最大公因式的计算方法
谭民雪 20101101918
数学科学学院信息与计算科学专业 2010级信息班
指导教师斯琴高娃
摘要最大公因式的概念是多项式代数的重要内容，关于最大公因式的求法一般只讨论两个多项式的最大公因式的求法。方法主要有分解因式法和辗转相除法。考虑n个多项式的最大公因式时，往往也是通过两两多项式求最大公因式，因此，求多个多项式的最大公因式需要多次计算，为了改进方法，逐渐出现了矩阵初等变换法等利用多项式矩阵和数字矩阵的运算来求解最大公因式，虽不善完美，但是一种突破，本文在此基础上对求最大公因式的方法进一步做一个较全面的探讨而且配有相关例题，有助于理解学习。
关键词最大公因式，多项式，计算，矩阵，例题
1有关最大公因式的定义
1.1公因式的定义
令f(x)和g(x)是F(x)的两个多项式，若是F(x)的一个多项式h(x)同时整除f(x)和g(x)，那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式。
1.2最大公因式的定义
设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式，若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除，那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式。
2最大公因式的计算方法
2.1辗转相除法
若f(x)=g(x)=0，那么由定义知：f(x)与g(x)的最大公因式为0；若f(x)与g(x)不都等于零，比方说g(x)≠0，应用带余除法以g(x)除f(x)得商式)(1x q 及余式)(1x r ，如果)(1x r ≠0,那么再以)(1x r 除g(x)，得商式)(2x q 及余式)(2x r ，如此继续下去，因为余式的次数每次降低，所以做了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式)(x r k ≠0，它整除前一个余式)(1x r k -，这样我们得到一串等式：
f(x)=g(x))(1x q +)(1x r
g(x)=)()()(221x r x q x r +
)()()()(3321x r x q x r x r +=
……
)()()()(12x r x q x r x r k k k k +=--
)()()(11x q x r x r k k k +-=
我们说)(x r k 就是f(x)与g(x)的一个最大公因式。
成本核算的几种主要方法 因产品生产类型的不同特点和企业不同的管理要求，存在着三种不同的成本计算对象，即产品的品种、批别、生产步骤。而成本对象的不同，形成了品种法、分批法、分步法三种不同的成本计算方法。此外，如果产品的品种规格繁多，为了简化产品成本核算工作，可将产品的品种规格归并分类，按类别开设成本计算单归集费用，然后再按品种规格或生产批别、生产步骤分配费用、计算成本。这种用来简化成本计算工作的方法，成为分类法。分类法不是单独应用的成本计算方法，需与某一种或某两种基本方法结合应用，以便简化基本方法的核算工作，所以属于成本计算的辅助方法。以下面表格简单列示不同成本核算方法使用的生产组织形式、生产工艺过程和管理的要求及使用的类型。 成本核算方法 生产组织形式 生产工艺过程和管理的要求 适用的类型 品种法 大量大批生产 单步骤生产或管理上不要求分步骤计算工成本的多步骤生产 发电、采煤 分批法 小批单件生产 管理上要求分步计算成本 精密仪器、专用设备 分步法
大量大批生产 管理上要求分步骤计算成本的多步骤生产 冶金、纺织、造纸 分类法 综合性生产 分步、不分计算成本的生产 家电、服装 http: 产品制造成本构成项目为直接材料、直接人工和制造费用。 ⒈直接材料成本 ⑴采用实际成本方法核算 获取成本计算单、材料成本分配汇总表、材料发出汇总表、材料明细账中各直接材料的单位成本等资料。 ①审查成本计算单中直接材料与材料成本分配汇总表中相关的直接材料是否相符，分配的标准是否合理。审查时注意两个方面的问题： 第一、非生产耗用材料记入产品成本。如果成本计算单直接材料金额大于材料成本分配汇总表的分配金额，应进一步查明原因，审查材料使用对象有无将非产品耗用材料记入产品成本。 但企业会计人员如果有意识地挤占产品成本，在耗用材料进行分配时，就会将非生产耗用材料直接分配到产品成本，使得成本计算单和材料分配汇总表金额相等。核对材料分配表若不能暴露问题，可采取通过非生产性项目的审查，即采用“反查法”的方法进行审查，查明问题后，按照谁耗用谁负担的原则，进行纳税调整。账务处理：
