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经济数学(导数与微分习题及答案)

第三章函数的导数与微分

习题 3－1

1. 根据定义求下列函数的导数: (1)

x y 1

(2)x y cos =

(3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y =

解 (1) 因为

00()()'lim

lim

x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==??

=x x x x x ?-?+→?1

1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=2

x -

所以

y x '=-

(2) 因为 00cos()cos 'lim

lim

x x y x x x y x x ?→?→?+?-==??

02sin()sin

22 lim

sin x x x

x x x ?→??-+==-?

所以 sin y x '=-

(3) 因为 00[()][]'lim

lim

x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim

所以 y a '=

(4) 因为

00'lim

lim

x x y y x ?→?→?==?

)(lim

0x x x x x

x +?+??→?

lim

x ?→==

所以

y '=

2. 下列各题中假定)(0'x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A

x x f x x f x =?-?-→?)

()(lim

000

(2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0('f )存在)

(3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0('f 存在)

(4) A

h h x f h x f h =--+→)

()(lim

000

解（1）因为 x x f x x f x ?-?-→?)()(lim

000

=x x f x x f x ?--?--→?)()(lim 000=

)(0'

x f - 故

)(0'

x f A -=. (2) 因为

x x f x )(lim

→=0)

0()(lim 0--→x f x f x =)0('

故

)0('

f A =. (3) 因为

x f tx f x )0()(lim

-→=tx f tx f t x )

0()0(lim 0-+→=)0('

故)0('

tf A =.

(4) 因为

000

()()

lim

h f x h f x h h →+--

00000000000()()()()lim[]()()()()lim lim ]h h h f x h f x f x h f x h h

f x h f x f x h f x h h →→→+---=-+---=+-

=)()(0'

x f x f +=)(20'

x f 故 )(20'

x f A =.

3.已知

2,,x y x ?=?

?11≥

当1

=, 当1x >时, 1'

又

1)1()(lim )1(1

'--=+

→+x f x f f x =11

lim 1--+

→x x x =1

1()(lim )1(1'--=-→-

x f x f f x =11lim 21---

→x x x =2 )1()1(''-+≠f f

即)1('

f 不存在.

故

2,()1,x f x ?=?

? 11>

证由于f (x )为偶函数，所以 f (-x ) = f (x ) 则

00()(0)()(0)

(0)lim

lim

00x x f x f f x f f x x →-→---'==----

0()(0)

lim '(0)

0t f t f t x f t →-=--=--

故 (0)0f '=.

5.讨论下列函数在0=x 处的连续性和可导性：

(1) 2

1sin ,0,x y x ??=??? 00=≠x x (2) cos y x =

(3)

2,,x y x ?=?

-? 00<≥x x 解 (1) 因为

0()(0)

'(0)lim

0x f x f f x →-=-

2001sin

1lim

lim sin 0x x x x x x x →→===

所以函数 2

1sin ,0,x y x ??=??? 00=≠x x 在0=x 处可导，从而也连续.

(2) 因为

0()(0)

'(0)

l i m 0x f x f f x →-=-

cos cos0

lim

x x x

→-=

002sin cos 1

2lim

lim

x x x

x x

→→--===

所以函数cos y x =在x = 0处可导，从而也连续. (3)因为

200lim ()lim 0(0)

x x f x x f +

→→===

00lim ()lim ()0(0)x x f x x f --→→=-==

所以函数)(x f 在0=x 处连续.

又因为

2'00()(0)0(0)

lim lim 0

00x x f x f x f x x +++→→--===--

'00()(0)0

(0)lim

lim 1

00x x f x f x f x x -

--→→---===---

''(0)(0)f f +-≠

故'

(0)f 不存在, 即函数)(x f 在0=x 不可导.

6. 设函数

2, 1

(), 1x x f x ax b x ?≤=?

+>?，为使函数f (x ) 在x = 1处连续且可导，a ,b 应取什么值？

解由题意，有

11lim ()lim ()(1)(1)(1)x x f x f x f f f -+→→-+==???

''=??

