线性规划教案 标题：线性规划教案 引言概述：线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。为了匡助学生更好地理解和掌握线性规划的基本原理和应用方法，编写一份专业的线性规划教案至关重要。 一、线性规划的基本概念和原理 1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型来求解最优化问题。 1.2 线性规划的基本要素：目标函数、约束条件、决策变量是线性规划问题的三个基本要素。 1.3 线性规划的解法：常用的线性规划解法包括单纯形法、对偶理论等方法。 二、线性规划的应用领域和案例分析 2.1 工程领域：线性规划可以用于优化资源分配、成本控制等问题，如工程项目管理中的资源调配问题。 2.2 经济领域：线性规划可以用于制定最优化的生产计划、市场营销策略等，如企业生产优化问题。 2.3 管理领域：线性规划可以用于优化生产过程、人力资源分配等问题，如企业管理中的人力资源调配问题。 三、线性规划教学方法和技巧 3.1 实例分析法：通过实际案例分析，匡助学生理解线性规划的应用场景和解题方法。
3.2 互动教学法：通过小组讨论、案例分析等互动教学方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。 3.3 实践操作法：引导学生在实践中掌握线性规划的解题方法，提高实际应用能力。 四、线性规划教案设计和实施 4.1 教学目标：明确教学目标，明确学生应该掌握的知识和技能。 4.2 教学内容：根据线性规划的基本原理和应用领域设计教学内容，包括理论讲解和实例分析。 4.3 教学评估：通过作业、考试等方式对学生的学习效果进行评估，及时调整教学方法和内容。 五、线性规划教案的优化和改进 5.1 教学资源更新：及时更新线性规划教学资源，引入新颖的案例和实例，提高教学质量。 5.2 教学方法改进：根据学生反馈和实际效果，不断改进线性规划教学方法，提高学生学习兴趣和效果。 5.3 教学成果评估：定期对线性规划教学成果进行评估，总结经验教训，不断优化和改进线性规划教案设计。 结语：通过精心设计和实施线性规划教案，可以匡助学生更好地理解和掌握线性规划的基本原理和应用方法，提高实际应用能力，为其未来的学习和工作打下坚实的基础。
线性规划的应用 一、引言 线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。本文将介绍线性规划的基本概念和应用案例，并详细解释如何使用线性规划方法解决实际问题。 二、线性规划的基本概念 1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。例如，最大化利润或最小化成本。 2. 约束条件：线性规划问题必须满足一组线性等式或不等式，称为约束条件。这些约束条件限制了决策变量的取值范围。 3. 决策变量：线性规划问题中需要做出决策的变量称为决策变量。例如，生产数量、资源分配等。 4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。线性规划问题的解必须是可行解。 三、线性规划的应用案例 1. 生产计划问题 假设一家公司有两种产品A和B，每种产品的生产需要一定的资源和时间。公司希望确定每种产品的生产数量，以最大化利润。通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的生产计划。 2. 资源分配问题
一个工厂有多个生产线，每个生产线可以生产不同的产品。工厂希望确定每个生产线的产量，以最大化总产量。通过线性规划，可以将总产量视为目标函数，将每个生产线的产量视为决策变量，建立约束条件，求解出最优的资源分配方案。 3. 运输问题 一个物流公司需要将货物从多个供应商运送到多个客户，每个供应商和客户之间的运输成本不同。公司希望确定每个供应商和客户之间的货物运输量，以最小化总运输成本。通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的运输方案。 四、线性规划的解法 1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制等式或不等式的图形来找到最优解。最优解通常出现在图形的顶点处。 