找规律题的解题方法（绝密）
题型分类：
规律题一般分为以下几种类型：第一类是纯文字型题；第二类是数字型题；第三类是几何图形题；第四类是数字与图形结合型题；第五类是杂题型。
纯文字型题：
例题：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？
分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数；
③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律：
操作次数 1 2 3 (10)
取出球数 1 2 3 (10)
盒中剩球数0 2 7 … A
放回的球数 4 8 12 … B
盒中增加球数 3 6 9 … C
总球数 4 10 19 … D
在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31 ……
1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。
说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。
例题：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？
分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人
握7次手；……，A9与A10握1次手。因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。
说明：解决此类问题时，应将出现的各种结果按一定规律一一给出，从而整理出所有结果来。
例题:(2005年连云港)右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA
交于点A
1，A
2
，A
3
，…。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A
1
点到A
2
点的回
形线为第2圈，……，依此类推。则第10圈的长为。
解析：我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，……归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10＝79。
例题:（2011•广西）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出1
2
升水，第
2次倒出的水量是1
2
升的
1
3
，第3次倒出的水量是
1
3
升的
1
4
，第4次倒出的水量是
1
4
升的
1
5
，…
按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是（）
A.10
11
升 B.
1
9
升 C.
1
10
升 D.
1
11
升
解析：答案是D。
例题:(2005年重庆市)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P
1
，第
2次从点P
1出发按乙方式运动到点P
2
，第3次从点P
2
出发再按甲方式运动到点P
3
，第4次从
点P
3出发再按乙方式运动到点P
4
,……。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在
位置P
11
的坐标是。
解析：（－3，－4）。
例题：（2011山东滨州、2005河北）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手
势了。如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72，那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）。
A.1，2
B.1，3 .
C.4，2
D.4，3
解析：答案是A 。
例题：（2005河北）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面的运算就改用手势了。下面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例．若用法国“小九九” 计算7×9，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）
A ．2， 3
B ．3，3
C ．2，4
D ．3，4
∵两手伸出的手指数的和为7,未伸出的手指数的积为2，∴8×9=72．
(8×9=10×(3+4)+2×1=72）
∵两手伸出的手指数的和为
5,未伸出的手指数的积为6，
∴7×8=56．
(7×8=10×(2+3)+3×2=56）7×8=？右手左手8×9=？
右手
左手
解析：答案是C 。
例题：（2011•娄底）如图，自行车的链条每节长为 2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为（）
A.150cm
B.104.5cm
C.102.8cm
D.102cm
解析：
（1）根据已知可得两节链条的长度为：2.5×2﹣0.8，3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2，以及60节链条的长度为：2.5×60﹣0.8×59，得出答案即可。
（2）根据图形可得出：
两节链条的长度为：2.5×2﹣0.8，
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2，
4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3，
所以，60节链条的长度为：2.5×60﹣0.8×59=102.8，
故选：C．
点评：此题主要考查了图形的变化类，根据题意得出60节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键．
图形中图的规律型题：
数表型题：
（1）先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律。
（2）看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差。
数字型题：
一、什么是数列？
二、解题基本方法
1、仔细观察所有数字。一般找规律的题都和他的项数(就是他是第几个数有关)，你就先一个一个看，一般找倍数或者和平方数有关。我以前遇到的题什么1 3 8 15...或者2 5 10 17...还有什么1 3 7 15 31...这些看似都没什么关系，其实都是123456的平方，或者2的次方之类的，做多了就回有手感了，这是实话。
2、看相邻数之间的关系，就是每个数之间是有关联的，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。比如第二个数是第一个数的多少多少倍或者多少多少次方呀再加减多少多少的。
3、很多找规律的数都和2有关，尤其是2的几次方然后加减什么数。
4、空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的从两边同时推导找规律。
5、找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。
6、看增幅
（1）如增幅相等（即为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n- 2
（2）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：
1.求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2.求出第1位到第n位的总增幅；
3.数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
例题：2、5、10、17……，求第n位数。
分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：
［3+(2n-1)］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1
所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1
例题：A：2、9、28、65.....，增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 ，答案与3有关且是n的3次幂，即：n3+1。
B：2、4、8、16.......，增幅是2、4、8.. .....，答案与2的乘方有关，即：2n。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。
（3）增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9、17增幅为1、2、4、8。
（4）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
三、基本技巧
（一）标出序列号，看数字和自然数列的关系
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包含序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。如：
数列1，4，9，16，...
序列号1，2，3，4，....
显然是a(n)=n2
例题：观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是。
解析：解答该题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：
数列：0，3，8，15，24，……。
序列号：1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。
例题：一张长方形桌子可坐6人，按下列方式讲桌子拼在一起。
①2张桌子拼在一起可坐______人。3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起
可坐______人。
②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则
40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐______人。
③若在②中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐_________人。
解析：① 8；10；24
n ；② 112；③ 100。
例题：下图(1)表示1张餐桌和6张椅子(每个小半圆代表1张椅子)，若按这种方式摆放20张餐桌需要的椅子张数是。
如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。
（二）公因式法
每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3，或2n、3n，或n、2n、3n有关。例如：
1，9，25，49，（），（），…，的第n个为(2n-1) 2
1，2，3，4，5，…，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方。n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。
（三）对比前后数字差、和
例如：
1，1，2，3，5，8，.......。显然是前两个之和等于第三个，a(n)=a(n-2)+a(n-1)，（n≥3）。（斐波那契数列）。
再如：1，2，4，7，11，16.....。是前一项加自然数列等于后一项。a(n)=a(n-1)+(n-1)，(n≥2)。
再如：
3，4，6，9，13....
