第七章 目标规划 §1 目标规划的提出
线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束条件下的最大值或最小
值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961年美国学者查恩斯（A.Charnes ）和库柏（W.W.Coopor ）提出了目标规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。
我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列的局限性。
例1 某厂生产A 、B 两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备的单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。又，A 、B 产品的利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A 、B 产品，才能使其利润值最大？
解 设该厂能生产A 、B 产品的数量分别为12,x x 件，则有
121212max 30050010
..46700, 1,2.j
z x x x x s t x x x j =+⎧+≤⎪
+≥⎨⎪≥=⎩ 图解法求解如下：
由上图可得，满足约束条件的可行解集为∅，即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润，不可能不生产A 、B 两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。
例2 某厂为进行生产需采购A 、B 两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤，而A 原材料不少于20公斤。问如何确定最好的采购方案（即花掉的资金最少，购买的总量最大）？
解 这是一个含有两个目标的数学规划问题。设12,x x 分别为购买两种原材料的公斤数，
()112,f x x 为花掉的资金，()212,f x x 为购买的总量。建立该问题的数学模型形式如下：
()()11212212121212
112 min ,7050 max , 70505000 80.. 20 ,0
f x x x x f x x x x x x x x s t x x x =+=++≤⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案。极可能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于第二方案，同时第二方案使第二目标的结果值优于第一方案。也就是说很难找到一个最优方案，使两个目标的函数值同时达到最优。另外，对于多目标问题，还存在有多个目标存在有不同重要程度的因素，而这也是线性规划所无法解决的。
在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法——目标规划法，用于弥补线性规划的上述局限性。总的来说，目标规划和线性规划的不同之处可以从以下几点反映出来：
1、线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往存在多个目标。目标规划能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得切合实际需求的解。
2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。而在实际问题中，可能存在相互矛盾的约束条件而导致无可行解，但此时生产还得继续进行。即使存在可行解，实际问题中也未必一定需要求出最优解。目标规划是要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽量满足约束的满意解，即满意方案。
3、线性规划的约束条件是不分主次地等同对待，这也并不都符合实际情况。而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。
§2 目标规划的基本概念与数学模型
§2.1 基本概念
在这一小节里介绍与目标规划有关的基本概念。
1．偏差变量
对于例1，造成无解的关键在于约束条件太死板。设想把约束条件“放松”，比如占用的人力可以少于70人的话，机时约束和人工约束就可以不再发生矛盾。在此基础上，引入了正负偏差的概念，来表示决策值与目标值之间的差异。
i d +——正偏差变量，表示决策值超出目标值的部分，目标规划里规定0i d +≥； i d -——负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分，目标规划里规定0i d -≥。
实际操作中，当目标值（也就是计划的利润值）确定时，所作的决策可能出现以下三种情况之一：
（1）决策值超过了目标值（即完成或超额完成计划利润值），表示为0i d +≥，
0i d -=；
（2）决策值未达到目标值（即未完成计划利润值），表示为0i d +=，0i d -≥； （3）决策值恰好等于目标值（即恰好完成计划利润指标），表示为0i d +=，
0i d -=。
以上三种情况，无论哪种情况发生，均有i d +•i d -=0。
2．绝对约束与目标约束
绝对约束也称系统约束，是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，它对应于线性规划模型中的约束条件。
目标约束是目标规划所特有的。当确定了目标值，进行决策时，允许与目标值存在正或负的偏差。因而目标约束中加入了正、负偏差变量。
如，例1中假定该企业计划利润值为5000元，那么对于目标函数
12max 300500z x x =+，可变换为
123005005000i i x x d d -+++-=。
该式表示决策值与目标值5000之间可能存在正或负的偏差（请读者分别按照上面所讲的三种情况来理解）。
绝对约束也可根据问题的需要变换为目标约束。此时将约束右端项看作所追求的目标值。如，例1中绝对约束1210x x +≤，可变换为目标约束1210i i x x d d -+++-=。 3．目标规划的目标函数
对于满足绝对约束与目标约束的所有解，从决策者的角度来看，判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好。因此目标规划的目标函数是与正、负偏差变量密切相关
的函数，我们表示为()
min ,i i z f d d +-
=。它有如下三种基本形式：
（1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都尽可能地小。此时，构造目标函数
为：min i i z d d +-=+
（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，正偏差变量尽可能地小。此时构造目标函数为：min i z d +
=
（3）求超过目标值，即超过量不限，负偏差变量尽可能地小。此时构造目标函数
为：min i z d -=
4．优先次序系数与权系数
一个规划问题往往有多个目标。决策者在实现这些目标时，存在有主次与轻重缓急的不同。对于有K 级目标的问题，按照优先次序分别赋予不同大小的大M 系数：1M ，
2M ，，K M 。1M ，2M ，，K M 为无穷大的正数，并且，
1
M 2
M K M
（“
”符号表示“远大于”），这样，只有当某一级目标实现
以后（即目标值为0） ，才能忽略大M 的影响，否则目标偏离量会因为大M 的原因而无穷放大。并且由于1k
k M M +，所以只有先考虑忽略k M 影响（实现第k 级目标）后，才
能考虑第1k +级目标。实际上这里的大M 是对偏离目标值的惩罚系数，优先级别越高，惩罚系数越大。
权系数i ω用来区别具有相同优先级别的若干目标。在同一优先级别中，可能包含有两个或多个目标，它们的正负偏差变量的重要程度有差别，此时可以给正负偏差变量赋予不同的权系数i ω+和i ω-。
各级目标的优先次序及权系数的确定由决策者按具体情况给出。
§2.2 目标规划的数学模型
综上所述，目标规划模型由目标函数、目标约束、绝对约束以及变量非负约束等几部分构成。目标规划的一般数学模型为：
目标函数 ()1
1
min K L
k
kl
l kl l k l Z M d d ω
ω--++
===
+∑∑
目标约束
()1 1,2,
n
ij j
l l l j c x
d d g l L -+=+-==∑
绝对约束
()()1
, 1,2,
n
ij
j
i
j a x b i m ==≥≤=∑
非负约束 ()0 1,2,
j x j n ≥=
(),0 1,2,,k k d d k K -+≥=
例 3 在例1中，假定目标利润不少于15000元，为第一目标；占用的人力可以少于70
人，为第二目标。求决策方案。
解 按决策者的要求分别赋予两个目标大M 系数12,M M 。列出模型如下：
1122121112221212 min 30050015000 4670
.. 10
,,,0 1,2,3. i i
z M d M d x x d d x x d d s t x x x x d d i -+
-+-+
-+=+⎧++-=⎪++-=⎪⎨
+≤⎪⎪≥=⎩ 例4 某纺织厂生产A 、B 两种布料，平均生产能力均为1千M/小时，工厂正常生产能力是
80小时/周。又A 布料每千M 获利2500元，B 布料每千M 获利1500元。已知A 、B 两种布料每周的市场需求量分别是70千M 和45千M 。现该厂确定一周内的目标为：
第一优先级：避免生产开工不足；
第二优先级：加班时间不超过10小时；
第三优先级：根据市场需求达到最大销售量； 第四优先级：尽可能减少加班时间。 试求该问题的最优方案。 解 设12,x x 分别为生产甲、乙布料的小时数。对于第三优先级目标，根据A 、B 布料利润的比值2500:15005:3=，取二者达到最大销量的权系数分别为5和3。该问题的目标规划模型为：
()1122334411211122213324412min 53 80 90.. 70 45 ,,,0 1,,4.
