多项式最大公因式的求法 定理1 设)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥ 是P[x]中n 个多项式.P[x]中多项式d(x)称为 )(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥ 的最大公因式，如果它满足下面的两个条件： (1)d(x)是(x),f (x),(x),f f n 21的公因式. (2)(x),f (x),(x),f f n 21的公因式全是d(x)的因式. 定理2 设)(),(),(x h x g x f 是][x P 中的多项式，P[x]中多项式d(x)是)(),(),(x h x g x f 的最大公因式，c 是任意的非零常数，则有))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -==. 证明：当)(x f 、)(x g 有一个为零，例如0)(=x g ，那么结论显然成立. 当0)(≠x g 时，则有)()(x f x d ，)()(x g x d . 从而)()()()(x g x h x cf x d -，即)(x d 是)()()(x g x h x cf -与)(x g 的一个公因式，令 )()()()(x g x h x cf x c -，)()(x g x c .根据整除的性质，我们有)()(x f x c ，所以)()(x d x c . 所以))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -== 方法1：用辗转相除法求最大公因式 引理 如果 )3(121≥n (x),f (x),(x),f f n- 的最大公因式存在，那么 ) 2(21≥n (x),f (x),(x),f f n 的 最 大 公 因 式 也 存 在 ， 且 (x)) (x)),f ,f (x),(x),f ((f (x))(x),f ,f (x),(x),f (f n n-n n-121121 =. (1) 证明：由题意，假设(x),f (x),(x),f f n-121 的最大公因式为)(1x d ，那么(x)d 1与(x)f n 的最大公因式)(x d 也是存在的. (2) 又由(1)、(2)式，可知n)i (x), (d(x)|f i ≤≤1. 假设c(x)是)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥ 的一个公因式，由(1)式可得(x)c(x)|d 1.这样c(x)就是(x)d 1与(x)f n 的一个公因式，再由(2)式可得c(x)|d(x). 所以(x)) (x),f ,f (x),(x),f (f d(x)n n-121 =. 定理3 设)2)((,),(),(21≥n x f x f x f n 是][x P 中的n 个多项式，则在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成(x),f (x),(x),f f n 21的一个组合，即有p[x]中多项式 (x),u (x),(x),u u n 21使(x)(x)f u (x)(x)f u (x)(x)f u d(x)n n +++= 2211. 由定理3对一般情况， 设1 1110110(),()n n n n n n n n f x a x a x a x a g x b x b x b x b ----=++ ++=++ ++，不妨设m n ≥
多项式的最大公因式 问题： （一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？ 设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件： (1).d(x)是f(x)与g(x)的公因式； (2).f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。 我们约定用( f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。 定理1：对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 引理：设f(x),g(x),q(x),h(x)∈F(x),g(x)≠0，且 f(x)=g(x)q(x)+h(x) 则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且 ( f(x)，g(x))=( g(x)，h(x)) 定理2：F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定存在最大公因式。 （二）.用来求最大公因式的方法 (1).辗转相除法: 如果f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，且q q(q),q q(q)∈P[x],使 f(x)=q1(q)g(x)+q1(q) g(x)=q2(q)q1(q)+q2(q) q1(q)=q3(q)q2(q)+q3(q)
?? q q?2(q)=q q(q)q q?1(q)+q q(q) q q?1(q)=q q+1(q)q q(q)+0 其中?(q q(q))≥0，则q q(q)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。 (2).串位加减法 (3).矩阵求法： A=(f(x) g(x) )一系列初等行变换 → ( d(x) ) d(x)=( f(x)，g(x)) 例1.设f(x)=q4+3q3?q2?4x?3 g(x)=3q3+10q2+2x?3 求( f(x)，g(x)) 解：法1辗转相除法。
