第七章第三节不等式组与简单的线性规划
第三节不等式组与简单的线性规划第一部分
五年高考荟萃
2009年高考题
、选择题
|3x - y - 6 _ 0
1. （2009山东卷理）设x ，y 满足约束条件 x - y • 2 _ 0
答案 A
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （ a>0， b>0）取得最大12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 2+3=
= 13 + （匕+◎）兰 13+ 2 = 25 故选
a b a b 6
6 a b 6 6 '
A.
【命题立意】：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题
•要求能准
确地画出不等式表示的平面区域 拼且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6,求
2 3
的最小值常用乘积进而用基本不等式解答
.
a b
积相等的两部分，则
k 的值是
7
3
4
3
A. B.- C.
D.—
3 7 3 4
答案
B
■l -x _ 0
2. （ 2009安徽卷理）若不等式组 x . 3 y 4所表示的平面区域被直线
3x y _ 4
解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△
ABC
x _0,y _0
若目标函数 z=ax+by （a>0， b>0）
的疋最大值为 12,
2 3
则 的最小值为
（）
a b
25 8 11
A. 一
B.
—
D. 4
6
3 3
解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分
，当直线 ax+by= z （ a>0, b>0）
A
O
4
y=kx+—
D 3
由!x +3y =4得 A （ 1，1），又 B （ 0，4），c （ 0，4）
3x y =4 3
14
4
二 S ^ABC = (4
) 1 ，设 y =kx 与 3x y =4 的 2
3 3
、 1
2 1
父点为D ，则由S BCD S=ABC 知X D ， — y D
西 2 3 2
,5 1 4 7 -- k , k 选 2 2 3 3
3. (2009安徽卷文)不等式组 A. 3 2
目标函数z =5x • 3y
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x = 3，y = 5时可获得最大利润为 27万元，故选D
2x y _4
x,y 满足 x-y — -1,则 z = x ' y x - 2y _ 2
A.有最小值2,最大值3 C. 有最大值3，无最小值 答案 B
B. 有最小值2，无最大值 D.既无最小值，也无最大值
解析 画出可行域可知，当
,+3『乏4所表示的平面区域的面积等于
3x+y D.# B.3 解析 由 X 3y _4 =0 3x +y —4 =0 C 1 可得 C(1,1)，故 S 阴= AB| x 4 c -，选 Co 3 答案 4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 原料2吨；生产每吨乙产品要用 A 原料3吨，B A 原料1吨， B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 A 原料不超过13吨， 万元，每吨乙产品可获得利润 3万元。该企业在一个生产周期内消耗 B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 答案 D 解析设生产甲产品 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 则有： X 吨，生产乙产品 甲产品x 吨 乙产品y 吨 x >0 y >0 3x y 汨 3 2x 3y -18 3X y 5. （2009宁夏海南卷理）设 y 吨，则有关系: 原 学习必备欢迎下载 ^x y 过点（2，0）时，Z min二2，但无最大值。选 B. 2x y _4, 6.（2009宁夏海南卷文） 设x, y 满足 x-2y<2, A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B 解析 画出不等式表示的平面区域，如右图，由 z = x + y ,得y = — x +乙令z = 0,画出y =-x 的图象，当它的平行线经过 A （2,0）时，z 取得最小值，最小值为：z = 2,无最大值， 故选.B I x —2v 色0 2 2 7.（2009湖南卷理）已知D 是由不等式组 ，所确定的平面区域，则圆 x y =4 lx+3y 启0 在区域D 内 的弧长为 答案 B 解析 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率 1 1 分别是—，--，所以圆心角:即为两直线的所成夹角，所以 2 3 兀 A .— 4 n B.— [B] 1 1 已-（-1）1 tan ：二一2 3 1 , 1 1 1 ：（一 ；）丨 2 幷4 C.主 D.主 所以 ，而圆的半径是 2，所以弧长是，故选B 现。 4 2 |x y _ 3 I 一 8.（ 2009天津卷理）设变量 x ，y 满足约束条件： x 「y #:-1.则目标函数z=2x+3y 的最小值 2x - y _3 为 A.6 B.7 C.8 D.23 答案 B 【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。 x y 亠3 I 解析 画出不等式 x - y _ -1表示的可行域，如右图， 2x - y - 3 一 2 x z 让目标函数表示直线 y 在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小值，解 3 3 （2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 -4 原料2吨；生产每吨乙产品要用 A 原料1吨、B 原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过13吨, B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 答案D 【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。 （同文10） 解析 设甲、乙种两种产品各需生产 x 、y 吨，可使利润z 最大，故本题即 方程组丿 x y = 3 得(2,1)，所以 2x - y =3 =4 - 3= 7，故选择B 。 f x = -x+3 g x = x+1 右 2：-3 -2 x. qx = 3 +7 -1 5 -10 -5 10 15 9. A 原料3吨、B z min '3x + y 兰 13 2x +3y 兰 18 已知约束条件 ，求目标函数z=5x 3y 的最大 x>0 y-0 x = 3 值，可求出最优解为』 ，故z max = 15 +12 = 27，故选 y = 4 择D 。 x y _ 0 i 『 10. （2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组 （ G 为常数）所表 ax - y +1 兰 0 示的平面区域内的面积等于 2,则a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 答案 D 解析 如图可得黄色即为满足 x-1乞0与x ，y-1_ 0的可行域，而ax -y T=0 的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封 3 闭区域，当a=1时，面积是1； a=2时，面积是当a=3时，面积恰好为2，故选D. 二、填空题 x y _2, 11.（ 2009浙江理）若实数x, y 满足不等式组《 2x - y 兰4,则2x +3y 的最小值是 ___________ x_y ^0, 答案 4 X y - 2, I y 12.（2009浙江卷文）若实数 x,y 满足不等式组 2x-y 乞4,贝V 2x 3y 的最小 x-y _0, 【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题，此题的考查既体现了正确画线性 区域的要 解析 通过画出其线性规划，可知直线 y 「£x Z 过点2,0时，2x 3y 皿肿4 3 求，也体现了线性目标函数最值求解的要求 2 解析通过画出其线性规划，可知直线y = ——x+Z过点（2,0 ）时，（2x + 3yh jn =4 x y -2 _0, 13. （2009北京文）若实数x, y满足*x兰4, 则s=x + y的最大值为___________ x兰5, 解析本题主要考查线性规划方面的基础知.属于基础知识、基本运算的考查. 如图，当x = 4, y = -2时, s = y -'X ~'2 ~4 = -6 为最小值. 故应填-6. 15.