2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整决策变量的取值，逐步接近最优解。 3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。整数规划是线性规划的扩展，适用于需要做出离散决策的问题。 五、线性规划的优势和局限性 1. 优势： a. 线性规划方法简单易懂，求解速度较快。 b. 可以处理大规模的实际问题，提供最优解决方案。 c. 可以灵活地调整目标函数和约束条件，适应不同的需求。 2. 局限性： a. 线性规划只适用于线性目标函数和线性约束条件，无法处理非线性问题。
线性规划知识点 一、概述 线性规划是数学规划的一种重要方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。 二、基本概念 1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。通常用字母 Z 表示。 2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一组线性不等式或等式，称为约束条件。通常用字母 Ai 表示。 3. 变量：线性规划的问题中，需要确定的变量称为决策变量。通常用字母 Xi 表示。 三、标准形式 线性规划问题通常可以转化为标准形式，以便于求解。标准形式的线性规划问 题包括以下要素： 1. 目标函数：目标函数是一个线性函数，需要最大化或最小化。 2. 约束条件：约束条件是一组线性不等式或等式。 3. 变量的非负性：变量需要满足非负性约束，即变量的取值不能为负数。 四、线性规划求解方法 线性规划问题可以通过以下方法求解：
1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数 的等高线，找到最优解的位置。 2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。它通过迭代计算，逐步接近最优解。 3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。整 数规划问题相对于线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。 五、线性规划的应用 线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域： 1. 生产计划：线性规划可以帮助确定最优的生产计划，使得生产成本最低或产 量最高。 2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径问题，以降低运输成本。 3. 金融投资：线性规划可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或最小化 风险。 4. 资源分配：线性规划可以帮助确定资源的最优分配方案，以满足需求并最大 化效益。 5. 排产问题：线性规划可以用于解决生产设备的排产问题，以最大化生产效率。 六、线性规划的局限性 尽管线性规划具有广泛的应用领域，但它也有一些局限性： 1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往 往存在非线性关系。
线性规划讲义 一、引言 线性规划是运筹学中的一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管 理等领域。本讲义旨在介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例等内容，帮助读者理解和掌握线性规划的理论和实践。 二、线性规划的基本概念 1. 线性规划的定义：线性规划是在一定的约束条件下，寻找一个线性目标函数 的最优解的数学模型。 2. 线性规划的特点：目标函数和约束条件均为线性关系，可用线性代数方法进 行求解。 3. 线性规划的应用领域：生产调度、资源分配、投资组合等。 三、线性规划模型的建立 1. 决策变量的定义：根据问题的实际情况，确定需要优化的变量。 2. 目标函数的确定：根据问题的目标，建立线性目标函数。 3. 约束条件的建立：根据问题的限制条件，建立线性约束条件。 四、线性规划的求解方法 1. 图解法：通过绘制约束条件的直线，确定可行域，并在可行域内寻找最优解。 2. 单纯形法：通过迭代计算，逐步接近最优解。 3. 整数规划法：在线性规划的基础上，限制决策变量为整数，求解离散决策问题。
