第三章 函数的导数与微分
习题 3－1
1. 根据定义求下列函数的导数: (1)
x y 1
=
(2)x y cos =
(3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y =
解(1)因为
00()()'lim
lim
x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==??
=x x x x x ?-?+→?1
1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21
x -
所以
21
y x '=-
. (2) 因为00cos()cos 'lim
lim
x x y x x x y x x ?→?→?+?-==??
02sin()sin
22 lim
sin x x x
x x x ?→??-+==-?
所以sin y x '=-
(3) 因为
00[()][]'lim
lim
x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==??
=x x a x ??→?0lim
=a
所以y a '=
(4)
因为
00'lim
lim
x x y y x x ?→?→?-==??
=
)(lim
0x x x x x
x +?+??→?
lim x ?→==
所以
y '=
.
2. 下列各题中假定)(0'
x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么?
(1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000
(2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0('
f )存在)
(3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0('
f 存在)
(4) A
h h x f h x f h =--+→)
()(lim
000
解（1）因为x x f x x f x ?-?-→?)()(lim
000
=x x f x x f x ?--?--→?)()(lim 000=
)(0'
x f - 故
)(0'
x f A -=. (2) 因为x x f x )(lim
→=0)
0()(lim 0--→x f x f x =)0('
f
故
)0('f A =. (3) 因为x f tx f x )0()(lim
-→=tx f tx f t x )
0()0(lim 0-+→=)0('
tf
故)0('
tf A =.
(4) 因为000
()()
lim
h f x h f x h h →+--
00000000000()()()()lim[]()()()()lim lim ]h h h f x h f x f x h f x h h
f x h f x f x h f x h h →→→+---=-+---=+-
=)()(0'0'x f x f +=
)(20'x f 故
)(20'
x f A =. 3.已知
2,,x y x ?=?
?11≥ 当1 lim 1--+ →x x x =1 1) 1()(lim )1(1'--=- →- x f x f f x =11lim 21---→x x x =2 )1()1(''-+≠f f 即)1(' f 不存在. 故 '2,()1,x f x ?=? ?11> 证由于f (x )为偶函数，所以f (-x ) = f (x ) 则 0()(0)()(0) (0)lim lim 00x x f x f f x f f x x →-→---'==---- 0()(0) lim '(0) 0t f t f t x f t →-=--=-- 故(0)0f '=. 5.讨论下列函数在0=x 处的连续性和可导性： (1) 2 1sin ,0,x y x ??=???00=≠x x (2) cos y x = (3) 2,,x y x ?=? -?00<≥x x 解(1) 因为 ()(0) '(0)lim 0x f x f f x →-=- 20 01 sin 1lim lim sin 0 x x x x x x x →→=== 所以函数2 1sin ,0,x y x ??=???00=≠x x 在0=x 处可导，从而也连续. (2) 因为 ()(0) '(0)lim 0x f x f f x →-=- 0 cos cos 0 lim x x x →-= 2 002sin cos 1 2lim lim x x x x x x →→--=== 所以函数 cos y x =在x = 0处可导，从而也连续. (3)因为200lim ()lim 0(0) x x f x x f + + →→=== 00lim ()lim ()0(0) x x f x x f - - →→=-== 所以函数)(x f 在0=x 处连续. 又因为 2'00()(0)0(0) lim lim 0 00x x f x f x f x x +++→→--===-- '00()(0)0 (0)lim lim 1 00x x f x f x f x x - --→→---===--- '' (0)(0)f f +-≠ 故'(0)f 不存在, 即函数)(x f 在0=x 不可导. 6. 设函数 2, 1(), 1x x f x ax b x ?≤=? +>?，为使函数f (x ) 在x = 1处连续且可导，a ,b 应取什么值？ 解由题意，有 11lim ()lim ()(1)(1)(1)x x f x f x f f f -+→→-+==??? ''=?? 首先可得 a+b = 1 即b =1－a 又因为211 (1)lim 2 1x x f x --→-'==- 11111 (1)lim lim 11x x ax b ax a f a x x ++ +→→+-+--'===-- 所以a = 2 ,于是b = －1. 故当a = 2, b = －1时，函数f (x ) 在x = 1处连续且可导. 7.求曲线2 x y =在点（-1，1）处的切线方程. 解因 1 '2, ' 2 x y x y =-==- 故曲线2 x y =在点（-1，1）处的切线方程为12(1)y x -=-+ 即21y x =--. 8*.设曲线f (x ) = x n 在点 (1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(a n ，0), 求lim () n n f a →∞ . 解因为 1 (1)n x f nx n ='== 所以曲线()n f x x =在点（1, 1）处的切线方程为 y －1 = n ( x －1) 切线与x 轴的交点为1(1,0)n -，即 1 1n a n =- 从而 1 ()(1)n n f a n =- 习题 3－2 1 求下列函数的导数： （1）5242 3 +-=x x y （2）x y x ln 2= (3 )x x y sin 23= (4) 4tan 3-=x y (5) )32)(23(x x y -+=(6) x x x y ln 1 ln += (7) x x e y x 22+=(8) t t y cos 1sin 1++= 解（1） x x y 4122'-=. (2) x x y x x 2)2)(2(ln ln '+ =. (3) x x x x y cos 2sin 63 2'+=. (4) x y 2 'sec 3=. (5) )3)(23()32(2'-++-=x x y =x 125--. (6) x x x x x x y 22'ln 1ln 1- +-==x x x x 22ln 1 ln 1--. (7) 2' 42 22x x e x e x y x x -=-=42 222x x xe e x x x --. (8) 2 ' )cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos t t t t t y t +-+-+= =2 cos sin 1(1cos ) t t t +++. 