（2009山东卷理）不等式2x—1 - X —2 <0的解集为 __________ 答案{x | -1 ■- x :: 1} 解析原不等式等价于不等式组①2^i x (x 22b ：o 或②2 1 X ： 1 1 或③ 一 2 不等式组①无解,由②得 1 :：: x ：：： 1,由③得-1：：：xJ, 综 2 2 _(2x -1) (x -2) ：：： 0 上得-仁:x :: 1 ,所以原不等式的解集为{X| -1 ：：: X :：: 1}. 16.(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品，甲种设备每天能生产 A 类 产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产 A 类产品6件和B 类产品20件•已知设备 甲每天的租赁费为 200元，设备乙每天的租赁费为 300元,现该公司至少要生产 A 类产品50 件,B 类产品140件，所需租赁费最少为 __________ 元• 答案 2300 解析 设甲种设备需要生产 x 天，乙种设备需要生产 y 天，该公司所需租赁费为 z 元，则 _ __ x y=10 作出不等式表示的平面区域 ，当z=200x+300y 对应的直线过两直线 < 的交 、x + 2y = 14 点(4,5)时，目标函数z = 200x 300 y 取得最低为2300元• 【命题立意】：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关 系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题 2 2 x -1 (x-：：： z =200x • 300y ，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示 产品 A 类产品 B 类产品 租赁费 设备 (件)(> 50) (件)(> 140) (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 feel 6 5x 6y _ 50 x y _ 10 5 则满足的关系为 10x 20y _140即： 7 7 x 2y -14 x 2y - 14 x-0，y -。 x_0,y_0 y _2x I 已知实数x 、y 满足 y —「2x 则目标函数z=x-2y 的最小值是 x _3 1 1 解析 画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为： y x —乙画直线y x 及 2 2 其平行线，当此直线经过点 A 时，—z 的值最大，z 的值最小，A 点坐标为（3,6）,所以，z 的最小值为：3— 2 X 6=— 9。 2005--2008年高考题 一、 选择题 x 2y -19 一0, 1、（2008山东）设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 M 使函数y = 2x y -14 乞 0 a x （a > 0, a z 1）的图象过区域 M 的a 的取值范围是（） A .[1,3] B.[2, .10 C.[2,9] D.[、10,9] 答案C 解析本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域 M 显然a 1，只需 研究过（1,9）、（3,8）两种情形。a 1乞9且a 3 - 8即2乞a 乞9. 17. （2009上海卷文） 答案 —9 x - y 》0, 2x + v < 2, 3. （2007北京）若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围 |V 》0， x y w a 是 4 .1 w a w — D . 3 ( ) 4 Ova w 1 或 a > - 3 A 4 A. a 》一 B. 3 Oca w 1 C 答案D x _ y > 二 1, .（2007天津）设变量 x y 满足约束条件 x + y > 1, 则目标函数 z= 4x + v 的最大值 3x -] V <3 为 ( ) A. 4 B. 11 C. 12 D .14 答案B ，在 B(10,20)点取最大值 Z max =3 10 2 20 = 70 答案C 解析 画出可行域（如 图） x - y _ 10, 5、 （ 2008山东）10、（2006山东）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件 x~y <2,则x 2x _ 7. —2x - 3y 的最小值是 （A ）24 （B ）14 （C ）13 （D ）11.5 答案B \>0 y 兰0 6、 （ 2006广东）在约束条件' 下，当3_S_5时，目标函数z =3x ・2y 的最大 x + y 兰 s y 2x 乞 4 值的变化范围是 （） 答案D 答案 B 区域的不等式组是 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 7、( 2006 天津) 设变量 、y 满足约束条件 为 A . 2 答案B B. 8、（ 2006 安徽） 如果实数X 、 x -y 1_0 y 满足条件 y T _ 0 x y 1 _ 0 1 C . -2 D ，那么2x - y 的最大值为 .-3 9、(2006 辽宁) 双曲线 x 2 y 2 =4的两条渐近线与直线 x =3围成一个三角形区域 ,表示该 |x -y _ 0 (A) x y 一 0 0 乞x 乞3 (B) x - y _ 0 I 『 x y 乞0 0乞x 乞3 (C) (D) f x - y 乞 0 I 『 X y 一0 0乞x 乞 答案 A 10. （2005重庆）不等式组丿 ]x-2|£2 2 Jog 2(x -1) >1 的解集为 A.(0, 3); B .( 32) ; C. (、3,4) D.(2,4) 答案 11 X —y +2》0, 5x —y —10 W o, x > 0, y > o, 则z =2x y 的最大值为 答案 11 解析 本小题主要考查线性规划问题。作图 (略)易知可行域为一个四角形，其四个顶点 分别为(0, 0), (0, 2), (2,0), (3,5),验证知在点(3,5)时取得最大值11. [x -2y +5兰0 3 - x _ 0 {( x, y) | x 2 y 2 < 25}，则 m 的取 mx + y 启 0 12 (2007 湖南).设集合 A={( x , y) | y >|x —2|, x > 0}, B ={( x, y) | y W —x + b}, AplB -一， (1) _____________________ b 的取值范围是 ； (2) 若(x , y) • A 「| B ，且x 2y 的最大值为9，则b 的值是 _______________ . 9 答案(1)[1, *) (2 )- x y _ 2 I y 14. ___________________________________________________________________________ (2007福建)已知实数X 、y 满足 0岂y 空3 答案[一5,7] x 1 2 解：令 2e >2(x<2),解得 1 ex<2。令 log 3( x T) >2 (x 辺)解得 (€10 , +^)选 C |2x -■ y _ _ 1 15、 (2006全国I)设z=2y —x ，式中变量x 、y 满足下列条件<3x + 2y 兰23 W1 则z 的最大值为 _______________ x V 4 | 16、 （2006北京）已知点P （x , y ）的坐标满足条件 〈沦 x, 点O 为坐标原点，那么|PO | ^>1, 设x, y 满足约束条件 11 . ( 2007浙江)设m 为实数，若 值范围是 ______________ 。 (x,y) 的最小值等于_, 最大值等于_, 答案 2 「° "x + y 兰 5, 3x + 2y 兰 12 17、 （ 2005山东设x y 满足约束条件« '则使得目标函数z = 6x + 5y 的值最大的 0兰x 兰3, 、0 Ey 兰4. 点（x, y ）是 ______ 答案（2, 3） 2x + y 兰 0 18、 （2005福建）非负实数 x, y 满足」 '贝Ux + 3y 的最大值为 ____________ x + y —3 兰 0, 答案 9 [x - y - 2 — 0 19、 （2005江西）设实数x, y 满足<|x+2y-4>0,则-的最大值是 ____________________ x 2 y - 3 - 0 3 答案 T- 2 第二部分三年联考题汇编 2009年联考题 一、选择题 1、（山东省乐陵一中 2009届高三考前练习） y^0 y - 1 若实数x , y 满足不等式 x-y — 4 ,贝U 的取值范围是（ ） x+1 2x -■讨—2 一 0 1 1 1 - 1 - 1 A • IT B . C - --2 I 2, D.- ■ — -He | 答案 C X - y 5 _ 0 2、（山东省乐陵一中 2009届高三考前练习）已知满足约束条件 y_0 ，则 x _ 3 z =2x 4y 的最小值是 A . 5 B .— 6 C. 10 D.— 10 答案 B 3. 福建省福州市普通高中 09年高三质量检查已知实数 "x - y + 5 3 0 x, y 满足x 乞3 ，则目标函数z = x • 2y 的最小值为 （ ） X y - A .