3，4，6，9，14....
你看看这两个数列再往下怎么写？
第一个是：加自然数列；第二个是前两项相加-1。所以往下写为：
3，4，6，9，13，18，24....
3，4，6，9，14，22，35....
（四）建立新数列，看与位置的关系
有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系，再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例如：
2、5、10、17、26……，同时减去2后得到下面新数列
0、3、8、15、24……，
序列号：1、2、3、4、5……，
从顺序号中可以看出，当n=1时，得12-1得0，当n=2时，22-1得3，32-1=8，以此类推，可得新数列的第n个数为n2-1。因为新数列由原数列同时减2得到，故在n2-1的基础上加2，得到原数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1。
（五）建立新数列，找规律
有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例如：4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）
同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列的第n
项为n2，新数列是原数列同除以4得到的，所以求出新数列n的公式后再乘以4，即4n2，则可求出原数列第一百个数为4×1002=40000。
（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加或减的可能性大一些，同时乘或除的不太常见。
（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。例如：
1，1，3，4，5，9，7，16....
叉开看就是：1，3，5，7和1，4，9，16
单数为奇数列，偶数是自然数平方。
例题：观察下面依次排列的一列数，它的排列规律是什么？请接着写出后面的3个数。你能说出第100个数、第2004个数、第10000个数吗？
①2，-2，2，-2，2，-2，……
②-1，3，-5，7，-9，11，……
③- ，，- ，，- ……
解析：
①容易发现这一窜数字是正负相间、绝对值都等于2的数构成的，即第奇数个数字是2，第偶数个数是-2。因此接下来的三个数就是2，-2，2。第100个数是-2，第2004个数是-2，第10000个数是-2。
②容易发现这一窜数字除了符号有变化外，数字都是奇数；符号是一负一正相间；（第奇数个数是负的，第偶数个数是正的。因此，符号的确定可以用（-1）N来作为每一个数的系数。而奇数常常用（2N-1）来表示，固此数列的第N个数可以用（-1）N（2N-1）来表示，原数列中的接下来的三个数为：-13，15，-17。第100个数为199，第2004个数为4007，第10000个数为19999。
③容易发现此数列的符号特征与第2小题的符号特征一样，可以用（-1）N来表示。而每一个分数可以看成是偶数的倒数，即，因此，此数列中的第N个数可表示为（-1）N ，故，接下来的三个数为- ，。第100个数为，第2004个数为，第10000个数为。
说明：此例中的数字规律学生寻找起来不是很困难的，只须了解一系特殊数列的表示方法就可以了，如奇数数列、偶数数列的表示方法；当然，符号的表示也是要求掌握的。
四、基本步骤
1. 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。
2. 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律。
3. 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六）变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律。
4. 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题。
五、数字推理基本类型
按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：
1. 和差关系。又分为等差、移动求和或移动求差两种。
(1) 等差关系。
相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：自然数数列：1，2，3，4，5，6……
偶数数列：2，4，6，8，10，12……
奇数数列：1，3，5，7，9，11，13……
例题：103，81，59，( )，15。
A.68
B.42
C.37
D.39
解析：这显然是一个等差数列，前后项的差为22。答案为C。
例题：2，5，8，( )。
A.10
B.11
C.12
D.13
解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为5，第一个数字为2，两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即8 +3=11，第四项应该是11，即答案为B。
例题：123，456，789，( )。
A.1122
B.101112
C.11112
D.100112
解析：这题的第一项为123，第二项为456，第三项为789，三项中相邻两项的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789+333=1122。注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律，而不能从数字表面上去找规律，比如本题从123，456，789这一排列，便选择101112，肯定不对。答案为A。
例题：11，17，23，( )，35。
A.25
B.27
C.29
D.31
解析：这同样是一个等差数列，前项与后项相差6。答案为C。
例题：12，15，18，( )，24，27。
A.20
B.21
C.22
D.23
解析：这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未知项即18+ 3=21，或24-3=21，由此可知第四项应该是21。答案为B。
例题：小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是。
–6 –4 –3 –2 -1 0 1 2 4 5
解析：该题为两个自然数列，自然数列是等差数列。答案应该是-6。
例题：仔细观察下列图形.当梯形的个数是n时，图形的周长是 .
