题型
1.由已知导数，求切线的方程
2.对简单的、常见函数进行求导
3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导
4.参数方程与一些个别函数的应用
5.常见的高阶导数及其求导
内容一．导数的概念
1.导数的定义
2.导数的几何意义
3.导数的物理意义
4.可导与连续之间的关系
二．导数的计算
1.导数的基本公式
2.导数的四则运算法则
3.反函数的求导法则
4.复函数的求导法则
5.隐函数的求导
6.参数方程所确定的函数的导数
7. 对数求导法
8.高阶导数
三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用
典型例题
题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用
题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数
题型V 可导、连续与极限存在的关系
自测题二
一．填空题 二．选择题 三．解答题
4月9日微分练习题
基础题：
（一）选择题 1.若
??
?≥+<+=1
,
1
,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A.
2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2,2-=-=b a
2. 设
0'()2f x =，则000
()()
lim
x f x h f x h h
?→+--＝( ).
A 、不存在
B 、 2
C 、 0
D 、 4
3. 设
)0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f
A.2
B.3
C.4
D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导
数
)()(x f n 是（ ）。 A 、1
)]
([+n x f n B 、1
)]
([!+n x f n C 、n
x f 2)]
([ D 、n
x f n 2)]([!
（二）填空题
5. 设 2
sin x e y = ，则=dy _____.
6.已知
x y 2sin =，则)
(n y
= .
7.设函数
()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=，
'0()2x θ=，
2x x dy dx
==，则'0()y θ=
.
8.设
0,sin )(>=a x x f ，则=--→h
a f h a f h 2)
()(lim
；
9. 已知设 cos2x
y e
= ，则=dy ____ _.
10.
sin x
y x =
，则2
x dy π=
=_____________
11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = .
12. 设
)]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则
=dx
dy
13．2
x x y =,则
dx
dy .=______
14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x
x
y -+=求.)
(n y
.
综合题：
（三）解答题
16. 求与抛物线2
25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的
直线方程.
17. 求幂指函数)0(>=x x y x 的导数.
18. 已知x
y
y x arctan
)ln(22
=+，求y '.
19. 求由参数方程????
?=+=t
y t
x arctan 1ln 2所确定的函数的一阶导数
dx
dy
和二阶导数2
2dx y
d .
20. 若隐函数()y y x =由方程2
2
ln()arctan y x y x
+=确定，求
(1)y '，1,0
x y dy
==．
4月10日导数与微分练习题
基础题
1. 在0=x 处，连续但不可导的函数是（ ）
A ：x y =
B ：3
1)1(-=x y C ：1ln -=x y D ：tgx y arg = 2. 设 4ln )(=x f ,则 0
lim →?x x
x f x x f ?-?+)
()(= ( )
A ：0
B ：
4
1
C ： ∞
D ： 4 3. 已知1)(0='x f ，则=--→t
x f t x f t sin )
()2(lim
000（ ） A ：3- B ：2- C ：1- D ：0
4. 设函数)(x f 在点a 可导，且12)
5()5(lim
0=--+→h
h a f h a f h ，则=')(a f （ ）
Ａ： 51 Ｂ： 5 Ｃ： 2 Ｄ： 2
1
5. 设函数)3)(1()(--=x x x x f ，则)0(f '=( )
A ：0
B ：1
C ：3
D ：31
6. 设 y=x sin 3则 y '=( )
A ：3ln 3sin x
B ：x x cos 3sin
C ：x x cos 3ln 3sin
D ：x x sin 3
1
sin -
7. 设3
sin 3
x
y =，则y '=( ) A ：3sin 32x B ：3sin 2x C ：3cos 3sin
32x x D ：3cos 3sin 2x x 8. 设,ln x x
y =则(='y ） A ：dx x x 2ln 1- B ：2ln 1x x - C ：21ln x x - D ：dx x x 2
1
ln - 9. 设)(x f e y =且)(x f 在0x 处可导，则='
=0
x x y （ ）
A ：)
(0x f e
B ：)
(0x f e
' C ：)
(00)(x f e
x f ' D ：)
(00)(x f e
x f '
10. 设)()(x g x f ='，则dx
x df )(sin 2=( )
A ：x x g sin )(2
B ：x x g 2sin )(
C ：)2(sin x g
D ：x x g 2sin )(sin 2
11. 设),(cos x f y =则
dx
dy
=( ) A ：x x f sin )(cos ' B ：x x f cos )(cos ' C ：x x f cos )(cos '- D ：x x f sin )(cos '-
12. 设x y sin =，则)2
()3(π
y =（ ）
A ： 0
B ： 1
C ： 1-
D ：
2
1 13. 设x y ln =，则)(n y =( )
A ：n
n
x
n --!)1( B ；n
n x
n 2)!1()1(--- C ：n n x n ----)!1()
1(1
D ：11!)1(+---n n x n
14. 已知曲线22
-+=x x y 上点M 处的切线与直线13+=x y 平行，则点M 的坐标为
（ ）
Ａ： )1,0( Ｂ： )0,1( Ｃ： )0,0( Ｄ： )1,1(
15. 过曲线x y ln =上点)0,1(处的法线方程是_________________
16. 设函数)(x f y =有2
1
)(0='x f ，则当0→?x ，)(x f 在0x x =处的微分dy 是 ( )
A ：与x ?等价的无穷小
B ：与x ?同阶的无穷小，但不是等价的无穷小
C ：比x ?高阶的无穷小
D ：比x ?低阶的无穷小
17. 当x ?很少，且0)(0='x f ，函数在0x x =处改变量y ?和微分dy 的关系是（ ）
A ： dy y
B ： dy y >?
