线性规划模型
线性规划模型是一种数学优化技术，是由一组变量、约束条件和目标函数组成的系统，它旨在通过有效地搜索解决方案来最大化或最小化所指定的某个函数。
线性规划模型包括三个部分：
1. 目标函数：是模型要解决的问题，它指定了模型要最大化或最小化的函数，该函数通常是一个线性函数，即函数中的变量之间的关系为线性关系。
2. 变量：变量表示模型中可以调节的参数，它们是解决问题的关键，变量也可以称为决策变量。
3. 约束条件：约束条件是模型中不能调节的参数，它们是模型的有效性的前提条件，必须满足才能得到有效的模型解。
谈谈线性规划模型的建立 一、建立线性规划模型的步骤： (1) 根据实际问题，设置变量。变量，就是待确定的未知数，也称决策变量，记为x1，x2，…，x n或x j（j＝1，2，…，n）。在线性规划中，通常要求变量非负。 (2) 确定目标函数。某个函数要达到最大值或最小值，也即问题要实现的目标，就是目标函数。目标是求最大值的，用max；求最小值的，用min。 (3) 分析各种资源限制，列出约束条件。约束条件，就是变量所要满足的各项限制，包括变量的非负限制。它是一组包含若干未知数的线性不等式或线性等式。资源包括人力、资金、设备、原材料、电力等，考虑资源时不要遗漏。要根据各种资源的限制，确定取等式或不等式。 (4) 写出整个线性规划模型。将目标函数与约束条件写在一起，就是线性规划模型。我们通常将目标函数写在前面，约束条件写在目标函数的后面。 二、产品决策问题 一般地，产品决策问题的变量就是产品的产量，目标函数就是利润函数，约束条件则要根据该产品所涉及的资源来考虑，此时要根据问题提出的要求考虑是取等式还是取小于等于不等式或大于等于不等式。 建立线性规划模型时，我们一般要先制作“资源配置分析表”：产品、资源限额置于列的位置，资源、利润置于行的位置，最后一列为“资源限额”对应的数据，最后一行为单位产品利润，中间的数据代表单位产品消耗资源定额。我们也可以将变量、等号或不等号同时放进该表中。 利用“资源配置分析表”，我们可以比较容易地写出线性规划模型：先由最后一行写出目标函数，再由各资源行分别写出一个约束条件，最后再附上变量非负限制。 例1某企业在一个生产周期内生产甲、乙两种产品，这两种产品分别需要A，B，C，D四种不同的机床来加工，这四种机床的可用工时分别为1500，1200，1800，1400。每件甲产品分别需要A，B，C机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A，B，D机床加工3工时、3工时、2工时。又知甲产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。试写出能获得最大利润的线性规划模型。 分析将题中各数据及变量填入表1所示的“资源配置分析表”中，其中第2，3列为产品甲和乙，最后一列为各机床的工时限额，第2～5行分别代表各机床，并按题意取小于等于号，最后一行代表利润。利润行中变量与单位利润乘积的总和就是目标函数，每个资源行（机床A～D）就是一个约束条件，由此表可直接写出线性规划模型。
问题一：建立一个资源利用的规划模型，需加入时间资源、资金资源。 1、问题的提出 1.1基本情况 某公司现在新购一生产线，生产电脑配件B1、B2、B3。已知生产单位产品的利润与所需的劳动力时间、设备台时及单位产品的资金投入，公司的资金拥有量和工作时间拥有量如表1-1所示： 表1T 项目 B1 配件种类资源限制B2B3 资金（百元）412200 劳动力/工时643360 设备台时（小323210 时） 产品利润（元/754 件） 1.2提出问题 1、假设每种配件的市场都是供不应求，不用考虑市场及原材料的供应问题那么在现有的条件下应该如何分配者三种配件的生产才能获得最大利润。 2、模型的建立 2.1确定决策变量 因为获得最大利润的核心目标，要确定各种配件的生产数量从而去求得所能 获得的最大利润。因此可以设尤，x ,x来表示B1，B2, B3的产量。 1 2 3 2.2确定目标函数 该问题归结为求效益最大化的问题。这里所追求的利润s应是最大（简写为max） max S = 7 x + 5 x + 4 x 1 2 3 2.3确定约束条件 考虑到资金限制和劳动力总工时以及设备台时的要求，会有一定的约束条件用不等式表示参考表1_1数值有 '4x + x + 2x < 200 <6x + 4x + 3x < 360 I3x + 2x + 3x < 210 侦1 2 3 2.4建立模型 综合前述各步及变量非负的条件建立起线性规划模型如下。求变量