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多项式的因式分解 知识点一、因式分解的概念 学一学：看谁算得快：请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。 22=___________；-ba(1)若a=101,b=99,则 22=____________；-2ab+b若a=99,b=-1,则a (2)2+60x=__________ 20xx=-3,则(3)若 2222 2 2+60x=20x(x+3)20x= (a-b)=(a+b)(a-b) ，a，-2ab+b议一议：观察： a-b，找出它们的特点。 (等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 【归纳总结】把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式分解，也叫分解因式。 选一选：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ 22 2+6a (3)3a(1)x-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)2m(m-n)=2m = 3a-2mn（a+2） 填一填：2) )( 4 ( x - 知识点二、因式分解与整式乘法的关系 22-b继续观察：(a+b)(a-b)= a, 222，= a (a-b)-2ab+b 2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？20x 20x(x+3)=因式分解
22 （a+b）（-ba-b）结合：a整式乘法 说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式 乘法是相反变形。 二、合作探究 检验下列因式分解是否正确：1. 222 -1=(2x+1)(2x-1) (2)2x；y-xy=xy(x-y)； (1)x2 +3x+2=(x+1)(x+2).(3)x 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因 式分解，哪些是多项式乘法？2.22-4 1）(x+5)(x+1)= x+6x+5 (2) (x+2)(x-2)= x（ (3) 12ax-12ay=12a(x-y) (4) 222 -10xy+25yx=(x-5y) 提公因式法说一说：下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？ 132222+t）3t3t+1=；（2t（x +2）；（2）2t－2x （1） －+4=2t222；（4）m（x+y）+4xy－y=mx+my=x（x+4y）－y；3 （） x 知识点一、提公因式法的概念 学一学： 多项式中各项含有相同因式吗？，它们共有的因式是什么？请将上述 多项式xuxz-xy 分别写成两个因式的乘积的形式。 22－yz－－x和中各项含有相同因式吗？议一议：1．多项式mn+mb 2．多项式4xxyy呢？ 【归纳总结】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个
剪纸中的数学—公因式和最大公因式 课题：公因数、最大公因数 教学内容：五年级下册第29-31页。 教学目标： 1、结合解决实际问题，理解公因数和最大公因数的意义，学会求两个数的最大公因数的方法。 2、在探索公因数和最大公因数意义的过程中，经历观察、猜测、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。在解决问题的过程中，能进行有条理、有根据地进行思考。 3、在学生探索新知的过程中，体验学习和探索的乐趣，培养学生学好数学的信心以及小组成员之间互相合作的精神。 教学重点：理解公因数、最大公因数的意义； 教学难点：选用恰当的方法求两个数的最大公因数。 教学设计： 一、情境引入，提出问题。 1、课件出示剪纸作品，引起学生的兴趣。 谈话：老师带来了一些剪纸作品，请大家来欣赏。 剪纸是我国的一种民间艺术，剪纸具有装饰性，它可以美化环境，陶冶情操。这些美丽的剪纸都是用什么形状的彩纸剪出来的？剪纸的第一步要先裁纸，裁纸可不简单啊！ 2、出示情境图：请同学们看剪纸小组的同学在裁纸时就遇到了一些问题。请同学们仔细阅读里面的信息，你能说出同学们遇到了什么问题吗？ 3、再认真阅读，看同学们对剪纸有什么要求？ 理解“整厘米和剪完后没有剩余”。 师：下面我们就一起帮助他们解决这些问题，好吗？ 二、动手操作，合作探究。 （一）尝试猜想。 师：正方形的边长可以是几厘米呢？请同学们猜想一下。 （学生猜想，你为什么这样想呢？） 师：同学们能根据以前学过的知识进行猜想，非常好！但猜想只是成功的开始，纠结
