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多项式的最大公因式

4.4 多项式的最大公因式

授课题目：4.4多项式的最大公因式

教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质

授课时数：4学时

教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质

教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法

教学过程：

一、多项式的最大公因式的定义

1、定义（公因式与最大公因式）

定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。

因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。

定义2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。

2.几个直接的结果

1）)()(|)(x g x f x g ?与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。

2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式

3、最大公因式之间的关系

定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。

证设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有

1221()|(),()|()d x d x d x d x 。

所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。（证毕）

由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。

当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = .

注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。

②从数域F 过渡到数域F 时()F F ?，()()f x g x 与的最大公因式没有改变，但从数域F 到数域F 时，多项式()()f x g x 与可能获得与旧有的本质不同的公因式。

二、最大公因式的存在性

引理1 设(),(),(),()[],()0f x g x q x h x F x g x ∈≠，且

()()()()f x g x q x h x =+， (1)

则()()()()f x g x g x h x 与及与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且

((),())((),())f x g x g x h x =。

证由（1）式知，对()()f x g x 与的任意公因式(),()|()m x m x h x 有，因此，

()()()m x g x h x 是与的公因式.另一方面，()()g x h x 对与的任一公因式()n x ，()|()n x f x 有，()()()n x f x g x 因此是与的公因式，()()()()f x g x g x h x 这样与和与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，于是

((),())((),())f x g x g x f x =。（证毕）

定理4.4.2 []F x 的任意两个多项式 ()()f x g x 与一定存在最大公因式。

分析：分两种情形讨论

1. f(x), g(x) 中有一零多项式，由结论1），2）立得；

2. f(x)≠0, g(x)≠0, 对min{(()),(())}k f x g x =????用

数学归纳法（第二）

证如果()()f x g x 和中有一个是零多项式，由前面的例1和例2知结论成立。

设()0,()0f x g x ≠≠。对min{(()),(())}k f x g x =????用数学归纳法。

不妨设(()),0g x k k ??==时，有()|()g x f x 。由例2知结论成立。

设0k >，并设结论对于小于k 的非负整数均成立。根据带余除法，有

(),()[]q x r x F x ∈使得

()()()()f x g x q x r x =+，

这里()0((0)(())r x r x g x k =??

三、最大公因式的矩阵求法

1. 几个简化计算的结论

为了简化计算，我们给出下面三个结论。

引理2 设 c 是数域F 中的非零常数，则

12((),())((),())f x g x c f x c g x =。

证记1212()((),()),()((),())d x f x g x d x c f x c g x ==。利用最大公因式的定义不难得出

1221()|(),()|()d x d x d x d x ，

利用12()()d x d x 与的首项都是1，得12()()d x d x =。（证毕）

还有 ( f(x), g(x) ) = ( g(x), f(x) )

( f(x) + g(x)q(x), g(x) ) = ( f(x), g(x) ). (引理1)

2. 最大公因式的矩阵求法

1）一元多项式矩阵

定义3 由()[](1,2,,;1,2,,)ij a x F x i m j n ∈== 排成的m n 行列的一个矩阵

111212122212()()()()()()()()()n n m m mn a x a x a x a x a x a x a x a x a x ?? ? ? ? ???

，称为数域F 上的一元多项式矩阵。用符号(),()A x B x 等来表示。

2）一元多项式矩阵的初等行变换

（1）互换矩阵的两行的位置；

（2）矩阵的某一行乘以一个非零常数c ；

（3）矩阵的某一行的q(x) 倍加到另一行上.

一元多项式矩阵的初等行变换不改变多项式的最大公因式

3）求最大公因式的矩阵法

()()()0f x d x A g x ????=??????→ ? ?????

一系列初等行变换 ))(),(()(x g x f x d =

例 1 设 42()243f x x x x =-+-，

()2543g x x x x =--+。

求((),())f x g x 。

* 分别用不分离及分离系数法计算

四、最大公因式的一个重要性质

1、 2阶一元多项式初等矩阵

（1）换法阵0110?? ???

；

（2）倍法阵010010c F c ????≠∈ ? ?????

或这里0c ；（3）消法阵1()10,()[]01()1q x q x F x q x ????∈

? ?????或这里。显而易见，对21?一元多项式矩阵()A x ，施行三种初等变换的结果分别等于()A x 的左边乘以相应的数域2F 上的阶一元多项式初等矩阵。

2、最大公因式的一个重要性质

定理4.4.3 设 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么存在

(),()[]u x v x F x ∈,使

()()()()()d x u x f x v x g x =+。

证以(),()f x g x ?为元素排成一个21矩阵如下

()()()f x A x g x ??= ???

。

()(),()A x f x g x 对施行初等行变换,用逐步消去中次数校高的那个多项式的首项的办法，降低其次数，直至一个多项式变为0为止，也即()A x 可以通过一系列初等行变换化为

()()0d x B x ??= ???

，

于是有((),())((),0)(()1)f x g x d x d x =可以假定为首。

用矩阵等式来表示，即是说存在数域F 上2阶一元多项式矩阵12(),(),,()t E x E x E x ，使得

121()()()()()E x E x E x A x B x = 。

记为

121()()()()()()()()u x v x E x E x E x E x s x t x ??== ???