气(i = 1,2,3)使得目标函数： max S = 7 x + 5 x + 4 x 1 2 3 取得最大值，并满足如下的约束条件的要求： 4x + x + 2x < 200 1 2 3 6x + 4x + 3 x < 360 s.t. < 1 2 3 |3x i+ 2x2 + 3x3 < 210 I x , x , x > 0 v 1 2 3 3、模型的求解分析 上述线性规划模型是非标准的线性规划模型，用常规方法将其变为标准型的线性规划模型，然后利用单纯形法进行求解。 3.1模型转化 给约束条件加入松弛变量x ,x ,x将模型变为标准型的线性规划模型如下： 4 5 6 max S = 7 x + 5 x + 4 x 1 2 3 4 x + x + 2 x + x = 200 6 x + 4 x + 3x + x = 360 S.t.<12 3 5 3x + 2 x + 3 x + x = 210 x , x , x , x , x , x > 0 、 1 2 3 4 5 6 对应于下边模型 max Z = CX I AX = b s.t.\ A = (B, N), X = I X > 0 3.2初始单纯形表的构建 表1-2 C j C1=7C 2 =5C 3 =4C 4=。C 5 =0 C 6 =0 b9 C B x i x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 C 4x 4 4 1 2 1 0 0 200 50 C 5 C 6x 5 x 6 6 3 4 2 3 3 1 1 360 210 60 70 7 5 4 0 0 0 j
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。 一、线性规划的定义 线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示： $$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$ 其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。在线性规划中，会涉及到许
多变量，这些变量需要受到一些限制。这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。例如： $$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$ $$X_i≥0, i=1,2,……, n $$ 这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。 二、线性规划的模型建立 在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素： 1. 决策变量：它是模型求解的关键。决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还 要知道哪些变量是影响目标函数的。 3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的 限制。例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人 工的数量等等，这些都是约束条件。 4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。 基于以上要素，可以将线性规划模型建立出来。例如，对于一 个简单的生产问题，如生产苹果酒和橙子酒，在水果供应有限的 情况下，生产苹果酒和橙子酒的成本、利润、生产的数量都有限制。则可以建立如下的线性规划模型： $$minimize\ 2X_1+3X_2$$ 约束条件为：
第一章线性规划问题及其数学模型 一、问题旳提出 在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。 例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。 表1-1 该工厂每生产一件产 品I可获利2元，每生 产一件产品II可获利3 元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为： x1+2x2≤8 同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式 4x1≤16 4x2≤12 该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：
目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤8 4x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0 例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？ 解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧++++++33 23134322124211 4144 x x x x x x x x x x 。 ，， ，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有