i i
z M d M d M d d M d x x d d x x d d s t x d d x d d x x d d i -+--+-+-+
-+-+-+=++++⎧++-=⎪++-=⎪⎪+-=⎨⎪+-=⎪
⎪≥=⎩
综上所述，目标规划建立模型的步骤为：
1、 根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目标约束与绝对约束；
2、根据决策者的需要将某些或全部绝对约束转换为目标约束，方法是绝对约束的左式加上负偏差变量和减去正偏差变量；
3、给各级目标赋予相应的惩罚系数k M （1,2,
k K =），k M 为无穷大的正数，且
1
M 2
M K M ；
4、对同一优先级的各目标，再按其重要程度不同，赋予相应的权系数kl ω；
5、根据决策者的要求，各目标按三种情况取值：①恰好达到目标值，取i i d d +-+②允许超过目标值，取i d -③不允许超过目标值，取i d +；然后构造一个由惩罚系数、权系数和偏差变量组成的、要求实现极小化的目标函数。
§3 目标规划的求解
3.1 图解法
只有两个决策变量的目标规划数学模型，可以使用简单直观的图解法求解。其方法与线性规划图解法类似，先在平面直角坐标系第一象限内作出各约束等式或不等式的图象，然后由绝对约束确定了可行域，由目标约束和目标函数确定最优解或满意解。
对于绝对约束，与线性规划中的约束条件画法完全相同。对于目标约束方程，除作出直线外，还要在直线上要标出正负偏差变量的方向，其可行域方向取决于目标函数中对应
目标。另外，目标规划是在前一级目标满足的情况下再来考虑下一级目标，很有可能尽可能满足目标的解不是可行解（即非可行解），而是权衡以后得出的最优解——满意解。因而在目标规划里称求得的解为满意解。
注意在求解的时候，把绝对约束作最高级别考虑。 例5 用图解法求解目标规划问题
()111223312111222123312
12 min 0 3515.. 4324 7 ,,,0 1,2,3.i i z M d d M d M d x x d d x x d d s t x x d d x x x x d d i -+-+-+-+
-+-+=+++⎧-+-=⎪++-=⎪⎪++-=⎨⎪+≤⎪⎪≥=⎩
解 在平面直角坐标系第一象限内作出各约束条件的图像，目标约束要在直线旁标上i d -和d i +。
首先，绝对约束127x x +≤确定了可行解范围在三角形OEF 内；
根据第一级目标，要求实现()
11min d d +-
+（恰好），因而可行解范围缩小到线段OC
上；
根据第二级目标，要求实现2min d -（不少于），在线段OC 上，取20d -
=的点A ，此
时可行解范围缩小到线段AC 上；
根据第三级目标，要求实现3min d +
，在线段AC 上，取30d +
=的点B ，此时解的范围缩小到线段AB 上。
所以，线段AB 上的所有点为满意解。可求得A(15/8,15/8)，B(24/7,24/7)。 例6用图解法求解例4的目标规划模型。
解在平面直角坐标系第一象限内作出各约束条件对应的图象，并在目标约束直线旁标上i d -
和i d +
。
根据第一级目标，目标函数要求实现1min d -，解的范围是线段AC 的右上方区域；
根据第二级目标，目标函数要求实现2min d +
，解的范围缩小到四边形ABDC 内的区
域；
根据第三级目标，目标函数要求实现()
34min 53d d --+，先考虑3min5d -，解的范围
缩小为四边形ABFE 内的区域，再考虑4min3d -
，四边形ABFE 内的所有点，均无法满足40d -=，此时在可行域ABFE 内考虑使4d -达到最小的满意点F ，F 点不满足40d -
=，但它
是使第三级目标最满意的满意解；
根据第四级目标，目标函数要求实现1min d +，由于解的范围已经缩小到点F ，所以唯一的点F 也是使第四级目标最满意的满意解。
综上所述，该问题的满意解为点F ，可求得F(70,20)。 给出图解法求解步骤如下：
1、在直角坐标系的第一象限作出绝对约束和目标约束的图象，绝对约束确定出可行解的区域，在目标约束直线上用箭头标出正负偏差变量值增大的方向（正、负偏差变量增大的方向相反）；
2、 在可行解的区域内，求满足最高优先等级目标的解；
3、转到下一个优先等级的目标，在满足上一优先等级目标的前提下，求出满足该等级目标的解；
4、重复3，直到所有优先等级目标都审查完毕；
5、确定最优解或满意解。
3.2 单纯形法
目标规划是线性规划的推广与发展，其数学模型结构与线性规划的数学模型结构没有本质的区别，求解线性规划的单纯形法，同样也是目标规划的求解方法。在目标规划里加
入了大M 惩罚系数，可用大M 法来进行求解。这里不再举例。
用单纯形法求解目标规划，迭代结束有两种情况。一种所有检验数均已非负时，所获得的解使所有目标偏离量为0，此解为最优解。另一种情况是所有检验数均已非负时，并没有使所有目标达到最优值，但达到最优的目标值一定是优先等级排在前面的，此时获得的解为满意解。如例4用单纯形法求的满意解为()70,20T
，目标值为347510z M M =+，可以看到求得的解并没有使第三级和第四级目标达到最优，但已使第一、二级目标达到最优，这和前面用图解法求得的结果一致。
3.3 EXCEL 电子表格法
目标规划同样能由EXCEL 求得其满意解。关键在于如何建立电子表格模型。 例7用EXCEL 求解例4的目标规划模型。
解 我们来看一下如何为例4中的目标规划问题建立电子表格模型，见图7-4。
图7-4
单元格（B5:C8），实际上是决策变量在目标规划数学模型中的系数，又可理解为对各对应因素的单位贡献。如单元格B5是产品1对开工时间这一因素的单位贡献，即生产1千M 的A 布料使开工时间增加1。
D 列计算了决策变量对每一因素的总贡献值。如单元格D5为总的开工时间，由公式SUMPRODUCT(B5:C5,B9:C9)计算而得。
（B9:C9）为可变单元格，（G5:H8）为附加的可变单元格。
G 、H 、I 、K 列是该模型微妙所在。G 列和H 列分别表示了实际的正负偏差的值。I 列按照数学模型中目标约束方程计算出的左端值。如单元格I5为第一个目标约束方程的左端值，由D5-G5+H5计算而得。
单元格G10为目标单元格，它是各因素未达目标的总偏差（总罚数）。但是要注意的是，比如第一级目标，只有负偏差大于0时，才会产生罚数。同样的第二级目标只有正偏差大于0时才会产生罚数。依此类推。在这里，决策者还要根据实际情况给出各级目标的罚系数，本题给出的假定罚系数见单元格G10的计算公式。注意，目标等级越高，罚系数