1
1 1
2
解析：计算图形周长，内部的线段不计算在内. 观察增加规律，每次左右两边无变化，上下底每次增加的和为3. 是一个以5为首项，以3为公差的等差数列. 答案应该是32
n+。
例题：用火柴棒按如下方式搭三角形，照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要______根火柴棒。
解析：是一个以3为首项，以2为公差的等差数列. 答案应该是21
n+。
例题：（2011•深圳市）如图6，这是边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，第n个图形的周长为。
解析：答案是2n
+。
例题：（2011•临沂）各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这样的图形中共有个等腰梯形。
解析：答案是100。
例题：2，6，12，20，30，( ) (2002年考题)
A.38
B.42
C.48
D.56
解析：后一个数与前个数的差分别为：4，6，8，10，这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该选B。这种数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。
例题：2，5，11，20，32，( ) (2002年考题)
A.43
B.45
C.47
D.49
解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12，这显然是一个等差数列，因而要选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。
例题：32，27，23，20，18，( ) (2002年考题)
A.14，
B.15，
C.16，
D.17
解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5，-4，-3，-2，显然是一个等差数列，因而要选的答案与18的差应该是-1，所以答案应该是D。
例题：-2，1，7，16，( )，43
A.25
B.28
C.3l
D.35
解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3，6，9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。
例题：12，20，30，42，( 56 )
例题：127，112，97，82，( 67 )
(2) 移动求和或求差关系。
例题：1，1，2，3，5，( )。
A.8
B.7
C.9
D.10
解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，即n1+n2=n3，按此规律3+5=8，答案为A。
例题：1，2，3，5，( )，13
A.9
B.11
C.8
D.7
解析：1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=13，选C。
例题：4，5，( )，14，23，37
A.6
B.7
C.8
D.9
解析：选D。
例题：（2007年陕西）小说《达芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是．
解析：答案是21。
例题：观察下列各式：0，x1，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。试按此规律写出的第10个式子是。（2006年汉川市）
解析：该题包含有两个变量，一个是各项的指数，一个是各项的系数。容易看出各项的指数等于它的序列号减1，而系数的变化规律就不那么容易发现啦。然而，如果我们把系数抽出来，尝试做一些简单的计算，就不难发现系数的变化规律。
系数排列情况：0，1，1，2，3，5，8，……。
从左至右观察系数的排列，依次求相邻两项的和，你会发现，这个和正好是后一项。也就是说原数列相邻两项的系数和等于后面一项的系数。使用这个规律，不难推出原数列第8项的系数是5+8=13，第9项的系数是8+13=21，第10项的系数是13+21=34。
所以，原数列第10项是34x9。
例题：0，1，1，2，4，7，13，( )
A.22
B.23
C.24
D.25
解析：注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。选C。
例题：22，35，56，90，( ) （99年考题）
A.162
B.156
C.148
D.145
解析：22 +35-1=56，35+ 56-1=90，56+ 90-1=145，答案为D。
例题：5，3，2，1，1，( )
A.-3
B.-2
C.0
D.2
解析：前两项相减得到第三项，即n1-n2=n3。选C。
例题：6，3，3，( )，3，-3
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3，答案是A。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规律”)。
例题：( )，36，19，10，5，2 (2003年考题)
A.77
B.69
C.54
D.48
解析：前一个数与后一个数的差分别为：3，5，9，17，这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，后面的数应该是17×2-1=33，因而33+36=69，答案应该是B。
2. 乘除关系。又分为等比、移动求积或移动求商
(1) 等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。
例题：2，1，1/2，( )。
A.0
B.1/4
C.1/8
D.-1
解析：从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的数字与前面相邻数字之间的比值等于一个常数。题中第二个数字为1，第一个数字为2，两者的比值为1/2，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即(1/2)/2，第四项应该是1/4，即答案为B。
例题：2，8，32，128，( )。
A.256
B.342
C.512
D.1024
解析：这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为4。答案为C。
例题：2，-4，8，-16，( )。
A.32
B.64
C.-32
D.-64
解析：这仍然是一个等比数列，前后项的比值为-2。答案为A 。
例题：阅读下列一段话，并解决后面的问题：
观察下面一列数：1，2，4，8， 可以发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2。 一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。
（1）等比数列5，-15，45，… 的第4项是_________。
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，它的第1项与第4项分别为____和_____。 例题：8，12，18，27，( )
解析：后项与前项之比为1.5。答案是40.5。
例题：你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。这样捏合到第 次后可拉出64根细面条。
第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合
解析：是一个以2为首项，以2为公比的等比数列，第n 项为2n
。
例题：（2011•贵州省）观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，…．根据上述算式中的规律，请你猜想102的末尾数字是（ ）
A.2
B.4
C.8
D.6
解析：得数为等比数列。次幂为自然数列。答案是B 。
例题：（2011•铜仁）观察一列单项式：a ，22a -，34a ，48a -，… 根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n 个单项式为 。
解析：764a （或762a ）；n n a 1)2(--.
