多项式的最大公因式
问题：
（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？
设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件：
(1).d(x)是f(x)与g(x)的公因式；
(2).f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。
我们约定用( f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。
定理1：对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使
d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
引理：设f(x),g(x),q(x),h(x)∈F(x),g(x)≠0，且
f(x)=g(x)q(x)+h(x)
则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且
( f(x)，g(x))=( g(x)，h(x))
定理2：F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定存在最大公因式。
（二）.用来求最大公因式的方法
(1).辗转相除法:
如果f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，且q q(q),q q(q)∈P[x],使
f(x)=q1(q)g(x)+q1(q)
g(x)=q2(q)q1(q)+q2(q)
q1(q)=q3(q)q2(q)+q3(q)
??
q q?2(q)=q q(q)q q?1(q)+q q(q)
q q?1(q)=q q+1(q)q q(q)+0
其中?(q q(q))≥0，则q q(q)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
(2).串位加减法
(3).矩阵求法：
A=(f(x)
g(x)
)一系列初等行变换
→ (
d(x)
) d(x)=( f(x)，g(x))
例1.设f(x)=q4+3q3?q2?4x?3
g(x)=3q3+10q2+2x?3
求( f(x)，g(x))
解：法1辗转相除法。
求得r2(q)=9q+27是最大公因式，即
( f(x)，g(x))=x+3
法2串位加减法
设c≠0，则对于任意多项式f(x)，g(x)
( f(x)，g(x))=( f(x)，cg(x))
于是r7(q)=2x+6是最大公因式，即
( f(x)，g(x))=x+3
例2．令F 是有理数域，求出F [x ]的多项式
f (x )=4q 4?2q 3?16q 2+5x +9，
g (x )=2q 3?q 2
?5x +4
使得u (x )f (x )+v (x )g (x )=d (x )成立的d (x )，u (x )，v (x ),其中d (x )=( f (x )，g (x ))。
解 我们把I 拼在(f (x
)
g (x )
)的右边一起做行初等变换： ( f (x )10 g (x )01)=(4q 4?2q 3?16q 2+5x +9102q 3?q 2?5x +401
)q 1+q 2×(?2)→ (?6q 2?3x +91?2q 2q 3?q 2?5x +401)q 2+q 1×q → (?6q 2
?3x +91?2q 6q 3?3q 2
?15x +1203
)→? (0???3q +3q ?1?2q 2
+2q +3
)q 1?q 2 q 1×(?1
3)
→ (q ?1?13(q ?1
)
2
3
q 2?2
3q ?10
?
?
)。 所以d (x )=q ?1，u (x )=?1
3(q ?1)，v (x )=23q 2?2
3q ?1。
注：如果d (x )是f (x )，g (x )在F [x ]中的公因式，则d (x )是f (x )与g (x )的最大公因式的充分必要条件是存在u (x ),v (x )∈F (x )，使得
d (x )=u (x )f (x )+v (x )g (x )
例3.求u (x ),v (x )使u (x )f (x )+v (x )g (x )=( f (x )，g (x ))：
f (x )=q 4
+2q 3
?q 2
?4x ?2，g (x )=q 4
+q 3
?q 2
?2x ?2
（P45,6.(1)）
解：f (x )=g (x )q 1(q )+q 1(q )，其中，
{
q 1(q )=1
q 1(q )=q 3?2x
g (x )=q 1(q )?q 2(q )+q 2(q ),其中，
{
q 2(q )=x +1
q 2(q )=q 2?2
q 1(q )=q 2(q )?q 3(q )+q 3(q ),其中，
{
q 3(q )=x
q 3(q )=0
所以，q 2(q )=q 2
?2是f (x )和g (x )的最大公因式。
因为g(x)=q1(q)?q2(q)+q2(q),f(x)=g(x)?q1(q)+q1(q)，所以
( f(x)，g(x))=?q2(q)?f(x)+[1+q
1
(q)?q2(q)]?g(x)由此可得：
{u(q)=?q2(q)=?x?1
v(q)=1+q
1
(q)q2(q)=q+2
注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。
例4．证明：如果d(x)│f(x),d(x)│g(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。（P45,8）
证：
设d(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，即有d′(x)│f(x)和d′(x)│g(x)
不妨设f(x)=d′(x)?q1(q),g(q)=d′(x)?q2(q)
由已知条件可得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
所以d(x)=u(x)d′(x)?q1(q)+v(x)d′(x)?q2(q)
故有d′(x)│d(x)
因此，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
注：已知d(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，只需证明f(x)与g(x)的任一公因式都是d(x)的公因式便可得证。