越大。目标是使总罚数最小。
在规划求解参数对话框里，给出目标单元格、可变单元格和约束。约束是使目标约束等式两端相等。
由于依然属于线性规划问题，仍需在选项对话框里选择“采用线性模型”和“假定非负”复选框。
可以看到图7-4的计算结果与前面两种方法相同。
对于包含有绝对约束的目标规划模型，绝对约束的优先等级高于任何目标约束，因而要把它放入规划求解的约束条件里。
例8 将例3中的目标利润改为4000，试用EXCEL 求解最优方案。
解 该问题包含有一个绝对约束：机时约束1210x x +≤，把它定义到规划求解对话框的约束里。模型与求解结果见图7-5。
图7-5
模型中对两目标的罚系数分别设为10和1。求解结果，利润目标实现了，人工也少于70，目标偏离量为0。
习题
7.1 判断以下目标规划的目标函数是否正确。 （1）max z d d -
+
=+ （2）min z d d -
+
=- （3）max z d d -
+
=- （4）min z d d -
+
=+ 7.2 用图解法求解下列目标规划问题：
（1）11233212111222123312min ;
24;24;..28;,,,0(1,2,3).i i z M d M d M d x x d d x x d d s t x x d d x x d d i +++-+-+-+-+=++⎧-++-=⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪≥=⎩ （2）()
13223111211122223312min 6224;
5;..515;,,,0(1,2,3).i i
z M d M d M d d x x d d x x d d s t x d d x x d d i +-
-+-+-+-+-+=+++⎧++-=⎪++-=⎪⎨+-=⎪⎪≥=⎩
（3）11122212121211122212min ()()
4;
26;..2318;3218;,,,0(1,2).i i
z M d d M d d x x x x s t x x d d x x d d x x d d i -+-+-+-+-+=+++⎧+≤⎪
+≤⎪⎪++-=⎨⎪++-=⎪
⎪≥=⎩ （4）11223312111222332
12min 3 2210;2 60;
.. 45; 80; ,,,0.i i z M d M d M d x x d d x d d s t x d d x x x d d -+
-
-+
-+
-+
-+=++⎧++-=⎪⎪+-=⎪⎪+-=⎨⎪≤⎪⎪≥⎪⎩
7.3 某厂组装两种产品，有关数据如表7-1。要求确定两种产品的日生产计划，并满足：
（1）不得使装配线超负荷生产； （2）不得有剩余产品；
（3）日产值尽可能达到5000元。 试找出满意解，并用图示说明之。
表7-1
7.4 上题中，若将目标要求改为： （1）尽可能发挥工厂的装配能力；
（2）尽可能满足市场的需求，并使产量与销量保持一致； （3）装配生产线可加班，但时数不得超过30小时； （4）尽可能使日产值最大。
试定出两种产品满意的日产计划。 7.5 已知目标规划问题的约束条件如下：
1211122211222;236;
..6;
,,,0(1,2)i i
x x d d x x d d s t x x x d d i -+-+
-+⎧++-=⎪-+-=⎪⎨
≤⎪⎪≥=⎩ 求在下述各目标函数下的满意解：
（1）11122min ()z M d d d d -
+
-
+
=+++
（2）111222min 2()()z M d d M d d -+-+=+++
（3）111222min ()2()z M d d M d d -+-+=+++
（4）111222min ()()z M d d M d d -+-+=+++
7.6 某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如表7-2。现要求订出调运计划，且依次满足：
（1）B 4要保证供应；
（2）其余销地的供应量不低于80%；
（3）A 2给B 2的供应量不低于150；
（4）A 2尽可能少给B 1；
（5）销地B1、B2的供应量尽可能保持平衡。
要求：
（1）建立使总运费最小的目标规划模型？
（2）建立该问题的电子表格模型，并用EXCEL 规划求解进行求解。
7.7 某公司的管理层已经为其公司的两种新产品制定了各自的市场目标，具体地说，产品1必须占据15%的市场份额，而产品2必须有10%的市场份额。为了获得市场，准备开展三次广告活动，其中两个广告是分别针对产品1和产品2的，而广告3是为了提高整个公司及其产品的声誉。以123,,x x x 分别表示分配在三个广告上的资金（以百万元为单位），相应的两种产品取得的市场份额估计值（以百分比表示）为
产品1的市场份额=130.50.2x x +
产品2的市场份额=130.30.2x x +
广告总预算为5500万元，其中必须有至少1000万投资在第三个广告上。如果两个产品的市场份额目标不能同时实现，管理层认为两种产品上目标偏离的严重性是同等的。在上述条件下，管理曾希望得到最有效的资金分配方法。试：
（1）建立该问题的数学模型；
（2）建立电子表格模型，并用EXCEL 规划求解进行求解。
7.8 某发展中国家有1500万亩共用耕地，该过政府目前正计划将这些土地分配给三种基本的农作物。生产的农产品一部分出口以换取紧缺的外币，剩下的是居民的食粮。种植这些农作物也为国家相当一部分人提供了就业。因此，在分配土地时要考虑的主要因素为：（1）能获得的外币，（2）可供养的居民数，（3）种植农作物需要的劳动力。表7-3给出了各种农作物每千亩产量对三个因素的贡献，表的最后一列为政府给三个因素建立的目标。在估计各个目标的重要性时，政府认为下面的三个因素是同等重要的，或者说如果目标不能达到的话，问题的严重性是同等的：（1）外币数量少于目标值100元，（2）供养目标中有一个人不能得到足够的食物，（3）需要的劳动力比劳动力目标少或多一人。
试：
（1）建立该问题的数学模型；
（2）建立电子表格模型，并用EXCEL规划求解进行求解；
（3）对该问题进行如下的what-if分析：（a）若改变各因素的重要程度，三因素的罚系数分别设为7，5，3，会产生怎样的结果；（b）若将外币数量的最少目标值100改为200，保持原来的罚数权重不变的情况，会有什么影响？