首先可得 a+b = 1 即 b = 1－a

又因为 211(1)lim 21x x f x -

-→-'==- 11111

(1)lim lim 11x x ax b ax a f a

x x +++→→+-+--'===--

所以a = 2 ,于是b = －1.

故当a = 2, b = －1时，函数f (x ) 在x = 1处连续且可导.

7.求曲线2

x y =在点（-1，1）处的切线方程.

解因

'2,

x y x y =-==-

故曲线2

x y =在点（-1，1）处的切线方程为12(1)y x -=-+

即 21y x =--.

8*.设曲线f (x ) = x n 在点 (1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(a n ，0), 求lim ()

n n f a →∞

解因为

(1)n

x f nx n ='==

所以曲线()n

f x x =在点（1, 1）处的切线方程为

y －1 = n ( x －1)

切线与x 轴的交点为1(1,0)n -，即

11n a n =-

从而

()(1)n

n f a n =-

习题 3－2

1 求下列函数的导数：

（1）5242

+-=x x y （2）x y x

ln 2= (3 )x x y sin 23= (4) 4tan 3-=x y

(5) )32)(23(x x y -+= (6)

x x x y ln 1

ln +=

(7)

x x e y x 22+

= (8) t t

y cos 1sin 1++= 解（1）

x x y 4122'-=. (2)

x x y x x

2)2)(2(ln ln '+

=. (3) x x x x y cos 2sin 63

2'+=. (4) x y 2

'sec 3=.

(5)

)3)(23()32(2'-++-=x x y =x 125--. (6)

x x

x x x x y 22'ln 1ln 1-

+-==x x x x 22ln 1

ln 1--.

(7) 2'

22x x e x e x y x x -=-=42

222x x xe e x x x --.

(8)

)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos t t t t t y t +-+-+=

cos sin 1(1cos )

t t t +++.

2. 求下列函数在给定点的导数：

（1）x

xe y =, 求0'

|=x y

（2）

θθρcos 2

1sin +=, 求0'|=θρ

（3）

553)(2

x x x f +-=, 求)0('f 和)2('

f . 解 (1) 因为x

x xe e y +=', 所以 10|000'=+==e e y x

(2) 因为

'11

sin cos sin sin cos 22

θρθθθθθθθ

=+-=+

所以

11|sin cos 22222θπθπππρ==+=.

(3) 因为 x x x x f 52)5()5(3)(2'+---=

=x x 5253+- 所以

53)0('-=f , 51

)2('-

=f . 3. 求21

123(1)n x x nx x -++++≠ 的和.

解注意到 1

()n n x nx

-'=，有

1123(1)11(1) (1).(1)n n n

n n x x x nx

x x x x n x nx x x +-+'

??-'++++=+++= ?

-??

-++=≠-

4. 求曲线2

sin x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程和法线方程.

解当0=x 时，0=y , 且有 x x y 2cos '

则

00cos |0'+==x y =1

习题 3－3

1. 求下列函数的导数：（1）2

23x y -=

（2）3

2x e

y =

（3）x y arcsin = (4))ln(22x a x y ++=

（5）2

cos ln x e

y -= (6）

x y 1arctan

解 (1)

)4(23212

x x y --=

(2) 3

'2222(6)6x x

y e x x e ==.

(3)

x x y 2111'

=)1(21x x -.

(4)

y '==

. (5) 2222

'1(sin )(2)2tan cos x x x x x y e e x xe e e -----=--=. (6) )

1(1122'x x y -+==2

11x +-.

2. 求下列函数的导数：（1）x e

y x 2cos 2-= （2）)]ln[ln(ln x x y =

（3）nx x y n

cos sin = （4）x x y 2

2ln 2-= 解（1）'

()cos 2(sin 2)2

2x x

y e x e x -

-=-+-?

()2

1cos 24sin 22x

e x x -=-+.

(2)

[]1

ln[ln(ln )]ln(ln )ln y x x x -=+?. (3) nx x x n y n cos cos sin 1'-=n nx x n

)sin (sin -+

()1sin cos cos sin sin n n x x nx x nx -=- sin cos(1)n n x n x =+.