2. 求下列函数在给定点的导数： （1）x xe y =, 求0'|=x y （2）θθθρcos 21 sin +=, 求0' |=θρ （3） 553)(2 x x x f +-=, 求)0('f 和)2(' f . 解(1) 因为x x xe e y +=', 所以10|000'=+==e e y x (2) 因为 '11 sin cos sin sin cos 22 θρθθθθθθθ =+-=+ 所以 ' 2 11|sin cos 22222θπθπππρ==+=. (3) 因为 x x x x f 52)5()5(3)(2'+---= =x x 5253+- 所以 53)0('-=f , 51 )2('- =f . 3. 求2 1 123(1)n x x nx x -++++≠L 的和. 解注意到1 ()n n x nx -'=，有 121 2 1 2 1123(1)11(1) (1). (1)n n n n n x x x nx x x x x n x nx x x +-+' ??-'++++=+++= ? -?? -++=≠-L L 4. 求曲线2 sin x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程和法线方程. 解当0=x 时，0=y , 且有x x y 2cos ' += 则00cos |0'+==x y =1 习题 3－3 1. 求下列函数的导数： （1）2 23x y -=（2）3 2x e y = （3）x y arcsin = (4) )ln(22x a x y ++= （5）2 cos ln x e y -= (6） x y 1 arctan = 解(1) )4(23212 'x x y --= = . (2) 3 3 '2222(6)6x x y e x x e ==. (3) x x y 2111' -= =)1(21x x -. (4) y '=+= . (5) 2222 2 '1(sin )(2)2tan cos x x x x x y e e x xe e e -----=--=. (6) ) 1(11122 'x x y -+==2 11x +-. 2. 求下列函数的导数： （1）x e y x 2cos 2 -=（2）)]ln[ln(ln x x y = （3）nx x y n cos sin =（4）x x y 2 2ln 2-= 解（1）' 2 21 ()cos 2(sin 2)2 2x x y e x e x - -=-+-? ()21cos 24sin 22x e x x - =-+. (2) []1 ' ln[ln(ln )]ln(ln )ln y x x x -=+?. (3) nx x x n y n cos cos sin 1'-=n nx x n )sin (sin -+ ()1sin cos cos sin sin n n x x nx x nx -=- sin cos(1)n n x n x =+. (4) x x y 2 ' ln 22-=)ln 221 (22x x -+x x 1 )ln 2(- = x x 2 ln 22-x x x 2ln 2ln -- . 3. 设f 可导，求下列函数的导数d d y x ： （1）)(e x x e f y +=（2） )(sin 2cos 2 x f x y -= （3）n a x f y )]([2+=（4）)]ln ([x x f f y += （5）)arctan 1 (x x f e y += 解（1）()'1dy ()d x e x e f e x e ex x -=++. （2）'2d 2sin 2(sin ) d y x f x x =--x x cos sin 2. =x x f x 2sin )(sin 2sin 22 '-- 2 sin 22(sin )x f x '??=-+??. (3) 212d [()]()2d n y n f x a f x a x x -'=+?+? 1 2 22()() n nx f x a f x a -'??=+?+?? . (4) []d 1 (1)(ln )(ln ) dx y f f x x f x x x ''=+?+?+. (5) 1 (arctan )d d f x x y e x +=)arctan 1('x x f +)111(2 2x x ++- 1 (arctan )22 11arctan (1)f x x f x e x x x +?? '=-+ ?+??. 4设2ln(1), >0()0, 0 , (). sin , 0x x f x x f x x x x ? ?+?? '==??? 解当x > 0时， []1 ()ln(1)1f x x x ''=+= + 当x < 0时，222 sin sin 2sin ()x x x x f x x x '??-'== ??? 当x = 0时，由 0()(0)ln(1) (0)lim lim 0x x f x f x f x x + + +→→-+'==- 10lim ln(1)ln 1x x x e +→? ?=+==?????? 22 000sin ()(0)sin (0)lim =lim lim 10x x x x f x f x x f x x x ----→→→-??'=== ?-?? 得(0)1f '=. 故221 , 01()1, 0 sin 2sin , 0x x f x x x x x x x ? 5. 设 2()1 ()()ln f x y a f x f x a '== 且，证明2y y '=. 证由复合函数的求导法则，得 2 () ln 2()()f x y a a f x f x ''=?? 将 1 ()()ln f x f x a '= 代入上式, 可得 2 2() ()1 ln 2()=22()ln f x f x y a a f x a y f x a '=??? = 即2y y '=. 6. 设函数f 可导，且y = f (a + t ) －f (a － t ), 求0 d d t y t =. 解因为d ()()()() d y f a t a t f a t a t t ''''=+?+--?- ()()f a t f a t ''=++- 故0d ()()2() d t y f a f a f a t ='''=+=. *7 设 ()lim x x x t f t t x t →∞+?? = ?-??，求()f t '. 解因为 1lim lim 1x x x x t x t x t x t x →∞→∞ ? ? + ?+?? = ? ?-?? ?- ??? 2lim 1 lim 1x t x t x t x t e x e e t x →∞ -→∞ ??+ ??? = ==??- ?? ? 所以2()lim lim x x t x x x t x t f t t t t e x t x t →∞→∞++???? ==?=? ? ?--???? 故 22()()(12)t t f t t e e t ''=?=+. 习题 3－4 1. 求下列函数的二阶导数： （1）x xe y 2=（2） )1ln(2 x y -= （3）x y arctan =（4）)21(sin 2 x y += （5）)1ln(2 x x y ++=（6）2 (1)arctan y x x =+ 解(1)2222(12)x x x y e xe e x '=+=+ 2222(12)24(1)x x x y e x e e x ''=?