C ： dy y =?
D ： dy y ≈?
综合题：
18. 已知函数在点0x 处可导,且4
1
)()2(lim
000
=--→x f x x f x x ,求 )(0x f '
19. 求由曲线1sin 3+-=x e y x 在点)2,0(的切线与法线方程
20. 设函数0
,2sin ,)(>≤???+=x x b x e x f ax 可导，求常数b a ,
21. 求函数x x y tan ln cos ?=的导数 22.求x
y x
sin 2arctan =的导数
23. 设 ,1arcsin 2
x y -=求 2
2=
'
x y 24. 设 x
e x y x
arccos )1(ln -= ， 求)0(y '
25. 设x
x x x x y 2
2
1ln arccos +++=,求y '
26.设 )21l n ()1(2x x x x y ++++=)－22x x +, 求 dy
4月11日导数与微分练习题
综合题：
1.求由方程0ln 2
2
=-+x y y x 所确定的隐函数的导数与微分
2. 设 x x y 5=，求dy
3. 求函数x y sin 1+=的2阶导数
4. 设x xe
y =，求1
='
'x y
5. 设1arctan ln 122---=x x x y ,求)5(y '
6. 设函数()y y x =由方程sin()0xy x y -+=确定，求dx
dy
.
7.求由曲线?????==-t
t
e
y e
x 2在相应0=t 点处的切线方程和法线方程。
8.已知x x y 2sin 2=，求()50y
9.已知x
x y +-=11，求()
n y
10. 设函数()x f 和()x g 可导，且()()022
≠+x g x f ，试求函数()()x g x f
y 22
+=
的导
数。
11. 设方程x
y
y x =确定了y 是x 的函数，求dy
12. x
x x y ??
?
??+=1，求dy
13. ,sin 22
x
x y x
+=求dy
基础题：
14. 设()()()()10021---=x x x x f ，则()()=+'771f f ______________
15. 函数()
?????-=?=t
t
e
y e
t x 2ln 在0=t 处的切线方程为___________________
16. 设()x
x f -=11
ln ，则()()0n f =_________________
17. 设()x e x x f -?=，则()()x f n =___________________
18. 若直线b x y +=3是曲线452++=x x y 的一条切线，则b _____________
4月12日导数与微分练习题
一。导数的概念
1. 函数)(x f y =在0x x =处可导,则=?-?+→?x
x f x x f x )
()(lim
000
.
2.设)(x f 在0x 处可导,已知32)
()2(lim
000
=-+→x
x f x x f x ,则=)('0x f .
A.3
B.1
C. 0
D.2 3.设)(x f 是可导函数，且1)
()2(lim
000
=?-?+→?x
x f x x f x ，则=)(0'x f ____ ____.
A.1 ；
B.0 ；
C.2；
D.2
1 4.函数x
y 1
sin
=在0=x 处__ _ ___. A ． 连续，可导 B. 连续，不可导 C.不连续，不可导 D.不连续，可导
5.函数|1|-=x y 在1=x 处__ ___.
A.连续，可导
B.连续，不可导
C.不连续，不可导
D.不连续，可导
6.在区间),(b a 内，如果)()(x f x g '='，则必有____ ___.