(4) x x y 2

ln 22-=)ln 221

(22x x -+x x 1

)ln 2(- =

x 2

ln 22-x x

x 2ln 2ln --

3. 设f 可导，求下列函数的导数d d y

x ：

（1）)(e x x e f y += （2）

)(sin 2cos 2

x f x y -= （3）n

a x f y )]([2+= （4）)]ln ([x x f f y +=

（5）)arctan 1

(x x

f e

y +=

解（1）()

'1dy

()d x e x e f e x e ex x -=++.

（2）'2d 2sin 2(sin )

d y

x f x x

=--x x cos sin 2.

=x x f x 2sin )(sin 2sin 22

'--

sin 22(sin )x f x '??=-+??.

(3) 212d [()]()2d n y

n f x a f x a x

x -'=+?+?

22()()

n nx f x a f x a -'??=+?+??

(4) []d 1

(1)(ln )(ln )

dx y f f x x f x x x ''=+?+?+.

(5) 1

(arctan )d d f x x

e x

+=)arctan 1('x x f +)111(2

2x x ++- 1

(arctan )

11arctan (1)f x x f x e x x x +??'=-+ ?+??.

4设2ln(1), >0()0, 0 , ().

sin , 0x x f x x f x x x x ?

?+??

'==???

解当x > 0时，

[]1

()ln(1)1f x x x ''=+=

+ 当x < 0时，222

sin sin 2sin ()x x x x

f x x x '??-'== ???

当x = 0时，由

0()(0)ln(1)

(0)lim lim 0x x f x f x f x x +

+→→-+'==-

10lim ln(1)ln 1x x x e +→?

?=+==??????

000sin ()(0)sin (0)lim =lim lim 10x x x x

f x f x x f x x x ----→→→-??'=== ?-??

得(0)1f '=.

故 221

, 01()1, 0

sin 2sin , 0x x f x x x x x x x ?

'==??-?

2()1 ()()ln f x y a f x f x a '==

且，证明2y y '=. 证由复合函数的求导法则，得

()

ln 2()()f

x y a a f x f x ''=??

将

()()ln f x f x a '=

代入上式, 可得

2()

()1

ln 2()=22()ln f

x f x y a a f x a y

f x a '=???

即 2y y '=.

6. 设函数f 可导，且y = f (a + t ) －f (a － t ), 求0

d d t y

t =.

解因为 d ()()()()

d y

f a t a t f a t a t t ''''=+?+--?- ()()f a t f a t ''=++-

故 0d ()()2()d t y

f a f a f a t ='''=+=.

*7 设

()lim x

x x t f t t x t →∞

+??= ?-??，求()f t '. 解因为

1lim lim 1x

x x x t x t x t x t x →∞→∞?

?+ ?+??= ? ?-?? ?- ?

?? 2lim 1 lim 1x

t x t x

t x t e x e e t x →∞

-→∞

?+ ???

==??- ??

所以 2()l i m l i m x

t x x x t x t f t t t t e x t x t →∞→∞++????

==?=? ? ?--????

故

22()()(12)t t

f t t e e t ''=?=+.

习题 3－4

1. 求下列函数的二阶导数：

（1）x xe y 2= （2）

)1ln(2

x y -= （3）x y arctan = （4）)21(sin 2

x y +=

（5）)1ln(2

x x y ++= （6）2

(1)arctan y x x =+

解 (1)2222(12)x

x x y e

xe e x '=+=+

2222(12)24(1)x x x y e x e e x ''=?++?=+.

(2) 因为 )1ln(2

x y -==)1ln()1ln(x x ++-

所以 ='

y x x --

+1111

'y 22222112(1)

(1)(1)(1)

x x x x -+-=-+--. (3) ='y 2

11x +, =''y 22)1(2x x +-.

(4) ()2sin(12)cos(12)22sin212)y x x x '=++?=+

()()2cos21248cos212y x x ''=+?=+. (5) ='

y =

()

1x y x ''==-

(6)

y 22

11arctan 2x x x x +++=1arctan 2+x x =

'y 2

2"2arctan .