++?=+. (2) 因为 )1ln(2 x y -==)1ln()1ln(x x ++- 所以=' y x x -- +1111 =''y 22222112(1) (1)(1)(1)x x x x -+-=- +--. (3) ='y 2 11x +, =''y 22)1(2x x +-. (4) ()2sin(12)cos(12)22sin 212)y x x x '=++?=+ ()()2cos21248cos212y x x ''=+?=+. (5) =' y = () 3 221x y x ''==-+. (6) =' y 22 11arctan 2x x x x +++=1arctan 2+x x = ' 'y 2 2"2arctan . 1x y x x =+ + 2. 已知)(''x f 存在，且0)(≠x f ，求22 d d y x . （1） )(2 a x f y +=（2）)](ln[x f y = 解(1) '22d ()22() d y f x a x xf x a x '=+?=+ 2'22 2 d 2()2()2d y f x a xf x a x x ''=+++? 222 2()4()f x a x f x a '''=+++. (2) 'd 1()d ()y f x x f x = 2'''''''2 22 2d ()()()()()()[()]d ()()y f x f x f x f x f x f x f x x f x f x --==. 3. 设f (x ) 的n 阶导数存在，求[]() ()n f ax b +. 解因 []()()() f ax b f ax b a af ax b '''+=+?=+ [][]2()()()f ax b af ax b a f ax b ''''''+=+=+ ……………………………… 故[ ]() ()()()n n n f ax b a f ax b +=+. 4. 验证函数x e y x sin =满足关系式022' ''=+-y y y . 解因x e y x sin '=x e x cos + ''sin x y e x =x e x cos +x e x cos +x e x sin -=x e x cos 2 故'''22y y y -+= x e x cos 2x e x sin (2-)cos x e x +x e x sin 2+=0. 5.求下列函数的n 阶导数的一般表达式： (1)ln y x x = (2) 3x y = 解 (1) 因(4)23112 ln 1,, , ,y x y y y x x x ''''''=+= =-=L 故 () 1(1)(2)! (2) n n n n y n x --?-=≥. （2） 23ln 3,3ln 3, x x y y '''=?=?L 故()3(ln 3)n x n y =?. *6 设 22 41 1x y x -=-，求y (100). 解 2224133114411211x y x x x x -??==+=+- ? ---+?? 而 (100) (100) 1011011100!1100! , 11(1)(1)x x x x ?? ?? == ? ?-+-+???? (100)101 1011011012101 3100!100! 2(1) (1)3100!(1)(1) .2(1)y x x x x x ?? = -??-+???? ?+--=??-??故 习题 3－5 1. 求由下列方程确定的隐函数的导数' y ： （1）y x e xy +=（2） )arctan(2 xy xy x =+ （3）1=-y xe y （4） 033=-+a y x （a 为常数） 解（1）方程两边同时对x 求导, 得 )1(''y e xy y y x +=++ 解方程得='y y x y x e x y e ++--. (2) 方程两边同时对x 求导，得 =++'2xy y x 22' 1y x xy y ++ 解方程得322 22 22xy x y y x y ++'=-. (3) 方程两边同时对x 求导, 得 0''=--y xe e y y y 解方程得='y y y xe e -1. (4) 方程两边同时对x 求导, 得 033'22=+y y x 解方程得=' y 22y x -. 2. 求曲线2ln ()cot 02y y x x e π-+-=在点（e , 1）处的切线方程。 解将方程2ln ()cot 0 2y y x x e π-+-=两边对x 求导，得 212cot ()csc 0 222y y yy x e y x πππ''-+--???= 当x = e ，y = 1时，可得 (,1)1 2e y e '= 故所求切线方程为 111() 222x y x e y e e -=-=+ 即. *3 设2[()]u f x y ?=+，其中x , y 满足方程 (),()y y e x f x x ?+=且均可导，求d d u x . 解由复合函数的求导法则，可得 2d d [()]()2d d u y f x y x y x x ??? ?''=+?+??? ?（1） 因x , y 满足方程 y y e x +=, 所以将方程 y y e x +=两边对x 求导，得 d d d 11 d d d 1y y y y y e x x x e +==+即（2） 将(2)代入(1)，并整理得 22(())()1y du y f x y x dx e ??? ?''=+?+??+??. 4. 用对数求导法求下列函数的导数： （1）=y )32)(1()1(2 3x x x x -+-（2）=y x x x )1(+ （3）=y x x ln 解(1)取已知函数的绝对值的对数 ln ||ln =y |)32)(1()1(|2 3 x x x x -+- 即=||ln y ||ln x |1|ln 23x -+|1|ln 212x +-| 32|ln 21 x -- 两端同时对x 求导，得 =y y 'x 1)1(23x --21x x +-)32(23x -- ' 2133 []2(1)2(23)1x y x x x x =--+--+故（2）取已知函数的绝对值的对数 =||ln y ||ln x x |1|ln x x +- 两端同时对x 求导,得 =y y '||ln x x x +|1|ln x +-x x +- 1 1ln 11x x x =+++ 故 1 ln 111x x x y x x x ????'=+ ??? +++????. （3）取已知函数的对数 ln ln ln y x x =? 两端同时对x 求导, 得 =y y 'x x x x ln ln 1 +=x x ln 2 故 ln ln 12ln 2ln x x x y x x x x -'= ?=?. 5. 设 () 1 1 1 2, 2y x x x y y --=??' = ??? 求. 解在等式两边取对数，得 (1)ln(2)(1)ln() 2x x y y -=- 两边对x 求导，得 1ln 2(1)ln 2y x y y x y y x '-'+ -=+ 注意到当x = 1时，y = 1, 将其代入上式，可求得 11x y =' =-. 6. 设03 3 =++-x e y x ，求'' (0)y . 解方程两端同时对x 求导，得 033'22=-+-x e y y x (1) 解方程得2 2' 33y x e y x -=- 注意到当0=x 时，1-=y ，可得 1 (0)3y '= 由（1）式变形有2 233x y y e x -'=-，对其两边同时求导，得226()36x y y y y e x -'''+?