《运筹学》
教案
授课专业：信息管理、工程管理
任课教师：黄健
南通大学商学院
2007．2
教案用纸
第 1 次课 3 学时
上次课复习：
无
一、本次课题（或教材章节题目）：
绪论
1、运筹学的性质和特点
2、运筹学的模型与工作步骤
3、运筹学的应用与展望
教学要求： 1、了解运筹学的性质和特
点、运筹学的应用与展望
2、运筹学的模型与工作步骤
重点：运筹学工作步骤
难点：无
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、运筹学的性质和特点
2、运筹学的模型与工作步骤
3、运筹学的应用与展望
课后作业无
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注：本页为每次课教案首页
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第 2 次课 3 学时
上次课复习：
运筹学的学科性质和发展概况
运筹学的模型与工作步骤
本次课题（或教材章节题目）：
二、线性规划与目标规划
第一章线性规划及单纯形法
1、线性规划问题及其数学模型
教学要求：
1、通过实际问题引入线性规划模型，初步掌握建立线性规划模型的方法；
2、通过图解法直观地理解线性规划解的状态和线性规划的基本性质；
3、熟练掌握线性规划问题的标准化方法；
4、理解基、基解，基可行解的概念。重点：线性规划问题及其数学模型、标
准形式
难点：线性规划问题及其数学模型、线
性规划问题解的概念
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、线性规划模型的建立
2、线性规划问题的图解法
3、线性规划问题的标准形式
4、线性规划问题解的概念
课后作业P44： 1.1、1.2、1.3、1.10
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第 3 次课 3 学时
上次课复习：
1、线性规划模型的建立
2、线性规划问题的图解法
3、线性规划问题的标准形式
4、线性规划问题解的概念
本次课题（或教材章节题目）：
2、线性规划问题的几何意义
3、单纯形法
4、单纯形法的计算步骤
教学要求：
1、了解线性规划问题的几何意义和基本
性质
2、理解单纯形法的理论基础，熟练掌握可行条件和优化条件；
3、熟练掌握单纯形法的计算步骤
重点：可行条件与优化条件。应用单纯形法求解线性规划问题的基本过程和方法。
难点：单纯形表的构造
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、线性规划问题的几何意义与性质
2、线性规划问题的代数迭代法
3、单纯形法的理论基础
4、单纯形法的计算步骤
课后作业P44：1.4
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第 4 次课 3 学时
上次课复习：
1、单纯形法的计算步骤
2、单纯形表的构造
本次课题（或教材章节题目）：
5、单纯形法的进一步讨论
6、线性规划问题的应用举例
教学要求：
1、熟练掌握线性规划问题的大M法、两阶段
法
2、熟练掌握线性规划问题单纯形解法的退化
3、基本掌握线性规划问题的应用；
重点：线性规划问题单纯形解法的退化、求初
始可行基的人工变量法（大M法、两阶段
法）。
难点：人工变量的引入
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、线性规划问题的大M法
2、线性规划问题的两阶段法
3、线性规划问题单纯形解法的退化
课后作业P44：1.6、1.7
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第 5 次课 3 学时
上次课复习：
1、线性规划问题的人工变量法
2、线性规划问题单纯形解法的退化
本次课题（或教材章节题目）：
第二章对偶理论与灵敏度分析
1、单纯形法的矩阵描述
2、改进的单纯形法
3、对偶问题的提出
4、线性规划的对偶理论
教学要求：
1、了解单纯形法的矩阵描述
2、理解单纯形解法的改进形式
3、通过实际问题引入对偶问题的概念，熟练掌握求解对偶问题的方法；
4、应用对偶理论分析原问题与对偶问题解间的关系，单纯形表的构造；
重点：对偶问题的概念，原问题与对偶问题解间的关系，单纯形表的构造的再研究。
难点：单纯形法的矩阵描述、单纯形表构造的深入理解
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、单纯形法的矩阵描述
2、改进的单纯形法
3、对偶问题的提出
4、对偶关系
5、对偶问题的性质
课后作业P74：2.3、2.4
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第 6 次课 3 学时
上次课复习：
1、对偶关系
2、对偶问题的性质
本次课题（或教材章节题目）：
1、对偶问题的经济解释——影子价格
2、对偶单纯形法
3、灵敏度分析
教学要求：
1、通过实际问题，理解影子价格的经济含义，并
用其分析一些实际问题；
2、熟练掌握对偶单纯形解法
3、了解灵敏度分析方法，并用其解决一些
实际问题；
重点：对偶单纯形法。
难点：对偶单纯形法、灵敏度分析。
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、对偶问题的经济解释——影子价格
2、对偶单纯形法的解题步骤
3、常见的几种灵敏度分析问题
课后作业P74：2.8、2.9
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第 7 次课 3 学时
上次课复习：
1、对偶问题的经济解释——影子价格
2、对偶单纯形法的解题步骤
本次课题（或教材章节题目）：
第三章运输问题
1、运输问题的数学模型
2、表上作业法
3、产销不平衡的运输问题及其求解方法
4、应用举例
教学要求：
1、运输问题模型，掌握表上作业法
2、建立数学模型的基本过程和方法，通过案例研究，提高建模能力；
重点：运输问题模型，表上作业法，案例研究。
