第二章 导数与微分 复习自测题
一、选择题（每小题3分，共18分）：
1、函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '定义为（ ） A
x x f x x f ?-?+)()(00 B x
x f x x f x x ?-?+→)
()(lim 000 C x x f x f x
x ?-→)
()(lim
00
D 0
0)()(lim 0x x x f x f x x --→ 2、设函数)100)(99()2)(1()(--???--=x x x x x x f ，则=')0(f （ ） A 100 B 100- C 100! D 100-! 3、曲线x y sin 2
+=
π
在0=x 处的切线的倾斜角为（ ）
A 2
π B 4
π
C 0
D 1 4、函数1ln )(-=x x f 的导数是（ ）
A 11)(-='x x f
B 11)(-='x x f
C x x f -='11)(
D 11
1
()1
1
1x x f x x x
?
-'=??>?-?
5、微分运算
=)
(arccos )
(arcsin x d x d （ ）
A x arc cot
B 1-
C x tan
D 1
6、设()f x 在x a =的某个领域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是（ ）
A 1
lim [()()]h h f a f a h
→+∞
+-存在 B 0
(2)()
lim
h f a h f a h h →+-+存在
C 0
()()
lim
2h f a h f a h h
→+--存在
D 0()()
lim h f a f a h h
→--存在
二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设21arccos )(x x x x f --=，则=')0(f ；
2、若2
()(1)0
ax e x f x b x x ?≤=?->? 处处可导，则=a ，=b ； 3、设曲线22-+=x x y 在点P 处的切线的斜率等于3，则P 点的坐标为； 4、已知)(2x x f y -=，且f 的二阶导数存在，则=''y ； 5、设)(x f y =，已知36)
2()(lim
000
=+-→x
x x f x f x ，则==0
x x dy
。
三、解答题（共62分，1—3题每小题6分，4－6题每小题8分，7－8题每小题10分） 1、设方程y x xy e y +=+)sin(2确定y 是x 的函数，求y '。 2、已知x x y sin )(tan = 求y '。 3、求x y 2sin = 的n 阶导数。
4、已知sin cos t
t
x e t y e t ?=??=??
，求当3t π=时dy
dx 和的值。
5、已知
1sin 0;()0
0,
x x f x x x μ
?≠?
=??=?问μ为何值时，满足
（1）()f x 在0x =处连续； （2）()f x 在0x =处可导；
6、若函数2
1()1
x x f x ax b
x ?≤=?
+>? 处处可导，试求,a b 的值。
7、证明：曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。
8、设()f u 可导，若22(sin )(cos )y f x f x =+，试求dy
dx
。
参考答案
一、选择题：
1． D 2. C 3. B 4. B 5. B 6. D
二、填空题
1．2
π 2. 0,1a b == 3. (1, 0) 4. 222""()(21)2'()y f x x x f x x =--+- 5. 0
9x x dy dx ==-
三、解答题
1.222
1cos()
'2cos()1
y y xy y e xy xy -=+- 2.sin '(cos ln(tan )sec )tan x y x x x x =+ 3.()
2sin(2)2
n n y x n π
=+
4.2
(14-
5.提示：0
0lim 1000
x x μμμμ→∞
?
（1）当0μ>时，()0f x x =在处连续
（2）当1μ>时，()0f x x =在处可导，且导数为0 6．提示：可导必连续！
连续即：11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -
+
→→==，可推出1a b +=；
可导则：11()(1)()(1)
lim
lim 11
x x f x f f x f x x +
-
→→--=--，可推出2a =，则1b =-。 7. 提示：2a y x =在2
0020
(,)a x y k x =-处的斜率为，
切线方程为22
000200
(),a a y y x x y x x -=--=且，则切线在x 轴，y 轴上的截距为
2
00
22,
a x x ，则三角形面积：220012222a S x a x == 8. 22
'sin 2['(sin )'(cos )]y x f x f x =-
第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s ??=??, 这个比值可认为是动点在时间间隔t ?t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t ?t 0→0, 取
比值 0) ()(t t t f t f ??的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t ??=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000) ()(tan x x x f x f x x y y ??=??=?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x ??=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 令, x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x ??→ . , 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x ?y =f (x 0+?x )?f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ???+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =
第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??