A. )()(x g x f =.
B. c x g x f +=)()( .
C.)(x f 与)(x g 为任意函数.
D. 0)()(=+x g x f .
二．求导数 （一）复合函数求导数
1.设)(2
x f y -=，则dy =____________.
A. '
2
()xf x dx -. B.dx x xf )(22'--. C. dx x f )(22'-. D. dx x xf )(22
'-. 2.设x n e x
y +=-1
（n 为自然数）
，则=)
(n y _________.
A. n!+n x e ； ；
B.n!；
C. x e
D. n!+x
e
3.设1
1
22+-=x x y ，求dy . 4. 设a n x a x a y ++=，求dy .
5.设)21ln(cos x y +=，求dy
6. 已知x e y x cos =，求dy .
7.设函数x e y x sin -=，求dy 8. 已知4
ln y x π=
+，求y '.
9.设()
x e x y +=22ln ,求y '. 10.设x x xe a y 2+=，求y '.
11.设2arcsin x e y x +=，求'y . 12.已知cos ln 2y x x =++，求y '.
13.已知 21ln x y -=, 求y . 14.设)(x f 可导,)(ln 2x f y =,求y '.
（二）隐函数求导数
1.设函数()y f x =由方程sin 0y x y ++=确定，求y '.
2.设函数()y f x =由方程2ln y x y =+确定，求y '.
3.求方程0ln 2
=+-y y x 所确定的隐函数)(x f y =在给定点（1，2）处的导数.
4.求方程3220y y x +-=所确定的隐函数()y f x =在给定点（1，1）处的导数.
5. 设y
x e
xy +=，求
dx dy . 6.设0=-+e e xy y
，求dx
dy .
（三）幂指函数求导数 1.设x
x
y sin =，求
dx dy . 2.设x
y y x =，求dx
dy .
（四）求高阶导数
1.设函数()()
3
x x e e x f -+=，求()x f '和()x f ''.
2.设函数x x y ln 2=，求y '和y ''.
3.求函数x e y 3=的n 阶导数.
4.设函数33ln y x x =，求y '和y ''.
5.设x e x f x sin )(=，求''()f x .
三、导数的几何意义
1.求出曲线22x y =在点（1，2）处的切线与法线方程．
2.已知抛物线222+-=x x y .（1）求抛物线在点()03,5M 处的切线方程和法线方程.（2）抛物线上哪一点处的切线平行于x y 4-=.
关于导数的29个典型习题 习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。 解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可 解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛 而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
1．求 导：（1）函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3 )---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)．5 4 (B)．5 2 (C)．5 1 (D)． 5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为 （ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，
底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
导数与微分测试题（一） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（ ） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、 曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的 切线与x 轴正向的交角为 4 π 。
5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续， 求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使 得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一） 一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --； 三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--；
第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)
第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??
第五章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念 微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解： 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。 例1 课本294页 例1 二、独立的任意常数 线性相关与线性无关： 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k 成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是 ) () (21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果 ) () (21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关.
独立的任意常数： 在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关. 例2 课本297页 例4 第二节 可分离变量的微分方程 一、定义 形如 )()(d d y g x f x y = 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数. 二、求解方法 可分离变量的微分方程 )()(d d y g x f x y =的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ??= x x f y y g d )(d )(. 【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2 的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1 1 12 -=- 两端积分 ? ? -=-dx x dy y y 111 2得 ||ln |1|ln |1|ln 2 1 12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解
导数与微分习题（基础题） 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可导，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
第二章 导数与微分 单元测试题 考试时间：120分钟 满分：100分 试卷代码：M1-2b 一、选择题(每小题2分，共40分) 1．两曲线21y y ax b x = =+，在点1(22 ，处相切，则（ ） A．13164a b =-=， B．11164 a b ==， C．912a b =-=， D．712a b ==-， 2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（ ） A．201lim (1cos )h f h h →-存在 B．01lim (1)h h f e h →-存在 C．201lim (sin )h f h h h →-存在 D．[]01lim (2)()h f h f h h →-存在 3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（ ） A．间断点 B．连续而不可导的点 C．可导的点，且(0)0f '= D．可导的点，且(0)0f '≠ 4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0lim x dy y y →-= （ ） A．-1 B．1 C．0 D．∞ 5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2 ()()f x f x '=，则()()n f x =（ ） A．[]1()n n f x + B．[]1!()n n f x + C．[]1(1)()n n f x ++ D．[]1(1)!()n n f x ++ 6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤??=?>?? +cos 在0x =处可导，则（ ） A．22a b =-=， B．22a b ==-， C．11a b =-=， D．11a b ==-， 7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f 不存在的最小正整数n 必为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x =的（ ）
题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导 内容 一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系 二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数
三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用 典型例题 题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用 题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数 题型V 可导、连续与极限存在的关系 自测题二 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月9日微分练习题 基础题： （一）选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a
2. 设 0'()2f x =，则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--＝( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于 2的正整数时， )(x f 的n 阶 导数 )()(x f n 是（ ）。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! （二）填空题 5. 设 2 sin x e y = ，则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =，则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=， '0()2x θ=， 2x x dy dx ==，则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ，则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ； 9. 已知设 cos2x y e = ，则=dy ____ _. 10. sin x y x = ，则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13．2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题： （三）解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的
1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．
第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.