难点：运输问题的数学建模、表上作业法的计算步骤。
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、运输问题的数学建模
2、确定初始基可行解的三种方法
3、两种最优判别的方法
4、运输方案的调整
5、产销不平衡的运输问题及其求解方法
6、应用举例
课后作业P98：3.3
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第 8 次课 3 学时
上次课复习：
1、运输问题的数学建模；
2、表上作业法的计算步骤。
本次课题（或教材章节题目）：
第四章整数规划
1、整数规划问题的提出
2、分枝定界解法
3、割平面解法
4、 0-1型整数规划
5、指派问题
教学要求：
1、理解整数规划模型背景，理解整数规划与线性规划的关系与区别；
2、掌握建立整数规划模型的方法；
3、掌握整数规划的分枝定界法；
4、了解整数规划的割平面法；
5、了解0-1型整数规划的隐枚举法、指派问题的匈牙利界法。
重点：分枝定界法的基本原理，应用0-1变量建立数学模型，匈牙利解法。
难点：分枝定界法、割平面法、应用0-1变量建立数学模型。
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、整数规划的概念
2、整数规划的分枝定界法
3、整数规划的割平面法
4、0-1型整数规划
5、指派问题
课后作业P131：5.1、5.2、5.3、5.6
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第 9 次课 3 学时
上次课复习：
1、分枝定界解法的应用；
2、0-1型整数规划。
本次课题（或教材章节题目）：
第五章动态规划的基本解法
1、多阶段决策过程及实例
2、动态规划的基本概念和基本方程
3、动态规划的最优性原理和最优性定理
4、动态规划与静态规划的关系。
教学要求：
1、理解多阶段决策问题及其相关的基本概
念，了解建立动态规划模型的基本方法与过
程；
2、熟练掌握动态规划的逆序解法，理解顺
序解法；
重点：建立动态规划模型的基本方法，逆序
解法的基本过程
难点：动态规划模型的结构和建模方法。
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、多阶段决策问题。
2、动态规划的基本原理
3、逆序与顺序解法
课后作业P211：8.2、8.5
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第 10 次课 3 学时
上次课复习：
1、动态规划的基本原理
2、逆序与顺序解法
本次课题（或教材章节题目）：
第六章动态规划应用举例
1、资源分配问题
2、生产与存储问题
6、设备更新问题
教学要求：
1、熟练掌握资源分配问题的建模方法，熟
练掌握一维资源分配问题的求解方法，了解
二维资源分配问题的求解过程；
2、了解生产与存贮问题，设备更新问题的
建模方法和求解方法。
重点：一维资源分配问题，设备更新问题。
难点：一维资源分配问题的求解方法。
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、资源分配问题
2、生产与存贮问题
3、设备更新问题
课后作业P245：9.1、9.2
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第 11 次课 3 学时
上次课复习：
1、一维资源分配问题的求解方法
本次课题（或教材章节题目）：
复习课
教学要求：
复习第一~六章
重点：/
难点：/
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
第一~六章作业题
课后作业复习第一~六章
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第 12 次课 3 学时
上次课复习：
1、一维资源分配问题的求解方法
本次课题（或教材章节题目）：
第七章图与网络分析
1、图的基本概念
2、树
教学要求：
1、介绍图与网络的基本知识，掌握相应的基本概念；
2、通过实际问题引入树、支撑树、最小支撑树，并会求解这些问题。
重点：图的相关概念，最小支撑树问题
难点：图的相关概念，求最小支撑树的方法。教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、图的基本概念
2、树
3、支撑树
4、最小支撑树
课后作业P281：10.3、10.4
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第 13 次课 3 学时
上次课复习：
1、最小支撑树。
本次课题（或教材章节题目）：
3、最短路问题
4、网络最大流问题
5、最小费用最大流问题
6、中国邮递员问题
教学要求：
1、熟练掌握最短路问题的求解方法
2、熟练掌握最大流问题的求解方法
3、掌握求解上述问题的理论基础和方法；
了解最小费用最大流问题，中国邮递员问
题。
重点：最短路问题，最大流问题
难点：最短路问题，最大流问题的计算步骤。
教学手段及教具：讲授
讲授内容：
1、最短路问题的Dijkstra解法
2、最大流问题的标号法
3、最小费用最大流问题
4、中国邮递员问题
课后作业P282：10.6、10.7、1.12、10.13
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第 14 次课 3 学时
上次课复习：
1、最短路问题的Dijkstra解法
2、最大流问题的标号法
本次课题（或教材章节题目）：
第八章网络计划与图解评审法