第一章 线性规划模型 线性规划（Linear Programming ）是数学规划的一个重要组成部分，是最优化与运筹学理论中的一个重要分支和常用的方法，是最优化理论的基础性内容。 第一节 线性规划问题及其数学模型 一、问题的提出 在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。 例1 生产计划问题 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时，A 、B 两种原材料的消耗以及每件产品可获得的利润如下表所示。问应如何安排生产计划使该工厂获利最多？ 解：设12,x x 分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。由于资源的限制，所以有： 机器设备的限制条件: 1228x x +≤ 原材料A 的限制条件： 1416x ≤（称为资源约束条件） 原材料B 的限制条件： 2412x ≤ 同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有120,0x x ≥≥（称为变量的非负约束）。 显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有许许多多。而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量12,x x 以得到最大的利润，即使目标函数1223z x x =+的值达到最大。 综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示： 例2 运输问题 某公司经销某种产品，三个产地和四个销地的产量、销量、单位运价如下表所示。问在保证产销平衡的条
解:（1）决策变量：设(1,2,3;1,2,3,4)ij x i j ==为从产地i 运到销地j 的运量 （2）目标函数：总运费最小34 11 min ij ij i j z c x ===∑∑ （3）约束条件： 产量约束 销量约束 非负约束 模型为： 二、线性规划问题的模型 上述几例所提出的问题，可归结为在变量满足线性约束条件下，求使线性目标函数值最大或最小的问题。它们具有以下共同的特征。 （1）每个问题都可用一组决策变量12(,, ,)n x x x 表示某一方案，其具体的值就代表一个具体方案。通常可根 据决策变量所代表的事物特点，对变量的取值加以约束，如非负约束。 （2）存在一组线性等式或不等式的约束条件。 （3）都有一个用决策变量的线性函数作为决策目标（即目标函数），按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划（LP ）问题的数学模型，其一般形式为： 或矩阵形式 或向量形式 max （或min ）z CX = 其中12(,, ,)n C c c c =，称为价值系数向量； 称为技术系数矩阵(也称消耗系数矩阵)；T 12(,,,)m b b b b =称为资源限制向量；T 12(,, ,)n X x x x =称为决策 变量向量。 三、建立线性规划模型的一般步骤： （1）确定决策变量； （2）确定目标函数； （3）确定约束条件。 例3 投资计划问题 某公司经调研分析知，在今后三年内有四种投资机会。第Ⅰ种方案是在三年内每年年初投资，年底可获利15%，并可将本金收回；第Ⅱ种是在第一年的年初投资，第二年的年底可获利45%，并将本金收回，但该项投资不得超过2万元；第Ⅲ种是在第二年的年初投资，第三年的年底可获利65%，并将本金收回，但该项投资不得超过1.5万元；第Ⅳ种是在第三年的年初投资，年底收回本金，且可获利35%，但该项投资不得超过1万元。现在本公司准备拿出3万元来投资，问如何计划可使到第三年年未本利和最大？ 解：问题分析.该问题的实际投资背景如下表所示：
运筹学模型的类型 运筹学模型是指通过数学方法来描述和解决复杂问题的一种工具。根 据问题的性质和要求，运筹学模型可以分为以下几种类型： 1. 线性规划模型（Linear Programming Model，简称LP）：线性规划是一种优化问题，它的目标是在满足一些约束条件下，使某个线性 函数取得最大或最小值。线性规划模型广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。 2. 整数规划模型（Integer Programming Model，简称IP）：整数 规划是线性规划的扩展，它要求决策变量只能取整数值。整数规划模 型常用于生产调度、排产计划、网络设计等问题。 3. 非线性规划模型（Nonlinear Programming Model，简称NLP）：非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都可以是非线 性的。非线性规划模型广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。 4. 动态规划模型（Dynamic Programming Model，简称DP）：动 态规划是一种优化方法，它将一个复杂问题分解为若干个子问题，并 逐步求解这些子问题。动态规划模型常用于生产调度、资源分配、投 资决策等问题。