第七章 目标规划 §1 目标规划的提出 线性规划问题是讨论一个给定的线性目标函数在一组线性约束条件下的最大值或最小 值问题。对于一个实际问题，管理科学者根据管理层决策目标的要求，首先确定一个目标函数以衡量不同决策的优劣，且根据实际问题中的资源、资金和环境等因素对决策的限制提出相应的约束条件以建立线性规划模型；然后用计算机软件求出最优方案并作灵敏度分析以供管理层决策之用。而在一些问题中，决策目标往往不只一个，且模型中有可能存在一些互相矛盾的约束条件的情况，用已有的线性规划的理论和方法无法解决这些问题。因此，1961年美国学者查恩斯（A.Charnes ）和库柏（W.W.Coopor ）提出了目标规划的概念与数学模型，以解决经济管理中的多目标决策问题。 我们将通过几个例子来说明在实际应用中线性规划存在一系列的局限性。 例1 某厂生产A 、B 两种产品每件所需的劳动力分别为4个人工和6个人工，所需设备的单位台时均为1。已知该厂有10个单位机器台时提供制造这两种产品，并且至少能提供70个人工。又，A 、B 产品的利润，每件分别为300元和500元。试问：该厂各应生产多少件A 、B 产品，才能使其利润值最大？ 解 设该厂能生产A 、B 产品的数量分别为12,x x 件，则有 12 1212max 30050010 ..46700, 1,2.j z x x x x s t x x x j =+?+≤? +≥??≥=? 图解法求解如下： 由上图可得，满足约束条件的可行解集为?，即机时约束和人工约束之间产生矛盾，因而该问题无解。但在实际中，该厂要增加利润，不可能不生产A 、B 两种产品，而由线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。 例2 某厂为进行生产需采购A 、B 两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤，而A 原材料不少于20公斤。问如
运筹学(胡运权)第五版课后答案-运筹作业
47页1.1b 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d 无界解 1 2 3 4 5 4 3 2 1 - 1 -6 -5 -4 -3 -2 X2 X1 2x1- -2x1+3x 1 2 3 4 4 3 2 1 X1 2x1+x2=2 3x1+4x2= X
1.2（b） 约束方程的系数矩阵A= 1 2 3 4 2 1 1 2 P1 P2 P3 P4 基 基解 是否可行解目标函数值X1 X2 X3 X4 P1 P2 -4 11/2 0 0 否 P1 P3 2/5 0 11/5 0 是43/5 P1 P4 -1/3 0 0 11/6 否 P2 P3 0 1/2 2 0 是 5 P2 P4 0 -1/2 0 2 否 P3 P4 0 0 1 1 是 5 最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T 49页13题 设Xij为第i月租j个月的面积 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x1 3 +6000x23+7300x14 s.t. x11+x12+x13+x14≥15 x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 x14+x23+x32+x41≥12 Xij≥0 用excel求解为： ( )
用LINDO求解： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
运筹学基础及应用 习题解答 习题一 P46 1.1 (a) 该问题有无穷多最优解，即满足2 1 0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.2 (a) 约束方程组的系数矩阵 ???? ? ??--=1000030204180036312A 4
最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。 (b) 约束方程组的系数矩阵 ? ?? ? ??=21224321A 最优解T x ??? ??=0,511,0,5 2。 1.3 (a) (1) 图解法
最优解即为?? ?=+=+82594321 21x x x x 的解??? ??=23,1x ，最大值235=z (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ???=++=+++++=8 25943 ..00510 max 421321 4321x x x x x x t s x x x x z 则43,P P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5 839,58min =?? ? ??=θ
02>σ，23 28,1421min =??? ? ?=θ 0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2 3 1,4321====x x x x 。最大值 2 35*=z (b) (1) 图解法 最优解即为?? ?=+=+5 24262121x x x x 的解??? ??=23,27 x ，最大值217=z (2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 1234523124125 max 2000515.. 6224 5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=?? ++=??++=? 21=+x x 2621+x x
运筹学教程胡运权第5版 1. 简介 《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，由胡运权教授编写，已经出版了第5版。本教程旨在介绍运筹学的基本概念、方法和应用，帮助读者掌握运筹学的基本原理和技巧。 2. 内容概述 本教程分为十个章节，涵盖了运筹学的主要内容。 第一章：运筹学概述 本章介绍了运筹学的基本概念和发展历程，阐述了运筹学在现代管理决策中的重要作用。 第二章：线性规划 本章介绍线性规划的基本概念、模型和求解方法，包括单纯形法和对偶理论等内容。
第三章：整数规划 本章介绍整数规划的基本概念和求解方法，包括分枝定界法和割平面法等内容。 第四章：非线性规划 本章介绍非线性规划的基本概念和求解方法，包括梯度法和牛顿法等内容。 第五章：动态规划 本章介绍动态规划的基本概念和求解方法，包括最优子结构和状态转移方程等内容。 第六章：网络优化 本章介绍网络优化的基本概念和求解方法，包括最小生成树和最短路问题等内容。 第七章：多目标规划 本章介绍多目标规划的基本概念和求解方法，包括帕累托最优解和权衡法等内容。