=-- 即2 2 66() 3x e x y y y y -'++''=- 故 1 (0)9y ''=- . 题 3－6 1. 求下列函数的微分： （1）x e x y 22=（2）x e y x 2 sin = （3）x y arctan =（4）21ln x y -= （5）y xe y +=1（6）y x y arccos 2 += 解 (1) 'd ()d y f x x == 2222(22)d 2(1)d .x x x xe x e x xe x x +=+ (2) 'd ()d y f x x ==2[sin (2sin )cos ]d x x e x e x x x + 2(sin sin 2)d x e x x x =+ (3) ' d ()d y f x x = =1(.1x x x ?=+. (4) 'd ()d y f x x = =x =2 d 1x x x --. (5) 方程两边同时微分,得 d d d y y y e x xe y =+ d d 1y y e y y xe =-即. (6) 方程两边同时微分,得 2d d y y x y =- 1 d d 2y x y = + 即 x . 2. 设 x x x y cos ln 2 2+=，求1d |x y =. 解因为' d ()d y f x x == 22 22(2ln sin )d x x x x x x x + ?- = 2 (2ln 2sin )d x x x x x +- 所以1d |(2sin1)d x y x ==-. 3. 设 4arctan 2π = +y xy ，求0d |x y =. 解方程两边同时微分, 得 22 1 d 2d d 0 1y x xy y y y ++=+ 即 22 d d 1 21y x y xy y =- ++=222(1)d 2(1)1y y x xy y +-++ 又因当0=x 时，1=y , 故0d |2d x y x ==-. 综合习题三 1.选择填空： (1) 设f (x )可导且下列极限均存在，则 ( ) 成立. ①) (21 )()2(lim 0000x f x x f x x f x '=?-?+→? ②)0()0()(lim 0f x f x f x '=-→ ③)()()(lim 0000x f x x f x x f x '=?-?-→? ④)()()2(lim 0a f h a f h a f h '=-+→ (2) 下列函数在x = -1处可导的是 ( ). ① x x y +-= 11②x x y -+= 11 ③y =∣1+x ∣④y =(3) 已知函数 ???>≤-=-001)(x e x x x f x ，则f (x )在x = 0处 ( ). ①导数(0)1f '=-②间断 ③导数)0(f '=1 ④连续但不可导 （4）已知 1 ln , ()y u x =则y ′= ( ). ①()()u x u x '- ②1 ()u x ' ③u (x ) ④()u x ' （5）设函数f (x )在点x=a 处可导，则()() lim x a xf a af x x a →-= -（）. ①()af a '②()()f a af a '-； ③()af a '-④()()f a af a '-+ (6) 设 )1ln(2 ++=x x y ，则y ′= ( ). ①11 2++ x x ②11 2+x ③122 ++x x x ④12 +x x (7) 设y = ln f (sin x )，其中f 为可微函数，则( ). ①cos d (sin )x y x f x =②cos d =d (sin ) (sin )x y f x f x ③ (sin )d d (sin )f x y x f x '= ④(sin ) d d sin (sin )f x y x f x '= （8）设2 cos ,y x =则2d d y x =（）. ①22sin x x ②2 sin x - ③2 2sin x x -④2 sin x (9) 曲线22y x x =-上切线平行于x 轴的点是 ( ). ① (0, 0) ② (1, -1) ③ (–1, -1) ④ (1, 1) (10) 设函数 1, 0()0, 0 1, 0x f x x x >?? ==??- ，则其导函数()f x '的定义域是（）. ①（-∞，+∞）②(,0)(0,)-∞+∞U ③（-∞，0）④（0，+∞） 解(1) ②; (2) ②; (3) ①; (4) ①; (5) ②; (6) ②; (7) ④; (8) ②; (9) ②; (10) ②. 2. 已知0000()1,lim . (2)()x x f x f x x f x x →'=----求 解由导数定义，有 '00000020()()(2)() lim lim () 2x x f x x f x f x x f x f x x x -→-→----==-- 则000lim (2)()x x f x x f x x →--- 0000001 (2)()()() 2lim[]lim 2x x f x x f x f x x f x x x →-→= -----+-- ='''00011 12()()()f x f x f x ===-+-. 3.设曲线ax x x f +=3)(与 c bx x g +=2)(都经过点(1,0)-，且在(1,0)-有公共切线，求常数a 、b 、c . 解由)(x f 与)(x g 均过(1,0)-点，得 0)1(3=--a 即01=+a （1） 0)1(2=+-c b 即0=+c b （2） 又由a x x f +=2'3)(, bx x g 2)('=, 且)(x f 与)(x g 在点)0,1(-有 公共切线，得 1'|)(-=x x f =1'|)(-=x x g 即 a +-2 )1(3=)1(2-b 亦即023=++b a （3） 故联立求解（1），（2），（3）得1,1,1a b c =-=-=. 4. 设a x a x a x x a y +++=（a 为常数），求22 d d y x 解设x a y =1 , a x y =2 , x x y =3 , a a y =4 则1ln x y a a '=，21ln x y a a ''= 1' 2-=a ax y ，22(1)a y a a x -''=- ln ln 3()(ln 1)x x x x y e e x ''==+ ln 2ln 21 31 (ln 1)(ln 1)x x x x x x y e x e x x x x -''=++?=++ 40y '=，0' '4=y 故2'''''''''' 12342 d d y y y y y y x ==+++ 2221ln (1)(ln 1)x a x x a a a a x x x x --=+-+++ 5 设x x y +-=11，求) (n y . 解由 12111x y x x -= =-+++, 得 '2 2 22(1) (1)y x x -=-=-++ ''322(1)y x -=?+ '''4223(1)y x -=-??+ ………………… ()(1)2(1)!(1)n n n y n x -+=-+. 6. 设)12(+=x f y ，且 x x x f sin )('= ，求0 d |d x y x =. 解因'd sin(21) (21)22 d 21y x f x x x +=+?=+ 故00d sin(21)|2|2sin1d 21x x y x x x ==+==+. 8. 设方程 x y e y x cos 2 =++确定为的函数，求d y . 