，和 ()()()()()()()0u x v x f x d x s x t x g x ??????=

??? ???????。

所以 ()()()()()u x f x v x g x d x +=。（证毕）

3、求)(),(x v x u 的方法

由等式

121()()()()()()t t E x E x I E x E x E x E x I -==?

可知，在对()A x 施行一系列初等变换将()A x 变为()B x 的同时，对单位矩阵I 施行同样的行初等变换，()I E x 就变成，从而也就得到(),()u x v x ，即

()()()((),)0

()()d x u x v x A x I s x t x ????????→ ???一系列初等行变换 4、几点注意

a) 定理4.4.5的逆命题不成立，加一条件))(|)(),(|)((x g x d x f x d 即可；

b) 适合定理4.4.3的(),()u x v x 不一定唯一；

c) 可推广到多个多项式的情形；

d) 最大公因式不会随着数域扩大而发生改变。

定理 4.4.4 ()(),()[],d x f x g x F x 若是在中的公因式()(),()d x f x g x 则是的最大公因式的充分必要条件是(),()[],u x v x F x ∈存在使得

()()()()()d x u x f x v x g x =+。

例1 令F 是有理数域，求出[]F x 的多项式

43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+，

使得()()()()()u x f x v x g x d x +=成立的(),(),()d x r x v x ，其中()((),())d x f x g x =。

解我们把()()f x I g x ?? ???

拼在的右边一起做行初等变换： 12432(2)32()1042165910()0125401r r f x x x x x g x x x x +?-??--++??=????→ ? ?--+???

? 2122323263912639122540163151203r r x x x x x x x x x x x x x +?????--+---+-???→??→ ? ?--+--+???? 121212()31220**1(1)133**********r r r x x x x x x x x ??-??-----?? ????→ ? ?-+--++ ????

?。所以2122()1,()(1),()1333

d x x u x x v x x x =-=--=

--。五、多项式的互素

（一）多项式互素的定义与判断

1、定义

定义1 如果(),()[],((),())1f x g x F x f x g x ∈=而，那么就说(),()f x g x 互素，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素。

的公因式，就称这两个多项式互素

2、判定定理

定理4.5.1 []F x 中的多项式

(),()()(),f x g x u x v x 互素当且仅当存在两个多项式和使得

1)()()()(=+x v x g x u x f 。

证 ((),())1,(),()[],()()()()1f x g x u x v x F x u x f x v x g x =∈+=若则存在使得。反之，()()()()1f x u x g x v x +=若成立，则显然

(),()()()()()f x g x f x u x g x v x +的任意公因式必整除，因而必是1的因式，这样()()f x g x 与的公因式必为非零常数，((),())1f x g x =故。（证毕）

（二）多项式互素的性质

（1）若)(),(x g x f 都与h(x)互素，那么f(x)g(x)也与h(x)互素

（2）若),()(|)(x g x f x h 且互素与)()(x f x h ，那么)(|)(x g x h

（3）若 ),(|)(),(|)(x f x h x f x g 且互素，与)()(x h x g 那么)(|)()(x f x h x g 。

（三）、互素概念的推广

1、多个多项式的互素

定义5 12(),(),,()n f x f x f x 的最大公因式()d x 是指满足以下条件的多项式： 1）()|(),1,2,,;i d x f x i n =

2）()|(),1,2,,()|().i h x f x i n h x d x = 若则

定义6 1212((),(),,())1,(),(),,()n n f x f x f x f x f x f x = 若则说是互素的.如果

((),())1,,,1,2,,,i j f x f x i j i j n =≠= 则称12(),(),,().n f x f x f x 为两两互素的

2、整体互素与两两互素的区别与联系

整体互素?两两互素，若两两互素。则不一定整体互素作业：P142，1—10题

2019版九年级数学暑期作业因式分解测试1 提公因式法鲁教版五四制

2019版九年级数学暑期作业因式分解测试1 提公因式法鲁教版五四制一、填空题 1．因式分解是把一个______化为______的形式． 2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝______．二、选择题 4．下列各式变形中，是因式分解的是（） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ．)11(22222x x x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（） A ．－3xy B ．－3x 2y C ．－3x 2y 2 D ．－3x 3y 3 6．多项式a n －a 3n ＋a n ＋2分解因式的结果是（） A ．a n （1－a 3＋a 2） B ．a n （－a 2n ＋a 2） C ．a n （1－a 2n ＋a 2） D ．a n （－a 3＋a n ）三、计算题 7．x 4－x 3y 8．12ab ＋6b 9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ） 11．3（x －3）2－6（3－x ） 12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2 13．y （x －y ）2－（y －x ） 3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ） 15．－2x 2n －4x n 16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 四、解答题

单项式与多项式练习题

单项式与多项式练习题一、填空题 1．“x 的平方与2的差”用代数式表示为． 2．单项式8 53ab -的系数是 ___,次数是 ___；当5,2a b ==-时，这个代数式的是 . 3．多项式34232-+x x 是次项式，常数项是． 4．单项式2 5x y 、2 2 3x y 、2 4xy -的和为． 5．若 32115k x y +与387 3 x y -是同类项，则k = ． 6．已知单项式32b a m 与－3 2 14-n b a 的和是单项式，那么m ＝，n ＝． 8．已知轮船在逆水中前进的速度是m 千米/时，水流的速度是2千米/时，则这轮船在静水中航行的速度是千米/时. 9．一个两位数，个位数字是a ，十位数字比个位数字大2，则这个两位数是． 10．若53<