第八章：排队论 本章介绍排队论的基本概念和模型，包括利用泊松分布和指数分布建模等内容。 第九章：库存管理 本章介绍库存管理的基本概念和模型，包括经济订货量和安全库存等内容。 第十章：决策分析 本章介绍决策分析的基本概念和方法，包括决策树和期望值法等内容。 3. 学习目标 通过学习本教程，读者可以掌握以下技能： •理解运筹学的基本概念和方法； •掌握线性规划、整数规划、非线性规划等方法的应用；
•学会运用动态规划、网络优化、多目标规划等方法 解决实际问题； •掌握排队论、库存管理、决策分析等方法的应用。 4. 使用说明 读者可以将本教程作为自学资料，按照章节顺序逐步学习。每个章节都包括基本概念的讲解、求解方法的介绍和案例分析。 在阅读本教程时，读者可以使用Markdown文本格式进行 标注和整理笔记。Markdown具有简单易学、格式清晰的特点，适合用于文档编写和批注。 5. 结语 《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，适合作为运筹 学的入门教材或者参考资料。通过学习本教程，读者可以掌握运筹学的基本概念、方法和应用，提升自己的运筹学能力和解决实际问题的能力。希望本教程能够对读者有所帮助，祝愿读者取得学习上的成功！
贵州工程应用技术学院 理学院 运筹学授课教案 学期：2017－2018学年第二学期 运筹学 课程名称： 运筹学基础及应用（第六版）胡运权编所用教材： 16信管、15数学 班级： 聂登国 任课教师： 理学院 所在部门： 应用数学教研室 教研室：
《绪论》（2课时） 【教学流程图】 运筹学 运筹学与数学模型的基本概念管理学 布置作业 【教学方法】 本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。 【教学内容】 一、教学过程： （一）举例引入：（5分钟） （1）齐王赛马的故事 （2）两个囚犯的故事
导入提问：什么叫运筹学？ （二）新课： 绪论 一、运筹学的基本概念 （用实例引入） 例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者。当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。但孙膑给田忌出主意，可使田忌反输为赢。试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢？ 例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。求双方的最优策略。 乙囚犯 抵赖坦白 甲囚犯抵赖-1，-1 -10，0 坦白0，-10 -8，-8 定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。 二、学习运筹学的方法
运筹学基础及丨、V:用习题解答 习题一 P46 1.1 (a) 2 = 3。(b) 用亂解法找+到满足所打约柬条仲的公：it•范W，所以该问题无可行解。 1.2 (a)约束方程组的系数矩阵
最优解A.=(o，i a o,7，o，o)r (b)约束方程组的系数矩阵 f I 2 3 4、 4 = l2 2 I 2, 最优解1 = (^,0，11，0^ V5 5 )" 1.3 (a) (1)图解法
⑵单纯形法 首先在各约朿条件上添加松弛变铽，将问题转化为标准形式max z = 10a-, +5a'2 +0x3 +0a4 [3a-. +4 义2 + A3 = 9 si. < [5a-j + 2X2 + a'4 = 8 则A，P4组成个猫《=令 A = ;c2 = 0 得-站可行解a_ = (0.0.9,8)，山此列出初始单纯形表
cr 2 >0， 0 - minj 2A x 2 xi =~，a-3 =0, a 4 最优解即为严+2X2 = 24 的解x =卩，2V 最大值z : I A"i + X y = 5 I 2 2 / 新的单纯形农为 A', Xo X A 14 14 _5_ _25 M ~T? q.qcO ，表明已找到问题垴优解. (b) (1)图解法 17 (2) 单 纯形法 苘先在外约朿条件.h 添加松弛变M ，将问题转化为标准形式 max z = 2.v, + x 2 + Ox 3 + 0.v 4 + Oa 5 5a'2 + = 15 6.y, + 2x 2 + .v 4 = 24
0 0 0 -- 2 *^4 o A : 5 、Q 0 一4 (7,^2 <0,表明已找到问题最优解^ =1，X 2=- , A-3 2 L 估 • 17 Hi Z =—— 2 1.6 (a)在约朿条件中添加松弛变量或剩余变量，且令k = jc 2 -a :； (a*2 > 0,.v ； > o) Xx = ~X-> 该问题转化为 max z' = -3a, - x 2 + .v 2 - 2a 3 + 0.v 4 + (Xv 5 2x | + 3a -2 - 3a 2 + 4a 3 +a 4 =12 攀 M I 4a'| +x 2 -A*2 -2a*3 —^5 =8 3a*, -X 2 +X 2 — 3a*3 = 6 A*,, A '2，X 2, x 3，A-4 , A 3 ^ 0 -K 约朿系数矩陴为 2 3 -3 4 I 0 4 丨-1-2 0-1 3 -丨丨一3 0 0 在A 屮人为地添加两列单位向虽/>7， 2 3 -3 4 1 0 0 0 4 丨-1 -2 t) -1 丨 0 3-1 I -3 0 0 0 1 令 max z'= -3a -i - x 2 +x 2- 2.v 3 + Oa:., + 0.v 5 - Mx 6 - Mx 7 得初始单纯形表 15 最大 a 4 = 0，x 5 SS ^ Xi x 2 x 4 x 5 x 6 -2 0 0 M -M 4 1 0 -I 0 0 0 0 0
胡运权运筹学简答题 胡运权先生是我们大家公认的物流学泰斗，其所著作的《运筹学》（Operations Research）与《管理科学与工程中的计量技术》（Quantitative Techniques in Management and Engineering）是我国管理学、工程学等许多学科的基础教材。 在本文中，我将回答一下有关胡运权老师所著作的《运筹学》的一些简答题。 一、为什么要学习运筹学？ 运筹学是一门应用数学，旨在对复杂的决策问题进行优化和决策。而在现代社会，我们面对的问题无时无刻不与优化、决策相关。如何通过建立数学模型，对现实问题进行量化分析，据此进行科学地优化和决策，是运筹学吸引我们学习的重要原因。 运筹学涉及的领域非常广泛，可以应用于生产、运输、库存、投资、金融、环境等各个领域。众所周知，计算机技术的发展与日俱增，已经在各个领域发挥了巨大的作用。而运筹学作为与计算机紧密结合的一门应用数学，则是计算机技术发挥作用的重要工具。 二、什么是数学规划？