五、线性规划的应用案例 1. 生产调度问题：如何安排生产计划，使得生产成本最小。 2. 资源分配问题：如何合理分配资源，使得效益最大。 3. 投资组合问题：如何选择投资组合，使得风险最小。 六、总结与展望 线性规划作为一种重要的数学优化方法，在实际应用中发挥着重要作用。通过本讲义的学习，读者可以了解线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例等内容，为今后的实践应用打下坚实的基础。未来，随着技术的不断发展，线性规划方法也将进一步完善和应用于更多领域。 以上是针对任务名称“线性规划讲义”的标准格式文本，详细介绍了线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例等内容。希望对您的学习和研究有所帮助。如需进一步了解，请参考相关学术文献和教材。
线性规划题及答案 引言概述： 线性规划是一种常见的数学建模方法，用于解决优化问题。它在工程、经济学、运筹学等领域中得到了广泛应用。本文将介绍线性规划题的基本概念和解题方法，并给出相应的答案。 一、线性规划的基本概念 1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。 1.2 约束条件：线性规划的决策变量必须满足一系列约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为决策变量向量，b为常数向量。 1.3 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。可行解的集合称为可行域。 二、线性规划问题的解题方法 2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。首先绘制可行域的图形，然后通过挪移目标函数的等高线来确定最优解。最优解通常浮现在可行域的顶点处。 2.2 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。单纯形法的基本思想是通过交换基本变量和非基本变量来改变目标函数值，直到找到最优解。
2.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法求解。整数规划问题通常比线性规划问题更难解决，因为整数解的集合通常是离散的。 三、线性规划题的实例分析 3.1 生产计划问题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要3小时的生产时间，每单位产品B需要2小时的生产时间。工厂每天有8小时的生产时间，且产品A和B的利润分别为10元和8元。求工厂每天应生产多少单位的产品A和B，才干最大化利润。 3.2 运输问题：某物流公司有3个仓库和4个配送点，每一个仓库的库存和每一个配送点的需求如下表所示。每单位产品的运输成本如下表所示。求如何安排运输，使得总运输成本最低。 仓库 | 库存 ----|---- A | 50 B | 80 C | 70 配送点 | 需求 ------|----- D | 30 E | 40 F | 50 G | 60 运输成本 | 仓库A | 仓库B | 仓库C
线性规划与线性规划模型 线性规划是一种求解最优化问题的数学方法，广泛应用于各个领域。它的核心思想是通过建立数学模型，利用线性关系和约束条件来求解 最大或最小值。本文将介绍线性规划的基本概念和方法，并详细解释 线性规划模型的建立和求解过程。 一、线性规划的基本概念 线性规划是一种数学优化问题，旨在找到使目标函数达到最大或最 小值的变量取值。它的基本特点是目标函数和约束条件均为线性关系，变量取值只能是实数。线性规划通常具有以下形式： 最大化（或最小化）目标函数 Subject to 约束条件 其中目标函数是一个线性函数，约束条件是一组线性等式或不等式。线性规划的目标是找到一组变量取值，使得目标函数达到最大或最小值，同时满足约束条件。 二、线性规划模型的建立 线性规划模型的建立是问题求解的关键，它要求将实际问题转化为 数学形式。首先，我们需要明确目标函数和变量，进而确定约束条件。接下来，我们以一个简单的生产计划问题为例，来详细介绍线性规划 模型的建立过程。