正方形的边长可以是几厘米呢？口说无凭，还要我们怎么办？（验证） （二）操作验证。 师：你想用什么方法来验证？（预设：摆一摆、算一算、画一画） 师：这些方法都不错。那你想一想，如果用摆一摆的方法，怎样能很快知道结果呢？（生说） 课件演示用1厘米的正方形摆。 师：正方形的边长还可以是几厘米呢？想不想自己动手试一试？下面请同学们小组合作，验证我们的猜想。 （三）交流展示。 师：通过亲自动手，找到符合要求的正方形了吗？哪个小组汇报一下你们的探究结果？ 学生汇报。 师：通过摆一摆、算一算的方法，同学们找出了正方形的边长可以是1厘米、3厘米、6厘米。现在我们通过课件再一起来回顾一下操作过程。 课件演示。 请同学们判断一下正方形的边长可以是2厘米吗？8厘米呢？可以怎样快速的来判断？（算一算） （四）揭示公因数和最大公因数的意义。 1、出示课件. 师：请同学们认真思考：为什么正方形的边长可以是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米呢？1、2、3、6这些数与24和18有什么关系呢？先独立思考，再在小组内讨论交流。 学生汇报。 小结：1、2、3、6既是24的因数，也是18的因数，同意吗？（同意）也就是说24的因数里有这些数，18的因数里也有这些数。是这样吗？我们一起把24和18的因数找出来看看就知道了。 学生快速的找出24和18的因数，看看哪些既是24的因数又是18的因数。 2、师：怎样能更形象的看出1、2、 3、6既是24的因数，又是18的因数呢？我们可以用集合图的形式表示出来。课件出示集合图。 引导学生人数集合图，及各部分表示的是什么。 3、总结：1、2、3、6既是24的因数，又是18的因数，是它们公有的因数，叫做这
多项式最大公因式性质定理及求解方法 作者：xxx 指导教师：xxx 摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法． 关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换 最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究． 本文所考虑的多项式均为数域F 上的一元多项式环]x [F 内的多项式． §1．最大公因式的定义及性质 首先我们给出最大公因式的定义： 定义1：设)x (d 是多项式)x (f 与)x (g 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f 与)x (g 的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．以))x (g ),x (f (表示)x (f 与)x (g 在]x [F 中最高项系数为1的最大公因式． 例1．如果)x (q )x (g )x (f ?=，那么)x (g 是)x (f 和)x (g 的最大公因式． 证明：按定义1．有)x (g 是)x (f 与)x (g 的一个公因式， 设)x (h 是)x (f 和)x (g 的任一公因式，则有： )x (g |)x (h ， 所以按定义，有)x (g 是)x (f 与)x (g 的最大公因式． 为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理： 引理1：如果多项式)x (h 是多项式)x (f 和)x (g 的公因式，)x (a 和)x (b 是]x [F 上的两个任意多项式，那么)x (h 一定是多项式)x (g )x (b )x (f )x (a ?+?的因式． 证明：因为)x (h 是)x (f 的因式， 所以 可设 )x (m )x (h )x (f ?=， )x (n )x (h )x (g ?=，其中)x (m ，)x (n ∈]x [F ． 又因为 )x (n )x (b )()x (m )x (a )x (h )x (g )x (b )x (f )x (a ??+??=?+?x h )]()()()()[(x n x b x m x a x h +?=．
多项式的因式分解 学一学：看谁算得快：请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。 (1)若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________； (3)若x=-3,则20x 2+60x=__________ 议一议：观察： a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)， 找出它们的特点。 (等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 【归纳总结】把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式分解，也叫分解因式。 选一选：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)2m(m-n)=2m 2-2mn (3)3a 2+6a = 3a （a+2） 填一填：) )( (4-2 x 继续观察：(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？ 因式分解 结合：a 2-b 2 （a+b ）（a-b ） 整式乘法 说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式乘法是相反变形。 二、合作探究 知识点一、因式分解 的概念 知识点二、因式分解与整式乘法的关系
1.检验下列因式分解是否正确： (1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)； (3)x2+3x+2=(x+1)(x+2). 2.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些是多项式乘法？ （1）(x+5)(x+1)= x2+6x+5 (2) (x+2)(x-2)= x2-4 (3) 12ax-12ay=12a(x-y) (4) x2-10xy+25y2=(x-5y)2 提公因式法 说一说：下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？ （2t3－3t2+t）； （1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1 t （3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my； 学一学： 多项式xu 中各项含有相同因式吗？，它们共有的因式是什么？请将上述多项式 xz xy- 分别写成两个因式的乘积的形式。 议一议：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？ 2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？ 【归纳总结】如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（几个多项式公共的因式称为它们的公因式） 选一选：多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（） A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c
一元多项式的最大公因式的几种求法 苏昌怀 （ 陇东学院数学系 甘肃 庆阳 745000） 论文提要：多项式理论是高等代数的重要组成部分,求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。本文从辗转相除、矩阵的初等变换以及矩阵的斜消变换等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法。 关键词: 最大公因式; 辗转相除; 初等变换; 斜消变换 1.辗转相除法 辗转相除法是求两个多项式的最大公因式的一般方法，在每次作除法时用的是带余除法。它的原理和一般实例可以参见《高等代数》。按照《高等代数》中的辗转相除法求多项式的最大公因式时，往往会出现较为复杂的分数运算。为了运算的简化，我们可以用一个非零常数去乘被除式或者除式。这种方法不仅在辗转相除法的开始可以用，而且在辗转相除的过程中也这是由于若()x f =()x q ()x g +()x r 于o ≠C ∈p,我们有()()[]()x g x Cq x Cf =+()x Cr ,及()()()[]+?? ? ???=x Cg x q C x f 1()x r 故 ()()()()()()()()()()() x g x f x r x g x Cr x g x g x Cf ,,,),(===()()()()()()()()()()()()x g x f x r x g x r x Cg x Cg x f ,,,,=== 另外，为了简化计算，在辗转相除的过程中，若遇到两个多项式的次数相同时，可以任去一个作除式，另一个作为被除式。并且为了减小多项式的系数，也可被除式减去除式的若干倍再做辗转相除，不改变()()()x g x f ,的结果，()()()(),x r x g x q x f += ()()()()()[]()()x r x g x u x q x g x u x f +-=-，
最大公因式的计算方法 谭民雪 20101101918 数学科学学院信息与计算科学专业 2010级信息班 指导教师斯琴高娃 摘要最大公因式的概念是多项式代数的重要内容，关于最大公因式的求法一般只讨论两个多项式的最大公因式的求法。方法主要有分解因式法和辗转相除法。考虑n个多项式的最大公因式时，往往也是通过两两多项式求最大公因式，因此，求多个多项式的最大公因式需要多次计算，为了改进方法，逐渐出现了矩阵初等变换法等利用多项式矩阵和数字矩阵的运算来求解最大公因式，虽不善完美，但是一种突破，本文在此基础上对求最大公因式的方法进一步做一个较全面的探讨而且配有相关例题，有助于理解学习。 关键词最大公因式，多项式，计算，矩阵，例题
1有关最大公因式的定义 1.1公因式的定义 令f(x)和g(x)是F(x)的两个多项式，若是F(x)的一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x)，那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式。 1.2最大公因式的定义 设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式，若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除，那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式。 2最大公因式的计算方法 2.1辗转相除法 若f(x)=g(x)=0，那么由定义知：f(x)与g(x)的最大公因式为0；若f(x)与g(x)不都等于零，比方说g(x)≠0，应用带余除法以g(x)除f(x)得商式)(1x q 及余式)(1x r ，如果)(1x r ≠0,那么再以)(1x r 除g(x)，得商式)(2x q 及余式)(2x r ，如此继续下去，因为余式的次数每次降低，所以做了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式)(x r k ≠0，它整除前一个余式)(1x r k -，这样我们得到一串等式： f(x)=g(x))(1x q +)(1x r g(x)=)()()(221x r x q x r + )()()()(3321x r x q x r x r += …… )()()()(12x r x q x r x r k k k k +=-- )()()(11x q x r x r k k k +-= 我们说)(x r k 就是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