5. 排队论模型（Queuing Theory Model，简称QT）：排队论是一种研究等待线性的数学理论，它可以用来描述和分析顾客到达、服务时间、系统容量等因素对系统性能的影响。排队论模型广泛应用于交通运输、通信网络、医疗卫生等领域。 6. 决策树模型（Decision Tree Model，简称DT）：决策树是一种分类和回归的方法，它可以将一个问题分解为若干个子问题，并逐步求解这些子问题。决策树模型常用于金融风险评估、医学诊断、市场营销等领域。 总之，不同类型的运筹学模型适用于不同的问题领域和求解目标，选择合适的模型可以帮助我们更好地解决实际问题。
数学规划模型 现实世界中广泛存在着一类所谓的优化问题，在一系列既定条件的限制下，如何使所关注的预定目标达到最优，这就是数学规划模型。本章介绍数学规划中的线性规划、整数规划和非线性规划。另外介绍多目标规划的序贯解法。 6.1 线性规划 线性规划（Linear Programming 简记LP ）是运筹学的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实际中的应用日益广泛。 6.1.1 线性规划的基本概念 1.线性规划的一般模型 线性规划模型的一般形式为 1max(min)n j j j z c x ==∑； (6.1) 1(,),1,2,,,s.t.0,1,2,,.n ij j i j j a x b i m x j n =?≤≥==???≥=?∑ (6.2) 也可以表示为矩阵形式 max(min)T z =c x ； (,),s.t.0.≤≥=??≥? Ax b x 向量形式 max(min)T z =c x ； 1(,),s.t.0.n j j j x =?≤≥=???≥? ∑p b x 上面的表达式中，式(6.1)称为目标函数，式(6.2)称为约束条件；其中12[,,,]T n c c c =c ，称其为价值向量（或目标向量）；12[,,,]T n x x x =x ，称其为决策向量；12[,,,]T m b b b =b ，称其为资源向量；()ij m n a ?=A ， 称其为约束条件的系数矩阵；12[,,,]T j j j mj a a a =p （1,2,,j n =），称其为约束条件的系数向量。 从上面的模型可以看出，线性规划的目标函数可以是最大化问题，也可以是最小化问题；约束条件有的是“≤”，有的是“≥”，也可以是“=”。 在一些实际问题中决策变量可以是非负的，也可以是非正的，甚至可以是无约束（即可以取任何值）。为了便于研究，在此规定线性规划模型的标准型为 max T z =c x ； (6.3) ,s.t.0.=??≥?Ax b x (6.4) 2.线性规划解的概念
运筹学模型的分类和类型 运筹学是一门应用于决策制定和问题解决的学科，它通过数学模型和分析方法来优化资源的利用。运筹学模型是在特定情境中描述问题和优化目标的数学表示。根据问题的性质和优化目标的类型，运筹学模型可以被分类为多种类型。在本文中，我将介绍一些常见的运筹学模型分类。 一、线性规划模型： 线性规划模型是最基本的运筹学模型之一。它的特点是目标函数和约束条件均为线性的。线性规划模型常用于求解资源分配、生产计划、物流运输等问题。通过线性规划模型，我们可以找到使资源利用最优化的决策方案。某公司需要确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，且需满足各种资源约束条件，这时可以使用线性规划模型进行求解。 二、整数规划模型： 整数规划模型是在线性规划模型的基础上引入整数变量的扩展。在某些情况下，问题的决策变量只能取整数值，这时就需要使用整数规划模型进行求解。某物流公司需要确定车辆的调度方案，每辆车的装载量可以是整数，这时可以使用整数规划模型来求解最佳调度方案。
三、动态规划模型： 动态规划模型是一种考虑时间因素的决策模型。它通常用于求解多阶段决策问题。动态规划模型通过将问题划分为多个阶段，并建立各阶段之间的转移方程，来寻找最优决策序列。在项目管理中，我们需要确定每个阶段的最佳决策，以最小化总工期和成本，这时可以使用动态规划模型进行求解。 四、网络流模型： 网络流模型是一种描述网络中资源分配和流量传输的模型。它通常用于求解网络优化问题，如最小费用流问题、最大流问题等。网络流模型中，节点表示资源或流量的源点、汇点和中间节点，边表示资源或流量的传输通道。通过建立网络流模型，我们可以确定资源的最优分配方案，以及网络中的最大流量或最小成本。在供应链管理中，我们需要确定货物从生产商到消费者的最佳流向，以最小化总运输成本，这时可以使用网络流模型进行求解。 五、排队论模型： 排队论模型是一种描述排队系统的模型。它通常用于评估系统性能指标，如平均等待时间、平均逗留时间等。排队论模型通过建立排队系统的数学模型，来分析系统的运行特性和优化方案。某银行需要提高服务效率，减少客户的等待时间，这时可以使用排队论模型来评估服务台的数量和服务人员的安排。