2.2 提公因式法 A卷：基础题 一、选择题 1．下列各组代数式中，没有公因式的是（） A．5m（a－b）和b－a B．（a+b）2和－a－b C．mx+y和x+y D．－a2+ab和a2b－ab2 2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（） A．x2－y B．x2+2x C．x2+y2 D．x2－xy+y2 3．下列用提公因式法分解因式不正确的是（） A．12abc－9a2b2c=3abc（4－3ab） B．3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2y） C．－a2+ab－ac=－a（a－b+c） D．x2y+5xy+y=y（x2+5x+1） 4．（－2）2007+（－2）2008等于（） A．2 B．22007 C．－22007 D．－22008 5．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是（） A．x（y2－9） B．x（y+3）2 C．x（y+3）（y－3） D．x（y+9）（y－9）二、填空题 6．9x2y－3xy2的公因式是______． 7．分解因式：－4a3+16a2b－26ab2=_______． 8．多项式18x n+1－24x n的公因式是______，提取公因式后，另一个因式是______． 9．a，b互为相反数，则a（x－2y）－b（2y－x）的值为________． 10．分解因式：a3－a=______． 三、解答题 11．某中学有三块草坪，第一块草坪的面积为（a+b）2m2，第二块草坪的面积为a（?a+b）m2，第三块草坪的面积为（a+b）bm2，求这三块草坪的总面积．
12．观察下列等式，你得出了什么结论？并说明你所得的结论是正确的．1×2+2=4=22； 2×3+3=9=32； 3×4+4=16=42； 4×5+5=25=52； … B卷：提高题 一、七彩题 1．（巧题妙解题）计算：1233695101571421 13539155152572135??+??+??+?? ??+??+??+?? . 2．（多题一思路路） （1）将m2（a－2）+m（2－a）分解因式，正确的是（） A．（a－2）（m2－m） B．m（a－2）（m+1） C．m（a－2）（m－1） D．m（2－a）（m－1）（2）若x+y=5，xy=10，则x2y+xy2=_______； （3）mn2（x－y）3+m2n（x－y）4分解因式后等于_______．
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式 变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((]2)(2))[(() (2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+?
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
分批法： 1．某企业生产甲、乙两种产品，生产组织属于小批生产，采用分批法计算成本。 （1）5月份的产品批号有：9414批号：甲产品10台，本月投产，本月完工6台。9415批号：乙产品10台，本月投产，本月完工2台。 （2）5月份各批号生产费用资料见表： 生产费用分配表 9414批号甲产品完工数量较大，原材料在生产开始时一次投入，其他费用在完工产品与在产品之间采用约当产量比例法分配，在产品完工程度为50%。 9415批号乙产品完工数量较少，完工产品按计划成本结转。每台产品单位计划成本：原材料费用460元，工资及福利费用350元，制造费用240元。 要求：根据上述资料，采用分批法，登记产品成本明细账，计算各批产品的完工成本和月末在产品成本。 2．某工业企业生产组织属于小批生产，产品批数多，而且月末有许多批号未完工，因而采用简化的分批法计算产品成本。 （1）9月份生产批号有： 9420号：甲产品5件，8月投产，9月20日全部完工。 9421号：乙产品10件，8月投产，9月完工6件。 9422号：丙产品5件，8月末投产，尚未完工。 9423号：丁产品6件，9月初投产，尚未完工。 （2）各批号9月末累计原材料费用（原材料在生产开始时一次投入）和工时为： 9420号：原材料费用18000元，工时9020小时。 9421号：原材料费用24000元，工时21500小时。 9422号：原材料费用15800元，工时8300小时。 9423号：原材料费用11080元，工时8220元小时。
（3）9月末，该厂全部产品累计原材料费用68880元，工时47040小时，工资及福利费18816元，制造费用28224元。 （4）9月末，完工产品工时23020元，其中乙产品14000小时。 要求：1．根据上列资料，登记基本生产成本二级账和各批产品成本明细账。 2．计算和登记累计间接费用分配率。 3．计算各批完工产品成本。 分步法 1．有关资料如下： 产成品成本还原计算表 产品名称：甲产量： 100件单位：元 要求：（1）计算还原分配率。 （2）将还原前产成品成本中的半成品费用，按本月所产半成品成本的结构进行还原，计算按原始成本项目反映的产成品成本。 2．资料：某企业生产甲产品分三个步骤连续加工，原材料在生产开始时一次投入，各步骤发生的费用已填列在成本计算单中，三个步骤的产量记录如下： 计量单位：件
高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??
＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥
企业核算成本常用的方法有以下几种： 1、品种法 （1）定义 以产品品种作为成本计算对象的一种成本计算方法。 （2）成本对象 品种法的成本计算对象为：产品品种。实际工作中，可以将“品种法”之下的成本对象变通应用为：产 品类别、产品品种、产品品种规格。 （3）计算方法及要点 品种法在实际工作中的应用要点为：以“品种”为对象开设生产成本明细账、成本计算单；成本计算期一般采用“会计期间”；以“品种”为对象归集和分配费用；以“品种”为主要对象进行成本分析。 （4）适用范围 品种法适合于大批大量、单步骤生产的企业。如发电、采掘业、管理上只要求考核最终产品的企业。 2、分批法 （1）定义 以产品批别作为成本计算对象的一种成本计算方法。 （2）成本对象 产品的“批”。分批法是一种很广义的成本计算方法，在实际工作中，有“批号”、“批次”的定义。可以按照下列方式确定成本对象：产品品种、存货核算中分批实际计价法下的“批”、生产批次、制药等企业的产品“批号”、客户订单——即按照客户订单计算成本的方法、其他企业需要并自定义的“批” （3）计算方法及要点 品种法在实际工作中的应用要点为：以“批号”、“批次”为成本计算对象开设生产成本明细账、成本计算单。成本计算期一般采用“工期”，一般不存在生产费用在完工产品和在产品之间分配。若生产费用在 完工产品、在产品间分配采用定额法。 （4）适用范围 单件、小批生产企业、按照客户定单组织生产的企业——因而也称“订单法” 3、分步法
（1）定义 以产品生产阶段、“步骤”作为成本计算对象，计算成本的一种方法。 （2）成本对象 分步法下的“步”同样是广义的，在实际工作中有丰富的、灵活多样的具体内涵和应用方式，分步法下之“步”在实际应用中，可以定义为下列“步”含义：部门——即计算考核“部门成本”、车间、工序、特定的 生产、加工阶段、工作中心，上述情况的随意组合。 （3）计算方法及要点 较之其他方法，分步法在具体计算方式方法上很有不同，这主要是因为它按照生产加工阶段、步骤计 算成本所导致的。 在分步法下，有下列一系列特定的计算流程、方法和含义，分步法成本核算一般有如下要点：按照“步”作为成本计算对象、归集费用、计算成本、成本计算期一般采用“会计期间”法、期末往往存在本期完工产 品、期末在产品，需要采用一定的方法分配生产费用。 （4）适用范围：大批大量多步骤多阶段生产的企业；管理上要求按照生产阶段、步骤、车间计算成本； 冶金、纺织、造纸企业、其他一些大批大量流水生产的企业等。 4、分类法 （1）定义 以“产品类”作为成本计算对象、归集费用、计算成本的一种方法。 （2）成本对象 分类法的成本对象为产品“类”，在实际工作中，可以定义为：产品自然类别、管理需要的产品类别。 （3）计算方法及要点 分类法下成本核算的方法要点，可概括如下：以“产品类”为成本计算对象，开设成本计算单；“产品类”的成本计算方法同于“品种”；某“类产品”的成本计算出来后，按照下列方法再分配到具体品种，以计算品种的成本；类中选定某产品为“标准产品”；定义其他产品与标准产品的换算系统；按照换算系统之比例将“类 产品”的成本分解计算到具体品种产品的成本。 （4）适用范围 分类法适合于产品品种规格繁多，并且可以按照一定的标准进行分类的企业。如：鞋厂、轧钢厂等。 5、ABC成本法
课题14.3.1《因式分解--提公因式法》课时 教学目标知识与技能 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形 过程中的相反关系； 过程与方法能够利用提公因式法对简单的多项式进行因式分解． 情感价值观 通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事 物间的因果联系． 教学重点 1.因式分解2. 提公因式法分解因式 教学难点确定多项式各项的公因式 教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影 教学过程 教学流程教学活动 学生 活动 设计 意图 提出问题引入新课1、计算： （1）x（x＋1）（2）（x＋1）（x－1） 2．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式 （1）x2+x=______ （2）x2-1=_________ （3）am+bm+cm=_ _ 3．得到结果,分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理， （1）x2+x=x（x+1） （2）x2-1=（x+1）（x-1） （3）am+bm+cm=m（a+b+c） 分析特点：等号的左边：都是多项式。等号的右边：几个整 式的乘积形式 学生思 考并试 着解决 问题 （学生 练习， 并演 板） 引出 因式 分解 概念 因式分解1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变 形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。 3、判断下列各式由左边到右边的变形中，哪些是因式分解？ （1）6＝2×3 （2）a（b＋c）＝ab＋ac （3）a2－2a＋1＝a（a－2）＋1 （4）a2－2a＝a（a－2） （5）a＋1＝a（1＋1/a） 探究 归纳 了解 因式 分解 概念
证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理
在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<