： 多项式的因式分解 学一学：看谁算得快：请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。 (1)若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________； (2)若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________； (3)若x=-3,则20x 2+60x=__________ 议一议：观察： a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。 | (等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式) 【归纳总结】把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式称为吧这个多项式因式分解，也叫分解因式。 选一选：下列代数式变形中，哪些是因式分解哪些不是为什么 (1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)2m(m-n)=2m 2-2mn (3)3a 2+6a = 3a （a+2） 填一填：) )( (4-2 x 继续观察：(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , 、 (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算与因式分解有何关系 因式分解 结合：a 2-b 2 （a+b ）（a-b ） 知识点一、因式分解 的概念 知识点二、因式分解与整式乘法的关系
整式乘法 说明：从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，因式分解与整式乘法是相反变形。 二、合作探究 1.检验下列因式分解是否正确： ? (1)x2y-xy2=xy(x-y)；(2)2x2-1=(2x+1)(2x-1)； (3)x2+3x+2=(x+1)(x+2). 2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些是多项式乘法 （1）(x+5)(x+1)= x2+6x+5 (2) (x+2)(x-2)= x2-4 (3) 12ax-12ay=12a(x-y) (4) x2-10xy+25y2=(x-5y)2 提公因式法 说一说：下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么 】 （1）2x2+4=2（x2+2）；（2）2t2－3t+1=1 （2t3－3t2+t）； t （3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2；（4）m（x+y）=mx+my； 学一学： 多项式xu xz 中各项含有相同因式吗，它们共有的因式是什么请将上述多项式分别xy- 写成两个因式的乘积的形式。 议一议：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗 2．多项式4x2－x和xy2－yz－y 呢
一元多项式最大公因式的求法 摘要 多项式理论是高等代数的重要组成部分，求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位.求两个多项式的最大公因式，一般采用因式分解法和辗转相除法.本文还试图从：??1将两种方法结合起来??2矩阵的初等变换法??3矩阵的斜消变换法以及数值矩阵法等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法. 关键词 因式分解法；辗转相除法；斜消变换法；矩阵初等变换 一 引言 最大公因式的概念是多项式代数的重要内容，关于最大公因式的求法一般主要讨论两个多项式的最大公因式的求法，方法主要有因式分解法和辗转相除法．考虑n 个多项式的最大公因式时，往往也是通过两两多项式求最大公因式，因此求多个多项式的最大公因式需要多次对两个多项式进行运算．为了改进运算方法,我们给出以下的矩阵初等变换法，斜消变换法等利用多项式矩阵和数字矩阵的运算来求解最大公因式，虽然不尽完善，但也是一种很大的突破．本文将在此基础之上对求最大公因式的方法进一步作一个较全面的探讨． 二 问题的提出 在高等代数教材[]1中，有如下定义和定理： 定义1 如果多项式()x ?既是()x f 的因式，又是()x g 的因式，那么()x ?就称为()x f 与 ()x g 的一个公因式. 定义2 设()x f ，()x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式()x d 称为()x f ，()x g 的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件： 1）()x d 是()x f ，()x g 的公因式； 2）()x f ，()x g 的公因式全是()x d 的因式. 我们约定，用()()()x g x f ,来表示最高次项系数为1的那个最大公因式. 三 问题的解决 由定义1和定义2我们很容易得到一种求多项式的最大公因式的方法—因式分解法. 3.1因式分解法 利用两个（多个）多项式的标准分解式可以很快地得到它们的最大公因式.如：设多项