— 6 B .— 3 C. 5 D. 19 2 答案 B x - y 5 _ 0 i 『 4. （北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文）设实数x , y 满足＜ x + y 兰0 ，则 x 兰3 z = x 3y 的最小值为( ) A. - 6 B. -3 C. 5 D.27 答案 A 答案 B 6.（北京市崇文区2009年3月高三统一考试文）在如下图所示的坐标平面的可行域内 （阴影 部分且包括边界），若目标函数z = x + ay 取得最小值的最优解有无数个， 则a 等于（） A . 1 B . -1 C. 3 D . -3 答案 B X 3y - 7 乞 0 7、（2009福州三中理）已知 x , y 满足 妝色1 则S=|y-x|的最大值是 _______ 的可行域内（阴影部分且包括边界） ，若目标函数 z = x + ay 取得最 小值的最优解有无数个， 则 y 的最大值疋 （ ) x -a A 2 B . 2 1 r 1 A. — C D 3 5 6 4 5.（北京市崇文区2009年3月高三统一考试理）在如图所示的坐标平面 3 答案 x 3y-7 <0 & （2009福州三中文）已知x, y满足>1 则S=x + 4y的最大值 _______ 。 [心 答案9 9、（2009厦门一中）设二元一次不等式组 x 2y -19 _0 ■: x -y +8 H 0 所表示的平面区域为M，若函数y = a x（a a 0 , a式1）的图象没2x +y —14 兰0 有经过区域M ,则a的取值范围是_________________ 答案（0, 1）」（1 , 2）一（9, +R）; x - 2 乞0 10、（2009广东三校一模）若点（x, y）在不等式组*y-1^0 表示的平面区域内运动， 、x + 2y-2兰0 则t =x -y的取值范围是 A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2] A 答案 x>0, 11、（2009东莞一模）已知点P（x, y）满足条件y _ x, （k为常数）,若x 3y的 2x y k _ 0 最大值为8,则k二 6 答案— x-y 2 _0 12、（2009茂名一模）已知实数x, y满足不等式组x • y -4 _0 ,目标函数 2x -y-5乞0 z二y-ax（a・R）.若取最大值时的唯一最优解是（1,3）,贝U实数a的取值范围是—— 答案（1,「J x y _ 0 13、（2009湛江一模）若x , y满足约束条件*x — y+330，贝V z = 2x — y Q兰x兰3 的最大值为_____________ . 9 答案 |2x y - 3 _ 0 14、（2009潮州实验中学一模）满足不等式组<7x + y—8兰0，则目标函数k=3x+y的最 x,y = 0 大值为___________ 答案4 15、（山东省乐陵一中2009届高三考前练习） X 2y -3 乞0 已知变量x, y满足约束条件x • 3y -3 _ 0.若目标函数 y -1 _0 z二ax • y （其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为___________ 16、（山东省乐陵一中2009届高三考前练习） 2x _ y W 0 已知变量x , y满足g y '则Z = 2x4y，的最大值为 x-3^5 > 0, 17. 安徽省示范高中皖北协作区2009届高三第一次联考试题.已知函数 x2x Y 0 f x •，则不等式f x卜4的解集为______________ x+1,^0 答案(-a, 2) (3, +8) 18、安徽省示范咼中皖北协作区2009届咼三第一次联考试题.已知实数x, y满足条件 x -1 _0 x「y「1_0 , z = y —ax，若使z取得最大值的有序数对x, y有无数个，则a = _____ x -3y 3 _0 答案1/3 19、（山东省乐陵一中2009届高三考前练习） 某公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、元•问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间， 才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得 x y W 300, 500x 200y < 90000, ............................. 分3 x > 0, y > 0. 目标函数为z=3000x 2000 y • ......... 汾 x y < 300, 二元一次不等式组等价于5x 2y < 900, x > 0, y > 0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行 域. ...........分 如图：作直线丨:3000x 2000y = 0 , 即3x 2y = 0 . 平移直线I，从图中可知，当直线I过M点时，目标函数取 得最大值. 论、「x + y =300,丄 /口 联立 ' 解得x=100, y=200 . 5x 2y = 900. 点M的坐标为（100,200）. ......................... 分10 .z max = 3000x 2000y = 700000 （元） 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大， 最大收益是70万元. ................. 分12 9月份更新 一、选择题 「x-y+1^0 v 1. （2009临沂一模）若实数x, y满足，贝V 的取值范围是 l x〉0x-1 A、（- 1, 1） B、（一汽一1 ）U （1, + s） C （—3—1）D : 1,+ s ） 答案B '2x +y— 3兰0 0.3万元和0.2万2. （2009上海十四校联考）实数x、y满足不等式组< 7x + y — 8兰0,贝V目标函数k = 3x + y N y >0 的最大值为_________ 答案4 3. （2009临沂一模）如果一个二元一次不等式组表示的平面区域 是图中的阴影部分 （包括边 界）,则这个不等式组是________ 。 x <0 I 答案｛y>-1 2x —y +2 启0 'J \>0, 4.（2009上海闸北区）设实数x, y满足条件< X兰y, 贝y z=2x-y的最大值是 x +2y 兰3. 答案4 5. （2009日照一模理）设 4x 3y -12》0 p:」3—x^O （x、y€ R）,q: x2+ y2 >r2（x、y€R,r》0 ）若「q是「p 的充分不/ +3y 兰12 必要条件，则r的取值范围是 ________________________ . 12 答案（0, ] 5 x y 2 _ 0, I y 6. （2009上海九校联考）已知点M （x, y）在不等式组x 2y 0,所表示的平面区域内， 1^0 则z =(x -1)2• (y -2)2的值域为_______________ 答案[8, 17] 2007-2008年联考题 2 2 1、（北京市海淀区2008年高三统一练习一）已知圆x - y-1i；= 2上任一点P x, y，其坐标均使得不等式x y m>0恒成立，则实数m的取值范围是（） A. 1, ：： B. - = 1 1 C.I-3,二（D） -31 答案A 2、（甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试）已知不等式|8x ・9|：：：7和不等式 ax 2 bx 2的解集相同，则实数 a 、b 的值分别为（ ） A . — 8、一 10 B . — 4、一 9 C. — 1、9 答案 B 3、（山西省实验中学2007—2008学年度高三年级第四次月考 下列不等式不恒成立是（ ） A . |a b|-|b|_|a| B . 2 ab 勻a b | (ab 0) C . | a _b |_| b | _| a | D . | a b|_a_b 答案 D 4、（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练汇编 ）要将两种大小不同的钢板截成 A 、B 、C 三 今需A 、B C 三种规格的成品各 15、18、27块，所需两种规格的钢板的张数分别为 、 n （ m 、n 为整数），贝U m + n 的最小值为 （C ） A. 10 B . 11 C . 12 D . 13 5、(江西省五校 2008届高三开学联考 )已知f ( x )=(4a -3) x+b —2 a X ^[ 0,1，若 f x <2恒成立，则t =a b 的最大值为 _______________ 。 17 答案17。 4 \ f （0） = b —2a 兰 2 「b 兰2a+2 3 解析 由已知， ，即 ，由线性规划知识知，当, 」（1 ）=b+2a —3 兰2 b<-2^5 4 7 17 b 时t - a b 达到最大值 。 