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 ? §1 单纯形表的灵敏度分析 ? §2 线性规划的对偶问题 ? §3 对偶规划的基本性质 ? §4 对偶单纯形法 §1 单纯形表的灵敏度分析 一、目标函数中变量C k 系数灵敏度分析 1. 在最终的单纯形表里，X k 是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与C k 没有任何关系，所以当C k 变成C k +ΔC k 时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为X k 是非基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即C B 不变，可知Z k 也不变，只是C k 变成了C k +ΔC k 。这时δK = C k -Z k 就变成了C k +ΔC k - Z k =δK +Δ C k 。要使原来的最优解仍为最优解，只要δK + ΔC k ≤0即可，也就是C k 的增量ΔC k ≤— δK 。 2. 在最终的单纯形表中， X k 是基变量 当C k 变成C k + ΔC k 时，最终单纯形表中约束方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系数C B 变了，则Z J (J=1,2,…,N)一般也变了，不妨设C B =(C B1, C B2…, C k ,…，C Bm )，当C B 变成=(C B1, C B2…,C k + ΔC k ,…,C Bm )，则： Z J =(C B1, C B2…, C k ,…，C Bm )(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj ) Z’J =(C B1, C B2…, C k +ΔC k ,…，C Bm )(a’1j , a’2j ,…, a’Kj ,…, a’mj ) T = Z J + ΔC k a’Kj 根据上式可知 检验数δJ (J=1,2,…..,M)变成了δ’J ，有δ’ J =C J -Z’J =δJ +ΔC K a’Kj 。要使最优解不变，只要当J ≠K 时，δ’J <=0 ?? ? ? ??????>-≤≤??????????<--≥-≤ ===?--+=-+==≤--≥ <≥--≤>-≤≤+0a'a'δMin ΔC 0a'a'δMax ΔC a' δ ΔC a'0a'δΔC a' 0a'0δ'1a'0δX ,a'ΔC Z ΔC C 'Z ΔC C δ'k j ; 0a'δ,a'δΔC ,0a';0a'δ,a'δΔC ,0a'δa'ΔC 0,a'ΔC δkj kj j k kj kj j k kj j k kj kj j k kj kk k kk k K kk k k k k k k k k kj j kj j k kj kj j kj j k kj j kj k kj k j 的变化范围为 ，所以可知满足的，所有小于，满足的以外的所有大于于除了要使得最优解不变，对。 ，可知，知是基变量， 因为时，当这里 时当这里时当
小学六年级奥数教案—29运筹学初步三 本教程共30讲 运筹学初步（三） 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。 1.统筹安排问题 例1星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？ 分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。 例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。 2.排队问题 例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？ 分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。甲给
需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。 甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。总的占用时间为 （10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。 按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了 10＋15＋24＝49（分）。如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全部理完所用时间为 10＋12＋20＝42（分）。 例3车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。现有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？ 分析与解：因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），经过组合，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟。 上面只考虑修复时间，没考虑经济损失，要使经济损失少，就要使总停产时间尽量短，显然应先修理修复时间短的。第一人按需17，18，20分钟的顺序修理，第2人按需25，30分钟的顺序修理，经济损失为 5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］=935（元）。 3.最短路线问题 例4 右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。小明从A到B最快要几分钟？ 分析与解：我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。
获得北京市高校第五届青年教师教学基本功比赛最佳教案奖北京高校第五届 青年教师教学基本功比赛 参赛教案 类别A组理工类 任课教师岳瑞锋
北京高校第五届 青年教师教学基本功比赛 参赛教案 课程名称运筹学 授课章节第六章图论§1 图的基本概念授课对象非数学专业本科二年级 授课时间50分钟 任课教师岳瑞锋
