高等数学练习题 第二章 导数与微分
第一节 导数概念
一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x
x f x x f x ?-?-→?)
()(lim
000
= )(0x f '-
2. 若)(0x f '存在，h
h x f h x f h )
()(lim
000
--+→= )(20x f ' .
000
(3)()
lim
x f x x f x x
?→+?-?=03()f x '.
3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim
)000
x f x x f x
x 4
1
4.已知物体的运动规律为2
t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（
3
π
，21）处的切线方程为03
123=-
-+π
y x ，法线方程为
03
22332=-+
-π
y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ?
可导
<≠
?
| 连续 <≠? 极限存在。
二、选择题
1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x
x f x )
(lim 0→= [ B ]
（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2
1
)0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x
x b x f x a x f x ??--?+→?)
()(lim
0 = [ B ]
（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D)
2
b
a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要
4．设曲线22
-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]
（A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1) 5.设函数|sin |)(x x f =，则 )(x f 在0=x 处 [ B ] （A ）不连续。 （B ）连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 （D ）可导，且导数也连续。
三、设函数???>+≤=1
1
)(2x b ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a ，b 应取什
么值。
解：由于)(x f 在1=x 处连续, 所以 )1()1(1)1(f b a f f =+===+-
即
1=+b a
又)(x f 在1=x 处可导，所以
2'11
(1)lim 21
x x f x --
→-==-
'1
()
(1)lim 1
x ax b a b f a
x +
+→+-+==-
有 2=a ， 1-=b 故 求得 2=a ， 1-=b
四、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '=0。
解：由于)(x f 是偶函数, 所以有 )()(x f x f -=
0()(0)
(0)lim 0
x f x f f x →-'=-
0()(0)
lim 0
x f x f x →--=-
()(0)
lim (0)x t
t f t f f t
=→-'==--令 即 0)0(2='f ， 故 0)0(='f
五、 证明：双曲线2
a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
解：22
2,x
a y x a y -='=在任意),(00y x 处的切线方程为
)(020
2
0x x x a y y --=-
则该切线与两坐标轴的交点为：)2,0(0
2
x a 和)0,2(0x
所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为
20
2
22221a x x a A =??=，
（a 是已知常数） 故其值为定值.
第二节 求导法则
一、填空题
1．x x y sin )sec 2(+=, y '=1cos 2tan
2
++x x ; x e y sin -=, y '=x xe sin cos --.
2．)2cos(x
e y =，y '= 2sin(2)x
x
e e -; y =
x x
2sin ，y '=22sin 2cos 2x
x x x - 3．2
tan
ln θ
ρ=，ρ'=θcsc ; =r 2ln log 2+x x , r '=e x 22log log +
4. )tan ln(sec t t w +=, w '=t
sec . 2arccos()y x x =+，
y '
=
5. =
'+)1(2x 2
1x
x +; (
c x ++21 )'=
2
1x
x + .
6. ]2
tan [ln 'x
= ; ( c x x +++)1ln(2
)'=
2
11x
+ .
二、选择题 1．已知y=
x
x
sin ，则 y '= [ B ] （A ）2cos sin x x x x - (B) 2sin cos x x x x - (C) 2
sin sin x
x x x - (D)x x x x sin cos 2
3- 2. 已知y=x
x
cos 1sin + ，则 y '=
[ C ]
（A ）1cos 21cos +-x x (B) 1cos 2cos 1-+x x (C) x cos 11+ (D) x
x cos 11
cos 2+-
3.
已
知
x
e y sec =，则
y '
=
[ A ]
（A ）x
x
x
e e e tan sec (B) x x
e e tan sec
(C) x e tan (D)x
x e e cot
4.
已
知
)
1ln(2x x y ++=，
则
y '
=
[ A ] （A ）2
11x + (B) 21x + (C)2
1x x
+ (D) 12-x 5.
已
知
x
y cot ln ==，
则
4
|
π
=
'x y =
[ D ]
（A ）1 （B ）2 （C ）2/1- (D) 2- 6.
已
知
x
x y +-=
11，则
y '
=
[ B ] （A ） 2)1(2+x (B) 2)1(2+-x (C) 2)1(2+x x (D) 2
)
1(2+-x x
三、计算下列函数的导数：
(1) y =+ (2) )tan(ln x y =
解：
2
3
1
1(ln )3y x x -''=+ 解：
x
x y 1
)
(ln sec '2= 2311
1(ln )33y x x x -'=
+ )(ln sec 12x x
= (3) v e u 1sin 2
-= (4 ) )(ln sec 3
x y =
解：?-?=-v e
u v
1sin 2('1sin 2
))1
(1cos 2v v -? 解：?=)sec(ln )(ln sec 3'2x x y x
x 1)tan(ln ?
v e v v 1
sin 22
2sin 1-= )tan(ln )(ln sec 33x x x
=
(5) ln(y x = (6) 1arctan
1x
y x
-=+
解：''
y x
=解：
2
11
()
11
1()
1
x
y
x x
x
-
''
=
-+
+
+
=
2
1
1x
-
=
+
=
四、设)
(x
f可导，求下列函数y的导数
dx
dy
（1）)(
)
(x f
x e
e
f
y=(2))
(cos
)
(sin2
2x
f
x
f
y+
=
解：)(
)
('
'x f
x
x e
e
e
f
y?