2 4 6、 （陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考 ）若x >0 , y > 0,且x+2y=1，则2x+3y 2 的最小值是 _____________ 3 答案 3 4 7、 （广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试）已知点P 是边长为2 3的等边 三角形内一点，它到三边的距离分别为x 、y 、z ，则x 、y 、z 所满足的关系式 为 ____________ , x 2 y 2 z 2的最小值是 ___________________ D .— 1、 2 ）如果a 、b 都是非零实数，则 第七章第三节不等式组与简单的线性规划 第三节不等式组与简单的线性规划第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 、选择题 |3x - y - 6 _ 0 1. （2009山东卷理）设x ，y 满足约束条件 x - y • 2 _ 0 答案 A 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （ a>0， b>0）取得最大12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 2+3= = 13 + （匕+◎）兰 13+ 2 = 25 故选 a b a b 6 6 a b 6 6 ' A. 【命题立意】：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 •要求能准 确地画出不等式表示的平面区域 拼且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6,求 2 3 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 . a b 积相等的两部分，则 k 的值是 7 3 4 3 A. B.- C. D.— 3 7 3 4 答案 B ■l -x _ 0 2. （ 2009安徽卷理）若不等式组 x . 3 y 4所表示的平面区域被直线 3x y _ 4 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ ABC x _0,y _0 若目标函数 z=ax+by （a>0， b>0） 的疋最大值为 12, 2 3 则 的最小值为 （） a b 25 8 11 A. 一 B. — D. 4 6 3 3 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ，当直线 ax+by= z （ a>0, b>0） A O 4 y=kx+— D 3 由!x +3y =4得 A （ 1，1），又 B （ 0，4），c （ 0，4） 3x y =4 3 14 4 二 S ^ABC = (4 ) 1 ，设 y =kx 与 3x y =4 的 2 3 3 、 1 2 1 父点为D ，则由S BCD S=ABC 知X D ， — y D 西 2 3 2 ,5 1 4 7 -- k , k 选 2 2 3 3 3. (2009安徽卷文)不等式组 A. 3 2 目标函数z =5x • 3y 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x = 3，y = 5时可获得最大利润为 27万元，故选D 2x y _4 x,y 满足 x-y — -1,则 z = x ' y x - 2y _ 2 A.有最小值2,最大值3 C. 有最大值3，无最小值 答案 B B. 有最小值2，无最大值 D.既无最小值，也无最大值 解析 画出可行域可知，当 ,+3『乏4所表示的平面区域的面积等于 3x+y0 y >0 3x y 汨 3 2x 3y -18 3X y 5. （2009宁夏海南卷理）设 y 吨，则有关系: 原 7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________． (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax ＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划 (1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________． 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． (2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题． (3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________． 线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内． (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： ①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)． ②设__________，画出直线l0. ③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解． ④最后求得目标函数的__________． (5)利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数． 然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________． 自查自纠 1．(1)平面区域不包括包括实线 (2)相同符号 2．(1)目标函数线性目标函数 (2)最大值或最小值 (3)可行解可行域最优解 (4)①线性约束条件画出可行域②z＝0 ④最大值或最小值 (5)约束线性目标画出可行域取得最值的解 辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划 [例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1( [巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞ [例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y [巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.?? ? ??-≥≤+≤11y y x x y [例6] 画出不等式组?? ? ??≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域. [巩固] 画出不等式0 )4 )( 1 2 (< - - + +y x y x表示的平面区域. 1．基本概念 名称意义 约束条件由变量x，y组成的不等式组 线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组 目标函数关于x，y的解析式，如：2 2y x z+ = 线性目标函数关于x，y的一次解析式，如y x z+ =2 可行解满足线性约束条件的解（x，y） 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题 注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点； （2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解. 2．应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 （1）在平面直角坐标系内作出可行域． （2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． （3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. [例1] 设y x z- =2，其中x，y满足 ? ? ? ? ? ≤ ≥ - + ≥ + - 2 2 1 x y x y x ，则z的取值范围是_________________.]4, 2 1 [- 知识模块2简单的线性规划 精典例题透析 §7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C ＝0某一侧所有点组成的______________.我们把直线画成虚线以表示区域__________边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________. (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By ＋C所得到实数的符号都________，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 3. 