1x y x x

2. 已知)(''x f 存在，且0)(≠x f ，求22

d d y

x .

（1）)(2

a x f y += （2）)](ln[x f y = 解 (1) '22d ()22()

d y

f x a x xf x a x '=+?=+

2'22

d 2()2()2d y f x a xf x a x x ''=+++?

2222()4()f x a x f x a '''=+++.

(2) 'd 1()d ()y f x x f x =

2'''''''2

2d ()()()()()()[()]d ()()y f x f x f x f x f x f x f x x f x f x --==. 3. 设f (x ) 的n 阶导数存在，求 [

]()

()n f ax b +.

解因

[]()()()f ax b f ax b a af ax b '''+=+?=+

[][]2()()()f ax b af ax b a f ax b ''''''+=+=+

………………………………

故 [

]()

()()()n n n f ax b a f ax b +=+.

4. 验证函数x e y x sin =满足关系式022'

''=+-y y y . 解因 x e y x

sin '

=x e x

cos +

''sin x y e x =x e x

c o s

+x e x c o s +x e x s i n -=x e x cos 2 故 '''22y y y -+=x e x cos 2x e x

sin (2-)cos x e x

+x e x

sin 2+=0.

5.求下列函数的n 阶导数的一般表达式：

(1)ln y x x = (2) 3x

y =

解 (1) 因(4)23112

ln 1,

, , ,y x y y y x x x ''''''=+=

=-=

故

()

1(1)(2)!

(2)

n n n n y

n x --?-=≥.

（2）23ln3,3ln 3, x

x y y '''=?=?

故 ()3(ln3)n x n

y =?. *6 设

411x y x -=-，求y (100). 解

2224133114411211x y x x x x -??==+=+- ?

---+?? 而

(100)

101101

1100!

, 11(1)

(1)x x x x ????==

? ?-+-+????

(100)101

1011011012101

3100!100! 2(1)

(1)3100!(1)(1) .2(1)y x x x x x ??

-??-+????

?+--=??-??故

习题 3－5

1. 求由下列方程确定的隐函数的导数'

y ：（1）y x e

xy += （2）)arctan(

xy xy x =+ （3）1=-y

xe y （4）03

=-+a y x （a 为常数）

解（1）方程两边同时对x 求导, 得

)1(''y e xy y y x +=++

解方程得 ='y y

x y x e x y e ++--.

(2) 方程两边同时对x 求导，得

=++'2xy y x 22'

1y x xy y ++

解方程得 322

22xy x y y x y ++'=-.

(3) 方程两边同时对x 求导, 得

=--y xe e y y

解方程得 ='y y

xe e -1.

(4) 方程两边同时对x 求导, 得

033'

=+y y x

解方程得

='y 22y x -. 2. 求曲线

2ln ()cot

y x x e π-+-=在点（e , 1）处的切线方程。解将方程

2ln ()cot

y x x e π-+-=两边对x 求导，得

212cot ()csc 0222y y

yy x e y x πππ''-

+--???=

当x = e ，y = 1时，可得

(,1)1

2e y e '=

故所求切线方程为

1() 222x y x e y e e -=-=+

即. *3 设2

[()]u f x y ?=+，其中x , y 满足方程 (),()y

y e x f x x ?+=且均可导，求d d u

x .

解由复合函数的求导法则，可得

2d d [()]()2d d u y f x y x y x

x ???

?''=+?+??

?? （1）因x , y 满足方程 y y e x +=, 所以将方程 y

y e x +=两边对x 求导，得

d d d 11 d d d 1y y y y y

e x x x e +==+即（2）

将(2)代入(1)，并整理得

22(())()1y du y f x y x dx e ???