解方程两边同时对x 求导, 得 ''(1)2sin x y e y yy x +++=- 即 ' sin 2x y x y x e y e y ++--=+ 故sin d d d 2x y x y x e y y x x e y ++--'==+. 9. 设) ()(ln x f e x f y =，其中f 为可微函数，求d y . 解' () d (ln )d(ln )f x y f x e x =+()(ln )d ()f x e f x f x ' ()1(ln )d f x f x e x x = +() '(ln )()d f x e f x f x x ()'1 [(ln )f x e f x x =+ '(ln )()]d f x f x x . 10.设)(x f =1sin ,0,n x x ??? ??00 =≠x x （n 为整数），问n 取何值时： （1）)(x f 在0=x 处连续； （2）)(x f 在0=x 处可导，并求)(' x f ； （3）)(' x f 在0=x 处连续. 解 (1) 当n 取1，2，3，…时， 因001 lim ()lim(sin )0(0) n x x f x x f x →→=== （注意无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量） 故)(x f 在0=x 处连续. (2) 当n 取2，3，4，…时， 因0)0()(lim 0--→x f x f x =x x x n x 1 sin lim 0→=x x n x 1sin lim 10 -→=0 即当n =2，3，4，…时，)(x f 在0=x 处可导，且 )0(' f =0)0()(lim 0--→x f x f x =0 则)('x f =12 11sin cos ,0,n n nx x x x --?-?? ?? 00 =≠x x (3)当n 取2，3，4，…时， 因)(lim ' x f x →= x x x nx n n x 1 cos 1sin [lim 210 --→-]=0 故)(' x f 在0=x 处连续. 关于导数的29个典型习题 习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。 解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可 解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛 而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴ 第三章导数与微分 这一章和下一章两章是关于一元函数的微分学部分。 本章主要讨论导数的概念、性质、运算。对于函数的微分，在理论上和系统上都是更主要的概念，但却用的篇幅不多，似乎有点宣宾夺主。若注意到函数的可微性和可导性等价，函数微分性的许多内容都是基于导数的。 第一节导数的概念 一、问题的提出 历史上，建立微积分的两个重要人物；英国的Newton和德国的Leibniz，他们虽然地处两地没有来往，分别从不同的物理和几何的角度提出了同一个问题，就是函数的导数的概念。 1、英国的Newton从物理的角度提出质点 运动的瞬时速度。 运动学中质点位移S是时间t的函数)(t S。 在匀速运动时，], t [t 0时段上的平均速度 0t t t S t S v --=)()(。而在变速运动时，显然速度v 也是时间t 的函数)(t v 。那么0t 时点的瞬 时速度该如何刻划呢？Newton 用极限的思想将其定义为：0 000t t t S t S t v t t --=→)()(lim )( 2、德国的Leibniz 从几何的角度提出平面曲线的切线的问题。 平面几何曲线)(x f y =在一点))(,(00x f x P 处 切线该如何刻划？切线是条直线，在一点处只要知道其斜率就可确定。可见这个问题的关键是定义切线的斜率。 在曲线上任意取一个动点 ))(,(x f x M ，则M 、P 两点确定了 原曲线的一条割线。它的斜率为： 00x x x f x f k --=)()(。当动点M 沿曲线向P 点逼近 的极限位置就是P 点处的切线，它的斜率应为：000x x x f x f x x --→)()(lim 。 二、导数的概念 1、函数)(x f y =在一点处导数的定义。 对于)(x f y =在其定义域内一点0x 处0x x x -=? 对应得到函数 第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题 二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x） 的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】 三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解 闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解 导数与微分测试题（一） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（ ） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、 曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的 切线与x 轴正向的交角为 4 π 。 5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续， 求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使 得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一） 一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --； 三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--； 第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在) 《经济数学基础--微积分》复习提纲 一、第一章：函数 1、函数概念，表达式，初等函数，定义域等。 例如：（1）函数21)(x x x f -+= 的定义域是x=[0，1]； （2） f(x)＝522-+x x ,得f(x －1)＝5)1(2)1(2--+-x x ＝…； （3）22)1(2+-=+x x x f ，即)(x f ＝2212)1(2+---+x x x ＝…＝542+-x x ； （4）设==))((,1)(x f f x x f 则)1(x f ＝…= 21x ； （5）在下列函数中与||)(x x f =表示相同函数的是（ B ） A ．2)(x B.2x C ．33 x D ．x x 2 (6) 设???>+≤+=0 5402)(2x x x x x f ，则9)1(=f ，2)0(=f ，17)3(=f ，3)1(=-f ； 二、第二章：极限与连续 1、概念理解，无穷大＋∞，无穷小－∞，极限运算等。 能代即代……只看最高次……因式分解、分子分母有理化、公式化简等；2个重要极限中的=→x x x sin lim 01。 例如：（1）4 43222lim ++∞→x x x ＝（只看最高次）＝1/2； （2）3923 lim --→x x x ＝（因式分解）＝…＝3； （3）102 7776664999888222lim 2323++-+-+∞→x x x x x x x ＝只看最高次＝ 1/4 （4）4 586224+-+-→x x x x im l x ＝（因式分解）＝…＝32 （5）x x im l x 110 -+→＝（分子有理化）＝…＝21 （6）但是=∞→x x x sin lim 0，=→x x x sin lim 01。 （7）已知122=+y x ，即y '＝y x - （课本61页例题2.13） （8）课本35－37页有关例题。 第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时) §1 导数的概念 ( 2 时) 一． 导数的背景与定义： 1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2. 导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法. 有限增量公式: .0 ),( )(0→? ?+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2 x x f = 求). 1 (f ' 例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .) 3()(lim 000 h h x f x f h --→ 3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况. 例4 设?? ?<≥-=. 0, ,0, cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数. 二. 导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2 )(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程. 三. 可导与连续的关系: Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续. 例6 证明函数)()(2 x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数. 四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. .) ()(lim )(0x x f x x f x f x ?-?+='→? (注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n x x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=. 五 导函数的介值性: 第五章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、基本概念 微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解： 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。 例1 课本294页 例1 二、独立的任意常数 线性相关与线性无关： 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k 成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是 ) () (21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果 ) () (21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关. 独立的任意常数： 在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关. 例2 课本297页 例4 第二节 可分离变量的微分方程 一、定义 形如 )()(d d y g x f x y = 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数. 二、求解方法 可分离变量的微分方程 )()(d d y g x f x y =的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=， 第二步:两边积分 ??= x x f y y g d )(d )(. 【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2 的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1 1 12 -=- 两端积分 ? ? -=-dx x dy y y 111 2得 ||ln |1|ln |1|ln 2 1 12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解 导数与微分习题（基础题） 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可导，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导 内容 一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系 二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数 三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用 典型例题 题型I 利用导数定义解题 题型II 导数在几何上的应用 题型III 利用导数公式及其求导法则求导 题型IV 求高阶导数 题型V 可导、连续与极限存在的关系 自测题二 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月9日微分练习题 基础题： （一）选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（ ） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a 2. 设 0'()2f x =，则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--＝( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于 2的正整数时， )(x f 的n 阶 导数 )()(x f n 是（ ）。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! （二）填空题 5. 设 2 sin x e y = ，则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =，则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=， '0()2x θ=， 2x x dy dx ==，则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ，则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ； 9. 已知设 cos2x y e = ，则=dy ____ _. 10. sin x y x = ，则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13．