?
=解：x
x
x
f
y cos
sin
2)
(sin
'
'2
=
)
('
)
()(x
f
e
e
f x f
x?
?
+2
'(cos)(2cos(sin))
f x x x
+?-
＝)
(
)
('
)
('
[)(x
x
x
x
f e
f
x
f
e
f
e
e+＝22
sin2('(sin)'(cos))
x f x f x
-
(3) )]
(
arctan[x
f
y=(4))]
(
sin[
)
(sin x
f
x
f
y+
=
解：)
('
)
(
1
1
'
2
x
f
x
f
y?
+
=解：+
=x
x
f
y cos
)
(sin
'
')
('
))
(
cos(x
f
x
f?
＝
)
(
1
)
('
2x
f
x
f
+
+
=)
(sin
'
cos x
x))
(
cos(
)
('x
f
x
f
第三节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、填空题
1．设y
xe
y+
=1，则y'=
y
e y
-
2
.
2. 设)
tan(r
r+
=θ，则r'=)
(
csc2r+
-θ .
3. 设
x
y
y
x arctan
ln2
2=
+,则y'=
y
x
y
x
-
+
。
4．设
?
?
?
=
=
t
e
y
t
e
x
t
t
cos
sin
，则
dx
dy
=
t
t
t
t
cos
sin
sin
cos
+
-
，
3
|
π
=t
dx
dy
=2
3-。
二、选择题
1. 由方程0
sin=
+y
xe
y所确定的曲线)
(x
y
y=在（0，0）点处的切线斜率为[ A]
（A ）1- （B ）1 （C ）
21 （D ）2
1- 2. 设由方程22
=xy 所确定的隐函数为)(x y y =，则dy =
[ A ]
（A ）dx x y 2- （B ）dx x y 2 （C ）dx x y - （D ）dx x
y
3. 设由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数为)(x y y =，则dx
dy
=
[ A ] （A ）
y cos 22- （B ）y sin 22+ （C ）y cos 22+ （D ）x
cos 22
-
4. 设由方程???-=-=)
cos 1()sin (t a y t t a x 所确定的函数为)(x y y =，则在2π
=t 处的导数为
[ B ]
（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）2
1
-
5.
设由方程arctan x y t ??=?=??)(x y y =，则=dx dy [ B ]
（A
）2t （B ）1
t
（C ）12t ； （D ）t .
三、求下列函数的导数
dy dx
1．2223
3
3
x y a += ， 2. 33
cos sin x a t
y a t
?=?=? 解:方程两边同时对x 求导,得 解: 22
3sin cos tan 3cos sin a t t
y t a t t
'==-- 113322
'033
x y y --+=
y '= 3．23
10x
y x y ye +++= 4. x e x x y -=
1sin
解:方程两边同时对x 求导,得 解:
)1ln(4
1
sin ln 21ln 21ln x e x x y -++=
关于导数的29个典型习题 习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。 解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可 解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛 而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴
导数与微分测试题（一） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（ ） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、 曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的 切线与x 轴正向的交角为 4 π 。
5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续， 求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使 得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一） 一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --； 三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--；
导数与微分习题（基础题） 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可导，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导 内容 一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系 二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数
三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用 典型例题 题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用 题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数 题型V 可导、连续与极限存在的关系 自测题二 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月9日微分练习题 基础题： （一）选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a
2. 设 0'()2f x =，则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--＝( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于 2的正整数时， )(x f 的n 阶 导数 )()(x f n 是（ ）。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! （二）填空题 5. 设 2 sin x e y = ，则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =，则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=， '0()2x θ=， 2x x dy dx ==，则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ，则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ； 9. 已知设 cos2x y e = ，则=dy ____ _. 10. sin x y x = ，则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13．2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题： （三）解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的
第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.
题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.
微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导 应用题的是弹性函数和利用函数求最值 以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整
第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ?= 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 ) (1 )(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1= 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 34 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ
可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αααααα)1()2()1()()( (2) x n x e e =)()( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln() (1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax
导数与微分练习题 (2)
题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导 内容一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系 二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数
三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用 典型例题 题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用 题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数 题型V 可导、连续与极限存在的关系 自测题二 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月9日微分练习题 基础题： （一）选择题 1.若?Skip Record If...?在?Skip Record If...?处可导，则（） A. ?Skip Record If...? B. ?Skip Record If...? C. ?Skip Record If...? D. ?Skip Record If...? 2. 设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?＝( ). A、不存在 B、 2 C、 0 D、 4 3. 设?Skip Record If...?, 则?Skip Record If...?
