线性规划经典例题
一、问题描述
假设有一家面包店，每天需要生产两种类型的面包：A型和B型。生产一块A
型面包需要3分钟，而生产一块B型面包需要4分钟。面包店每天可供给的总生
产时间为480分钟。A型面包的利润为5元，B型面包的利润为4元。面包店希翼
最大化每天的利润。
二、数学建模
为了解决这个问题，我们可以使用线性规划模型来进行数学建模。首先，我们
需要定义决策变量和目标函数，然后列出约束条件。
1. 决策变量：
设x为A型面包的生产数量，y为B型面包的生产数量。
2. 目标函数：
面包店的每日利润可以表示为目标函数，即最大化利润。根据题意，A型面
包的利润为5元，B型面包的利润为4元，因此目标函数可以表示为： maximize Z = 5x + 4y
3. 约束条件：
a) 生产时间约束：每天可供给的总生产时间为480分钟，而生产一块A型面
包需要3分钟，生产一块B型面包需要4分钟。因此，生产时间约束可以表示为：3x + 4y ≤ 480
b) 非负约束：由于面包的生产数量不能为负数，所以需要添加非负约束条件：
x ≥ 0
y ≥ 0
三、线性规划求解
通过将目标函数和约束条件带入线性规划模型，我们可以求解出最优解。
1. 构建线性规划模型：
maximize Z = 5x + 4y
subject to:
3x + 4y ≤ 480
x ≥ 0
y ≥ 0
2. 求解最优解：
使用线性规划求解方法，可以得到最优解。
假设最优解为(x*, y*)，则最大利润为Z* = 5x* + 4y*。
四、数值计算
为了求解最优解，我们可以使用线性规划求解器或者手工计算。
1. 使用线性规划求解器：
可以使用诸如MATLAB、Python的SciPy库或者在线线性规划求解器等工具来得到最优解。
2. 手工计算：
为了方便计算，我们可以使用图形法来解决这个问题。首先，我们将约束条件3x + 4y ≤ 480绘制成直线，然后确定可行解的区域。接下来，我们将目标函数5x + 4y = Z绘制成直线，并通过挪移直线找到最大利润的点。
通过计算，我们可以得到最优解为x* = 80，y* = 60，最大利润为Z* = 5*80 + 4*60 = 680元。
五、结果分析
根据求解结果，最优解为在每天生产80块A型面包和60块B型面包时，面包店可以获得最大利润为680元。
六、结论
通过线性规划模型求解，我们得到了面包店在每天生产80块A型面包和60块B型面包时可以获得的最大利润为680元。这个结果可以匡助面包店合理安排生产计划，以最大化利润。同时，该模型也可以用于优化其他类似的生产问题，匡助企业做出更好的决策。
例1：生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。 解： 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)
工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20，
线性规划经典例题 一、问题描述 某公司生产两种产品A和B，产品A每单位售价为10元，产品B每单位售价 为15元。公司有两个生产车间，分别称为车间1和车间2。每天车间1可生产产 品A 4个单位或产品B 6个单位，车间2可生产产品A 3个单位或产品B 2个单位。公司每天可提供的生产时间为8小时。每个单位产品A的生产时间为1小时，产 品B的生产时间为2小时。每天的总生产成本为生产产品A的数量乘以5元，生 产产品B的数量乘以4元。公司希望在满足生产能力和时间限制的前提下，最大 化每天的总利润。 二、数学建模 1. 定义变量 设x为每天生产的产品A的数量（单位：个），y为每天生产的产品B的数量（单位：个）。 2. 建立目标函数 目标函数为最大化每天的总利润。总利润等于每天销售产品A的收入减去生产成本，再加上每天销售产品B的收入减去生产成本。由此可得目标函数：Maximize Z = 10x + 15y - 5x - 4y 化简得：Maximize Z = 5x + 11y 3. 建立约束条件 （1）车间1每天可生产的产品A的数量为4个单位或产品B的数量为6个单位，即约束条件为： 4x + 6y ≤ 8
（2）车间2每天可生产的产品A的数量为3个单位或产品B的数量为2个单位，即约束条件为： 3x + 2y ≤ 8 （3）每天的生产时间为8小时，每个单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时，即约束条件为： x + 2y ≤ 8 （4）生产数量不能为负数，即约束条件为： x ≥ 0, y ≥ 0 4. 整理数学模型 综合以上信息，得到线性规划的数学模型如下： Maximize Z = 5x + 11y Subject to: 4x + 6y ≤ 8 3x + 2y ≤ 8 x + 2y ≤ 8 x ≥ 0, y ≥ 0 三、求解线性规划问题 可以使用线性规划求解方法，如单纯形法或内点法，求解以上线性规划问题，得到最优解。 根据求解结果，可以得到最大利润为XXX元，此时每天生产产品A的数量为XXX个，每天生产产品B的数量为XXX个。
一、 已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值就是 。 3. 已知变量x,y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤??≥??+≤? ,则 y x 的取值范围就是( )、 A 、 [95,6] B 、(－∞,95 ]∪[6,＋∞) C 、(－∞,3]∪[6,＋∞) D 、 [3,6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 与y 须满足约束条件?? ???≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值 就是 。 四、 已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( ) A. －3 B 、 3 C 、 －1 D 、 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A. 4 B 、 1 C 、 5 D 、 无穷大
简单的线性规划典型例题 篇一：典型例题：简单的线性规划问题 典型例题 【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积. 【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低? 参考答案 例1： 【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为 或其平面区域如图： 或或 ∴面积S=×4×4=8 【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界. 例2：
【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解. 【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 z=252x+160y， 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小. 观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求. 此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时， zmin=252×2+160×5=1304. 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低. 【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点. 篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析 线性规划讲义 【考纲说明】 （1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法． （3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）