1．【教学目标】 1)知识层面：通过七桥问题掌握欧拉定理，并利用中国邮路问题理解欧拉 定理在解决实际问题中的作用。掌握关于图的一些基本概念和结论。 2)能力层面：通过解决七桥问题和中国邮路问题，培养学生将实际问题加 以抽象，建立一般模型的能力。学习利用数学知识，分析和解决模型， 并最终回到实际问题。 3)认知层面：体会图论中对图的讨论和传统几何学的不同之处，认识到对 图的这种分析角度打开了一个新的视野。 2．【教学内容】 1)七桥问题与欧拉定理。 2)中国邮路问题的解法。 3)图的基本概念和结论。 3．【教学重点与难点】 1)教学重点：欧拉定理，中国邮路问题，图的有关概念。 处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。 2)教学难点：中国邮路问题算法过程；关于图的三个定理。 处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问 方式，随堂检验学生掌握程度。 4．【教材分析】 图与网络分析是运筹学的重要内容之一。它以图为研究对象。图论中的图指的是一些点以及连接这些点的线的总体。通常用点代表事物，用连接两点的线代表事物间的关系。图论是研究事物对象在上述表示法中具有的特征
与性质的学科。图论的研究发源于18世纪普鲁士的柯尼斯堡。从19世纪中叶开始，图论问题大量出现。比如哈密顿问题、四色问题以及与之相关联的图的可平面性问题等。1936年D.柯尼希发表了图论的第一本专著《有限与无限图理论》，这时图论才成为一门学科。近代以来，由于生产管理、军事、交通运输和计算机网络等方面出现了大量实际问题，特别是许多离散化问题的出现，以及由于大型高速电子计算机而使许多大规模问题求解成为可能，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。尤其是图论与线性规划、动态规划等优化理论和方法的互相渗透，促使和丰富了图论的内容和应用。 本次课是图论的第一节内容。由于图论直接从现实问题入手，经过抽象构建一般理论。对学生而言，除了比较基础的线性代数知识外，对其他分支的数学内容要求不高。但由于图论中对图的分析视角完全不同于传统几何学，从认知水平上，属于全新的认识角度。为了构建这门学科体系，学习图论之初要涉及大量的概念和定义，这将使得本来生动活泼的图论显得枯燥乏味。为了能够引起学生的学习兴趣，可从图论上的一些经典的问题入手，在此基础上，逐步引入重要的概念和结论，为后续的有关图的一些算法做准备。例如用七桥问题和中国邮路问题引入课程内容，逐步引导学生从实际问题中抽象出一般的图，并体会如何通过对图的讨论来解决现实问题。 本部分内容一方面具有较为直观的意义，另一方面，如果上升为数学上的一般结论，又不得不借助于大量的符号语言和逻辑推理。在教学过程中，应恰当处理借助图形直观含义和严密的数学推理之间的关系。既要引导学生从直观上发现问题的实质，也要注意对某些关键的结论进行缜密的逻辑推理。例如欧拉定理和中国邮路问题的算法过程的直观意义相当明显，但要进行数
第二部分 组合最优化 结构：5章 图论基本概念、通过最短路问题引出动态规划 6章 统筹问题为最优路问题的另一个分支 7章 支撑树，匹配，流和图的最优化问题 软件：Mathematica 和LINDO 第5章 最短路问题与动态规划 §5.1 图及其基本概念 §5.1.1 图及其图形 定义5.1 图G 是一个有序的三元组),,(G E V ?，V=V(G)，E=E(G)是两不交的非空集合，G ?是关联函数，即它使得E 中的每个元素e 对应V 中的无序对),(V v u uv ∈，记作.)(uv e G =? 图论：是研究各种特定关系的一门学问。 E 的元素叫边，V 的元素叫顶点，关系：边e 连接顶点uv ，这样的图简记为),(E V G G =，甚至G 对于一个图，画出来叫G 的一个图形。 画图原则：简洁、匀称、尽量用直线或简单的弧段表示边。 §5.1.2 软件 §5.1.3 基本概念 关联、相邻顶点、环、重边 V ,E 的基数：E V , 简单图：无环无重边 真子图：G H G H ≠?, 支撑子图：(或生成子图) )()(G V H V = 底图：简单的支撑子图（删去重边） 导出子图：G 关于V '的导出子图 顶点v 的度（次）:G 中与v 关联的边的数目记作)(v d ，一条边给两定点各贡 献1度，环对它的顶点贡献2度。
定理5.1 （图G 的顶点度数与边的基数的关系）设图G 有n=V 个顶点和E 条边，则有 {}.2)()()(1:)(21E v d v d v d V i v d n i =++=≤≤∑ 定理5.2 在任何图中，奇（度）顶点有偶数个（因为总度数是E 2） 路：边、顶点、边的有序组合 路的表示：边法或顶点法 即：.,,,121j j i i i i v v v v - 或.,,,121j j i i i i e e e e - 路是简单的：路中无相同的边和定点，即不重复边也不重复顶点。否则叫迹 回路：首项和末项重合的迹 圈：简单的回路。 连通图：任何两点间都有路相连。 无向图、有向边、有向图、混合图、赋权图（边含权） §5.2 最短路问题 §5.2.1 组合最优化与最短路问题的定义 赋权有向图中路的长度：权的总和 最短路问题：在赋权有向图中，从指定的始点到终点中的诸路中，求最 短路和它的值。 组合最优化：在给定有限集的所以具备某些特征的子集中，按某种目标 找出一个最优的子集的一类数学规则。 实例：最短路问题 §5.2.2 最短路的基本性质 路P 与路Q ：相离的(除起、终点不再有重合顶点)、相重的（顶点边重合） 定理5.3 设路的长度等于路上诸边的权之和， 最短路的任何一个子路是最短的。 路上任何两个顶点之间的子路统称为节。 定理5.4 设设路的长度等于路上诸边的权之和， 最短路的任何一个节（前节、后节）都是最短的。