题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.
导数、微积分 1、（2012德州二模）如图，在边长为π的正方形内的正弦曲线sin y x x =与轴围成的区域 记为M （图中阴影部分），随机往正方形内投一个点P ，则点P 落在区域M 内的概率是 A ．2 1 π B ．2 2 π C ． 2 3 π D ． 2 4 π 答案：B 解析：区域M 的面积为：S M ＝0 sin xdx π ? ＝－cosx 0|π＝2，而正方形的面积为S ＝2 π，所以， 所求概率为P ＝ 2 2 π ，选B 。 2、（2012济南三模）已知函数2 ()321f x x x =++，若1 1 ()2()(0)f x dx f a a -=>? 成立， 则a ＝________. 答案：1 3 解析：因为??-11f(x)d x ＝??-1 1 (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x)|1－1＝4，所以2(3a 2 ＋2a ＋1)＝4?a ＝－ 1或a ＝13 . 3、（2012莱芜3月模拟）函数201 ()212x x f x x x ?≤≤=?-≤≤? 的图像与x 轴所围成的封闭图形 的面积为 . 【答案】5 6 【解析】 6 5)212(3 1)2()(21210 32 1 1 2 2 =- += -+=??? x x x dx x dx x dx x f 4、（2012济南三模）已知α、β是三次函数32 11()2(,)32 f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则3 2 b a --的取值范围是（ ） A ．2(,)5 -∞ B ．2(,1)5 C ．(1,)+∞ D ．2(,)(1,)5 -∞?+∞ 答案：B 解析：因为函数有两个极值，则0)('=x f 有两个不同的
第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时) §1 导数的概念 ( 2 时) 一． 导数的背景与定义： 1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2. 导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法. 有限增量公式: .0 ),( )(0→? ?+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2 x x f = 求). 1 (f ' 例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .) 3()(lim 000 h h x f x f h --→ 3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况. 例4 设?? ?<≥-=. 0, ,0, cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数. 二. 导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2 )(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程. 三. 可导与连续的关系: Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续. 例6 证明函数)()(2 x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数. 四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. .) ()(lim )(0x x f x x f x f x ?-?+='→? (注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n x x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=. 五 导函数的介值性:
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， ； 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]
高等数学导数与微分试题
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作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。
高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 学号 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]
第二章 导数与微分 复习自测题 一、选择题： 1、函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '定义为（ ） A x x f x x f ?-?+)()(00 B x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim 000 C x x f x f x x ?-→)()(lim 00 D 0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→ 2、设函数)100)(99()2)(1()(--???--=x x x x x x f ，则=')0(f （ ） A 100 B 100- C 100! D 100-! 3、曲线x y sin 2 += π 在0=x 处的切线的倾斜角为（ ） A 2 π B 4 π C 0 D 1 4、函数1ln )(-=x x f 的导数是（ ） A 11)(-='x x f B 11)(-='x x f C x x f -='11)( D 11 1 ()1 1 1x x f x x x ??-? 5、微分运算 =) (arccos ) (arcsin x d x d （ ） A x arc cot B 1- C x tan D 1 6、设()f x 在x a =的某个领域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是（ ） A 1 lim [()()]h h f a f a h →+∞ +-存在 B 0(2)() lim h f a h f a h h →+-+存在 C 0()() lim 2h f a h f a h h →+--存在 D 0 ()() lim h f a f a h h →--存在
微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导 应用题的是弹性函数和利用函数求最值 以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整