例题：6，6，9，18，45，( )
解析：后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3。答案是135。
例题：4，5，7，11，19，( ) (2002年考题)
A.27
B.31
C.35
D.41
解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8，这是一个等比数列，因而要选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C 。这种数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。
例题：3，4，7，16，( ) (2002年考题)
A.23
B.27
C.39
D.43
解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，3，9，显然是一个等比数列，因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D 。
例题：1，3，7，15，31，( ) (2003年考题)
A.61
B.62
C.63
D.64
解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，4，8，16，显然是一个等比数列，因而要选的答案与31的差应该是32，所以答案应该是C 。
例题：1，3，18，216，( )
A.1023
B.1892
C.243
D.5184
解析：后一个数与前一个数的比值分别为：3，6，12，显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D ：216×24=5184。
例题：102，96，108，84，132，（ ），（ ），… (2006年考)
解析：后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则48后面的数应为-96，132-96=36，再看-96后面应是96X2=192，192+36=228。
(2) 移动求积或商关系。
例题：2，5，10，50，( )
解析：从第三项起，第三项为前两项之积。答案是500。
例题：1，2，2，4，8，32，( )
解析：前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。
例题：1，7，8，57，( )，
解析：第三项为前两项之积加1。答案为457。
例题：3，4，6，12，36，( )，
解析：从第三项起，第三项为前两项之积除以2。答案为216。
例题：100，50，2，25，(2/25)
解析：从第三项起，第三项为前两项之商。
例题：2，12，36，80，( ) (2007年考题)
A.100
B.125
C.150
D.175
解析：2×1， 3×4 ，4×9，5×16 自然下一项应该为6×25＝150，选C ，此题还可以变形为：212⨯，322⨯，432⨯，245⨯…..,以此类推，得出)1(2+⨯n n
例题：3/2，2/3，3/4，1/3，3/8，( ) (99年考题)
A.1/6
B.2/9
C.4/3
D.4/9
解析：3/2×2/3=1，2/3×3/4=1/2，3/4×1/3=1/4，1/3×3/8=1/8，3/8×?=1/16，答案是A。
备注：两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。
3. 平方关系数列
（1）完全平方数列：
正序：1，4，9，16，25，(36)，49，…为位置数的平方。
逆序：100，( 81 )，64，49，36，…为位置数的平方。
例题：1，2，6，15，31，( ) (2003年考题)
A.53
B.56
C.62
D.87
解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，4，9，16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。
（2）一个数的平方是第二个数
例题：2，4，16，( )，…
解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。
（3）一个数的平方加减一个数等于第二个数
例题：66，83，102，123，( )，…。
解析：66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加2。答案为146。
例题：1，2，5，26，( )，…。
解析：前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。
（4）加减一个常数归成完全平方数列，也叫隐含完全平方数列
例题：0，3，8，15，24，( )
解析：每一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35。
（5）相隔加减，得到一个平方数列
例题：65，35，17，( )，1
A.15
B.13
C.9
D.3
解析：不难感觉到隐含一个平方数列。思考发现规律是：65=82+1，35=62-1，17=42+1，再观察时发现：奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。
例题：1，4，16，49，121，( )。(2005年考题)
A.256
B.225
C.196
D.169
解析：从数字中可以看出12，22，42，72，112，正好是1，2，4，7，11.。。。。，可以看出后项减前项正好是1，2，3，4，5，。。。。。。。，从中可以看出应为11+5=16，162是256，所以选A。
例题：2，3，10，15，26，( )。(2005年考题)
A.29
B.32
C.35
D.37
解析：看数列为2=12+1，3=22-1，10=32+1，15=42-1，26=52+1，再观察时发现：位置数奇时都是加1，位置数偶时都是减1，因而下一个数应该是6的平方减1=35，前n 项代数式为：n 2-(-1)n ，所以答案是C.35。
例题：1，3，6，10，15，( )
A.20
B.21
C.30
D.25
解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：1+3=4=22，6+10=16=42，则15+？=36=62呢，答案应该是B 。
例题：按一定的规律排列的一列数依次为：-2，5，-10，17，-26，…按此规律排下去，这列数中的第9个数是 。
解析：答案是-82。
4. 立方关系数列
例题：1，8，27，64，( )，
解析：位置数的立方。数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为53，为125。 例题：3，10，29，( )，127
解析：位置数的立方加 2。答案是66。
例题：0，7，26，63，( )
解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为53-1，为124。
例题：0，1，2，9，( )
解析：后项为前项的立方加1。答案是730。
例题：-2，-8，0，64，( )。 (2006年考题)
A.64
B.128
C.156 D 250
解析：从数列中可以看出，-2，-8，0，64都是某一个数的立方关系，-2=(1-3)×13，-8=(2-3) ×23，0=(3-3)×33，64=（4-3）X43，前n 项代数式为：()33n n ⨯-，因此最后一项应该为(5-3)×53＝250，选D 。
例题：0，9，26，65，124，( ) (2007年考题)