1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 ?? ???≤≤≤≤≤++=8 3105120106max 21212 1x x x x x x z 2.将下述线性规划问题化成标准形式。 （1）?????? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 4,03,2,12321422245243min 43214 32143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 解：令z z -='，' '4' 44x x x -= ???????≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,23214 2222455243'max 6 5''4'43216' '4'43215' '4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z 3.分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应
图解法中的可行域的哪个顶点。 ??? ??≥≤+≤++=0,825943510max 2 121212 1x x x x x x x x z 解：①图解法： ②单纯形法：将原问题标准化： ??? ??≥=++ =+++=0,,,825943510max 4 32142 13 212 1x x x x x x x x x x x x z C j 10 5 0 0 θ 对应图解法中的点 C B B b x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 3 9 3 4 1 0 3 O 点 0 x 4 8 [5] 2 0 1 8/5 σj 0 10 5 0 0 0 x 3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 3/2 C 点 10 x 1 8/5 1 2/5 0 1/5 4 σj -16 0 1 0 -2 5 x 2 3/2 0 1 5/14 -3/14 B 点 10 x 1 1 1 0 -1/7 2/7 σj 35/2 -5/14 -25/14 最优解为（1,3/2,0,0），最优值Z=35/2。
第三节使用Excel求解线性规划问题 利用单纯形法手工计算线性规划问题是很麻烦的。office软件是一目前常用的软件，我们可以利用office软件中的Excel工作表来求解本书中的所有线性规划问题。对于大型线性规划问题，需要应用专业软件，如Matlab，Lindo，lingo等，这些软件的使用这里我们不作介绍，有需要的，自己阅读有关文献资料。 用Excel工作表求解线性规划问题，我们需要先设计一个工作表，将线性规划问题中的有关数据填入该工作表中。所需的工作表可按下列步骤操作： 步骤1 确定目标函数系数存放单元格，并在这些单元格中输入目标函数系数。 步骤2 确定决策变量存放单元格，并任意输入一组数据。 步骤3 确定约束条件中左端项系数存放单元格，并输入约束条件左端项系数。 步骤4 在约束条件左端项系数存放单元格右边的单元格中输入约束条件左端项的计算公式，计算出约束条件左端项对应于目前决策变量的函数值。 步骤5 在步骤4的数据右边输入约束条件中右端项（即常数项）。 步骤6 确定目标函数值存放单元格，并在该单元格中输入目标函数值的计算公式。 例建立如下线性规划问题的Excell工作表： 12 12 12 12 12 max150210 23100 34120 .. 55150 ,0 z x x x x x x s t x x x x =+ +≤ ? ?+≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? 解：下表是按照上述步骤建立的线性规划问题的Excell工作表。 其中： D4=B2*B4+C2*C4, D5=B2*B5+C2*C5 , D6=B2*B6+C2*C6, C7= B2*B1+C2*C1 。 建立了Excel工作表后，就可以利用其中的规划求解功能求相应的线性规划问题的解。求解步骤如下： 步骤1单击[工具]菜单中的[规划求解]命令。 步骤2 弹出[规划求解参数]对话框，在其中输入参数。置目标单元格文本框中输入目标单元格；[等于]框架中选中[最大值＼最小值］单选按钮。 步骤3 设置可变单元格区域，按Ctrl键，用鼠标进行选取，或在每选一个连续区域后，在其后输入逗号“，”。 步骤4 单击[约束］框架中的[添加]按钮。 步骤5 在弹出的[添加约束]对话框个输入约束条件． 步骤6 单击[添加]按钮、完成一个约束条件的添加。重复第5步，直到添加完所有条件 步骤7 单击[确定]按钮，返回到[规划求解参数]对话框，完成条件输入的[规划
§3.3 变更技术参数或利润率的问题 §3.3.1 变更技术参数 例 3.1 某车间可以用塑料生产以下三种管状产品，数据如下 max z = 3 3221332x x x ++ s.t.?? ? ??≥≤++≤++0,,40574135 321321321x x x x x x x x x 基本计算公式的矩阵形式 ???? ? ???????????? ???--=??????????2103131 3134 3 13 52101ⅠⅠⅠⅢⅢⅢ （1.8） 例3.3 在例3.1中引进新工艺 ⑴ 丙产品每m 用工时数从7降到2 16 ⑵ 甲产品每m 用工时数从1减到54 问如何组织生产使总利润最大？ 解⑴ 原丙数据 7,1,3 11 现在变为2 13 311,1, 因此 检验数为3p （Ⅲ0 ）=3p （Ⅰ0）+353p （Ⅰ1）+313p （Ⅰ2 ）=61 检验数为正，说明虽然有了新工艺，但丙还是不能投入生产。 ⑵ 本来甲是投入生产的，但新工艺是否使得它可以投入生产？ 按表3.2框Ⅲ，新工艺的甲的决策变量即为1p
它在框Ⅲ中的相应的向量 ??????????--=??????????-??????????--=????????????????? ???--=??????????11516151 411 31343 13 521110111 3134 313 5211101121)()()(1)()()(ⅠⅠⅠⅢⅢⅢp p p p p p )(01Ⅲp =1 -，为负，说明新工艺的甲应该投入生产 见表：1p 替换1x 1p =16 342，2x =161392，3x =1s =2s =0，最大值z = 163 362 答案：)(i 最优结构不变，继续乙，并用新工艺生产甲产品.