线性规划模型及应用场景 线性规划是一种运筹学中的数学方法，用于在有限的资源下寻找达到最佳目标的方案。线性规划模型是通过建立线性关系式和目标函数以确定决策变量的最优值，来求解问题。应用线性规划模型可以在诸多领域中找到合理的应用场景。 一、生产调度与物流管理 生产调度是指以资源约束为条件，在规定时间内安排、组织和运用生产资源的管理活动。而物流管理则是通过有效的供应链管理来实现流程和原料的优化配置。线性规划可以通过建立生产资源约束条件和目标函数，来确定合理的生产进度和物流配送计划，从而提高生产效率、降低物流成本。 举个例子，某工厂生产两种产品A和B，生产线的时间和效率是有限的，同时每个产品有不同的售价和成本。这时可以使用线性规划模型来确定每种产品的生产数量，使得总利润最大化。 二、金融投资与资产配置 金融投资是指将资金投入到各种金融市场和资产中，以期获得回报。而资产配置则是指在不同风险水平下，按照一定的比例配置资金到各种资产上。线性规划可以通过建立风险约束条件和目标函数，来确定最佳的资产配置组合，以实现风险和回报间的平衡。 举个例子，某投资者有一笔固定资金，可以投资于股票、债券和货币市场基金等
多个金融工具。他可以将自己的投资目标、预期收益和风险偏好建立为线性规划模型，以确定最佳的资产配置比例，从而达到理想的投资回报。 三、运输与配送 运输与配送是指将物品从生产地或仓库运往销售点或用户手中的过程。针对运输与配送的问题，线性规划可以通过建立运输路径、运输容量和运输成本等约束条件，来确定合理的物流方案，从而达到最佳的运输效益。 例如，某物流公司需要将商品从N个供应商处运输到M个销售点，每个供应商的供货量和每个销售点的需求量是已知的，同时每个运输路径的距离和费用也是已知的。利用线性规划模型，可以确定每个运输路径上的货物运输量和运输方式，从而降低运输成本，提高物流效率。 四、人力资源管理 人力资源管理是指通过合理的组织、激励和管理，利用有限的人力资源实现组织目标。线性规划可以通过建立员工数量、工时分配和成本效益等约束条件，以及建立目标函数如员工满意度、绩效和利润等来确定最佳的人力资源配置方案。 举个例子，某公司需要合理安排员工的工作时间和休假时间，以满足不同岗位的需求和员工的个人偏好。同时，公司也需要确保员工的生产力和成本效益。通过建立线性规划模型，可以确定合理的员工工时分配和休假安排，从而提高员工满意度和工作效率。
第五节 线性规划建模举例 线性规划是运筹学中应用最广泛和最有效的一个分支，在用线性规划方法解决实际问题时，建模是十分重要和很关键的一步，它是在把实际问题条理化和抽象化的基础上进行的，是一种创造性的思维过程，兴有当建立的模型能正确反映实际问题的条件和决策者的要求时，才能进一步得出有意义的解答，为决策者作出正确决策提供帮助。 线性规划问题建模可按以下步骤进行： 1．分析实际问题，弄清需要确定的未知量，在此基础上假定自变量（决策变量）。这些自变量应彼此独立，意义明确，且可借助它们将实际问题正确、方便地表达出来。 2．确定有关参数的数据，包括价值系数j c 、约束条件右侧常数i b 和约束条件中的系数ij a 。 3．认清决策者想要达到的主要目标，据此列出目标函数（自变量的线性函数），并决定是要极大化或极小化。 4．分析并汇总问题的限制条件（包括明显的和隐含的），将其与有关自变量和参数联系起来，并逐一表达成等式或不等式约束。约束条件既不要遗漏（有些限制条件未考虑到），也不要重复。 5．写出完整的线性规划数学模型，并进一步检验是否与描述的实际问题一致，如有不一致之处，则应适当修改模型。对复杂的实际问题，有时还需在求解时进一步修正模型。 下面在本章第一节的基础上，再举出另外一些线性规划问题建模的例子，供读者分析思考，从中得到启发。 例14 裁料问题 在某建筑工程施工中需要制作10000套钢筋，每套钢筋由2.9m 、2.1m 和1.5m 三种不同长度的钢筋各一根组成，它们的直径和材质相同。目前在市场上采购到的同类钢筋的长度每根均7.4m ，问应购进多么根7.4m 长的钢筋才能满
足工程的需要？ 解 该问题最简单的处理方法是：在每根7.4m 长的钢筋上截取2.9m 、2.1m 和1.5m 的短钢筋各一根，剩下料头0.9m ，共用去10000根7.4m 长的钢筋。但这样做常是不经济的，基改用套裁就会节约原材料。为此，必须分析共有多少种不同的裁法，该问题的可能裁料方案示于表1.10中。 表1.10 设以i x （i =1，2，…，8）表示按第i 种裁料方案下料的原材料数量，则可得该问题的数学模型如下 ⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨ ⎧min 8,,2,1,01000043231000023210000287643176532432187654321 =≥=+++++=++++=++++++++++=j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z j 最后算出的∑==8 1j j x z 就是所需使用的7.4m 钢筋原料的总数。 该问题的目标函数也可改用总料头长度极小化。 由本例的分析过程可知，这类问题的建模需列出所有裁料方案，当方案很多时常是十分困难的。为此，需设立一些准则删除明显不合理的方案，以减少计算工作量。 例15 工作人员计划安排问题 某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段（每4小时为一个时间段）所需
