第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义
多项式最大公因式的求法 定理1 设)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥ 是P[x]中n 个多项式.P[x]中多项式d(x)称为 )(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥ 的最大公因式，如果它满足下面的两个条件： (1)d(x)是(x),f (x),(x),f f n 21的公因式. (2)(x),f (x),(x),f f n 21的公因式全是d(x)的因式. 定理2 设)(),(),(x h x g x f 是][x P 中的多项式，P[x]中多项式d(x)是)(),(),(x h x g x f 的最大公因式，c 是任意的非零常数，则有))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -==. 证明：当)(x f 、)(x g 有一个为零，例如0)(=x g ，那么结论显然成立. 当0)(≠x g 时，则有)()(x f x d ，)()(x g x d . 从而)()()()(x g x h x cf x d -，即)(x d 是)()()(x g x h x cf -与)(x g 的一个公因式，令 )()()()(x g x h x cf x c -，)()(x g x c .根据整除的性质，我们有)()(x f x c ，所以)()(x d x c . 所以))(),()()(())(),(()(x g x g x h x cf x g x f x d -== 方法1：用辗转相除法求最大公因式 引理 如果 )3(121≥n (x),f (x),(x),f f n- 的最大公因式存在，那么 ) 2(21≥n (x),f (x),(x),f f n 的 最 大 公 因 式 也 存 在 ， 且 (x)) (x)),f ,f (x),(x),f ((f (x))(x),f ,f (x),(x),f (f n n-n n-121121 =. (1) 证明：由题意，假设(x),f (x),(x),f f n-121 的最大公因式为)(1x d ，那么(x)d 1与(x)f n 的最大公因式)(x d 也是存在的. (2) 又由(1)、(2)式，可知n)i (x), (d(x)|f i ≤≤1. 假设c(x)是)(x)(n ,f (x),(x),f f n 221≥ 的一个公因式，由(1)式可得(x)c(x)|d 1.这样c(x)就是(x)d 1与(x)f n 的一个公因式，再由(2)式可得c(x)|d(x). 所以(x)) (x),f ,f (x),(x),f (f d(x)n n-121 =. 定理3 设)2)((,),(),(21≥n x f x f x f n 是][x P 中的n 个多项式，则在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成(x),f (x),(x),f f n 21的一个组合，即有p[x]中多项式 (x),u (x),(x),u u n 21使(x)(x)f u (x)(x)f u (x)(x)f u d(x)n n +++= 2211. 由定理3对一般情况， 设1 1110110(),()n n n n n n n n f x a x a x a x a g x b x b x b x b ----=++ ++=++ ++，不妨设m n ≥
多项式的最大公因式 问题： （一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？ 设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件： (1).d(x)是f(x)与g(x)的公因式； (2).f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。 我们约定用( f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。 定理1：对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 引理：设f(x),g(x),q(x),h(x)∈F(x),g(x)≠0，且 f(x)=g(x)q(x)+h(x) 则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且 ( f(x)，g(x))=( g(x)，h(x)) 定理2：F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定存在最大公因式。 （二）.用来求最大公因式的方法 (1).辗转相除法: 如果f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，且q q(q),q q(q)∈P[x],使 f(x)=q1(q)g(x)+q1(q) g(x)=q2(q)q1(q)+q2(q) q1(q)=q3(q)q2(q)+q3(q)
?? q q?2(q)=q q(q)q q?1(q)+q q(q) q q?1(q)=q q+1(q)q q(q)+0 其中?(q q(q))≥0，则q q(q)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。 (2).串位加减法 (3).矩阵求法： A=(f(x) g(x) )一系列初等行变换 → ( d(x) ) d(x)=( f(x)，g(x)) 例1.设f(x)=q4+3q3?q2?4x?3 g(x)=3q3+10q2+2x?3 求( f(x)，g(x)) 解：法1辗转相除法。
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
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中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