运筹学应用案例及分析教案 教案：运筹学应用案例及分析 一、教学目标 1. 了解运筹学的基本概念及应用领域。 2. 熟悉运筹学在实际生活中的应用案例。 3. 学会运筹学应用案例的分析方法。 二、教学内容 1. 运筹学的基本概念和应用领域介绍。 2. 运筹学应用案例分析。 三、教学过程 1. 运筹学的基本概念和应用领域介绍（15分钟） a. 运筹学的定义和发展历史。 b. 运筹学的应用领域，如生产与运作管理、供应链管理、物流管理等。 2. 运筹学应用案例分析（60分钟） a. 案例一：生产调度问题 - 案例描述：某家工厂生产两种产品A和B，每种产品均有不同的生产时间和利润。工厂每天有固定的生产时间和资源限制，如何安排生产计划以最大化利润？
- 分析方法：建立数学模型，使用线性规划或整数规划方法求解最优解。 b. 案例二：货物配送问题 - 案例描述：某物流公司需要将货物从多个发货点配送到多个收货点，每个发货点和收货点之间有不同的距离和货物数量要求，如何安排货物配送路线以最小化总距离和运费？ - 分析方法：建立网络模型，使用最短路径算法或分支定界法求解最优解。 c. 案例三：库存管理问题 - 案例描述：某零售店需要管理多种商品的库存，每种商品有不同的销售量和订货时间。如何决定每种商品的订货量和订货时间以最大化店铺利润？ - 分析方法：建立库存模型，使用动态规划或蒙特卡洛模拟方法求解最优解。 3. 案例分析讨论（15分钟） a. 学生针对每个案例给出自己的分析思路和解决方案。 b. 教师带领学生讨论案例的不同解决方法和优缺点。 四、教学总结（10分钟） a. 总结运筹学在不同领域中的应用案例和分析方法。 b. 强调学生通过案例分析能够锻炼问题解决能力和数学建模能力。
一、线性规划：基本概念 1、下面的表格总结了两种产品A 和B 的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S ： 满足所有线性规划假设。 （1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 5、普里默（Primo ）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。每单位特殊风险保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。 管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。工作的要求如下： （1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。 （2）用代数形式建立相同的模型。 8、拉尔夫·艾德蒙（Ralph Edmund ）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。他获得了以下营养和成本的信息： 拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。 （1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。 （2）用代数形式建立相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 二、线性规划的what-if 分析 1、G.A.T 公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B ）是有限的。每一玩具需要两个A 类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。同时，每一玩具需要一个B 类 资源 每单位产品资源使用量 可用资源 产品A 产品B Q R S 2 1 3 1 2 3 2 2 4 利润/单位 3000美元 2000美元 部门 每单位工时 可使用工时 特殊风险 抵押 承保 管理 索赔 3 0 2 2 1 0 2400 800 1200 成分 每份各种成分的克数 每天需要量（克） 牛排 土豆 碳水化合物 蛋白质 脂肪 5 20 15 15 5 2 ≥50 ≥40 ≤60 每份成本 4美元 2美元
《运筹学》 教案 授课专业：信息管理、工程管理 任课教师：黄健 南通大学商学院 2007．2 教案用纸 第 1 次课 3 学时 上次课复习： 无
一、本次课题（或教材章节题目）： 绪论 1、运筹学的性质和特点 2、运筹学的模型与工作步骤 3、运筹学的应用与展望 教学要求： 1、了解运筹学的性质和特 点、运筹学的应用与展望 2、运筹学的模型与工作步骤 重点：运筹学工作步骤 难点：无 教学手段及教具：讲授 讲授内容： 1、运筹学的性质和特点 2、运筹学的模型与工作步骤 3、运筹学的应用与展望 课后作业无 同济大学出版社：运筹学教程参考资料 高等教育出版社：管理运筹学
注：本页为每次课教案首页 教案用纸 第 2 次课 3 学时 上次课复习： 运筹学的学科性质和发展概况 运筹学的模型与工作步骤 本次课题（或教材章节题目）： 二、线性规划与目标规划 第一章线性规划及单纯形法 1、线性规划问题及其数学模型 教学要求： 1、通过实际问题引入线性规划模型，初步掌握建立线性规划模型的方法； 2、通过图解法直观地理解线性规划解的状态和线性规划的基本性质； 3、熟练掌握线性规划问题的标准化方法； 4、理解基、基解，基可行解的概念。重点：线性规划问题及其数学模型、标
准形式 难点：线性规划问题及其数学模型、线 性规划问题解的概念 教学手段及教具：讲授 讲授内容： 1、线性规划模型的建立 2、线性规划问题的图解法 3、线性规划问题的标准形式 4、线性规划问题解的概念 课后作业P44： 1.1、1.2、1.3、1.10 同济大学出版社：运筹学教程参考资料 高等教育出版社：管理运筹学 注：本页为每次课教案首页 教案用纸 第 3 次课 3 学时 上次课复习： 1、线性规划模型的建立
贵州工程应用技术学院 理学院 运筹学授课教案 学期：2017－2018学年第二学期 运筹学 课程名称： 运筹学基础及应用（第六版）胡运权编所用教材： 16信管、15数学 班级： 聂登国 任课教师： 理学院 所在部门： 应用数学教研室 教研室：
《绪论》（2课时） 【教学流程图】 运筹学 运筹学与数学模型的基本概念管理学 布置作业 【教学方法】 本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法，过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。 【教学内容】 一、教学过程： （一）举例引入：（5分钟） （1）齐王赛马的故事 （2）两个囚犯的故事