?''=+?+??+??. 4. 用对数求导法求下列函数的导数：

（1）=y )32)(1()1(2

3x x x x -+- （2）=y x x x )1(+ （3）=y x

x ln

解 (1)取已知函数的绝对值的对数

ln ||ln =y |)32)(1()1(|2

x x x x -+- 即 =||ln y ||ln x |1|ln 23x -+|1|ln 212x +-|

32|ln 21

x --

两端同时对x 求导，得

=y y 'x 1)1(23x --21x x +-

)32(23x --

2133

[]2(1)2(23)1x y x x x x =--+--+故（2）取已知函数的绝对值的对数

=||ln y ||ln x x |1|ln x x +-

两端同时对x 求导,得

=y y '||ln x x x +|1|ln x +-x x +-

1ln 11x x x =+++

故

1ln 111x

x x y x x x ????'=+ ???

+++????. （3）取已知函数的对数 ln ln ln y x x =?

两端同时对x 求导, 得

=y y 'x x x x ln ln 1

+=x x ln 2 故 ln ln 12ln 2ln x

x x y x x x

x -'=?=?.

5. 设

()

2, 2y x x x y y --=??'

= ???

求.

解在等式两边取对数，得

(1)ln(2)(1)ln()

x y y -=- 两边对x 求导，得

1ln 2(1)ln 2y x y y x y y x '-'+

-=+

注意到当x = 1时，y = 1, 将其代入上式，可求得

1x y

='=-.

6. 设03

=++-x

e y x ，求''

(0)y .

解方程两端同时对x 求导，得

033'22=-+-x e y y x (1)

解方程得

22'

33y x e y x -=

- 注意到当0=x 时，1-=y ，可得

(0)3y '=

由（1）式变形有 2

233x

y y e x -'=-，对其两边同时求导，得

226()36x y y y y e x -'''+?=--

即 2

66() 3x e x y y y y -'++''=-

故 1(0)9y ''=-

题 3－6

1. 求下列函数的微分：

（1）x e x y 22= （2）x e y x 2

sin = （3）x y arctan = （4）2

1ln x y -= （5）y xe y +=1 （6）y x y arccos 2

解 (1) 'd ()d y f x x ==2222(22)d 2(1)d .x x x

xe x e x xe x x +=+ (2) 'd ()d y f x x ==2[sin (2sin )cos ]d x x

e x e x x x +

(s i n s i n 2)d x e x x x =+

(3) '

d ()d y f x x =

=1(.1x x x ?=+.

(4) 'd ()d y f x x =

=x =2

d 1x x x --. (5) 方程两边同时微分,得

d d d y y y

e x xe y =+ d d 1y

y e y y

xe =-即.

(6) 方程两边同时微分,得

2d d y y x y

1d d 2y x

y =

即

2. 设x x x y cos ln 2

+=，求1d |x y =.

解因为'd ()d y f x x ==22

22(2ln sin )d x x x x x x x +

(2ln 2sin )d x x x x x +-

所以 1d |(2sin1)d x y x ==-.

3. 设

4arctan 2π

+y xy ，求0d |x y =. 解方程两边同时微分, 得

d 2d d 01y x xy y y y ++=+ 即

d d 1

21y x

y xy y =-

++=222(1)d 2(1)1y y x xy y +-++ 又因当0=x 时，1=y , 故0d |2d x y x ==-.

综合习题三

1.选择填空：

(1) 设f (x )可导且下列极限均存在，则 ( ) 成立. ① )

(21

)()2(lim

0000x f x x f x x f x '=?-?+→?

② )0()0()(lim 0f x f x f x '=-→

③

)()()(lim 0000x f x x f x x f x '=?-?-→?

④

)()()2(lim 0a f h a f h a f h '=-+→ (2) 下列函数在x = -1处可导的是 ( ).

①

x x y +-=

11 ②x x

y -+=

③ y =∣1+x ∣ ④

y =(3) 已知函数

???>≤-=-001)(x e x x

x f x

，则f (x )在x = 0处 ( ). ① 导数(0)1f '=- ② 间断

③ 导数)0(f '=1 ④ 连续但不可导

（4）已知

, ()y u x =则y ′= ( ).

① ()()u x u x '-

②1

()u x ' ③ u (x ) ④ ()u x '

（5）设函数f (x )在点x=a 处可导，则()()

lim

x a xf a af x x a →-=

-（）.

①()af a ' ② ()()f a af a '-；

③()af a '- ④ ()()f a af a '-+ (6) 设)1ln(2++

=x x y ，则y ′= ( ).