数学规划，也称为数学优化，是一种运筹学中用于求解最优决策的数学方法。数学规划以优化目标函数为主要目标，以约束条件为限制方程，利用数学模型对问题进行精确描述，目标是通过调整决策变量，使得目标函数取得最大值或最小值，以达到问题的最优解。 数学规划可以分为线性规划、非线性规划、整数规划等几种类型。它们的区别在于目标函数和约束条件的形式。其中，线性规划是最常见的类型，它的目标函数和约束条件都是线性的。线性规划的数学模型可以表示为： max\ c^Tx \\ s.t.\ Ax \leq b \\ \ \ \ x \geq 0 其中，x 是决策变量向量，c 是目标函数系数向量，A 是系数矩阵，b 是约束条件向量。整数规划则是在线性规划的基础上，要求决策变量只取整数值。非线性规划则包括一些目标函数或约束条件非线性的情况，要求采用非线性的数学方法进行求解。 三、什么是线性规划？
【谈“运筹学”在土木工程课程中的应用】运 筹学胡运权第6版答案 [模版仅供参考，切勿通篇使用] [摘要]:基于“运筹学”的基本理论，重点阐述“运筹学”理论在土木工程专业课理论中的应用，得出土木工程专业学生学习和掌握“运筹学”的基本理论的必要性和重要性。 [关键词]:运筹学土木工程应用 一、概述 “运筹学”作为科学名字出现于20 世纪30 年代末的二次世界大战期间。当时，应用在军事战争年代，直到20 世纪60 年代，才被人们普遍认可并加以发展应用到工业、农业、经济和社会等领域，特别在当今科技发展迅速、经济突飞猛进的有利条件，“运筹学”的基本理论先后被引进了各个学科的学科理论中，成为了科研技术人员必备的理论基础，对于土木工程学科而言也不例外。因此，作为土木工程专业未来的工程技术人才而言，学习和掌握“运筹学”的基本理论知识和如何将专业知识与其联系起来有其必要性和重要性。
二、“运筹学”在土木工程专业课理论中的应用 “运筹学”的理论基本要点，就是将数学中的优化思想与社会实际问题的有机结合，作为从事在本工程专业的技术人员，只有具备扎实的理论数学和工程应用数学基础，才能将该课程基本理论与土木工程专业相关理论相结合并灵活运用于教学、科研和工程实践中，以下结合土木工程部分几方面浅谈“运筹学”的基本理论在土木工程专业中的应用。 1.结构分析课程 结构分析，是土木工程专业中最基本的专业基础，是学习和灵活掌握其他专业课的必要前提。其主要内容是通过对各种结构形式在不同荷载情况下的荷载效应进行分析，计算得出内力分布，分析出在建筑功能要求一定的条件下的结构最优布局形式，以便今后工作中从事实际工程设计时，能灵活运用所学的知识选择出合理的结构形式。例如，我们所开设的《材料力学》是分析单个构件的受力、而随之所开设的《结构力学》是将《材料力学》的单个构件组合成结构，进行整体分析等。 2.结构设计课程 结构设计课程，主要是通过学习相应的专业课基本理论，再让学生结合相应的理论进行课程设计实训，从而提高学生灵活运
胡运权运筹学第五版答案 【篇一：运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习 答案】 xt>习题一 p46 1.1 (a) 4 12 该问题有无穷多最优解，即满足4x1 z?3。 6x26且0?x2? 的所有?x1,x2?，此时目标函数值 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.2 (a) 约束方程组的系数矩阵 12a8 3 310 6?40 300 020 0??0? 1 t 最优解x??0,10,0,7,0,0? 。 (b) 约束方程组的系数矩阵 1a2 22 3 1 4??2?? 最优解1.3 (a) (1) 图解法 11??2
x??,0,,0? 5?5? t 。 最优解即为? 3x14x295x12x28 的解x 31,2 ，最大值z 352 (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 max z?10x1?5x2?0x3?0x4?3x1?4x2?x3?9s.t. ? 5x12x2x48 则p3,p4组成一个基。令x1?x2?0 得基可行解x??0,0,9,8?，由此列出初始单纯形表 12。??min? 898 ,53?5 20，??min? 2183 ,??142?2? 新的单纯形表为 1,20，表明已找到问题最优解x1?1, x2? 32 ,x3?0 , x4?0 。最大值 z * 352 (b) (1) 图解法 6x1?2x2x1?x2? 最优解即为? 6x12x224 x1?x2?5
的解x 73 ,22? ，最大值z 172 (2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 max z?2x1?x2?0x3?0x4?0x55x2?x3?15?? s.t. ?6x1?2x2?x4?24 xxx5125 则p3，p4，p5组成一个基。令x1?x2?0 得基可行解x??0,0,15,24,5?，由此列出初始单纯形表 12。??min??, 245? ,??4 61? 155 ,24, 20，??min? 3?3 2?2 新的单纯形表为 【篇二：运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习 答案】 xt>习题一 p46 1.1 (a) 4 1 的所有?x1,x2?，此时目标函数值2 该问题有无穷多最优解，即满足4x1?6x2?6且0?x2?z?3。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.2 (a) 约束方程组的系数矩阵 1236300a814020 300001