《高等代数》试题库 一、 选择题 1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式 2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．以下命题不正确的是（）。 A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则； B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域； C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式； D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式 4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。 A .充分 B .充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f = B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ± C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f 6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -； 命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。 A .甲成立,乙不成立； B .甲不成立,乙成立； C .甲,乙均成立； D ．甲,乙均不成 立 7．下面论述中,错误的是()。 A .奇数次实系数多项式必有实根； B .代数基本定理适用于复数域；
剪纸中的数学—公因式和最大公因式 课题：公因数、最大公因数 教学内容：五年级下册第29-31页。 教学目标： 1、结合解决实际问题，理解公因数和最大公因数的意义，学会求两个数的最大公因数的方法。 2、在探索公因数和最大公因数意义的过程中，经历观察、猜测、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。在解决问题的过程中，能进行有条理、有根据地进行思考。 3、在学生探索新知的过程中，体验学习和探索的乐趣，培养学生学好数学的信心以及小组成员之间互相合作的精神。 教学重点：理解公因数、最大公因数的意义； 教学难点：选用恰当的方法求两个数的最大公因数。 教学设计： 一、情境引入，提出问题。 1、课件出示剪纸作品，引起学生的兴趣。 谈话：老师带来了一些剪纸作品，请大家来欣赏。 剪纸是我国的一种民间艺术，剪纸具有装饰性，它可以美化环境，陶冶情操。这些美丽的剪纸都是用什么形状的彩纸剪出来的？剪纸的第一步要先裁纸，裁纸可不简单啊！ 2、出示情境图：请同学们看剪纸小组的同学在裁纸时就遇到了一些问题。请同学们仔细阅读里面的信息，你能说出同学们遇到了什么问题吗？ 3、再认真阅读，看同学们对剪纸有什么要求？ 理解“整厘米和剪完后没有剩余”。 师：下面我们就一起帮助他们解决这些问题，好吗？ 二、动手操作，合作探究。 （一）尝试猜想。 师：正方形的边长可以是几厘米呢？请同学们猜想一下。 （学生猜想，你为什么这样想呢？） 师：同学们能根据以前学过的知识进行猜想，非常好！但猜想只是成功的开始，纠结
正方形的边长可以是几厘米呢？口说无凭，还要我们怎么办？（验证） （二）操作验证。 师：你想用什么方法来验证？（预设：摆一摆、算一算、画一画） 师：这些方法都不错。那你想一想，如果用摆一摆的方法，怎样能很快知道结果呢？（生说） 课件演示用1厘米的正方形摆。 师：正方形的边长还可以是几厘米呢？想不想自己动手试一试？下面请同学们小组合作，验证我们的猜想。 （三）交流展示。 师：通过亲自动手，找到符合要求的正方形了吗？哪个小组汇报一下你们的探究结果？ 学生汇报。 师：通过摆一摆、算一算的方法，同学们找出了正方形的边长可以是1厘米、3厘米、6厘米。现在我们通过课件再一起来回顾一下操作过程。 课件演示。 请同学们判断一下正方形的边长可以是2厘米吗？8厘米呢？可以怎样快速的来判断？（算一算） （四）揭示公因数和最大公因数的意义。 1、出示课件. 师：请同学们认真思考：为什么正方形的边长可以是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米呢？1、2、3、6这些数与24和18有什么关系呢？先独立思考，再在小组内讨论交流。 学生汇报。 小结：1、2、3、6既是24的因数，也是18的因数，同意吗？（同意）也就是说24的因数里有这些数，18的因数里也有这些数。是这样吗？我们一起把24和18的因数找出来看看就知道了。 学生快速的找出24和18的因数，看看哪些既是24的因数又是18的因数。 2、师：怎样能更形象的看出1、2、 3、6既是24的因数，又是18的因数呢？我们可以用集合图的形式表示出来。课件出示集合图。 引导学生人数集合图，及各部分表示的是什么。 3、总结：1、2、3、6既是24的因数，又是18的因数，是它们公有的因数，叫做这
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
高等代数习题 第一章基本概念 §集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确 3、设 写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个 6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii)
(iv) 7．证明下列等式： (i) (ii) (iii) §映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射 6、设a ,b是任意两个实数且a 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与 g f一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射 (ii)g是不是f的逆映射 (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么 9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则1 2 3 全体整数 全体整数 全体有理数 b a b a+ → |) , ( 4 全体实数 §数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 是个元素中取个的组合数. 这里 ， 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。 §整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ; ; . 多项式最大公因式性质定理及求解方法 作者：xxx 指导教师：xxx 摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法． 关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换 最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究． 