①11

2++

x x ②11

2+x ③122

++x x x ④12

+x x

(7) 设y = ln f (sin x )，其中f 为可微函数，则( ).

①cos d (sin )x y x f x = ② cos d =d (sin )

(sin )x y f x f x

③

(sin )d d (sin )f x y x f x '=

④ (sin )

d d sin (sin )f x y x

f x '=

（8）设2cos ,y x =则2d d y

x =（）.

① 22sin x x ② 2

sin x -

③ 22sin x x - ④2

sin x

(9) 曲线2

2y x x =-上切线平行于x 轴的点是 ( ). ① (0, 0) ② (1, -1) ③ (–1, -1) ④ (1, 1)

(10) 设函数1, 0()0, 0

1, 0x f x x x >??

==??-

① （-∞，+∞） ② (,0)(0,)-∞+∞

③ （-∞，0） ④ （0，+∞）

解 (1) ②; (2) ②; (3) ①; (4) ①; (5) ②;

(6) ②; (7) ④; (8) ②; (9) ②; (10) ②.

2. 已知0000()1,lim .

(2)()x x

f x f x x f x x →'=----求解由导数定义，有

'00000020()()(2)()

lim

lim ()

2x x f x x f x f x x f x f x x x -→-→----==--

则 000lim

(2)()x x

f x x f x x →---

0000001

(2)()()()

2lim[]lim 2x x f x x f x f x x f x x x →-→=

-----+--

='''00011

12()()()f x f x f x ===-+-.

3.设曲线ax x x f +=3)(与

c bx x g +=2

)(都经过点(1,0)-，且在(1,0)-有公共切线，求常数a 、b 、c .

解由 )(x f 与)(x g 均过(1,0)-点，得

0)1(3

=--a 即 01=+a （1） 0)1(2

=+-c b 即 0=+c b （2）

又由a x x f +=2'3)(, bx x g 2)('=, 且)(x f 与)(x g 在点)0,1(-有

公共切线，得

1'|)(-=x x f =1'

|)(-=x x g

即

a +-2

)1(3=)1(2-b 亦即 023=++b a （3）

故联立求解（1），（2），（3）得 1,1,1a b c =-=-=.

4. 设a x a x a x x a y +++=（a 为常数），求22

d d y

解设x a y =1 , a x y =2 , x x y =3 , a

a y =4

则 1ln x y a a '=，21ln x y a a ''=

2-=a ax y ， 22(1)a y a a x -''=-

ln ln 3()(ln 1)x x x x y e e x ''==+

ln 2ln 2131(ln 1)(ln 1)x x x x x x y e x e x x x x -''=++

?=++

40y '

=， 0''4=y

故 2''''''''''

12342

d d y y y y y y x ==+++

2221ln (1)(ln 1)x a x x a a a a x x x x --=+-+++ 5 设

x x y +-=11，求)

(n y . 解由

111x y x x -=

=-+++, 得 '2

2(1)(1)y x x -=-=-++

''3

22(1)y x -=?+

'''4223(1)y x -=-??+

………………… ()(1)2(1)!(1)n n n y n x -+=-+.

6. 设)12(+=x f y ，且x x

x f sin )('=

，求0

d |d x y x =.

解因 'd s i n (21)(21)22

d 21y x f x x

x +=+?=+ 故 00d sin(21)|2|2sin1

d 21x x y x x x ==+==+.

8. 设方程x y e

y x cos 2

=++确定为的函数，求d y . 解方程两边同时对x 求导, 得

''(1)2sin x y e y yy x +++=- 即

sin 2x y x y

x e y e y ++--=+ 故 sin d d d 2x y

x y x e y y x x

e y ++--'==+.

9. 设)

()(ln x f e

x f y =，其中f 为可微函数，求d y .

解

'()d (l n )d (l n )f x y f x e x =+()

(ln )d ()f x e f x f x '()1

(ln )d f x f x e x x

=+()

'(ln )()d f x e f x f x x

()'

(ln )f x e f x x

'(ln )()]d f x f x x . 10.设)(x f =1sin ,0,n

x x ???