胡运权运筹学教程答案 胡运权运筹学教程答案 【篇一运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案】txt 习题一p461.1a23。 b用亂解法找到满足所打约柬条仲的公it范w，所以该问题无可行解。 1.2a约束方程组的系数矩阵r最优解a.o，iao,7，o，ob约束方程组的系数矩阵fi234、4l22i2,最优解1八,0,11,0八v551.3a1图解法⑵单纯形法首先在各约朿条件上添加松弛变铽，将问题转化为标准形式maxz10a-,5a20x30a4[3a-.4义2a39si.[5a-j2x2a48则a,p4组成个猫令a;c20得-站可行解a_0.0.9,8，山此列出初始单纯形表cr20，0-minj2a新的单纯形农为a,xoxax21414mtq.qco，表明已找到问题垴优解._5__25xi，a-30,a4（b）（1）图解法17最优解即为严aixy52x224的解x卩，2v最大值zii22/单纯形法（2）苘先在外约朿条件.h添加松弛变m，将问题转化为标准形式maxz 2.v,x2ox30.v4oa55a2156.y,2x2.v424【篇二运筹学（第五版）习题答案】章（39页）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 （1）maxzx1x25x110x250x1x21x24x1，x20x13x23x1x22x1，x20（3）maxz2x12x2x1-x2-1-0.5x1x22x1，x20（4）maxzx1x2x1-x203x1-x2-3x1，x20解（1）（图略）有唯一可行解，maxz14（2）（图略）有唯一可行解，minz9/4（3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。 （1）minz-3x14x2-2x35x44x1-x22x3-x4-2x1x23x3-x414-2x13x2-x32x42 x1，x2，x30，x4无约束（2）maxszkpkzkaikxiki1k1xk1mik1i1,...,nxikOi1n;k1,,m1解设z-z,x4x5-x6,x5,x60标准型maxz3x1-4x22x3-5x5-x60x70x8-mx9-mx10s.t.-4x1x2-2x3x5-x6x10 2x1x23x3-x5x6x714-2x13x2-x32x5-2x6-
《运筹学》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程目标 （一）总体目标： 本课程系统讲述了线性规划、目标规划、整数规划、网络分析、存储论、对策论、决策论的基本概念、理论、方法和模型。通过本课程的学习，使学生了解运筹学的研究方法和基本思路，初步掌握实际管理问题的数学建模方法，对管理活动过程中涉及的管理决策问题能够灵活、熟练地运用运筹学的基本知识、基础理论进行求解，并做出科学评价。 （二）课程目标： 课程目标1：学习运筹学、管理科学在现代化管理中的重要地位，运筹学在管理中的应用范围； 课程目标2：学习运筹学的基本分析方法，包括线性规划、目标规划、整数规划、网络计划、运输问题、排队论、决策理论、对策论等；掌握运筹学分析的技巧，建立起实践观点、系统观点和优化观点； 课程目标3：提高运用运筹学方法解决实际问题的能力，能运用运筹学方法分析实际问题；掌握一般类型的运筹学模型的构模技巧。 三、教学内容 导论 1.教学目标 掌握运筹学的含义、基本特征和基本方法；了解运筹学的发展历程和主要分支；理解运筹学科的特点。 2.教学重难点 掌握运筹学的含义、基本特征和基本方法。 3.教学内容
一、运筹学释义与发展简史 二、运筹学研究的基本特征和基本方法 三、运筹学主要分支简介 四、运筹学与管理科学 五、运筹学应用软件简介 六、运筹学教学安排与要求 4.教学方法 讲授法、讨论法 5.教学评价 课后复习。 第一讲：线性规划及单纯形法 1.教学目标 掌握线性规划模型建模的特点，标准化形式及其目的；理解线性规划解的概念；能用图解求解2个变量的线性规划问题；理解线性规划的基本性质；理解单纯形法的迭代原理；掌握单纯形法的迭代方法及步骤；掌握各种解的情况在单纯形表上的体现；能对任一线性规划问题能构造初始基本可行解并求解；了解数据包络分析；了解求解线性规划的软件工具；应用所学知识建立线性规划数学模型，并用教学软件求解。 2.教学重难点 能用图解求解2个变量的线性规划问题；掌握单纯形法的迭代方法及步骤。 3.教学内容 一、线性规划问题及其数学模型 1、问题的提出 2、建立数学模型 3、线性规划的定义与三种形式 4、线性规划问题的标准形式与标准化方法应用 二、图解法 对模型中只含2个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解。 1、图解法的步骤 2、由图解法得到的启示： （1）线性规划解的几种情形； （2）若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集； （3）若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一（如果有无穷多的话）一定是可行域的凸集的某个顶点。 三、单纯形法原理 1、解的概念 2、三个基本定理 3、单纯形方法引例 4、迭代的基本思路 5、总结：单纯形法迭代原理 四、单纯形法计算步骤
第一章 P43-1.1（1） 当取A （6/5,1/5）或B （3/2,0）时，z 取最小值3。所以该问题有无穷多最优解，所有线段AB 上的点都是最优解。 P43-1.2(1) 令' '4'44x x x -=，z z -=' ' '4'4321'55243max x x x x x z +-+-= ,,,,,,2 3214 2222465''4'43216''4 ' 43215''4'4321''4'4321≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x P43-1.4(1) 图解法： A(0,9/4)，Z 1=45/4；B(1,3/2)，Z 2=35/2；C(8/5,0)，Z 3=16。
单纯形法： 10 5 0 0 C b X b b x1x2x3x4θ 0 x39 3 4 1 0 3 0 x48 5 2 0 1 8/5 δ10 5 0 0 0 x321/5 0 14/5 1 -3/5 3/2 10 x18/5 1 2/5 0 1/5 4 δ0 1 0 -2 5 x23/2 0 1 5/14 -3/14 10 x1 1 1 0 -1/7 2/7 δ0 0 -5/14 -25/14 依次相当于：原点；C；B。 P44-1.7(1) 2 -1 2 0 0 0 -M -M -M C b X b b x1x2x3x4x5x6x7x8x9θ
无界解。两阶段法： 阶段二：