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解. (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. [难点正本 疑点清源] 1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法. (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线. (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧.特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点. 2.线性规划是数形结合的体现 (1)线性规划实质上是“数形结合”数学思想方法在一个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来，是一种较快地求最值的方法. (2)在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取值范围，不可将范围盲目扩大. 1.若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是__________. 2.如图所示的平面区域(阴影部分)满足 不等式____________. 3.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成. 请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资 每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人的约束条件是________________. 4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式 组是____________. 5.(2011·上海)若变量x ，y 满足条件???? ? 3x －y ≤0，x －3y ＋5≥0， 则z ＝x ＋y 的最大值为________. 题型一 二元一次不等式(组)表示平面区域 [基础题 组练] 1．不等式组⎩ ⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0， x －y ＋2≥0表示的平面区域是( ) 解析：选C.用特殊点代入,比如(0,0),容易判断为C. 2．(2019·开封市高三定位考试)已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x －2y 的最大值是 ( ) A.1 32 B.116 C ．32 D ．64 解析：选C.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设u ＝x －2y ,由图知,当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值,即u min ＝1－2×3＝－5,此时z ＝⎝⎛⎭ ⎫ 12x －2y 取得最大值,即z max ＝⎝⎛⎭⎫ 12－5 ＝32,故选C. 3．(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ,y )|x －y ≥1,ax ＋y >4,x －ay ≤2},则( ) A ．对任意实数a ,(2,1)∈A B ．对任意实数a ,(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时,(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤3 2 时,(2,1)∉A 解析：选D.若(2,1)∈A ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2， 解得a >32,所以当且仅当a ≤3 2时,(2,1)∉A ,故选D. 4．(2019·长春市质量检测(二))已知动点M (x ,y )满足线性条件⎩⎪⎨⎪ ⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，5x ＋y －8≤0，定点N (3,1),则直线MN 斜 率的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C.不等式组表示的平面区域为△ABC 内部及边界,如图所示,数形结合可知,当M 点与B 点重 第3讲二元一次不等式（组)及简单的线性规划问题 基础知识整合 1．判断二元一次不等式表示的平面区域 由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都错误!相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0），由Ax0＋By0＋C的错误!符号即可判断Ax ＋By＋C〉0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划中的基本概念 画二元一次不等式表示的平面区域的方法 （1）直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线． （2)特殊点定域：若直线不过原点,特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1）或(1，0)来验证． 1．(2019·山西临汾模拟)不等式y（x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分表示)是（） 答案C 解析由y（x＋y－2)≥0，得错误!或 错误!所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项中阴影部分所表示的区域．故选C。 2．已知点（－3，－1)和(4，－6）在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( ）A．(－7,24) B．（－∞，－7）∪(24,＋∞) C．(－24，7） D．（－∞，－24）∪(7，＋∞） 答案A 解析由题意可知(－9＋2－a)（12＋12－a）〈0，所以（a＋7）（a－24)〈0，所以－7〈a〈24. 3．(2019·广州模拟)若实数x，y满足错误!则z＝错误!的最小值为（） A。3 B。 5 C.错误! D.错误! 答案D 解析作出不等式组 错误!表示的平面区域如图，z＝错误!表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1，1）到原点的距离最短，即z的最小值为错误!。故选D. 4．（2017·浙江高考)若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的取值范围是（) A．[0，6］B．［0,4］ C．［6，＋∞) D．[4，＋∞） 答案D 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 A组基础题组 1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是() 2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为() A.-1 B.3 C.7 D.8 3.已知实数x,y满足则z=2x-2y-1的取值范围是() A. B.0,5] C. D. 4.已知不等式组表示的平面区域的面积为4,则z=2x+y的最大值为() A.4 B.6 C.8 D.12 5.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型客车不多于A型客车7辆.则租金最少为() A.31200元 B.36000元 C.36800元 D.38400元 6.(2016云南昆明七校调研)已知实数x,y满足则z=x+3y的最小值为. 7.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是. 8.(2016河南中原名校3月联考)设x,y满足不等式组若M=3x+y,N=-,则M-N 的最小值为. 9.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),如图所示. (1)写出表示区域D的不等式组; (2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围. 10.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上. (1)若++=0,求||; (2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. B组提升题组 11.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为() A.-3 B.-6 C.3 D.6 12.(2017黑龙江鸡西一中月考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值范围是() A.(-6,-2) B.(-3,2) C. D. 13.(2014浙江,13,4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是. 14.