假设某企业有两种产品，分别为产品A和产品B。产品A每单位利润为5元，产品B每单位利润为8元。当前企业有两个生产车间，每天的生产时间分别为8小时和6小时。每单位产品A的生产时间为1小时，产品B的生产时间为2小时。企业的目标是在有限的生产时间内使得利润最大化。 首先，我们定义变量： X1：产品A的产量（单位：件） X2：产品B的产量（单位：件） 然后，我们需要构建目标函数： Maximize Z = 5X1 + 8X2 接着，我们确定约束条件： 1. 生产时间不超过有限的生产时间： X1 + 2X2 ≤ 8 X1 + 2X2 ≤ 6 2. 产量不能为负数： X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 至此，我们已经建立了线性规划模型，下面将介绍线性规划模型的求解方法。
线性规划基本知识 线性规划是一种数学优化方法，用于在给定限制条件下最大或最小化线性目标函数。它是现代数学、工程学和运筹学的基础之一，被广泛应用于制造业、金融、交通、物流等领域。本文将介绍线性规划的基础知识，包括线性规划问题的表达方式、标准形式、单纯形法求解以及对偶理论等。 一、线性规划问题的表达方式 线性规划问题的表达方式通常包含以下部分： 1. 决策变量：表示求解问题时需要确定的变量，通常用x1、x2、......、xn表示。 2. 目标函数：表示优化的目标，通常是一个线性函数，用 c1x1+c2x2+......+cnxn表示。 3. 约束条件：表示限制决策变量的取值范围，通常是线性等式或不等式，用a11x1+a12x2+......+a1nxn≤b1、
a21x1+a22x2+......+a2nxn≤b2、......、am1x1+am2x2+......+amnxn≤bm 表示。 其中，决策变量x1、x2、......、xn的取值范围可以是非负实数集合、整数集合或者其他特定取值范围。 二、线性规划的标准形式 通常情况下，线性规划问题都可以通过一些变换，转化为标准形式进行求解。标准形式的线性规划问题包括以下三个部分： 1. 最大化或最小化的目标函数 2. 约束条件，所有约束条件都是小于等于号 3. 决策变量的取值范围，所有决策变量都是非负实数 三、单纯形法求解线性规划问题
单纯形法是线性规划问题最常用的求解方法之一，它是一种迭代的过程，通过一系列基本变换（基本可行解、进入变量、离开变量、更新表格）逐步接近最优解。单纯形法求解线性规划问题的步骤如下： 1. 将线性规划问题转化为标准形式。 2. 确定一个初始可行解。 3. 计算第一行表格的系数，并找出最小的系数所在的列，作为进入变量。 4. 确定离开变量，通过将所有正数元素对应的值除以对应进入变量的系数，找到最小的元素所在的行，作为离开变量所在行。 5. 更新表格，完成一次迭代。 6. 重复第三至第五步，直至得到最优解或者确定问题无可行解或是无界问题。
线性规划算法基础与综合应用线性规划是一种优化问题的数学解法，可以被应用于很多实际 问题里。该算法基于线性方程组的基础上，最小或最大化目标函 数的值。在本文中，我们将会介绍线性规划的基础算法和几个综 合应用。 一、线性规划的基础算法 线性规划的主要形式可以被描述为以下标准形式： maximize c^T x subject to Ax ≤ b and x ≥ 0 其中，c^T是一个行向量，描述了目标函数，x是一个列向量，表示未知的变量，A是一个矩阵，描述了不等式约束条件，b是一 个列向量，表示约束条件的右端值。 为了解决线性规划，我们可以使用单纯形法来求解，即： 1. 首先将标准形式转换为松弛标准形式，也就是在约束条件中 添加松弛变量。
2. 然后，我们需要找到一个初始解来求解该问题。一个简单的方法就是设置所有变量为0。 3. 对于该初始解，我们使用单纯性方法迭代地调整变量值，以最大化目标函数。 单纯形法的核心是基本可行解和单纯性表。基本可行解是指满足所有约束条件的解，而单纯性表则是一个表格，用于存储松弛变量和目标函数。在每次迭代中，我们选择一个入基变量和一个出基变量，以改善目标函数的值。 二、线性规划的综合应用 1. 生产计划 假设某公司有两种产品，分别是A和B，生产这两种产品需要两种原料，X和Y。为了生产1个单位的A和B，需要使用2个单位的X和1个单位的Y。公司可以使用最多2000个单位的X和