数学找规律题的解题技巧方法归纳 数字变化类规律题解题技巧 (1)标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘; (2)公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与 n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关; (3)有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用(1)、(2)、技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来; (4)有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来; (5)同技巧(3)、(4)一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见; (6)观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。 数学找规律题的技巧 标出序列号 找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 看增幅 如增幅相等(实为等差数列)：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a1为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a1+(n-1)b。 如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等，即二级等差数
列)。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种求法。 总体思路 从具体实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律;由此及彼，合理联想，大胆猜想;善于类比，从不同事物中发现相似或相同点;总结规律，得出结论，并验证结论正确与否;善于变化思维方式，做到事半功倍，探索规律是一种思维活动及思维从特殊到一半的跳跃，需要有一定的归纳与综合能力，当已知的数据有很多组时，需要仔细观察，反复比较才能准确找出规律。找规律题的技巧方法 先观察。做找规律题，拿到题目后，先不要着急做题，首先应该先去观察。主要是观察题目和题型，通过观察，揣摩下出题者的用意，有些简单的题，通过观察就可以得到想要的答案的。所以拿到题目时，先以观察为主，观察题目，观察数字，观察图画，能够从观察中找到答案那最好不过了。 列条件。做找规律题，在观察完题目后，假如还是没有找到准确的答案，那就建议你要去学会列条件了。把题目已知的条件列出来，变着方式和方法去列，通过动手动笔，说不定你就能找到你想要的答案的。 去比较。做找规律题，要学会去比较。比较就是比较题目的差异。特别是图画型找规律题，多花点心思去比较图画的异同点，从中找到对应的答案，比一比，说不定就把答案比出来了。 大胆猜。做找规律题，要敢于大胆猜。有些题目，你看了半天也没有找到解题的思路或者是方法，也没有发现具体的规律，这个时候，建议你尝试去猜规律，猜了后再来一题一题的试，能够把题目试出来最好，假如试不出来，又再去猜一种规律，又再来试。 用公式。做找规律题，要善于用公式。特别是在做一些数列题或者数字题的时候，有可能你观察半天都找不到规律，但是你去用相关的数学公式一套，多半就把规律套出来了。所以去记住一些数学公式也很重要。 巧假设。做找规律题，要敢于去假设。有些题，要想找到规律，在必要的时候要学会去假设，假设条件，假设规律，假设结果，通过假设，说不定你就能
2022年中考数学专题复习：找规律 1.以下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．假设圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，那么这9个数的和为【】． A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D。 【考点】分类归纳〔数字的变化类〕，一元二次方程的应用。 【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，那么最小数为x－16。 ∴x〔x－16〕=192，解得x=24或x=－8〔负数舍去〕。 ∴最大数为24，最小数为8。 ∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。应选D。 2.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式〔每两队之间都赛一场〕，方案安排10场比赛，那么参加比赛的球队应有【】 A．7队B．6队C．5队D．4队 【答案】C。 【考点】分类归纳〔数字的变化类〕，一元二次方程的应用。 【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打〔x－1〕场球，第二个球队和其他球队 打〔x－2〕场，以此类推可以知道共打〔1+2+3+…+x－1〕= x(x1) 2 - 场球，根据方案安排 10场比赛即可 列出方程：x(x1) 10 2 - =， ∴x2－x－20=0，解得x=5或x=-4〔不合题意，舍去〕。应选C。
3.观察以下一组数： 32，54，76，98，11 10 ，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ▲ ． 【答案】 2k 2k+1 。 【考点】分类归纳〔数字的变化类〕。 【分析】根据得出数字分母与分子的变化规律： 分子是连续的偶数，分母是连续的奇数， ∴第k 个数分子是2k ，分母是2k +1。∴这一组数的第k 个数是 2k 2k+1 。 4. 填在以下各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是 ▲ ． 【答案】900。 【考点】分类归纳〔数字变化类〕。 【分析】寻找规律： 上面是1，2 ，3，4，…，；左下是1，4=22 ，9=32 ，16=42 ，…，； 右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方： 〔4－2〕2 ，〔9－3〕2 ，〔16－4〕2 ，… ∴a =〔36－6〕2 =900。 5.北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦 举行，奥运会的年份与届数如下表所示： 年份 1896 1900 1904 (2022) 届数 1 2 3 … n 表中n 的值等于 ▲ ． 【答案】30。 【考点】分类归纳〔数字的变化类〕。 【分析】寻找规律： 第1届相应的举办年份=1896＋4×〔1－1〕=1892＋4×1=1896年； 第2届相应的举办年份=1896＋4×〔2－1〕=1892＋4×2=1900年； 第3届相应的举办年份=1896＋4×〔3－1〕=1892＋4×3=1904年；
小升初之找规律专题 教学目标; 1、规律题是观察，实验，归纳，猜想和验证的综合考察； 2、以退为进的解题过程在找规律的过程中尤其重要； 3、规律的总结是抽象思维能力和计算能力，形象思维能力等的综合考察； 4、规律题的积累经验也是非常必要的。 复习检查： 此版块适用于除首课之外的课程设计，授课教师可灵活采用各种方式对学生上节课所学知识掌握情况进行效果检查。如：放置需要学生作答的笔试题目或需要口头作答的提问。 1、甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？ 思路分析：这道问题是典型的追及问题，求追及时间，根据追及问题的公式： 追及时间=路程差÷速度差 150÷（75-60）=10（分钟） 答：10分钟后乙追上甲。 2、下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家。5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家） ()()10202004060540=÷=-÷?（分钟） 3、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？ ()14842865=?-（千米） 4、环湖一周共400米，甲、乙二人同时从同一地点同方向出发，甲过10分钟第一次从乙身后追上乙。若二人同时从同一地点反向而行，只要2分钟二人就相遇。求甲、乙的速度。 速度差：4010400=÷（米/分钟） 速度和：2002400=÷（米/分钟） 甲速度：()120220040=÷+（米/分钟） 乙速度：80120200=-（米/分钟） 5、甲骑车、乙跑步，二人同时从同一地点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。出发后10分钟，甲便从乙身后追上了乙。已知二人的速度和是每分钟700米，求甲、乙二人的速度各是多少？