若实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为. 15.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车 课时作业37 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 [基础落实练] 一、选择题 1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24) C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y 所表示的平面区域的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2≥0，x －y ＋1≤0，y －1≤0， 则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 4．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥－1， 则z ＝|x |－y 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦ ⎤－32，3 B ．[－1，3] C ．⎣⎡⎦ ⎤－32，0 D ．[－1，0] 5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2y ≤0，2x ＋y ≤4， 向量a ＝(2x ，1)，b ＝(1，m －y )，则满足a ⊥b 的实数m 的最小值为( ) A ．125 B ．－125 C ．32 D ．－32 6．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0， 则(x －1)2＋(y ＋2)2的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[5 ，5] C ．[5，25] D ．[5，26] 7．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，y －x ≥0，y ＋x ≥0， 则目标函数z ＝y ＋1x (x ≠0)的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．[－2，2] 二、填空题 8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，3x ＋2y －5≥0 表示的平面区域的面积是________；若z ＝|x －y |，则z 的取值范围为________． 9．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤m ， 若z ＝x ＋y 的最大值为6，则m ＝________，z 1＝2x ＋y 的最小值为________． 10．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，5x ＋y －7≤0， 则该不等式组表示的平面区域的面积为________，目标函数z ＝3|x |－4y 的取值范围是________． [素养提升练] 11．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥a ，x ≤y ， 且z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，则a 等于( ) A.34 B ．56 C ．65 D ．43 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、选择题(6×5分＝30分) 1．(2010·重庆高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ≥0，x －y ≥0， 2x －y －2≤0， 则z ＝3x －2y 的 最大值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 解析：作出如图阴影所示的可行域，易得A (2,2)，B (0，－2)，把B 坐标代入目标函数，得z max ＝3×0－2×(－2)＝4，故选C. 答案：C 2．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪ ⎧ x －y ＋1≤0，x >0， y ≤2， 则y x 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 解析：画出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0x >0y ≤2 的可行域(如图所示) y x 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k ， 由⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，∴k ≥k OA ，∴y x ≥2. 答案：D 3．(2010·改编题)已知点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪ ⎧ x －1≤03x ＋4y ≥4 y －2≤0 上，点Q 在曲线(x ＋2)2＋y 2 ＝ 1上，那么|PQ |的最小值是( ) A ．1 B ．2 C. 2103－1 D.210 3 解析：如图，画出平面区域(阴影部分所示)，由圆心C (－2,0)向直线3x ＋4y －4＝0作垂线，圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y －4＝0的距离为|3×－2＋4×0－4| 32＋4 2 ＝2，又圆的半径为1，所以可求得|PQ |的最小值是1. 答案：A 4．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪ ⎧ x －1≤0.2x ＋3y －5≤0， 4x ＋3y －1≥0， 点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2 ＝1上， 则|PQ |的最大值与最小值为( ) A ．6,3 B ．6,2 C ．5,3 D ．5,2 解析：可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －5＝0， 4x ＋3y －1＝0， 得A (－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6， d min ＝ |－8－6－1| 5 －1＝2. 答案：B 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、选择题 1．若满足条件⎩⎪⎨⎪ ⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整 数的点，则整数a 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 2．已知函数 f (x )＝x 2－5x ＋4，则不等式组⎩ ⎪⎨ ⎪⎧f （x ）－f （y ）≥0，1≤x ≤4对应的平面区域为( ) 3．已知A (3， 3)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0， 设Z 为OA →在 OP → 上的投影，则Z 的取值范围是( ) A ．[－3，3] B ．[－3，3] C ．[－3，3] D ．[－3，3] 4．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪ ⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯 一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，1) C ．[1，＋∞) D ．(1，＋∞) 5．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0. 记y x ＋2 的最大值为a ，x 2＋ (y ＋3)2 的最小值为b ，则a ＋b ＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 6．设点A (1，－1)，B (0，1)，若直线ax ＋by ＝1与线段AB (包括端点)有公共点，则a 2 ＋b 2的最小值为( ) A.14 B.13 C.1 2 D ．1 二、填空题 7．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： ． 8．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 9．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪ ⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若z ＝|x ＋2y ＋m |的最大值为21，则常数m 的 值为________． 