线性规划模型 线性规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题，确保特定的目标实现而满足一定 约束条件。它是基于线性关系的一类优化模型，其目的是最大化或最小化一个线性函数， 同时满足相关的线性约束条件。线性规划模型涉及了数学、经济、管理、工程等领域，常 常被用于优化决策和资源分配。 线性规划模型有五个基本要素：决策变量、目标函数、约束条件、可行解和最优解。 其中，决策变量是待优化的参数或变量；目标函数是一个以决策变量为自变量的线性函数，代表目标的数学表达式；约束条件是必须满足的限制条件，它们也是线性函数形式；可行 解是满足所有约束条件的决策变量组合，这些组合可以被用于计算目标函数的值；最优解 是在所有可行解中，能够使目标函数取得极值（最大化或最小化）的可行解。 线性规划模型的主要应用在资源优化领域，例如制造、物流、贡献分析和供应链管理。其中，生产调度和库存管理是常见的应用场景。生产调度通常涉及如何分配生产设备的时 间和资源，以最小化成本并最大化效益。库存管理通常涉及如何保持合理库存水平以满足 需求，同时尽量减少成本和风险。 线性规划模型计算软件广泛应用，其中最广泛的是 Microsoft Excel 中的插件，如Solver。Solver 可以通过线性规划模型来找到最佳决策组合，以最小化或最大化目标函数。其他流行的线性规划软件包包括 MATLAB，AMPL 和 Gurobi 等。 然而，线性规划模型有几个限制：一是实际问题往往不是线性的，因此需要更复杂的 模型来处理更复杂的问题；二是线性规划模型假设所有参数是确定的，但在许多情况下参 数是不确定的，需要采用随机规划模型。因此，针对问题的实际特点和需求，选择更合适 的数学模型和工具是非常重要的。 总之，线性规划模型是优化问题的一个强大工具，可以在许多领域帮助决策者做出最 佳决策。然而，在应用模型过程中要仔细考虑模型的局限性，并尝试更复杂的模型，以获 得更好的决策结果。
线性规划模型 线性规划（Linear Programming，LP）是一种用于求解线性优 化问题的数学建模方法。线性规划模型是在一组线性约束条件下，通过线性目标函数来寻找最优解的数学模型。其基本形式如下： 最大化或最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ（目标函数） 约束条件为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂ … aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ x₁, x₂, …, xₙ ≥ 0 其中，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中各项的系数；a₁₁, a₁₂, …, aₙₙ为约束条件中各项的系数；b₁, b₂, …, bₙ为约 束条件中的常数项；x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。 线性规划模型的求解过程分为以下几个步骤： 1. 建立数学模型：根据问题的描述，确定决策变量，确定最优化目标，建立目标函数和约束条件。 2. 确定可行解区域：根据约束条件，画出约束条件所确定的可行解区域。 3. 求解最优解：在可行解区域内寻找目标函数最大化或最小化的解。常用的求解方法有单纯形法和对偶单纯形法。
4. 解释结果：根据最优解，给出对决策变量和目标函数的解释，进一步分析结果的意义。 线性规划模型适用于许多实际问题的求解，如生产计划、资源分配、物流调度等。通过构建适当的数学模型，可以帮助管理者做出理性决策，最大化或最小化目标函数。 然而，线性规划模型也有其局限性。首先，线性规划只能处理线性约束条件和线性目标函数，对于非线性问题无法求解。其次，线性规划假设决策变量是连续的，对于离散的决策问题，线性规划无法适用。此外，线性规划模型还需要求解算法的支持，对于复杂问题需要较高的计算资源。 总之，线性规划模型是一种常用的数学建模方法，通过线性约束条件和线性目标函数，求解最优解，帮助解决实际问题。但线性规划模型也有其适用范围和局限性，需要根据具体问题来选择合适的求解方法。