??00

=≠x x （n 为整数），问n 取何值时：

（1）)(x f 在0=x 处连续；

（2）)(x f 在0=x 处可导，并求)('

x f ；

（3）)('

x f 在0=x 处连续.

解 (1) 当n 取1，2，3，… 时，

因 001

lim ()lim(sin )0(0)

n x x f x x f x →→===

（注意无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）故)(x f 在0=x 处连续.

(2) 当n 取2，3，4，… 时，

因 0)0()(lim 0--→x f x f x =x x x n x 1

sin

lim 0→=x x n x 1sin lim 10

-→=0 即当n =2，3，4，… 时，)(x f 在0=x 处可导，且

)0('f =0)0()(lim 0--→x f x f x =0

则 )('x f =12

11sin cos ,0,n n nx x x x --?-???? 00=≠x x

(3)当n 取2，3，4，… 时，

因 )(lim '0

x f x →=

x x x nx n n x 1

cos 1sin [lim 210

--→-]=0

故)('

x f 在0=x 处连续.

关于导数的29个典型习题

关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。解由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。证求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴

导数与微分练习题答案

高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

导数与微分测试题及答案(一)

导数与微分测试题（一）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小；二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的切线与x 轴正向的交角为 4 π 。

5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续，求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一）一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --；三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--；

第二章导数与微分(测试题)

第二章导数与微分单元测试题考试时间：120分钟满分：100分试卷代码：M1-2b 一、选择题(每小题2分，共40分) 1．两曲线21y y ax b x = =+，在点1(22 ，处相切，则（） A．13164a b =-=， B．11164 a b ==， C．912a b =-=， D．712a b ==-， 2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（） A．201lim (1cos )h f h h →-存在 B．01lim (1)h h f e h →-存在 C．201lim (sin )h f h h h →-存在 D．[]01lim (2)()h f h f h h →-存在 3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（） A．间断点 B．连续而不可导的点 C．可导的点，且(0)0f '= D．可导的点，且(0)0f '≠ 4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0lim x dy y y →-= （） A．-1 B．1 C．0 D．∞ 5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2 ()()f x f x '=，则()()n f x =（） A．[]1()n n f x + B．[]1!()n n f x + C．[]1(1)()n n f x ++ D．[]1(1)!()n n f x ++ 6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤??=?>?? +cos 在0x =处可导，则（） A．22a b =-=， B．22a b ==-， C．11a b =-=， D．11a b ==-， 7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f 不存在的最小正整数n 必为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x =的（）

经济数学(导数与微分习题与答案)

第三章函数的导数与微分习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)

导数与微分习题(基础题)

导数与微分习题（基础题） 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可导，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b

导数与微分练习题

题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导内容一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数

三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用典型例题题型I 利用导数定义解题题型II 导数在几何上的应用题型III 利用导数公式及其求导法则求导题型IV 求高阶导数题型V 可导、连续与极限存在的关系自测题二一．填空题二．选择题三．解答题 4月9日微分练习题基础题：（一）选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a

2. 设 0'()2f x =，则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--＝( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于 2的正整数时， )(x f 的n 阶导数 )()(x f n 是（）。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! （二）填空题 5. 设 2 sin x e y = ，则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =，则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=， '0()2x θ=， 2x x dy dx ==，则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ，则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ； 9. 已知设 cos2x y e = ，则=dy ____ _. 10. sin x y x = ，则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13．2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题：（三）解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的

第三章导数与微分习题及答案

第三章导数与微分同步练习一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（） A 、不连续 B 、极限不存在Ｃ、连续且可导Ｄ、连续但不可导４、下列函数在[]1,1-上可微的有（）Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =

导数及其应用典型例题

第一章导数及其应用 1.1 变化率与导数【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义：拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一求平均变化率：例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.

题型二实际问题中的瞬时速度例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）（1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??；（3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三求函数的导数及导函数的值例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四曲线的切线问题例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.