10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1，AB ＝3，动点P 在BCD 内运动(含边界)，设AP →＝αAD →＋βAB → ，则α＋β的最大值是________． 三、解答题 [推荐学习]高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第3 节简单的线性规划高考AB卷理 【大高考】2017版高考数学一轮总复习第7章不等式、推理与证 明第3节简单的线性规划高考AB 卷理 简单的线性规划问题 1.(2013·全国Ⅱ，9)已知a >0，x ，y 满足约束条件 x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3）， 若z ＝2x ＋y 的最小值 为1，则a 等于( ) A.1 4 B.12 C.1 D.2 解析作出约束条件表示的可行域如图所示，是△ABC 的内部及边界. 由目标函数，得y ＝－2x ＋z ， 当直线l ：y ＝－2x ＋z 过点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1. ∴2－2a ＝1，则a ＝1 2 . 答案 B 2.(2016·全国Ⅲ，13)若x ，y 满足约束条件 x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0， 则z ＝x ＋y 的最大值为 ________. 解析满足约束条件x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0，1)，C ? ????1，12为顶点 的三角形内部及边界，过C ? ????1，12时取得最大值为32. 答案 3 2 3.(2016·全国Ⅰ，16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一 件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元. 解析设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条 件，得线性约束条件为1.5x ＋0.5y ≤150， x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600， x ≥0， y ≥0，x ∈N *，y ∈N * 目标函数z ＝2 100x ＋900y . 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元 ). 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 基础回顾Ｋ 一、二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，设有直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则 (1)若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域； (2)若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域(注：若B为负，则可先将其变为正)． 由此可知，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． 由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它们的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负情况，即可判断Ax＋By＋C>0表示直线哪一侧的平面区域．特殊地， 当C ≠0时，直线不过原点，通常把原点作为特殊点． 二、线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域)，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解． 线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： (1)根据题意，设出变量x ，y ； (2)找出线性约束条件； (3)确定线性目标函数z ＝f(x ，y)； (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)； (5)利用线性目标函数作平行直线系f(x ，y)＝t(t 为参数)； (6)观察图形，找到直线f(x ，y)＝t 在可行域上使t 取得所求最值的位置，以确定最优解，给出答案． 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题． 基础自测Ｋ 1．(2013·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0， 则目标函数z ＝y －2x 的最小值为(A ) 第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 【例1】 (1)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎨⎧ x ≥0， y ≥0， x －y ≥－2， 4x ＋3y ≤20 表示的平面区域的 公共点有________个． (2)(2014·济南模拟)不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0， x ＋y －3≥0， y ≤2 表示的平面区域的面积为 ________． 解析 (1)由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)． 直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2＜k AB ＝－4 3，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)． (2)不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －6≤0， x ＋y －3≥0， y ≤2 表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的 面积即为所求． 求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝1 2×(2－1)×2＝1. 答案 (1)1 (2)1 【训练1】 若不等式组⎩⎨⎧ x －y ≥0， 2x ＋y ≤2， y ≥0， x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的 取值范围是________． 解析 不等式组⎩⎨⎧ x －y ≥0， 2x ＋y ≤2， y ≥0 表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直 线x ＋y ＝a 的a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥4 3. 答案 (0,1]∪⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫ 43，＋∞ 考点二 线性目标函数的最值 【例2】 (1)(2013·天津卷改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ 3x ＋y －6≥0， x －y －2≤0， y －3≤0， 则目 标函数z ＝y －2x 的最小值为________． (2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ 1≤x ≤3， －1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的 最大值为________． 解析 (1)由x ，y 满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的△ABC ，作出直线y ＝2x ，经过平移得目标函数z ＝y －2x 在点B (5,3)处取得最小值，即z min ＝3－10＝－7. 2019版高考数学大一轮复习第七章不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案北师大版 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学大一轮复习第七章不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学大一轮复习第七章不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案北师大版的全部内容。 第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2。