1000个单位的Y。每个单位的A和B分别可以卖出10元和20元，如何确定最大化利润？ 以上问题可以被描述为以下线性规划问题： maximize 10x + 20y subject to 2x + y ≤ 2000, x + y ≤ 1000, x ≥ 0, y ≥ 0 其中，x表示生产A的数量，y表示生产B的数量，2x+y≤2000表示使用X和Y的总量不能超过2000，x+y≤1000表示使用X和 Y的总量不能超过1000。 使用单纯性方法可以得到最大化利润为$20000。 2. 货物运输问题 假设有4个城市（A、B、C、D），每个城市需要运输一定量 的货物。
管理线性规划入门形成性考核册 1 什么是线性规划 线性规划（Linear Programming，LP）是一种经典的数学优化技术，它通过构建约束性模型将一组变量[x1，x2，…，xn]满足一组约束条件，即最大化（或最小化）目标函数f(x1，…xn)，得出一组最优解，从而达到求解最优解的目的。线性规划可以把许多理论问题转化为一个数值分析模型，从而发现某种优化（极值）解决方案。 2 线性规划的基本原理 线性规划的核心定理是一般问题一定有最优解。由于线性规划的问题一定存在最优解，因此可以建立约束性模型（线性函数）来求解该问题，核心内容是通过建立约束条件来决定变量，使最终目标达到最优化。此外，线性规划中所考虑的变量具有非负性，也就是说，变量的取值不能小于零。 3 线性规划的应用 线性规划在现实生活中有广泛的应用，可以用于解决金融、交通运输、产品生产、人力资源分配等众多实际问题，以满足社会各类优化需求，并得出最优解。例如，生产任务的分配、货物的路线规划、规划预算问题、交换利润最大化问题等，均可以用数学建模和运筹学方法结合线性规划来解决。
4 线性规划入门形成性考核 1、理论考核。针对线性规划的理论基础知识，考核内容包括模型的建立和分析，模型的解及有关的证明等； 2、实践考核。针对学生在实际应用线性规划的能力，考核内容包括线性规划模型的应用，模型的分析以及解的运营实践等 3、形成性考核。一般用以实训结束后汇总和把握学生学习情况的总结考核，考核内容包括学员对课程、对专业和对科研方向的学习总结，评价学员在线性规划和相关领域中的优缺点，并指出可能的建议和改进措施等。 综上所述，本文梳理了线性规划的概念、原理和应用，简要介绍了线性规划入门形成性考核的内容及其重要性，希望能够给对该课程有兴趣的同学提供参考。
简述线性规划模型的3个基本特征 为了有效地解决实际问题，便于分析和处理复杂的经济问题，自二十世纪六十年代末期以来，在许多学科领域中产生了对某些现象或过程进行数学建模的研究工作。数学建模(mathematical modeling，简称模型)就是用数学方法建立相应的数学模型，以表示和刻画客观事物间的数量关系，从而达到认识、解释、预测和控制客观事物的目的。因此，数学模型也叫做“数学化的实际”。从定义中不难看出，数学建模包括了三个要素：模型、数学语言、数学结构。其中，最重要的还是数学模型。 线性规划问题的特征可归纳为：(1)已知有关条件， (2)已给目标函数，(3)待定系数，(4)目标函数值，(5)要求得到的未知数，(6)线性规划模型是实际问题的一种数学抽象，并非无中生有，(7)满足精确性和可行性的统一，(8)明确表示各影响因素的变化趋势。 3。模型方法与数学结构 线性规划是以单纯形法为基础发展起来的，它首先是由美国的A。H。格瑞斯(A.H.Geisel)提出来的。而在此之前，其实已有大量的研究成果，只是格瑞斯把它系统化，建立起严密的数学理论体系。模型方法强调将实际问题转化为数学问题，然后用计算机求解。计算机求解又称为数值求解。数值求解的理论和方法都已较为完善，计算机的发展也已相当迅速，这使人们能以比较少的时间、精力和资金获取较大的收益。如采用小波去噪技术和计算摄动方法可在两天内去除15分贝以上的噪声，而在传统方法则需数周甚至数月时间。这些都是传
统方法所不能及的。 线性规划是以单纯形法为基础发展起来的，以后由于工程技术的迅速发展和广泛应用，人们在解决实际问题中遇到的许多工程问题都可以通过单纯形法的手段来求解，于是逐渐产生了把单纯形法和其他方法(如无约束优化方法、约束优化方法等)结合起来的形式。线性规划的数学结构由未知数、待定系数、约束条件、函数值、目标函数、线性规划问题等几部分组成。模型方法和数学结构是分析和解决实际问题的桥梁和工具。我们在数学建模中应该遵循的原则是： (1)直观性原则；(2)启发性原则；(3)思维科学性原则；(4)符合逻辑性原则； (5)简洁性原则；(6)经济性原则。