本文所考虑的多项式均为数域F 上的一元多项式环]x [F 内的多项式． §1．最大公因式的定义及性质 首先我们给出最大公因式的定义： 定义1：设)x (d 是多项式)x (f 与)x (g 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f 与)x (g 的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．以))x (g ),x (f (表示)x (f 与)x (g 在]x [F 中最高项系数为1的最大公因式． 例1．如果)x (q )x (g )x (f ?=，那么)x (g 是)x (f 和)x (g 的最大公因式． 证明：按定义1．有)x (g 是)x (f 与)x (g 的一个公因式， 设)x (h 是)x (f 和)x (g 的任一公因式，则有： )x (g |)x (h ， 所以按定义，有)x (g 是)x (f 与)x (g 的最大公因式． 为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理： 引理1：如果多项式)x (h 是多项式)x (f 和)x (g 的公因式，)x (a 和)x (b 是]x [F 上的两个任意多项式，那么)x (h 一定是多项式)x (g )x (b )x (f )x (a ?+?的因式． 证明：因为)x (h 是)x (f 的因式， 所以 可设 )x (m )x (h )x (f ?=， )x (n )x (h )x (g ?=，其中)x (m ，)x (n ∈]x [F ． 又因为 )x (n )x (b )()x (m )x (a )x (h )x (g )x (b )x (f )x (a ??+??=?+?x h )]()()()()[(x n x b x m x a x h +?=． 1．最小的数环是 ，最小的数域是 。 2．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ?=?=，则(()())f x g x ??= 3.求用2 2x x -+除4()25f x x x =-+的商式为 ，余式为 。 4．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式是 。 5、如果()(()())f x g x h x +，且)()(x h x f ，则____________ 6. ()()()d x f x d x 若是g(x)的最大公因式，则满足 而(f(x),g(x))是指__________________. 7、设1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f ， 则=))(),((x g x f ____________。 8、设[] (),()P x f x g x 中两个多项式互素的充要条件是 。 9、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则它是()f x ' 。 10、()f x 没有重因式的充要条件为 。 11、()42243f x x x x =+--有无重因式 。 12、()43 23f x x x x =-+-可能的有理根是_________________，全部有理根为 。 13、由艾森斯坦判别法，110()n n n n f x a x a x a --=+++ 是一个整系数多项式，当满足 _______________________________________________________________________________ ()f x 在有理数域上是不可约的. 2n x +在有理数域上是否可约 _________________. 14、在n 阶行列式中，1122n n i j i j i j a a a 这一项前的符号为__________________. 15. =---3 81141102 _________________。 一元多项式的最大公因式的几种求法 苏昌怀 （ 陇东学院数学系 甘肃 庆阳 745000） 论文提要：多项式理论是高等代数的重要组成部分,求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。本文从辗转相除、矩阵的初等变换以及矩阵的斜消变换等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法。 关键词: 最大公因式; 辗转相除; 初等变换; 斜消变换 1.辗转相除法 辗转相除法是求两个多项式的最大公因式的一般方法，在每次作除法时用的是带余除法。它的原理和一般实例可以参见《高等代数》。按照《高等代数》中的辗转相除法求多项式的最大公因式时，往往会出现较为复杂的分数运算。为了运算的简化，我们可以用一个非零常数去乘被除式或者除式。这种方法不仅在辗转相除法的开始可以用，而且在辗转相除的过程中也这是由于若()x f =()x q ()x g +()x r 于o ≠C ∈p,我们有()()[]()x g x Cq x Cf =+()x Cr ,及()()()[]+?? ? ???=x Cg x q C x f 1()x r 故 ()()()()()()()()()()() x g x f x r x g x Cr x g x g x Cf ,,,),(===()()()()()()()()()()()()x g x f x r x g x r x Cg x Cg x f ,,,,=== 另外，为了简化计算，在辗转相除的过程中，若遇到两个多项式的次数相同时，可以任去一个作除式，另一个作为被除式。并且为了减小多项式的系数，也可被除式减去除式的若干倍再做辗转相除，不改变()()()x g x f ,的结果，()()()(),x r x g x q x f += ()()()()()[]()()x r x g x u x q x g x u x f +-=-， 高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“V”，错的打“X” ；每小题1分, 共10分） 1、p（x）若是数域F上的不可约多项式，那么p（x）在F中必定没有根。（） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （） 3、实二次型f（x「X2， ,X n）正定的充要条件是它的符号差为n。（） 4、W x1,X2,X3 X i R,i 1,2,3;x1 x? X3 是线性空间R3的一个子空间。（） 5、数域F上的每一个线性空间都有基和维数。（） 6两个n元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数 和负惯性指数。（） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。（） 8、线性变换的属于特征根°的特征向量只有有限个。（） 9、欧氏空间V上的线性变换是对称变换的充要条件为矩阵。 10、若1, 2, , n是欧氏空间V的标准正交基，且关于标准正交基的矩阵为实对称 n X i i，那么 n 2 X i 、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后 面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是( 3、设矩阵A 的秩为r(r >1)，那么( 4、设 f x 1, x 2, ,x n 为 n 元实二次型，则 f x 1,x 2 , ,x n 负定的充要条件为( ① 负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n ； ④f 的秩 =n o 1 分，共 10 分) ① f n x ,g n n x f x ,g x ; ② f 1, f 2, n 1 f i , f j 1, i j,i, j 1,2, ,n ; f x g x ,g x ; ④若 f x , g x 1 f x g x , f x 2、设 D 是 个 n 阶行列式，那么( ① 行列式与它的转置行列式相等； ② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③ 若 D 0，则 D 中必有一行全是零； ④ 若 D 0，则 D 中必有两行成比例。 ①A 中每个s(s v r)阶子式都为零; ② A 中每个 r 阶子式都不为零； ③A 中可 能存在不为零的 r 1阶子式; ④ A 中肯定有不为零的 r 阶子式。 高等代数例题 第一章 多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。 最大公因式的计算方法 谭民雪 20101101918 数学科学学院信息与计算科学专业 2010级信息班 指导教师斯琴高娃 摘要最大公因式的概念是多项式代数的重要内容，关于最大公因式的求法一般只讨论两个多项式的最大公因式的求法。方法主要有分解因式法和辗转相除法。考虑n个多项式的最大公因式时，往往也是通过两两多项式求最大公因式，因此，求多个多项式的最大公因式需要多次计算，为了改进方法，逐渐出现了矩阵初等变换法等利用多项式矩阵和数字矩阵的运算来求解最大公因式，虽不善完美，但是一种突破，本文在此基础上对求最大公因式的方法进一步做一个较全面的探讨而且配有相关例题，有助于理解学习。 关键词最大公因式，多项式，计算，矩阵，例题 1有关最大公因式的定义 1.1公因式的定义 令f(x)和g(x)是F(x)的两个多项式，若是F(x)的一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x)，那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式。 1.2最大公因式的定义 设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式，若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除，那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式。 2最大公因式的计算方法 2.1辗转相除法 若f(x)=g(x)=0，那么由定义知：f(x)与g(x)的最大公因式为0；若f(x)与g(x)不都等于零，比方说g(x)≠0，应用带余除法以g(x)除f(x)得商式)(1x q 及余式)(1x r ，如果)(1x r ≠0,那么再以)(1x r 除g(x)，得商式)(2x q 及余式)(2x r ，如此继续下去，因为余式的次数每次降低，所以做了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式)(x r k ≠0，它整除前一个余式)(1x r k -，这样我们得到一串等式： f(x)=g(x))(1x q +)(1x r g(x)=)()()(221x r x q x r + )()()()(3321x r x q x r x r += …… )()()()(12x r x q x r x r k k k k +=-- )()()(11x q x r x r k k k +-= 我们说)(x r k 就是f(x)与g(x)的一个最大公因式。 向量空间 一 判断题 (1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上 的向量空间. ( ) . (2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上 的向量空间. ( ). (3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121 {(,,,)|1,}n n i i i x x x x x R ==∈∑ 为n R 的子空间. ( ). (6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈ 为n R 的子空间. ( ). (8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++ 是V 的一组基. ( ). (9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,,,n ααα 是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα 线性表示, 则12,,,n ααα 是V 的一组基. ( ). (11) 设12,,,n ααα 是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ 与12,,,n ααα 等价, 则 12,,,n βββ 也是V 的一个基. ( ). (12) 3 x 关于基3 3 2 ,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++ .若 12dim dim dim s V V V n +++= , 则12s V V V +++ 为直和. ( ). (14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++ . 若 121230,()0,V V V V V =+= 121,()0,S s V V V V -+++= 则12s V V V +++ 为直和.多项式最大公因式性质定理及求解方法
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