了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3。会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。 知识梳理 1。二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1）一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界直线，把边界直线画成实线。 （2)对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y），代入Ax＋By＋C所得值的符号都相同，所以只需取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0＋By0＋C的符号可判断Ax＋By＋C〉0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域。（3)不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 2。线性规划的有关概念 名称意义 线性约束条 件由x，y的一次不等式(或方程）组成的不等式组，是对x，y 的约束条件 目标函数关于x，y的解析式线性目标函 数 关于x,y的一次解析式 第七章不等式、推理与证明 7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 必备知识预案自诊 知识梳理 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在平面直角坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成. (2)因为把直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号 都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的即可判断Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域. (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 2.线性规划的相关概念 1.二元一次不等式表示的平面区域 二元Ax+By+C ≥ 0(A>0,B>0) Ax+By+C≤ 0(A>0,B>0) Ax+By+C ≥ 0(A>0,B<0) Ax+By+C≤ 0(A>0,B<0) 平面 区 域 考点自诊 1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)不等式x-y-1>0表示的平面区域在直线x-y-1=0的上方. ( ) (2)两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )<0. ( ) (3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. ( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (5)在目标函数z=ax+by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax+by-z=0在y 轴上的截距. ( ) 2.不等式组{x -3y +6<0, x -y +2≥0 表示的平面区域是( ) 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称意义 约束条件由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数关于x，y的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3. (1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： ①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； ②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证． (2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有 ①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ ) (3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ ) 1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________． 答案 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 解析 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩ ⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________． 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、基础知识 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 2．线性规划相关概念 (1)约束条件：由变量x ，y 组成的一次不等式． (2)线性约束条件：由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组． (3)目标函数：欲求最大值或最小值的函数．线性目标函数：关于x ，y 的一次解析式． (4)可行解：满足线性约束条件的解．可行域：所有可行解组成的集合． (5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解. (6)线性规划问题：在线性约束条件下求线 性目标函数的最大值或最小值问题． 二、常用结论 1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域 (1)线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证． 2．最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 [典例] (1)已知约束条件⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0， kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 (2)不等式组⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0， y ≤2 表示的平面区域的面积为________． [解析] (1)作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示， 要使阴影部分为直角三角形， 当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝9 2≠1，所以不成立， 所以k >0，则必有BC ⊥AB ， 因为x ＋y －4＝0的斜率为－1， 所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，故选A. (2) 不等式组 ⎩⎪⎨⎪ ⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0， y ≤2 表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2,2)，C (3,0)，则△ABC 的面 积为S ＝1 2 ×(2－1)×2＝1. [答案] (1)A (2)1 [解题技法] 1．求平面区域面积的方法 (1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； (2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和． 2．根据平面区域确定参数的方法 在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案． [题组训练] 1．若M 为不等式组⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域的面积为( ) A ．1 B.32 C.34 D.7 4 解析：选D 在直角坐标系中作出区域M 如图中阴影部分所示，当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域为图中的四边形AODE ，所以其面积S ＝ S △AOC －S △DEC ＝12×2×2－ 1 2第七章第三节不等式组与简单的线性规划
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