基本解,可行解,基本可行解 基本解、可行解、基本可行解是线性规划中的重要概念，是求解线性规划问题的基础。本文将从概念定义、求解方法和实际应用三个方面进行阐述。 一、概念定义 1.基本解 基本解是指线性规划问题的一个可行解，其对应的基本变量数目等于问题的约束条件数目。也就是说，基本解是由恰好n个变量的某个线性方程组的解所决定的。其中，n为问题的变量数目。 2.可行解 可行解是指满足线性规划问题所有约束条件的解。对于最大化问题，可行解是指目标函数取值有限的解；对于最小化问题，可行解是指目标函数取值有限且非负的解。 3.基本可行解 基本可行解是指同时满足基本解和可行解条件的解。换句话说，基本可行解是一个基本解，且满足所有约束条件。 二、求解方法 求解线性规划问题的方法有很多种，其中最常用的方法是单纯形法。单纯形法是由美国数学家Dantzig于1947年提出的，是一种迭代求解线性规划问题的方法。 单纯形法的基本思想是：从初始可行解开始，每一次迭代都选择一个基本变量进行调整，使得目标函数值不断增大或减小，直到找到
最优解为止。在单纯形法中，基本解是通过不断调整基本变量的值来求解的。 三、实际应用 线性规划问题在实际应用中广泛存在。例如，在生产计划中，企业需要确定生产计划，以满足市场需求，同时最小化生产成本；在运输问题中，需要确定如何分配货物，以最小化运输成本；在金融风险管理中，需要确定如何分配投资组合，以最大化收益并最小化风险。 在以上实际问题中，基本解、可行解和基本可行解都具有重要意义。基本解可以作为单纯形法求解最优解的起点；可行解是问题的基本要求，只有满足约束条件的解才有意义；基本可行解则是满足约束条件且具有优化价值的解。 总之，基本解、可行解和基本可行解是线性规划问题的基本概念，是求解线性规划问题的基础。掌握这些概念以及单纯形法等求解方法，有助于我们更好地理解和应用线性规划问题。
•线性规划模型的基本要素 •三个基本要素 •多元函数条件极值 •线性规划的标准型 •线性规划模型案例 •编程求解解线性规划 •数学规划模型的基本知识 •1、数学规划模型的一般形式 •简单的优化模型往往是一元或者多元，无约束或者等式约束的最值问题。而在工程技术、经济金融管理、科学研究和日常生活等诸多领域中，人们常常遇到如下问题：结构设计要在满足强度要求的条件下选择材料的尺寸，使其总重量最轻；资源分配要在有限资源约束条件下制定各用户的分配数量，使资源产生的总效益最大；生产计划要按照产品的工艺流程和顾客需求，制定原料、零部件等订购、投产的日程和数量，尽量降低成本使利润最高。上述一系列问题的实质是：在一系列客观或主观限制条件下，寻求使所关心的某个或多个指标达到最大（或最小）。用数学建模的方法对这类问题进行研究，产生了在一系列等式与不等式约束条件下，使某个或多个目标函数达到最大（或最小）的数学模型，即数学规划模型。 建立数学规划模型一般需要考虑以下三个要素： （1）决策变量：它通常是所研究问题要求解的那些未知量，一般
用n维向量 • •表示，其中xj表示问题的第j个决策变量。当对X赋值后它通常称为该问题的一个解。 （2）目标函数：它通常是所研究问题要求达到最大（或最小）的那个（那些）指标的数学表达式，它是决策变量的函数，记为f(X)。（3）约束条件：由所研究问题对决策变量X的限制条件给出，X 允许取值的范围记为D，即X∈D，D称为可行域。D常用一组关于决策变量X的等式hi(X)=0（i=1,2,…,p）和不等式gi(X)≤(≥)0（j=p+1,p+2,…,m）来界定，分别称为等式约束和不等式约束。其中max(min)是对目标函数f(X)求最大值或最小值的意思，s.t.是“受约束于”的意思。 由于等式约束总可以转化为不等式约束，大于等于约束总可以转化为小于等于约束，于是数学规划模型的一般形式又可简化为：• • •2、数学规划模型的可行解与最优解 •由数学规划模型的一般形式，可行域可表达为： • • 满足约束条件的解即可行域D中的点称为数学规划模型的可行解；使目标函数f(X)达到最大值或最小值的可行解，即可行域D中使