习题： 一．人类资源分配问题 红旗商场为一中心百货商场，它对售货人员需求经过统计分析如表所示。为保证售货人员的休息（每连续工作五天后，休息两天） 问：如何安排售货人员作息，即可满足工作需要，又使配备售货人员数最少？ 答：设x1为星期一开始上班的人数，x2为星期二开始上班的人数，……，x7星期日开始上班的人数。 我们就可得到如下的数学模型： min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 x3+x4+x5+x6+x7≥28 x4+x5+x6+x7+x1≥15 x5+x6+x7+x1+x2≥24 x6+x7+x1+x2+x3≥25 x7+x1+x2+x3+ x4≥19 x1+x2+x3+x4+x5≥31 x2+x3+x4+x5+x6≥28 x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0 该问题的最优解为：x1=8，x2=0，x3=12，x4=0，x5=11，x6=5，x7=0；目标函数的最小值为36。 Lingo中的调试： min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7; x1+x2+x3+x4+x5>28; x2+x3+x4+x5+x6>15; x3+x4+x5+x6+x7>24; x4+x5+x6+x7+x1>25; x5+x6+x7+x1+x2>19;
x6+x7+x1+x2+x3>31; x7+x1+x2+x3+x4>28; 二．市场应用 某公司投资3万元进行媒体广告宣传，希望吸引观众购买本公司产品。现有五种媒体供选择，相关信息如下表 对广告宣传，公司有下列要求：1.至少进行10次电视广告宣传；2.至少有5万名潜在观众被告知；3.电视广告投入不超过18000元。问：如何进行媒体组合，才使广告质量最高。 答：问题中媒体组合实际上就是要决定每种媒体的使用次数。设x1、x2、x3、x4、x5分别表示表中日间电视、夜间电视、日报、周末新闻杂志、电台广播五种媒体的使用次数。 该问题的线性规划模型为 max z = 65x1 + 90x2 + 40x3 +60x4 + 20x5 1500x1 + 3000x2 + 400x3+ 1000x4 + 100x5 ≤30000 1000x1 + 2000x2 +1500x3 + 2500x4 + 300x5≥50000
第五节 线性规划应用举例 例1 生产计划问题 某工厂可以生产n A A A 、、、 21共n 种产品，生产中需要消耗m B B B 、、、 21共m 种资源。生产每单位产量的A j 产品需要消耗B i 种资源的数量为a ij ，各种产品每单位的利润分别为n c c c 、、、 21。工厂的资源是有限的，每种资源的数量分别为 m b b b 、、、 21。 上述情况可表示在如下生产情况表中。 解： 设：n A A A 、、 、 21的产量分别为n x x x 、、、 21。 问题的线性规划模型为： ,,,z max 21221122222121112121112211≥≤+++≤+++≤++++++=n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c 例2．货运问题 某企业租用了一节火车车皮运送甲、乙两种货物到外地销售。这两种货物每箱的重量分别为：甲—0.2吨，乙—0.3吨；每箱的体积分别为：甲—1米3，乙—0.6米3；每箱可获得的利润分别为：甲—500元，乙—400元。一节车皮的有效载重为56吨，有效容积为180米3。问：为获得最大利润，甲、乙各应运载多少箱？ 可将该问题视为一个生产计划问题，产品为甲、乙，资源为载重量和容积，可列出相应的生产情况表如下：
解：设甲、乙货物的运送两分别为x 1、x 2。 模型为： ,1805.0563.02.0400500z max 2121212 1≥≤+≤++=x x x x x x x x 解得：x 1＝130，x 2＝100，z ＝105000 例3：混合配料问题 某饲养厂每天需要1000公斤饲料，其中至少要含7000克蛋白质、300克矿物质、1000毫克维生素。现有五种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养含量及价格如下表所示： 解：设每天各种饲料的选用量依次为：54321,,,,x x x x x 。 模型为： ,,,,100010008.022.05.03005.022.05.07000182638.03.04.07.02.0min 543215432154321543215432154321≥=++++≥++++≥++++≥++++++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 求解得：X=[438.6,0,0,276.3,285.1]，z=398.7 例4：下料问题 现需要90根3米长和90根4米长的钢筋，现有一种10米长的钢筋，问：如何切割这种10米长的钢筋，才能使所切割的钢筋数量最少？
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22 x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ ，则 y x 的取值范围是（ ）. A. [95，6] B.（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞） C.（－∞，3]∪[6，＋∞） D. [3，6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤≥+-≥-.112,932, 22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤⎧⎨ -≤-≤⎩ 。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪ -+≤⎨⎪≤⎩ ，使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 五、求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪ +-≤⎨⎪≤⎩ 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D. 无穷大
简单的线性规划典型例题 「_x +y _2 兰0, 例1画出不等式组」x+y—4兰0,表示的平面区域. x -3y 3 _ 0. 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分. 解：把x=0 , y=0 代入-x y-2中得-00-2：：：0 二不等式-x * y-2乞0表示直线-X，y-2=0下方的区域（包括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示. 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效 的一种方法. 例2画出2x-3：m表示的区域，并求所有的正整数解（x,y）. 分析：原不等式等价于'而求正整数解则意味着x , y "3. ' 上>0, y >0, x € z y w z 有限制条件，即求；y J . j y〉2x-3, yg 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x-3：：：八3表示的区域如下图:
x>0, y >0, 对于2x-3曲空3的正整数解，先画出不等式组.X Z ，r Z， 所表示y>2x-3, 八3. 的平面区域，如图所示. 容易求得，在其区域内的整数解为（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,2）、（2,3）. 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来. y 环+1 _1 例3求不等式组< ''所表示的平面区域的面积. “兰-x+1 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积.而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等 式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值 加以讨论. 解：不等式y A|x+1| -1 可化为y X x（x 兰-1）或y 二-x~2（x v -1）；
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ⎧ ⎪ ≤ ⎨ ⎪+≥ ⎩ ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【 l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ⎧ ⎪ +-≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B ' 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ⎧ ⎪-≤≥ ⎪ ⎨ -+≤≥⎪ ⎪--≤ ⎩ 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整
点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ⎧ ⎪ -+≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D ~ 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ⎧ ⎪ -+≥ ⎨ ⎪--≤ ⎩ ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 . C、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即 |AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）" A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>⎧ ⎨ -+-<⎩
二元一次不等式与简单的线性规划问题 典型例题一 例1 画出不等式组⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，，表示的平面区域． 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+- ∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 典型例题二 例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 分析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧≤->∈∈>>. 3, 32, ,, 0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：
对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧≤->∈∈>>. 3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来． 典型例题三 例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥1 1 1x y x y 所表示的平面区域的面积． 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域 作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论． 解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线 )1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ： 则不等式组所表示的平面区域如图 由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形． 根据两条平行线之间的距离公式两平行直线距离公式d=|C1-C2|/根号(A^2+B^2)可得矩形的两条边的长度分
线性规划应用题 1某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料3吨、 B 原料2吨；生产 每吨乙产品要用 A 原料1吨、B 原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润 5万元，每吨乙产 品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过13吨，B 原料不超过18 吨，求该企业可获得最大利润。 解析：设甲、乙种两种产品各需生产 x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即 ‘3x + y 兰 13 2x +3y 兰 18 已知约束条件 ，求目标函数 z = 5x 3y 的最大 \x ＞0 y -0 x = 3 值，可求出最优解为丿 ，故z max = 15十12 = 27。 y =4 2.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产 A 类产品6件和B 类产品20件•已知设备甲每天的租赁费 为200元，设备乙每天的租赁费为 300元,现该公司至少要生产 A 类产品50件,B 类产品140 件,求所需租赁费的最少值. . 【解析】：设甲种设备需要生产 x 天，乙种设备需要生产 y 天，该公司所需租赁费为 z 元,则 6 . x+— y 兰10 5 x 2y -14 x _0,y _0 产品 A 类产品 设备 （件）（＞ 50） 甲设备 5 乙设备 6 B 类产品 租赁费 （件）（＞ 140） （元） 10 200 20 300 z =200x • 300y ，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示 则满足的关系为 5x 6y 一 50 10x 20y -140即: x_0,y_0
线性规划的实际应用举例 为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。 1 物资调运中的线性规划问题 例1 A，B两仓库各有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/ 万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元／万个。问如何调运，能使总运费最小?总运费的最小值是多少? 解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元。那么需从B仓库调运40-x万个到甲地，调运 20-y万个到乙地。 从而有 z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。 作出以上不等式组所表示的平面区域(图1)，即可行域。 令z'=z-7000=20x+30y. 作直线l：20x+30y=0， 把直线l向右上方平移至l l的位置时，直线经过可行域上的点M(30，0)，且与原点距离最小，即x=30，y=0时， z'=20x+30y取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000亦取得最小值， z min=20×30+30×0+7000=7600(元)。 答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7600元。 2 产品安排中的线性规划问题 例2某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨，麦麸0.2吨，其余添加剂O.4
吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3吨，其余添加剂0.2吨。每1吨甲种 饲料的利润是400元，每1吨乙种饲料的利润是500元。可供饲料厂生产的玉米供应 量不超过600吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过300吨。问甲、乙 两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大?最大利润是多少? 分析：将已知数据列成下表1。 表1例2表 解：设生产甲、乙两种饲料分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么 z=400x+500y。 作出以上不等式组所表示的平面区域(图2)即可行域。 作直线l：400x+500y=0。并把l向右上方平移，由于l1：4x+5y=6000与l平行，所以线段MN上所有坐标都是整数的点(整点)都是最优解。易求得M(250，1000)，N(0，1200)。 取整点M(250，1000)，即x=250，y=1000时， z max=400×250+500×1000=600000(元)=60(万元)。 答：可安排生产甲种饲料250吨，乙种饲料1000吨，能使利润总额达到最大。最大利润为60万元。 注：课本题中出现的线性规划问题大都有唯一的最优解。例2使我们认识到最优解的个数还有其他可能，这里不再深入探究。
线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩ 则22 x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域？ 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 24 x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨ +≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线2 2 4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪ +≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0 003x y x y x -≤⎧⎪ +≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪ +≥⎨⎪≤≤⎩ 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例5已知变量x ，y 满足约束条件14 22 x y x y ≤+≤⎧⎨ -≤-≤⎩ 若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值， 则a 的取值范围为 。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例６在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ 表示的平面区域的面积是（） (A) (B)4 (C) (D)2 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如b x a y z --= 时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 例8、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0， 则 y x 的取值范围是（ ）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，9 5 ]∪[6，＋∞）（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6] 九、求可行域中整点个数 例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）个。A 、9 B 、10 C 、13 D 、14
线性规划常见题型及解法 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ⎧ ⎪ ≤ ⎨ ⎪+≥ ⎩ ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ⎧ ⎪ +-≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ⎧ ⎪-≤≥ ⎪ ⎨ -+≤≥⎪ ⎪--≤ ⎩ 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ⎧ ⎪ -+≤ ⎨ ⎪≤ ⎩ ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上 1
简单的线性规划典型例题 例1 画出不等式组⎪⎩ ⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-.0330402y x y x y x ，， 表示的平面区域． 分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分． 解：把0=x ，0=y 代入2-+-y x 中得0200<-+- ∴ 不等式02≤-+-y x 表示直线02=-+-y x 下方的区域（包 括边界）， 即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表 示的区域如图所示． 说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法． 例2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 分析：原不等式等价于⎩ ⎨ ⎧≤->.3, 32y x y 而求正整数解则意味着x ，y
有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≤->∈∈>>. 3,32, ,,0,0y x y z y z x y x ． 解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图： 对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≤->∈∈>>. 3,32, ,, 0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示． 容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(． 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来． 例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥1 1 1x y x y 所表示的平面区域的面积． 分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够