线性规划模型 线性规划的英文全称为：Linear Programming ，可简称为LP ． 一、线性规划所属学科 线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支． 0-1⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ 线性规划非线性规划静态规划整数规划规划论规划多目标规划动态规划运筹学对策论决策论排队论图论存储论模型论 二、线性规划发展简史 早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划 20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域． 三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点 1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标； 2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析． 数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型． 四、线性规划方法解决的两类问题 1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省； 2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多． 五、线性规划可解决以下几方面的问题 １、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省； 2、生产组织问题：⎩ ⎨⎧产，使成本最低产值一定，如何安排生最高 或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(
第一章线性规划及单纯形法 1、一般线性规划问题的数学模型 问题的提出 在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求“最佳”的利用或分配方式。任何资源，如劳动力、原材料、设备或资金等都是有限的。因此，必须进行合理的配置，寻求最佳的利用方式。 由此可以把有限资源的合理配置归纳为两类问题：一类是如何合理地使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大；另一类是在生产或经营的任务确定的条件下如何合理地组织生产，安排经营活动，使所消耗的资源数最少。这是最常见的两类规划问题。 与规划问题有关的数学模型由两部分组成：一部分是约束条件，反映了有限资源对生产经营活动的种种约束，或者生产经营必须完成的任务，另一部分是目标函数，反映生产经营在有限资源条件下希望达到的生产或经营的目标。 例1 常山机器厂生产甲、乙两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C三种不同设备上加工。按工艺材料规定，生产每件产品甲需占用各设备分别为2小时、4小时、0小时，生产每件产品乙需占用各设备分别为2小时、0小时、5小时。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12小时、16小时、15小时，又知每生产一件甲产品企业能获得2元利润，每生产一件乙产品企业能获得3元利润，问该企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大？ 解：为更加直观理解题意，把上述问题转化为如下表格 假定用x1和x2分别表示甲、乙两种产品在计划期内的产量。因设备A在计划期内的可用时间为12小时，不允许超过，于是有2x1+2x2≤12。对设备B、C也可列出类似的不等式：4x1≤16，5x2≤15。企业的目标实在各种设备能力允许的条件下，使总的利润收入z=2x1+3x2为最大。所以可归结为：约束于
一、问题重述 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划 二、模型假设 I.模型假设： 假设两种饮料的质量是好的； 假设不存在顾客上门投诉的情况； 假设原料的供应是及时的。 II. 符号说明： 是生产甲饮料的百箱量 X 1 X 是生产乙饮料的百箱量 2 Z为生产甲饮料X白箱和生产乙饮料Y百箱获利最大值 三、建立模型： 模型一 目标函数：2 x z+ = - max x 9 1 10 原料供应：50 +x x 6<= 1 5 2 工人加工：150 +x 10<= x 20 1 1 产量限制：8 x 1<= 非负约束：0 x x 2 1>
模型二 目标函数：21910m ax x x Z += 150201021≤+x x 81≤x 615621≤+x x 模型三 21911m ax x x Z += 150201021≤+x x 81≤x 605621≤+x x 四、模型的求解与分析 c=[-10 -9]; >> A=[6 5;10 20]; >> b=[60;150]; >> Aeq=[]; >> beq=[]; >> vlb=[]; >> vub=[]; >> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) Optimization terminated. x = 6.4286 4.2857 fval = -102.8571 >> b=[61;150];