4.4 多项式的最大公因式 授课题目：4.4多项式的最大公因式 教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质 授课时数：4学时 教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质 教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法 教学过程： 一、多项式的最大公因式的定义 1、定义（公因式与最大公因式） 定义 1 若)(x h 既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，则称)(x h 是)(x f 与)(x g 的公因式。 因,0),(|),(|≠c x g c x f c 所以任意两个多项式都有公因式。 定义2 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，如果对于)(x f 与)(x g 的 任一个公因式)(x h ，都有),(|)(x d x h 则称)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。 2.几个直接的结果 1）)()(|)(x g x f x g ?与)(x cg 都是)(x f 与)(x g 的最大公因式。 2） 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式 3、最大公因式之间的关系 定理4.4.1 如果 ()()()d x f x g x 是与的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如()(,0)cd x c F c ∈≠的多项式。 证 设12(),()d x d x 是()f x 与()g x 的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有 1221()|(),()|()d x d x d x d x 。
所以存大,0c F c ∈≠，使12()()d x cd x =。 （证毕） 由Th.4.4.1,只要能求出f g 与的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。 我们用((),())f x g x 来表示首项系数为1 的那个最大公因数。 当 ()()0f x g x == 时，规定 ((),())0f x g x = . 注意：①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。 ②从数域F 过渡到数域F 时()F F ?，()()f x g x 与的最大公因式没有改变，但从数域F 到数域F 时，多项式()()f x g x 与可能获得与旧有的本质不同的公因式。 二、最大公因式的存在性 引理1 设(),(),(),()[],()0f x g x q x h x F x g x ∈≠， 且 ()()()()f x g x q x h x =+， (1) 则()()()()f x g x g x h x 与及与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且 ((),())((),())f x g x g x h x =。 证 由（1）式知，对()()f x g x 与的任意公因式(),()|()m x m x h x 有，因此， ()()()m x g x h x 是与的公因式.另一方面，()()g x h x 对与的任一公因式()n x ，()|()n x f x 有，()()()n x f x g x 因此是与的公因式，()()()()f x g x g x h x 这样与和与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，于是 ((),())((),())f x g x g x f x =。 （证毕） 定理4.4.2 []F x 的任意两个多项式 ()()f x g x 与一定存在最大公因式。 分析：分两种情形讨论
摘要 多项式的最大公因式求解问题是一个代数问题又是在实际应用中充满活力的问题，它是代数学中最基本的对象之一他不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到。在中学代数中我们学过多项式，现在的讨论可以认为是中学所学知识的加深并且推广到更一般的情况。本文在叙论中介绍了多项式最大公因式求解的一般过程和一些以矩阵为载体，经过初等变换而求得最大公因式的简易解法，因此设计多项式最大公式的有效算法是十分必要的。本文首先给出了两类最基本的解多项式的最大公因式的方法，即探讨了用辗转相除法求解多项式最大公因式的迭代算法，算法将两个多项式相乘，相除等过程用矩阵方法来处理。当多项式次数较高时，计算较复杂，而推广到多个多项式的情形计算量更大提出了对给定的若干多项式采用系数矩阵表示的方法，通过引入矩阵的第一、第二斜消变换这样的新概念，给错出了用斜消变换（结合初等行变换）求解最大公因式的新思路，新方法。本章对此作了完整的理论推导并提供了具体的例题说
目录 摘要 (Ⅱ) Abstract (Ⅲ) 关键词……………………………………………………………… 第一章绪论………………………………………………… 1.1 引言……………………………………………… 1.2 多项式最大公因式概念及问题研究进展……… 1.2.1 多项式的最大公因式概念……………… 1.2.2 多项式最大公因式问题研究进展………………第二章多项式最大公因式的基本解法……………………… 2.1 矩阵的初等变换……………………… 2.2 最大公因式为倍式和的方法……………… 第三章多项式最大公因式求解的探索和研究…… 4.1 矩阵的斜消变换……………………………… 4.2 利用斜消变换求解多项式最大公因式…… 4.3 应用举例…………………………………… 第四章总结语……………………………………………… 参考文献…………………………………………