线性规划的四个基本原理 线性规划是一种常见的数学优化方法，它用于在一组限制条件下寻找最优解。线性规划的基本原理有四个，分别是目标函数、约束条件、可行域和可行解。 目标函数是线性规划的第一个基本原理。目标函数是需要最大化或最小化的线性方程，通常表示为z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1、c2、...、cn是待优化的系数，x1、x2、...、xn是决策变量。目标函数的最大值或最小值是我们希望找到的最优解。 约束条件是线性规划的第二个基本原理。约束条件是一组等式或不等式，用于限制决策变量的取值范围。约束条件通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤bm，其中a11、a12、...、amn是系数，b1、b2、...、bm是常数。这些约束条件定义了可行解的集合，即满足所有约束条件的决策变量取值的集合。 可行域是线性规划的第三个基本原理。可行域是满足所有约束条件的决策变量取值的集合。可行域通常是一个多维空间中的一个区域，其边界由约束条件定义。可行域定义了决策变量的取值范围，并且在该范围内寻找最优解。 可行解是线性规划的第四个基本原理。可行解是满足所有约束条件的决策变量取值。可行解通常是可行域中的一个具体点，该点使目标函数达到最大值或最小值。确定最优可行解是线性规划的关键目标。
线性规划的求解过程是通过求解目标函数在可行域上的最大值或最小值来找到最优解。这个过程可以通过使用线性规划求解方法来实现，例如单纯形法、内点法等。 总结起来，线性规划的四个基本原理分别是目标函数、约束条件、可行域和可行解。通过优化目标函数在可行域上的取值，寻找满足约束条件的最优解。线性规划在数学建模、运筹学、经济学等领域有广泛的应用，可以帮助人们做出最优决策。
线性规划基础题测试 一、选择题 1. 不等式094≥-+y x 表示直线094=-+y x 的（ ） A. 上方的平面区域 B. 下方的平面区域 C. 上方的平面区域（包括直线本身） D. 下方的平面区域（包括直线本身） 2. 若)2 3 , (ππθ∈，则不等式1sin +<θx y 表示直线1sin +=θx y 的（ ） A. 上方的平面区域 B. 下方的平面区域 C. 上方的平面区域（包括直线本身） D. 下方的平面区域（包括直线本身） 3. 不等式03)1(>+-+y a x 表示直线03)1(=+-+y a x 的（ ） A. 上方的平面区域 B. 下方的平面区域 C. 当1>a 时，上方的平面区域 D. 当1>a 时，下方的平面区域 4. 若⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥≥≤+001y x y x ，则y x z -=的最大值是（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 5. 若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0 04252y x y x y x ，则y x z 43+=的最大值是（ ) A 、9 B 、10 C 、11 D 、12 6. 设R 为平面上以)1,4(A ，)6,1(--B ，)2,3(-C 为顶点的三角形区域（包括边界），则 y x z 34-=z=4x-3y 的最大值与最小值分别为( ) A 、最大值14，最小值-18 B 、最大值-14，最小值-18 C 、最大值18，最小值14 D 、最大值18，最小值-14 7. 给出的平面区域如图，若使目标函数)0(>+=a y ax z 取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( ) A 、 41 B 、5 3 C 、5 3- D 、35 二、填空题 8. 已知点)1,3(A ，)6,4(-B 在直线023=+-a y x 两侧，则实数a 的取值范围是______。
知识详解 1.线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 3.解线性规划实际问题的步骤： （1）列出约束条件与目标函数； （2）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （3）验证.