平面直角坐标系找规律题型解析 1、如图，正方形ABCD 的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点P(0，2)。作点P 关于点A 的对称点p1，作p1关于点B 的对称点p2，作点p2关于点C 的对称点p3，作p3关于点D 的对称点p4，作点p4关于点A 的对称点p5，作p5关于点B 的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？ 解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。 设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。 第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0） 解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。 根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出： P4n （0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。 2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0） 总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是p 点。 2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示． （1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）； （2）写出点A4n 的坐标（n 是正整数）； （3）按此移动规律，若点Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示m （n 是正整数） （4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向． （5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．（6）指出A106，A201的的坐标及方向。 解法：（1）由图可知，A4，A12，A8都在x 轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6， ∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1） （2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n 的坐标（2n ，0）； （3）∵只有下标为4的倍数或比4n 小1的数在x 轴上， ∴点Am 在x 轴上，用含n 的代数式表示为：m=4n 或m=4n-1； （4）∵2011÷4=502…3， O 1 A 1 A 2 A 3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10 A 11 A 12 x y
中考规律探索1 以下为全部整理类型,规律探索共两套试题,供参考学习使用 一．选择题 1．观察下列等式：31 ＝3,32 ＝9,33 ＝27,34 ＝81,35 ＝243,36 ＝729,37 ＝2187… 解答下列问题：3＋32 ＋33 ＋34 …＋3 2013 的末位数字是 A ．0 B ．1 C ．3 D ．7 2. 把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,…,现用等式A M =i,j 表示正奇数M 是第i 组第j 个数从左往右数,如A 7=2,3,则A 2013= A ．45,77 B ．45,39 C ．32,46 D ．32,23 3.下表中的数字是按一定规律填写的,表中a 的值应是 ． 1 2 3 5 8 13 a (2) 3 5 8 13 21 34 … 4.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成,其中第1个图形的面积为2cm 2 ,第2个图形的面积为8 cm 2 ,第3个图 形的面积为18 cm 2 ,……,第10个图形的面积为 A ．196 cm 2 B ．200 cm 2 C ．216 cm 2 D ． 256 cm 2 5．如图,动点P 从0,3出发,沿所示的方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第2013次碰 到矩形的边时,点P 的坐标为 A 、1,4 B 、5,0 C 、6,4 D 、8,3 6．如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是 A ． M=mn B ． M=nm+1 C ．M=mn+1 D ．M=mn+1 7．我们知道,一元二次方程12-=x 没有实数根,即不存在一个实数的平方等于-1,若我们规定一个新数“”,使其满足
中考数学找规律题型扩展及解析 “有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧
数学试题分类汇编——找规律 姓名：___________ 成绩：_______ 1、如图所示，观察小圆圈的摆放规律，第一个图中有5个小圆圈，第二个图中有8 个小圆圈，第100个图中有__________个小圆圈． （1） （2） （3） 2、 找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，则第4 幅图中有 个菱形,第n 幅图中有 个菱形． 3、用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第 n 个图形需棋子 枚（用含n 的代数式表示）. 4、观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、c 的值分别为______________． 5、如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个22?的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33?的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44?的正方形图案（如图④），其中完整的 圆共有25个．若这样铺成一个1010?的正方形图案， 则其中完整的圆共有 个． 6、 如下图,用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子 枚（用含有n 的代数式表示，并写成最简 形式）. ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ● ○ ○ ● ● ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ 7、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形 需 根火柴棒。 8、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，1 2 3 n … … 第1个图 第2个图 第3个图 …
数学找规律题的解题技巧方法归纳 数学中找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。下面是小编为大家整理的关于数学找规律题的解题技巧，希望对您有所帮助! 数字变化类规律题解题技巧 (1)标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘; (2)公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关; (3)有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用(1)、(2)、技巧找出每位数与位置的关系.再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来; (4)有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来; (5)同技巧(3)、(4)一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见; (6)观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。 数学找规律题的技巧 标出序列号 找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 看增幅 如增幅相等(实为等差数列)：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a1为数列的