2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题： （三）解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小. 题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标. 导数与微分的关系 宁小青 我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前、哪个概念产生在后呢？ 一、微分概念的导出背景 当一个函数的自变量有微小的改娈时，它的因变量一般说来也会有一个相应的改变。微分的原始思想在于去寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确地估计出这个改变量。 我们来看一个简单的例子： 维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度。在中学里，利用计算向凡加速度的办法已经求出这种速度约为7.9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它。 设卫星当前时刻在地球表面附近的A点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒种后本应到达B点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的并非是B 点，而是C点，BC=4.9米是自由落体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离。 容易看出，若C点与地心O的距离与A事点到O的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球的飞行了。因此，卫星应具有最小每秒飞行速度恰好在线段AB的长度。△OAB是直角三角形，OA和OC可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理 显然就这样按上式去计算是不可取的——这将导致两个量级的数在直接相减，工作量大不说，在字长较短的计算机上，还可能产生较大的误差。 利用乘法公式 可将上式改为 由于，因此这一项与这一项想比可以忽略不计，于是可以把计算简化为 由此计算出千米。 这就是说，卫星的速度至少要达到每秒7.9千米才能维持其围绕地球的飞行，此即所要求的第一宇宙速度。 上面所计算的，实际上就是函数在处，自变量出现了一个微小的改变量之后，函数值的相应改变量4.9。然而在计算过程中，我们并没有完全精确地去算 第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限 第五章 导数与微分 §1 导数的概念 【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定 义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。 【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 【教学难点】导数的概念。 一、导数的定义 1．引入（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时 刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。 取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ， 当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。 问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α， 当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→. 2．导数的定义 以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0 0()(lim x x x f x f x x --→） 存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或 .0 x x dx dy = 2020年数学分析教案华东师大版第五章导数和微分精编版 第五章导数和微分 教学目的： 1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分； 2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算； 3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。 教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。 教学时数：16学时 § 1 导数的概念（4学时） 教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。 教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数 的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。 教学重点：导数的概念。 教学难点：导数的概念。 教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。 一、问题提出：导数的背景. 背景：曲线的切线；运动的瞬时速度. 二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求 例2 设函数在点可导, 求极限 2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3考查在点的可导情况. 3.导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 经济数学基础（上） 数学笔记整理 第二章导数与微分（P49） 目录 一、导数的符号要清楚 (1) 二、导数的几何意义 (1) 三、可导与连续的关系 (1) 四、导数的基本公式与练习题 (1) 五、切线方程问题 (3) 六、复合函数的求导 (4) 七、隐函数的导数 (7) 八、高阶导数 (7) 九、微分 (8) 十、可微、可导和连续、极限的关系 (9) 一、导数的符号要清楚（P51，52都有），最简单的就是 二、导数的几何意义（P55） 函数y=f（x）在点处的导数就是曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率，k=，∴切线的方程为y 三、可导与连续的关系（P56，2.1.5） 定理2.1和注意 可导连续（充分条件） y=f（x）的图像在点处出尖，则f（x）在处不可导。例：y=，图像如下, 此时，当x=0时，图像出尖，不可导。 四、导数的基本公式与练习题（P65~66，2.2.6的1.，2.， 3.，） 就记书上的前8个就行了，其他的不用记 再多记2个：①② 【练习1：求导】 ① 解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。 ∴ ∴【注意ln7为常数，常数的导数为0哦！】 = ② 解决此题有2种方法，方法一是直接求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简单就怎么来。