4. 主要的目标函数的几何意义: （1）-----直线的截距； （2）-----两点的距离或圆的半径； （3） -----直线的斜率 一．二元一次不等式(组)表示的平面区域 例 1．不等式组⎩ ⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋6≥0， x －y ＋2<0表示的平面区域是( ) 例2. (2020·汉中质检)不等式组⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＋y －2≤0，x －y －1≥0， y ≥0 所表示的平面区域的面积等于________． 二.目标函数形如z=ax+by 型： 例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪ +⎨⎪-⎩， ，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值是（ ） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z x y -= ，所以3 z -表示直线331z x y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选D. 三.目标函数形如a x b y z --=型：
知识讲解-简单的线性规划问题-基础 简单的线性规划问题 【学习目标】 1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念； 2. 掌握线性规划问题的图解法. 3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力. 【要点梳理】 要点一、线性规划的有关概念：线性约束条件： 如果两个变量x、y满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． 线性目标函数： 关于x、y的一次式z?f(x,y)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． 线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中， ①满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解；②由所有可行解组成的集合叫做可行域； ③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题. 要点二、线性规划的应用 1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量
关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清. 2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务. 要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 要点三、确定线性规划中的最优解对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是：① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；② 画出可行域； ③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； ④作答．要点诠释： 确定最优解的思维过程： 线性目标函数z?Ax?By?C（A,B不全为0）中，当B?0时，y??数可看成斜率为?Az?C，这样线性目标函x?BBA，且随z变化的一组平行线，则把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域BA有公共点，直线在y轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线y??x，再平行移动这条 B直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B0时，z的值随着直线在y轴上的 截距的增大而增大；当B0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断. 对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点---验证--- 选最优解【典型例题】
简单线性规划 1、不在326x y +<表示的平面区域内的点是（ ） A ．()0,0 B ．()1,1 C ．()0,2 D ．()2,0 2、原点和点()1,1在直线0x y a +-=两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．0a <或2a > B ．2a =或0a = C ．02a << D ．02a ≤≤ 3、已知点()00,x y P 和点()1,2A 在直线:3280l x y +-=的异侧，则（ ） A ．00320x y +> B ．00320x y +< C ．00328x y +< D ．00328x y +> 4、不等式2x －y －6＞0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的 ( D ) A ．左上方且含坐标原点 B ．右下方且含坐标原点 C ．左上方且不含坐标原点 D ．右下方且不含坐标原点 解析：不等式表示的平面区域如图所示，故选D. 5、如图所示，不等式x (y －x －1)＞0表示的平面区域是 ( B ) 解析：由x (y －x －1)＞0⇒ ⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＞0y －x －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0 y －x －1＜0. 故选B.
6、设x、y满足 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ 2x＋y≥4， x－y≥－1， x－2y≤2， 则z＝x＋y (B) A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值 解析：不等式组 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧2x＋y≥4， x－y≥－1， x－2y≤2， 所表示的平面区域如图． x＋y在点A(2,0)处取最小值，∴x＋y＝2，无最大值． 7、不等式组 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ x≥0， x＋3y≥4， 3x＋y≤4， 所表示的平面区域的面积等于(C) A. 3 2 B. 2 3 C. 4 3 D. 3 4 解析：不等式组表示的平面区域如图所示． A(0， 4 3)，B(1,1)，C(0,4)． ∴S△ABC＝ 1 2|AC|·h＝ 1 2×(4－ 4 3)×1＝ 4 3.故选C. 8、已知D是由不等式组 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x－2y≥0， x＋3y≥0， 所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为 (B)
线性规划1基础（最值，分式，平方类型） 一．选择题（共33小题） 1．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 2．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 3．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（） A．4 B．9 C．10 D．12 4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17 5．如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值 为0，则实数k的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 7．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的 值是（） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 8．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1 9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（） A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1 10．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（） A．3 B．﹣3 C．1 D． 11．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（） A．10 B．8 C．3 D．2 12．设实数x，y满足，则xy的最大值为（） A．B．C．12 D．16 13．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．5 14．已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（） A．[，2]B．B[﹣，]C．[，]D．[，] 15．设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是（）A．[1，]B．[，1]C．[1，2]D．[，2]