第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a1+(n-1)b。 如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等，即二级等差数列)。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 总体思路 从具体实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律;由此及彼，合理联想，大胆猜想;善于类比，从不同事物中发现相似或相同点;总结规律，得出结论，并验证结论正确与否;善于变化思维方式，做到事半功倍，探索规律是一种思维活动及思维从特殊到一半的跳跃，需要有一定的归纳与综合能力，当已知的数据有很多组时，需要仔细观察，反复比较才能准确找出规律。 找规律题的技巧方法 先观察。做找规律题，拿到题目后，先不要着急做题，首先应该先去观察。主要是观察题目和题型，通过观察，揣摩下出题者的用意，有些简单的题，通过观察就可以得到想要的答案的。所以拿到题目时，先以观察为主，观察题目，观察数字，观察图画，能够从观察中找到答案那最好不过了。 列条件。做找规律题，在观察完题目后，假如还是没有找到准确的答案，那就建议你要去学会列条件了。把题目已知的条件列出来，变着方式和方法去列，通过动手动笔，说不定你就能找到你想要的答案的。 去比较。做找规律题，要学会去比较。比较就是比较题目的差异。特别是图画型找规律题，多花点心思去比较图画的异同点，从中找到对应的答案，比一比，说不定就把答案比出来了。 大胆猜。做找规律题，要敢于大胆猜。有些题目，你看了半天也没有找到解题的思路或者是方法，也没有发现具体的规律，这个时候，建议你尝试去猜规律，猜了后再来一题一题的试，能够把题目试出来最好，假如试不出来，又再去猜一种规律，又再来试。 用公式。做找规律题，要善于用公式。特别是在做一些数列题或
归纳—猜想——找规律具体方法和步骤是（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字排列规律题 1、观察下列各算式： 1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42 按此规律 （1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007的值？ （2）推广：1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少？ 2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？23581217____ 3、请填出下面横线上的数字。 112358____21 4、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、 5、4、5、 6、……聪明的你猜猜第100个数是什么？ 5、有一串数字36101521___第6个是什么数？ 6、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（）. A．1 B．2 C．3 D．4 7、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为_________个． 二、几何图形变化规律题 1、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)： ●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…… 从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个． 2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是（填图形名称）. 三、数、式计算规律题 1、已知下列等式： ①13＝12； ②13＋23＝32； ③13＋23＋33＝62； ④13＋23＋33＋43＝102； 由此规律知，第⑤个等式是． 2、观察下面的几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，… 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.
第一部分:重点中学招生考试题 1.（西城实验考题）有一批长度分别为1，2，3，4， 5，6，7，8，9，10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形;如果规定底边是11厘米，你能围成多少个不同的三角形? 【解】由于数量足够多，所以考虑重复情况；现在底边是11，我们要保证的是两边之和大于第三边，这样我们要取出的数字和大于11.情况如下： 一边长度取11，另一边可能取1～11总共11种情况； 一边长度取10，另一边可能取2～10总共9种情况； … 一边长度取6，另一边只能取6总共1种； 下面边长比6小的情况都和前面的重复，所以总共有1+3+5+7+9+11=36种。 2.（三帆中学考题）有7双白手套，8双黑手套，9双红手套放在一只袋子里。一位小朋友在黑暗中从袋中摸取手套，每次摸一只，但无法看清颜色，为了确保能摸到至少6双手套，他最少要摸出手套（）只。 (手套不分左、右手，任意二只可成一双)。 【解】考虑运气最背情况，这样我们只能是取了前面5双颜色相同的后再取三只颜色不同的，如果再取一只，那么这只的颜色必和刚才三只中的一只颜色相同故我们至少要取5×2+3+1=14只。 3.（人大附中考题）某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间结束的时间及各是什么时刻。 【解】因为几点钟响几下，所以14=2+3+4+5，所以响的是2、3、4、5点，那么开始后10分钟才响就是说开始时间为1点50分。结束时，时针和分针恰好成90度角，所以可以理解为5点过几分钟时针和分针成90度角，这样我们算出答案为10÷11/12=1010/11分钟，所以结束时间是5点1010/11分钟。 （可以考虑还有一种情况，即分针超过时针成90度角，时间就是40÷11/12） 4.（101中学考题）4道单项选择题，每题都有A、B、C、D四个选项，其中每题只有一个选项是正确的，有800名学生做这四道题，至少有_________人的答题结果是完全一样的？【解】因为每个题有4种可能的答案，所以4道题共有4×4×4×4＝256种不同的答案，由抽屉原理知至少有： [799/256]+1＝4人的答题结果是完全一样的． 5.(三帆中学考题)设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少，这时间等于_________分钟. 【解】不难得知应先安排所需时间较短的人打水． 不妨假设为： 第一个水龙头第二个水龙头 第一个 A F 第二个 B G 第三个 C H
图形找规律 例题精讲 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严 密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题：⑴图形数量的变化； ⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化. 对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就 一定能抓住规律，解决问题. 板块一数量规律 【例1】请找出下面哪个图形与其他图形不一样. 【解析】这组图形的共同特征是，连接各边上一点，组成一个复合图形.所不同的是, 第四个图形是一个六边形，而其它几个都是四边形，这样，只有（4）与其它不 样 【例2】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带◊”的空格处应画什么 样的图形?