一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。 方法一：直接求。要用到乘积的导数。（先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简单了。） =2（）+ =10 =30 方法二：先打开，再求导。 =5 =10 ∴ 【练习2：求导】 ① 解：【注意：ln6为常数，导数也为0哦！】 ② 解： ③ 解： ④ 解： 微积分高等数学和数学 分析的差别 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后，需要修的第一门课，也是最基础最重要的一门课程。但对于非数学专业的朋友们是个陌生的概念，如果身边有人问我数学分析学什么我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分，那么似乎所有人都会接着提一个问题：那和我们学的微积分有什么差异为什么我们学一学期你们要学一年半到两年啊囧......这个问题就不容易回答了，于是我只能应付说学得细了，但其实并非仅仅如此。 对这个问题我在学习数学分析的过程中是不能说清楚的，正因为如此，起先学分析完全是乱学，没有重点没有次序的模仿，其结果就是感觉自己学到的东西好比是一条细线拴着好多个大秤砣，只要有一点断开，整个知识系统顿时倾覆。我也一直在思考这个问题，但直到在北师大跟着王昆扬老师学了一学期实变函数论之后，我才意识到数分与高数真正的区别在于何处。 先从微积分说起，在国内微积分这门课程大致是供文科、经济类学生选修的，其知识结构非常清晰，主要内容就是要说清两件事：第一件介绍两种运算，求导与求不定积分，并且说明它们互为逆运算。第二件介绍基础的微分学和积分学，并且给出它们之间的联系——Newton-Leibniz公式。这里需要强调的是，求不定积分作为求导数的逆运算属于微分学而不属于积分学，真正属于积分学的是Riemann定积分。不定积分与定积分虽然在字面上只差一字，但从数学定义来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，而Riemann定积分则是求Riemann和的极限，事实上它们之间毫无关系，既存在着没有原函数但Riemann可积的函数，也存在着有原函数但Riemann不可积的函数。但无论如何Newton-Leibniz公式好比一座桥梁沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是Newton-Leibniz公式被称为微积分基本定理的原因。因此我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本定理而已。 对于高等数学要求的层面就要比微积分高一些了，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么。比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的，对于不易积分，不易求导的实际问题，我们怎么去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念，例如将不易找到原函数的函数进行Taylor展开再逐项积，再例如利用Newton差值法计算方程的近似解。在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，是故高等数学对学生的计算能力要求非常高。于是高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义，熟练运用数学工具求导求积分，会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。 而数学分析与以上两门课程有着本质的区别，数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础。什么是分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。而学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：变限积分（尽管Riemann可积函数的变限积分也是连续的）与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。与微积分、高等代数有明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。 记得在学习数学分析的时候，我曾经查阅过Liouville和Chebyshev的文章，特意去了解那些不具有初等原函数的初等函数。当时去看这些文章的初衷主要是觉得这样的函数太神奇，太不可思议了。对于其中不懂的问题，我曾经请教 第2章 导数与微分 2.1 极限概念 研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势. 例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长. 例2 讨论当+∞→x 时，x 1 的变化趋势. 例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。 “一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子?天下 定义2.3 设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x （但 0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为 A x f x x =→)(lim 0 或A x f →)( )(0x x → 若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在0x 处没有极限. 在理解极限定义时要注意两个细节： 1.0x x →时，（0x x ≠） 2.? ? ?→<→>→000 00)()(x x x x x x x x （包括这两种情况） 例1 讨论2x y =时, 2 2 lim x x →=？ 解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限. 由几何图形可以看出，当2→x 时，42→=x y ，即2 2 lim x x →=4 例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限1 1 lim 21--→x x x 解：此函数在1=x 处没有定义，可以借助图形求极限.由 图形得到21 1 lim 21=--→x x x 2.1.3 左极限和右极限 考虑函数x y =， 依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限. 因为x y =在0关于导数的29个典型习题
经济数学(导数微分)
高数第三章一元函数的导数和微分
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《数学分析》第五章 导数与微分
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高等数学导数与微分练习题
导数与微分练习题
导数及其应用典型例题
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高等数学考研大总结之四导数与微分知识讲解
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