导入提问：什么叫运筹学？ （二）新课： 绪论 一、运筹学的基本概念 （用实例引入） 例1-1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者。当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。但孙膑给田忌出主意，可使田忌反输为赢。试问：如果双方都不对自己的策略保密，当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢？ 例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯，若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。求双方的最优策略。 乙囚犯 抵赖坦白 甲囚犯抵赖-1，-1 -10，0 坦白0，-10 -8，-8 定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。 二、学习运筹学的方法
一、生产计划问题 例：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备每月可利用的时数如下表所示，求使总利润最大的月度生产计划。
建模思路 ■用线性规划制订使总利润最大的生产计划。 ■设变量X1为第i种产品的生产件数(i=1, 2, 3, 4),目标函数z为相应的生产计划可以获得的总利润。在加工时间以及利润与产品产量成线性关系 的假设下，可以建立如下的线性规划模型： 建模 max z= 5.24X1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4 目标函数 1.5Xj +1.0x2+ 2.4X3+1.0X4<2000 LOX1 +5.0X2+1.0X3+3.5X4<8000 约束条件 1・5X] +3.0X2+3.5X3+1.0X4<5000 Xp X2, X3, X4 >0 变量非负约束
练习：某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？ 甲 .乙丙资源限制铸造工时（小时/件）51078000机加工工时（小时/件）64812000 装配工时（小时/件）32210000 自产铸件成本（兀/件）354 外协铸件成本（兀/件）56一 机加工成本（元/件）213 装配成本（元/件）322 产品售价（元/件）231816 解：设孙孙寺分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，同，幅分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求占的利润：利润二售价-各成本之和产品甲全部自制的利润 产品甲铸造外协，其余自制的利润 产品乙全部自制的利润 产品乙铸造外协，其余自制的利润产品丙的利润可得到毛（i = 1,2, 3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9=23-（3+2+3）=15 =23-（5+2+3）=13 =18-（5+1+2）=10 =18-（6+1+2）=9 =16-（4+3+2）=7
第八单元数学广角—优化 教材分析 本单元通过对生动有趣的生活事例及古代故事的分析，让学生从数学的角度经历在多种解决问题的方案中寻求最优方案的过程，初步体会运筹策略及其在解决问题中的应用，进而理解优化的数学思想，感悟优化思想在解决问题的策略中所发挥的重要作用。 本单元具体内容安排如下： 1．沏茶问题。（例1） 2．烙饼问题。（例2） 3.“田忌赛马”问题。（例3） 教学目标 1．通过简单的生活事例，使学生初步体会运筹学在解决实际问题中的作用。 2．让学生经历自主探究的过程，体验解决问题策略的多样性，并在寻求解决问题最优方案的过程中积累数学的基本活动经验，感悟优化的数学思想。 3．凸显数学与生活的紧密联系，使学生初步形成从数学的角度发现、提出问题的能力以及分析、解决问题的能力，增强应用意识和实践能力。 教学建议 本单元教学难点在于如何让学生在具体问题的解决中感悟抽象的数学思想。解决这个难点的关键就是将“做”与“思”有机结合，循序渐进，发展学生的抽象能力和推理能力。一方面，为学生营造实践感悟的时空，实践中体验解决问题的多种策略，比较中寻求最优策略，体验中感悟优化思想，避免只有直观没有抽象，或直接阐述数学思想而疏漏体验感悟的过程。另一方面可利用图表将外化的“做”浓缩为内隐的“思”，在动手操作中提升思维活动，将行为的感知升华为理性的思维认知，使学生发展思维能力的同时理解抽象的数学思想。 课时安排 3课时。
教案A 第1课时 教学内容 沏茶问题：教材第104页例1及相关内容。 教学目标 1．结合具体情境，让学生初步感受统筹思想在日常生活中的应用，尝试用统筹的方法来解决实际问题。 2．通过对生活优化问题的合作探究，感悟合理、快捷解决问题的方法，渗透数学优化思想。 3．让学生体会通过合理安排，可以节省时间，提高效率，逐渐养成合理安排时间的良好习惯。 教学重点 使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的良好意识。 教学难点 通过教学使学生初步学会合理安排生活、学习中的事情。 教学过程 一、导入新课 1．谈话。 师：同学们的语文一直非常棒，给大家上的是数学课，今天老师在上数学课之前想考一考你们的语文知识怎么样。 师：你能用“一边（干什么）一边（干什么）”说一句话吗？ 板书：一边（）一边（） 师：刚才同学们在造句中说的一边干什么，一边干什么都是同时做几件事（引出“同时”），不仅在语文中有这样的表述，在今天的数学课里也有关于这方面的知识。我们今天就一起来研究。 二、新课教学 出示教材第104页例1情境图。 星期天上午，小明家的门铃响了。谁来了？原来是李阿姨来做客，从图上你看到了什么？谁来说给大家听听？ 思考：从图上你了解到了什么？妈妈让小明干什么？小明想什么？尽快是什么意思？