【解析】横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的 总个数不变.因为圆形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带◊”的空格处应画什么样 的图形？ 【解析】（方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加， 但每行图形的总个数不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个三角形△. （方法二）竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、？、 2、1的顺序变化，也可以看出“？”处应是三角形△. 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带◊”的空格处应画什么样 的图形？ 【解析】（方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但 每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按5、4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一 个圆形. （方法二）竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照 5、4、？、2、1的顺序变化，也可以看出“？”处应是圆形. 【例3】观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形. 【解析】本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依 次增多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑
图1 图2 图 3 初一数学规律题应用知识汇总 “有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，下面就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n 个数可以表示为：a1+(n-1)b ，其中a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第n 位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b 。 例：4、10、16、22、28……，求第n 位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n 位数是：4+(n-1) 6＝6n －2 例1、已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为 顶点向外作小等边三角形（如上图所示）． （1）当n = 5时，共向外作出了 个小等边三角形 （2）当n = k 时，共向外作出了 个小等边三角形（用含k 的式子表示）． 例2、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3 中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n 个图形中，互不重叠的三角形共有 个（用含n 的代数式表示）。 （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差 n =3 n =4 n =5 ……
平面直角坐标系找规律题型解析 1、如图,正方形ABCD 的顶点分别为A<1,1> B<1,-1> C<-1,-1> D<-1,1>,y 轴上有一点P<0,2>。作点P 关于点A 的对称点p1,作p1关于点B 的对称点p2,作点p2关于点C 的对称点p3,作p3关于点D 的对称点p4,作点p4关于点A 的对称点p5,作p5关于点B 的对称点p6┅,按如此操作下去,则点p2011的坐标是多少？ 解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点,图形为一个循环周期。 设每个周期均由点P1,P2,P3,P4组成。 第1周期点的坐标为：P1<2,0>,P2<0,-2>,P3<-2,0>,P4<0,2> 第2周期点的坐标为：P1<2,0>,P2<0,-2>,P3<-2,0>,P4<0,2> 第3周期点的坐标为：P1<2,0>,P2<0,-2>,P3<-2,0>,P4<0,2> 第n 周期点的坐标为：P1<2,0>,P2<0,-2>,P3<-2,0>,P4<0,2> 2011÷4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同,为〔－2,0 解法2：根据题意,P1〔2,0P2〔0,－2P3〔－2,0P4〔0,2。 根据p1-pn 每四个一循环的规律,可以得出： P4n 〔0,2,P4n+1〔2,0,P4n+2〔0,－2,P4n+3〔－2,0。 2011÷4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同,为〔－2,0 总结：此题是循环问题,关键是找出每几个一循环,及循环的起始点。此题是每四个点一循环,起始点是p 点。 2、在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位．其行走路线如下图所示． 〔1填写下列各点的坐标：A4〔 , ,A8〔 , ,A10〔 , ,A12〔 ； 〔2写出点A4n 的坐标〔n 是正整数； 〔3按此移动规律,若点Am 在x 轴上,请用含n 的代数式表示m 〔n 是正整数 〔4指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向． 〔5指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．〔6指出A106,A201的的坐标及方向。 解法：〔1由图可知,A4,A12,A8都在x 轴上, ∵小蚂蚁每次移动1个单位,∴OA4=2,OA8=4,OA12=6, ∴A4〔2,0,A8〔4,0,A12〔6,0；同理可得出：A10〔5,1 〔2根据〔1OA4n=4n÷2=2n,∴点A4n 的坐标〔2n,0； 〔3∵只有下标为4的倍数或比4n 小1的数在x 轴上, ∴点Am 在x 轴上,用含n 的代数式表示为：m=4n 或m=4n-1； 〔4∵2011÷4=502…3, ∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致,为向右． 〔5点A100中的n 正好是4的倍数,所以点A100和A101的坐标分别是A100〔50,0和A101〔50,1,所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。 〔6方法1：点A1、A2、A3、A4每4个点,图形为一个循环周期。 O 1 A 1 A 2 A 3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10 A 11 A 12 x y
中考数学找规律题型汇总及解析
中考数学找规律题型扩展及解析 “有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28……，求第n位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2 （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。 此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。 （三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。 二、基本技巧
平面直角坐标系找规律题型解析 一、如图，正方形ABCD 的极点别离为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点P(0，2)。作点P 关于点A 的对称点p1，作p1关于点B 的对称点p2，作点p2关于点C 的对称点p3，作p3关于点D 的对称点p4，作点p4关于点A 的对称点p5， 作p5关于点B 的对称点p6┅，按如此操作下去，那么点p2020的坐 标是多少？ 解法1：对称点P 一、P 二、P3、P4每4个点，图形为一个循环 周期。 设每一个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。 第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2) 2020÷4=502…3，因此点P2020的坐标与P3坐标相同，为（－2，0） 解法2：依照题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。 依照p1-pn 每四个一循环的规律，能够得出： P4n （0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。 2020÷4=502…3，因此点P2020的坐标与P3坐标相同，为（－2，0） 总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是p 点。 二、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 动身，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走线路如以下图所示． O 1 A 1 A 2 A 3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 1A 1A x y
找规律题的解题方法（绝密） 题型分类： 规律题一般分为以下几种类型：第一类是纯文字型题；第二类是数字型题；第三类是几何图形题；第四类是数字与图形结合型题；第五类是杂题型。 纯文字型题： 例题：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？ 分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数； ③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律： 操作次数 1 2 3 (10) 取出球数 1 2 3 (10) 盒中剩球数0 2 7 … A 放回的球数 4 8 12 … B 盒中增加球数 3 6 9 … C 总球数 4 10 19 … D 在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31 …… 1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。 说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。 例题：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？ 分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人