A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数?Skip Record If...?具有任意阶导数，且?Skip Record If...?，则当?Skip Record If...?为大于2的正整数时，?Skip Record If...?的?Skip Record If...?阶导数?Skip Record If...?是（）。 A、?Skip Record If...? B、?Skip Record If...? C、?Skip Record If...? D、?Skip Record If...? （二）填空题 5.设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?_____. 6.已知?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?= . 7.设函数?Skip Record If...?由参数方程?Skip Record If...?确定，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?均可导，且?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则 ?Skip Record If...?. 8.设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?； 9.已知设 ?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?____ _. 10.?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?_____________ 11.已知函数?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?= . 12.设?Skip Record If...?, 其中?Skip Record If...?为可导函数, 则?Skip Record If...? 13．?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?.=?Skip Record If...? 14.已知函数?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?= 15.设函数?Skip Record If...?求?Skip Record If...? . 综合题： （三）解答题 16.求与抛物线?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?且与抛物线相切的直线方程. 17.求幂指函数?Skip Record If...?的导数. 18. 已知?Skip Record If...?，求?Skip Record If...?. 19. 求由参数方程?Skip Record If...?所确定的函数的一阶导数?Skip Record If...?和二阶导数?Skip Record If...?.
第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”.微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生.本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代.而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展.生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展.在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1)求变速运动的瞬时速度； (2)求曲线上一点处的切线； (3)求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题.牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度 ★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4★例5★例6★例7 ★左右导数★例8★例9 ★导数的几何意义★例10★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12★例13★例14★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题2-1★返回 内容要点： 一、引例：引例1:变速直线运动的瞬时速度；引例2:平面曲线的切线 二、导数的定义： x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质:函数增量与自变量增量的比值x y ??是函数y 在以0x 和x x ?+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='则是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量：); ()(x f x x f y -?+=?
作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(2 2a x x y ++ =；（5）1 1arctan -+=x x y ；（6）x x x y ) 1( +=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) c os 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数 dx dy 与二阶导数 22 dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线 12 22 2=- b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?? ???=,0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2 sin cos )sin ( x x x x x x y -= '='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )c o s s i n (bx b bx a e ax +=。
高等数学 三、计算题（共 200 小题，） 1、设x e x f 3)(=，试直接利用导数定义求)(x f '。 2、设x x x f 2)(3 +=，试用导数定义求)(x f '。 3、设x x f 1 )(= ，试用导数定义求).1(f '。 4、设x x f 2)(=，试直接利用导数定义求)(x f '。 5、设2 )(x e x f =，试利用导数定义求)(x f '。 6、设x x f 51ln )(+=，试利用导数定义求)(x f '。 7、设)(x f 在1=x 处可导且2)1(='f ，求极限x x f x f x ) 1()1(lim 0+--→。 8、设)(x f 在a x =处可导且b a f =')(，求极限h hx a f h a f x ) 2()(lim 0+--→。 9、设)(x f 在1=x 处可导，且2)1(='f ，求极限t f t f x 3sin ) 1()21(lim 0-+→。 10、 x e x x f f f x x f x x 220sin ) tan (lim 3)1(0)1(1)(+='==→，试求，可导，且在已知 11、 f x x f x a n f x n f x n ()()lim ()()在处可导，且，求极限．000012'=+-???? ? ?→∞ 12、 ．处可导，求极限在设 0 000) ()(lim )(0 x x x f x x xf x x x f x x --=→ 13、 已知 ，求．'=----→f x x f x x f x x x ()lim ()() 00 0052 14、 设 ，其中在处可导，且求．f x x x e x x x f x x x ()()sin ()()(),lim ()= -==→???100020
第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量 =?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()() =?-?-→?x x f x x f x 000 lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则 =dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ． ()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0,2sin 0 ,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
常微分方程 一、一阶微分方程的可解类型 （一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程 1.（05,4分）微分方程_________.1 2ln (1)9 xy y x x y '+==-满足的解为 2 2 22223332.+ln ,=ln . 111 ln ln ln . 339 111 (1)0ln . 939 dx x dy y x e x dx x d x x x dx x x xdx C xdx C x x x y C y x x x ?==+=+-=-=?=-??分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为两边乘得 (y)= 积分得 y=C+由得 2.（06,4分） (1) y x x -'————.微分方程y = 的通解为 111 (1).ln ln .,C x x dy dx y x x C y e x e y x y Cxe C --=-=-+==分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得 积分得，即因此，原微分方程的通解为 其中为任意常数. （二）奇次方程与伯努利方程 1.（97,2,5分）2 2 2 (32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=求微分方程的通解. 22223122+1-23 , 1ln 13ln ,1=..y xu dy xdu udx u u dx x u du u du dx u u x u u x C u u Cx y C u x xy y x x -=-+-+-=-++-= +-=解：所给方程是奇次方程.令 =,则=+.代入原方程得 3（1-）+(1-2)=0. 分离变量得 积分得 即以代入得通解 2.(99,2,7分) 1(0(0),0 x y dx xdy x y =?-=>??=??求初值问题的解.