公式是： p q p并且q 应用例： 例题1-联言推理 ■李娜心中的白马王子是高个子、相貌英俊、博士。她认识王威、吴刚、李强、刘大伟四位男士，其中只有一位符合她所要求的全部条件。 (1)四位男士中，仅有三人是高个子，仅有两人是博士，仅有一人相貌英俊。 (2)王威和吴刚都是博士。 (3)刘大伟和李强身高相同。 (4)每位男士都至少符合一个条件。 (5)李强和王威并非都是高个子。 请问谁符合李娜要求的全部条件? A．刘大伟。B．李强。 C．吴刚。 D．王威。 例题2-联言推理 ■只有具备足够的资金投入和技术人才，一个企业的产品才能拥有高科技含量。而这种高科技含量，对于一个产品长期稳定地占领市场是必不可少的。 课时作业(三) [第3讲 命题及其关系、充分条件、必要条件] (时间：35分钟 分值：80分) 基础热身 1．[2012·重庆卷] 命题“若p ，则q ”的逆命题是( ) A ．若q ，则p B ．若綈p ，则綈q C ．若綈q ，则綈p D ．若p ，则綈q 2．[2012·佛山模拟] 已知非零向量a ，b ，则“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2 >1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 4．[2013·扬州中学月考] 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________________． 能力提升 5．“a ＝2”是“函数f (x )＝x a －12 为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列有关命题的说法中，正确的是( ) A ．命题“若x 2>1，则x >1”的否命题为“若x 2>1，则x ≤1” B ．“x >1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件 C ．命题“?x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“?x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0” D．命题“若α>β，则tanα>tanβ”的逆命题为真命题7．下列命题中，真命题的个数是( ) ①x，y∈R，“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题； ②“若a＋b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题； ③“若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0”的逆否命题．A．0 B．1 C．2 D．3 8．[2012·郑州模拟] 设p：|2x＋1|>a， q：x－1 2x－1 >0，使p是q的必要不充分条件的实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(－∞，－2] C．[－2，3] D．(－∞，3] 9．[2012·焦作质检] 写出一个使不等式x2－x<0成立的充分不必要条件________．10．已知命题“若a>b，则ac2>bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________． 11．“x＝2”是“向量a＝(x＋2，1)与向量b＝(2，2－x)共线”的________条件．12．(13分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c 且b＝d. (1)写出命题p的否定并判断真假； (2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假； (3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论． 难点突破 13．(12分)已知集合A＝y错误!y＝x2－错误!x＋1，x∈错误!，2，B＝{x|x＋m2≥1}．条件p：x∈A，条件q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 第一章 常用逻辑用语 知识点网络 第1讲 命题、充分条件与必要条件 考点1：命题1. 定义： 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题. （1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n 等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题 （3）命题“ ”的真假判定方式： ① 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助 判断。如：一定推出.② 若要判断命题“ ”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题. 例1已知命题:p x R ?∈,23x x <;命题:q x R ?∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是:（ ） A ．p q ∧ B ．p q ?∧ C ．p q ∧? D ．p q ?∧? 例2.下列命题中的假命题．．． 是 A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 【解析】对于C 选项x ＝1时，()10x -2=，故选C 变式1.下列命题是真命题的为 A ．若11x y =,则x y =B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,x y = D ．若x y <,则 22x y < 解析 由11x y =得x y =,而由21x =得1x =±,由x y =,x y ,而 x y <得不到22x y < 故选A. 例3.下列4个命题11 1 :(0,),()()23x x p x ?∈+∞< 第二章复合命题及其推理 一、下列语句是否表达命题?为什么? 1．不表达命题，因为它只是提出疑问，没有对事物情况做出反映。 2．表达命题，因为它用一个反诘疑问句，表达了对事物情况的反映，即“没有耕耘是不会有收获的。” 3．不表达命题，它只表达一种良好的祝愿，并未对事物情况做出反映。 4．表达命题，它用一个反诘疑问句，表达了对事物情况的反映。 5．表达命题，它用一个反诘疑问句，表达了“要想加罪于人，就不愁找不到借口”的命题。 6．表达命题。虽然它使用的是感叹句，但反映还是十分明确的。 7．不表达命题。 8．不表达命题。 9．不表达命题。 10．表达命题。 二、下列命题各属何种选言命题? 1．不相容的选言命题。在自然语言中，“或者……或者……或者”这个逻辑联结词是有歧义的。在某种语境中，它可以用来作为相容选言命题的联结词；在另一种语境中，它也可能用来作为不相容选言命题的联结词。在这个命题中，根据它的语境，它作为不相容选言命题的逻辑联结词。因为这个命题的三个选言肢实际反映了三种可能：第一种可能是这些作品政治上有错误但艺术上没有缺点；第二种可能是这些作品艺术上有缺点但政治上没有错误；第三种可能是这些作品政治上有错误而且艺术上有缺点。在这三种情况中，有而且只有一种 情况是真的，所以，它是不相容选言命题。（注：学术界也有人认为是表达相容选言命题） 2．相容的选言命题。 3．不相容的选言命题。 4．不相容的选言命题。 5．相容的选言命题。 6. 不相容选言命题。 三、指出下列各题中，A是B的什么条件(充分条件、必要条件、充分必要条件)? 1．充分条件。 2．充分必要条件。 3．充分必要条件。 4．必要条件。 5. 必要条件。 6．必要条件。 7．充分条件。 8．充分必要条件。 9．充分必要条件。 原命题若p 则q 否命题 若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否 互逆否互为逆 否 互 互逆 否 互浦东新王牌高一数学第02讲 命题与条件（学案） 教学目标： 1. 理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义； 2. 理解四种命题及其相互关系； 3. 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义； 教学重点：命题的四种基本形式，充分性与必要性 教学难点：否定词与等价命题 一. 知识点总结 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、常用正面词语的否定如下表： 3、四种命题的形式： 原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ； 逆否命题：若q 则p . 4、四种命题之间的相互关系： 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题?逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 5、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p ,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q . 辩一辩：p 是q 的充分不必要条件；q 的充分不必要条件是p 二. 例题讲解 例1. 写出下列命题的的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假： （1）若a =0，则ab =0； （2）若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形； （3）全等三角形的对应边相等； （4）四条边相等的四边形是正方形。 例2. 判断下列命题的真假： （1）质数都是奇数； （2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角； （3）若>0x ，>0y ，则0xy > 。 （4）若A B ,A C ,≠?≠?则B C ≠?。 例3. 已知命题：若>1,>-1x y 且，则+>0x y ，写出它的四种形式并判断真假。 例4. 已知(){} (){}1,| |1|0,,|1y A x y y B x y x =-=+===或，则A B （选填，刭）； 例5. |1|0,:11y x y αβ+===-且，则α β（选填???，,） 例6. 设{}(){} 22|20,,|20,M x x ax b c R N x bx a x b x R =-+=∈=+++=∈,则12M N ?? =?? ?? 的充要条件是 ．2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案
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