导数与微分练习题答案

高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，；可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]

微积分典型例题和重点知识点

微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导应用题的是弹性函数和利用函数求最值以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整

高中数学导数及微积分练习题

高中数学导数及微积分练习题 Newly compiled on November 23, 2020

1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2 cos(2x －π3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）． (A)．54 (B)．5 2 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． (A)．18 (B)．338 (C)．316 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程. 10、已知f (x )=x 3+ax 2+bx+c ,在x ＝1与x ＝－2时，都取得极值。 ⑴求a ，b 的值；⑵若x ∈[－3，2]都有f (x )>112 c -恒成立，求c 的取值范围。 11.设a 为实数，函数()a x x x x f +--=23。（1）求()x f 的极值；（2）当a 在什么范围内取值时，曲线()x f y =与x 轴仅有一个交点

高等数学导数与微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。（1）223)1(-=x x y ；（2）x x y sin = ；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。（1）)0(,>=x x y x ；（2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。（2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

高等数学(同济第五版)第二章导数与微分-练习题册

第二章导数与微分第一节作业一、填空题： 1. 假定:,)('0按照导数定义存在x f . ) ()(lim )2(. ) ()(lim )1(000000=--+= ?-?-→→?h h x f h x f x x f x x f h x 2. 设=?= ',5 32 2y x x x y 则 . 3. 曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为 . 4. 已知物体的运动规律为 s=t 3（米），则这物体在t=2（秒）时的速度为 . 二、选择题（单选）： 1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100)，则f’(1)的值等于：（A ）101！；（B ）100!101- ；（C ）-100；（D ）.99 ! 100 答：（） . 1)(; 1)(;2 1 ) (; 0)(: )0(',0,00 ,1)(.22 -?????=≠-=-D C B A f x x x e x f x 为则设答：（）三、试解下列各题： 1. 讨论函数.00, 00 ,1sin 处的连续性与可导性在=????? =≠=x x x x x y

2. 已知).(',0, ,sin )(x f x x x x x f 求???≥<= 3. 设?,,1)(,1 ,1 ,)(2应取什么值处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =???>+≤= 四、试证明下列各题： 1. 证明：双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a 2. 2. 如果f(x)为偶函数，且f’(0)存在，证明f’(0)=0.

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ?= 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 ) (1 )(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1= 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 34 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αααααα)1()2()1()()( (2) x n x e e =)()( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln() (1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设2(,)f x y x y xy y +-=+ 则(,)f x y = （A ） A ． ()2x x y - B ．2xy y + C ．()2 x x y + D ．2x xy - 解： (,)()f x y x y x y y +-=+ []1()()()2 x y x y x y = ++-- (,)()2x f x y x y ∴=- 2． 22 1cos lim 1x x y o e y x y →→++= （D ） A ． 0 B ．1 C ． 1e D ． 2 e 解：22cos (,)1x e y f x y x y =++在点（1，0）连续 '221cos cos 0lim 11102x x y o e y e e x y →→∴==++++ 3．设(,) f x y 在点00(,)x y 处有偏导数存在，则0000(2,)(,)lim h o f x h y f x h y h →+--=（D ） A ．0 B ．'00(,)x f x y C ．'002(,)x f x y D ．'003(,)x f x y 解：原式=0000(2,)(,)lim 22h o f x h y f x y h →+-? 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h →--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y += 4．(,)z f x y =偏导数存在是(,)z f x y =可微的（B ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．无关条件

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经济数学(导数与微分习题及答案)

关于导数的29个典型习题

导数与微分练习题答案

导数与微分测试题及答案(一)

第二章 导数与微分(测试题)

经济数学(导数与微分习题与答案)

导数与微分习题(基础题)

导数与微分习题及答案

导数与微分练习题

第三章 导数与微分 习题及答案

导数及其应用典型例题

导数与微分练习题答案

微积分典型例题和重点知识点

高中数学导数及微积分练习题

高等数学导数与微分练习题

高等数学(同济第五版)第二章导数与微分-练习题册

高考数学 导数及其应用的典型例题

最新导数与微分练习题 (2)

第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案

第二章导数与微分(测试题)

第三章导数与微分习题及答案

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