运筹学概念部分 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据. 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件,它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术,并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境. 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程. 11。运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型,并对模型求解。 13用运筹学解决问题时,要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中,“s·t”表示约束（subject to 的缩写)。 16．建立数学模型时,需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素,不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动. 18。 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量B．销售价格C．顾客的需求 D．竞争价格 20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。 A．观察B．应用C．实验D．调查 21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境B．数据分析C．模型设计D．模型实施 22。建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的(B ） A数量B变量C约束条件 D 目标函数 23。模型中要求变量取值（ D ） A可正 B可负 C非正 D非负 24。运筹学研究和解决问题的效果具有(A ）
《运筹学Ⅰ》教案 课程名称：运筹学 授课教师：孔造杰 课程学时：64 开课时间：第三学年第一学期 授课方式：课堂教学为主，实验教学为辅 2011年1月
时间安排：周学时4，共16周，总学时64， 授课方式：课堂教学与实验教学结合，以课堂教学为。初步安排课堂教学52学时左右，实验教学8-10学时，实验课以上机为主，辅以习题课。 时 间：第一周第一次 授课方式：课堂教学 教学内容： 一、绪论 1． 运筹学的起源与发展：•起源于二次大战的一门边缘交叉学科•由于战争的需要而 产生与发展；战后在经济、管理和机关学校及科研单位继续研究；我国于1982年加入IFORS ，并于1999年8月组织了第15届大会。 2． 运筹学的特点及研究对象：运筹学是一门边缘性的、综合性的应用科学。它是以应 用数学为主要技术手段，综合应用经济、军事、心理学、社会学、物理学、化学以及工农业生产的一些理论和方法，对实际问题找出最优的或满意的解决方案的一门科学。 3． 运筹学解决问题的方法步骤：•明确问题•建立模型•设计算法•整理数据•求解模型• 评价结果•实施控制 4． 运筹学的主要内容 5． 运筹学的主要应用领域 二、第一章：线性规划基础——§1-1问题的提出，§1-2LP 模型与解的概念 1． 问题的提出：从两个生产与经济问题的实例出发，引导学生认识实际问题同数学模 型之间的联系，认识规划模型同一般的数学方程、数学函数之间的区别，认识用数学方法解决实际问题的基本思维模式和方法途径。 2． 线性规划的一般数学模型：掌握线性规划的构成形式及要素：决策变量、约束条件、 目标函数。 线性规划的一般模型为： 目标函数：n n x c x c x c z +++=Λ2211m ax (m in) 约束条件：s.t. 11212111),(b x a x a x a n n =≥≤+++Λ 22222121),(b x a x a x a n n =≥≤+++Λ M M M m n mn m m b x a x a x a ),(2211=≥≤+++Λ 0,,,21≥n x x x Λ 3．线性规划解的概念：可行解——满足所有约束条件包括非负条件的解；最优解—— 使目标函数①达到最大值的可行解；基；基本解——非零分量的数目不大于方程数m ，则称X 为基本解；基本可行解——满足非负条件的基本解；可行基——对应于基本可行解的基。
第一章线性规划与单纯形法 1、教学计划第 1 次课 2 学时 第 2 次课 2 学时
第 3 次课 2 学时 2、课件 1.1线性规划问题及其数学模型 线性规划模型的建立就是将现实问题用数学的语言表达出来。 例1：某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，每单位产品生产所需的设备、材料消耗及其利润如下表所示。问应如何安排生产计划使工厂获利最多？ 解：设生产产品Ⅰ、Ⅱ的数量分别为1x 和2x 。 首先，我们的目标是要获得最大利润，即 2132m ax x x z += 其次，该生产计划受到一系列现实条件的约束， 设备台时约束：生产所用的设备台时不得超过所拥有的设备台时，即
8221≤+x x 原材料约束：生产所用的两种原材料A 、B 不得超过所用有的原材料总数，即 1641≤x 1242≤x 非负约束：生产的产品数必然为非负的，即 0,21≥x x 由此可得该问题的数学规划模型： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≤≤≤++=0 ,1241648232max 21212121x x x x x x x x z 总结： 线性规划的一般建模步骤如下： （1）确定决策变量 确定决策变量就是将问题中的未知量用变量来表示，如例1中的1x 和2x 。确定决策变量是建立数学规划模型的关键所在。 （2）确定目标函数 确定目标函数就是将问题所追求的目标用决策变量的函数表示出来。 （3）确定约束条件 将现实的约束用数学公式表示出来。 线性规划数学模型的特点 （1）有一个追求的目标，该目标可表示为一组变量的线性函数，根据问题的不同，追求的目标可以是最大化，也可以是最小化。 （2）问题中的约束条件表示现实的限制，可以用线性等式或不等式表示。 （3）问题用一组决策变量表示一种方案，一般说来，问题有多种不同的备选方案，线性规划模型正式要在这众多的方案中找到最优的决策方案（使目标函数最大或最小），从选择方案的角度看，这是规划问题，从目标函数最大或最小的角度看，这是最优化问题。 1.2 线性规划问题的标准形式 根据问题的性质，线性规划有多种形式，目标函数有要求最大化的，也有要求最小化的；约束条件可以是“ ≤”或“≥” 的不等式，也可以是“=”；虽然决策变量一般是非负的，但也可是无约束的，即，可以在),(∞+-∞取值。为了分析问题的简化，一般规定如下的标准形式：