线性规划模型----2d5fe266-7163-11ec-87ca-7cb59b590d7d 线性规划问题：求多变量线性函数在线性约束条件下的最优值。线性规划问题的一般 形式： s、 t。aijxj毕 i1,2,,m X1，X2，, xn 0[说明] 线性规划问题的标准形式： s、 t。aijxj毕(0）我1,2,,M x1,x2,,xn0 [注]任何线性规划问题都可以转化为标准形式。详情如下： 1.目标函数标准化maxz min(z) 2.约束条件标准化 假设约束中存在不等式约束 ai1x1ai2x2ainxn bi或ai1x1ai2x2ainxn bi 引入新变量xn 1和xn 2（称为松弛变量），上述两个公式等价于以下两个公式：ai1x1 ai2x2 ainxn xn？1. biai1x1 ai2x2 ainxn 2.毕 3.自由变量标准化 如果变量XJ是无约束的，则可以引入两个新变量XJ'，XJ“来生成XJ XJ'XJ“， xj',xj"0. 因此，我们只考虑下面的标准形式，也可以表示为MIZ。矩阵形式t中的C'x。 x0一般要求，rk(am n)m, 例1 a工厂生产a和B两种产品。每吨产品a需要9吨煤和4千瓦电，需要3个工作日；为了生产产品B，每吨需要5吨煤和5千瓦电力，持续10个工作日。据了解，a和B 每吨的利润分别为7000元和12000元。目前，该厂只有360吨煤炭、200千瓦电力和300 个工作日。为了获得最大利润，应该生产多少吨a和B产品？ [解]x1,x2分别表示a,b两种产品的计划生产数（单位：吨），f表示利润（单位： 千元），则f7x112x2
第三部分运筹学 第四章运筹学建模 4.1 运筹学概述 运筹学是用数学方法研究各种系统最优化问题的学科。其研究方法是应用数学语言来描述实际系统，建立相应的数学模型，并对模型进行研究和分析，据此求得模型的最优解；其目的是制定合理运用人力、物力和财力的最优方案；为决策者提供科学决策的依据；其研究对象是各种社会系统，可以是对新的系统进行优化设计，也可以是研究已有系统的最佳运营问题。因此，运筹学既是应用数学，也是管理科学，同时也是系统工程的基础之一。 运筹学一词最早出现于第二次世界大战期间，当时为了急待解决作战中所遇到的许多错综复杂的战略战术问题，英美一些具有不同学科和背景的科学家，组成了许多研究小组，专门从事军事行动的优化研究。研究的典型课题有：高射炮阵地火力的最佳配置、护航舰队规模的大小以及开展反潜艇作战的侦察等方面。由于受到战时压力的推动，加上不同学科互相渗透而产生的协同作用，在上述几个方面的研究都卓有成效，为第二次世界大战盟军的胜利起到积极作用，也为运筹学各个分支的进一步研究打下了基础。战后，这些科学家们转向研究在民用部门应用类似方法的可能性。因而，促进了在民用部门中应用运筹学有关方法的研究和实践。 1947年，美国数学家G．B．Dantzig提出了求解线性规划的有效方法——单纯形法。50年代初，应用电子计算机求解线性规划问题获得了成功。50年代末，工业先进国家的一些大型企业也陆续应用了运筹学的方法以解决企业在生产经营活动中所出现的许多问题，取得了良好效果。60年代中期，一些银行、医院、图书馆等都已陆续认识到运筹学对帮助改进服务功能、提高服务效率所起的作用，由此带来了运筹学在服务性行业和公用事业中的广泛应用。电子计算机技术的迅速发展，为广泛应用运筹学方法提供了有力工具，运筹学的应用又开创了新的局面。当前，运筹学在经济管理、生产管理、工程建设、军事作战、科学试验以及社会系统等各个领域中都得到了极为广泛的应用。一些发达国家的企业、政府、军事等部门都拥有相当规模的运筹学研究组织，专门从事运筹学的应用研究，并为上层决策部门提供科学决策所需的信息和依据。 随着运筹学技术的推广应用，各国都先后成立了运筹学研究的专业学术机构。早在1948年，英国成立了运筹学俱乐部，并出版运筹学的专门学术刊物。1957年，在英国牛津大学召开了第一届国际运筹学会议。1959年，成立了国际运筹学联合会。 我国于1956年成立了第一个运筹学小组，1980年成立了全国运筹学会，这对促进我国运筹学的应用和发展起了积极作用，特别是著名数学家华罗庚教授早在50年代中期就在一些企业和事业单位积极推广和普及优选法、统筹法等运筹学方法，取得了显著成效。今天，我国有关高等院校不仅设置了运筹学专业，而且在管理类、财经类等的有关专业普遍开设了运筹学的必修课程。许多专业的硕土生，也设置了运筹学作为学位课程。 运筹学的实质在于模型的建立和使用。 应用运筹学处理问题时，首先要求从系统观点来分析问题，即不仅要求提出需要解决的问题和希望达到的目标，而且还要弄清问题所处的环境和约束条件，包括：时间、地点、资金、原材料、设备、人力、能源、动力、信息、技术等的环境和约束条件，以及要处理问题中的主要因素、各种环境和约束条件之间的逻辑关系。 运筹学是一门多分支的应用学科，随着新的系统问题的不断出现，运筹学的有关分支也在不断的发展，内容在不断充实和扩大。其主要分支有：