P45-1.10 证明：CX (0)>=CX*，C*X*>=C*X (0) CX (0)-CX*+C*X*-C*X (0)>=0，即(C*-C)(X*-X (0))>=0。 P45-1.13 设饲料i 使用x i （kg ），则 543218.03.04.07.02.0m in x x x x x z ++++= s.t. 7001862354321≥++++x x x x x 305.022.05.054321≥++++x x x x x 1008.022.05.054321≥++++x x x x x 0,,,,54321≥x x x x x 第二章 P74-2.1(1) 321532m ax y y y w ++= 22321≤++y y y 243321≤++y y y 4334321=++y y y 无约束321,0,0y y y ≤≥
7.3某厂每月生产某种产品最多600件，当月生产的产品若未销出，就需贮存（刚入库的产品下月不付存储费）月初就已存储的产品需支付存储费，每100件每月1000元。已知每100件产品的生产费为5千元，在进行生产的月份工厂支出经营费4千元，市场需求如表7-19所示，假定1月初及4月底库存量为零，试问每月应生产多少产品，才能在满足需求条件下， 解： 设阶段变量：k=1,2,3 状态变量：k x 第k 个月初的库存量 决策变量：k d 第k 个月的生产量 状态转移方程：1 k k k k x x r d 阶段指标：(,)k k k k v x d c d 由于在4月末，仓库存量为0，所以对于k=4阶段来说有两种决策： 5+4=9 40x 4()f x = 1 41x 对K=3 334()54()f x x f x K=2
解得：第一个月生产500份，第二个月生产600份，第三个月生产0份，第四个月生产0份。 7.4某公司有资金4万元，可向A ，B ，C 三个项目投资，已知各项目不同投资额的相应效益值如表7-20所示，问如何分配资金可使总效益最大。 表 7-20 解： 设阶段变量k ，{ }4,3,2,1∈k ，每一个项目表示一个阶段;
状态变量S k，表示可用于第k阶段及其以后阶段的投资金额； 决策变量Ｕk，表示在第k阶段状态为S k下决定投资的投资额； 决策允许集合：0≤Ｕk≤S k 状态转移方程：S k+1=S k-Ｕk; 阶段指标函数：V k(S kＵk)； 最优指标函数：f k(S k)=max{ V k(S kＵk)+ f k+1(S k+1)} 终端条件：f4(x4)=0； K=4, f4(x4)=0 k=3, 0≤Ｕ3≤S3 k=2, 0≤Ｕ2≤S2 k=1, 0≤Ｕ1≤S1 所以根据以上计算，可以得到获得总效益最大的资金分配方案为（1，2，1）.
47页1.1b 羅 蕿用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解 薅47页1。1d
蒂无界解 （b） 衿1.2 蕿约束方程的系数矩阵A=1234莇2112 蚄P1P2P3P4
,运筹作业 肀最优解A=（01/220）T和(0011）T 页13题 肆49 膃设Xij为第i月租j个月的面积 羄 minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13+6000x23+7300x 14 螁s.t. 聿x11+x12+x13+x14≥15 膃x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10 膀x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20 艿x14+x23+x32+x41≥12 袇Xij≥0
芃用excel求解为： 薁用LINDO求解： 羁LPOPTIMUMFOUNDATSTEP3 薆OBJECTIVEFUNCTIONVALUE 蚇1)118400.0 羂VARIABLEVALUEREDUCEDCOST 荿Z0.0000001。000000 虿X113.0000000。000000 螇X210。0000002800。000000莃X318。0000000.000000 肁X410.0000001100。000000莈X120.0000001700.000000袆X220.0000001700。000000螄X320.0000000。000000 蕿X130.000000400.000000 膇X230。0000001500。000000
(交通运输)运筹学胡运权版第三章运输问题课后习 题答案
P66：8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂 A 1，A 2，A 3的生产量、各销售点 B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到 销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？ 表 解：一、该运输问题的数学模型为： 可以证明：约束矩阵的秩为r(A)=6.从而基变量的个数为6. 二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 1.最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。 ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎨ ⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4 ,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114 131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x
②
②
此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：
其余（非基）变量全等于零。此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值） 2.伏格尔（Vogel)法 伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。 ,821=x , 1432=x ,614=x 246 685143228116410=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=