第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)
第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法. （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0 x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0 x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0 x f x x f y -?+=?，若极限 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则称)(x f 在点0 x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0 x 处的导数，记为)(0 x f '，也可记为0 00 0d d d d , ,)(x x x f x x x y x x y x y ===' '或，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0 x 处不可导. 若固定0 x ，令x x x =?+0 ，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在 点0 x 处的导数)(0 x f '也可表示为 00 ) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→.
第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .
第五章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念 微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解： 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。 例1 课本294页 例1 二、独立的任意常数 线性相关与线性无关： 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k 成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是 ) () (21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果 ) () (21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关.
独立的任意常数： 在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关. 例2 课本297页 例4 第二节 可分离变量的微分方程 一、定义 形如 )()(d d y g x f x y = 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数. 二、求解方法 可分离变量的微分方程 )()(d d y g x f x y =的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ??= x x f y y g d )(d )(. 【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2 的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1 1 12 -=- 两端积分 ? ? -=-dx x dy y y 111 2得 ||ln |1|ln |1|ln 2 1 12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解
P61 习题3-1 1、根据定义求导数： (1)cos y x = 00000cos()cos lim 2sin sin 22lim sin()sin 22lim 2 sin 2lim sin()lim 22 sin x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→+?-'=?+?++?--=???+=-???=-+?=- 12 (2)y x = 112 2 012()lim lim lim 12x x x x x x y x x ?→?→?→-+?-'=?==== (3)y = 033 223 2 2 2(lim lim lim lim x x x x x x y x ?→?→?→?→+?'=?==== =(4)x y a = 001lim lim x x x x x x x a a a y a x x +???→?→--'==?? 设t x =?，则 01 lim t x t a y a t →-'= 再设t s a =，则log a t s =，于是 11 1 1 110 1 1lim log 1lim log 1 lim log [1(1)] 1log ln x s a x s s a x s s a x a x s y a s a s a s a e a a →→--→--'===+-== 2、
0000000()()(1)lim [(()]() lim () x x f x x f x x f x x f x x f x ?→-?→-?-?+-?-=--?'=- 00000000000000000000000()()(2)lim ()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2() x x x x x x f x x f x x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x f x f x ?→?→?→?→?→?→+?--??+?-+--?=?+?---?=+??+?--?-=-??''=--'= 000()(3)lim ()lim (0)(0)lim (0) x x x f x x f x x f x f x f →?→?→?=?+?-=?'= 00001001 (4)lim [()()]1 ()() lim 1() n n n f x f x n f x f x n n f x →∞→+-+-='= 3、证： ()f x 为偶函数且(0)0f =，则 00000(0)(0)(0)lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim (0)x x x x x f x f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f - - - - + -?→?→?→?→-?→++?-'=??-=?-?-=?-?-=--?-?-=--?'=- 又()f x 在0x =处可导，则 (0)(0)f f -+''= 即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。 4、证： （1）设()f x 为可导的奇函数，则： 0000()()()lim ()()lim ()() lim [()]() lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?--?+=?-?-=-?+-?-=-?'= 所以()f x '为偶函数。 （2）设()f x 为可导的偶函数，则：
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， ； 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]
第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =
第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时) §1 导数的概念 ( 2 时) 一． 导数的背景与定义： 1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2. 导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法. 有限增量公式: .0 ),( )(0→? ?+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2 x x f = 求). 1 (f ' 例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .) 3()(lim 000 h h x f x f h --→ 3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况. 例4 设?? ?<≥-=. 0, ,0, cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数. 二. 导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2 )(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程. 三. 可导与连续的关系: Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续. 例6 证明函数)()(2 x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数. 四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. .) ()(lim )(0x x f x x f x f x ?-?+='→? (注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n x x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=. 五 导函数的介值性:
x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义
10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导
第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=
法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;
第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；
第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。
8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '
4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''
2020年数学分析教案华东师大版第五章导数和微分精编版
第五章导数和微分 教学目的： 1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分； 2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算； 3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。 教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。 教学时数：16学时 § 1 导数的概念（4学时） 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。 教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数
的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。 教学重点：导数的概念。 教学难点：导数的概念。 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。 一、问题提出：导数的背景. 背景：曲线的切线；运动的瞬时速度. 二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求 例2 设函数在点可导, 求极限 2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3考查在点的可导情况. 3.导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.
第五章 导数与微分 §1 导数的概念 【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定 义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 【教学难点】导数的概念。 一、导数的定义 1．引入（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时 刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。 问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α， 当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→. 2．导数的定义 以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0 0()(lim x x x f x f x x --→） 存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或 .0 x x dx dy =