成本計算基本方法舉例 一、品種法舉例 （一）資料：某廠為大量大批單步驟生產的企業，採用品種法計算產品成本。企業設有一個基本生產車間，生產甲、乙兩種產品，還設有一個輔助生產車間－運輸車間。該廠200×年5月份有關產品成本核算資料如下： 3、該月發生生產費用： （1）材料費用。生產甲產品耗用材料4410元，生產乙產品耗用材料3704元，生產甲乙產品共同耗用材料9000元（甲產品材料定額耗用量為3000千克，乙產品材料定額耗用量為1500千克）。運輸車間耗用材料900元，基本生產車間耗用消耗性材料1938元。 （2）工資費用。生產工人工資10000元，運輸車間人員工資800元，基本生產車間管理人員工資1600元。 （3）其他費用。運輸車間固定資產折舊費為200元，水電費為160元，辦公費為40元。基本生產車間廠房、機器設備折舊費為5800元，水電費為260元，辦公費為402元。 4、工時記錄。甲產品耗用實際工時為1800小時，乙產品耗用實際工時為2200小時。 5、本月運輸車間共完成2100公里運輸工作量，其中：基本生產車間耗用2000公里， 企業管理部門耗用100公里。 6、該廠有關費用分配方法： （1）甲乙產品共同耗用材料按定額耗用量比例分配； （2）生產工人工資按甲乙產品工時比例分配； （3）輔助生產費用按運輸公里比例分配； （4）製造費用按甲乙產品工時比例分配； （5）按約當產量法分配計算甲、乙完工產品和月末在產品成本。甲產品耗用的材料隨加工程度陸續投入，乙產品耗用的材料于生產開始時一次投入。 要求：採用品種法計算甲、乙產品成本。（解答如下）
1、進行要素費用的分配 （1）材料費用分配表 材料費用分配會計分錄： 借：基本生產成本－甲產品 10410 基本生產成本－乙產品 6704 輔助生產成本－運輸車間 900 製造費用 1938 貸：原材料 19952 （2）工資費用分配表 工資費用分配會計分錄如下： 借：基本生產成本－甲產品 4500 基本生產成本－乙產品 5500 輔助生產成本－運輸車間 800 製造費用 1600 貸：應付工資 12400 （3）其他費用匯總表 其他費用分配會計分錄如下： 借：輔助生產成本－運輸車間 400 製造費用 6462
因式分解（1） 一知识点讲解 知识点一：因式分解概念： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。 2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形 知识点二：寻找公因式 1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法） 例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？
2、寻找公因式的方法： （一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）： 1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面， 把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤： （1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式 原多项式另一个因式= 4.注意事项：因式分解一定要彻底 二、例题讲解 模块1：考察因式分解的概念 1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、x x x x x 6)3)(3(692 +-+=+- B 、103)2)(5(2 -+=-+x x x x C 、2 2 )4(168-=+-x x x D 、b a ab 326?=
2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、2)1(322 2 ++=++x x x B 、2 2 ))((y x y x y x -=-+ C 、2 2 2 )(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ） A 、1)1(21222 +-=+-a a a a B 、2 2 ))((y x y x y x -=+- C 、2 2 )13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(2 2 2 +-=+ 4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、15123-=-+x y x B 、2 2 49)23)(23(b a b a b a -=-+ C 、)11(2 2x x x x +=+ D 、)2)(2(2822 2y x y x y x -+=- 5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、ab a b a a -=-2 )( B 、1)2(122 +-=+-a a a a C 、)1(2 -=-x x x x D 、)(2 2 2 xy y x y x xy -=- 6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、23)2)(1(2 +-=--x x x x B 、)2)(1(232 --=+-x x x x C 、4)4(442 +-=++x x x x D 、))((2 2 y x y x y x -+=+ 模块2：考察公因式 1. （2017春抚宁县期末）多项式3 222320515n m n m n m -+的公因式是（ ） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、2 5mn 2.（2017春东平县期中）把多项式3 32223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ） A 、bc a 28- B 、3222c b a C 、abc 4- D 、3 3324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32 -的公因式是（ ） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n m y x y x 31 128--的公因式是（ ） A 、n m y x B 、1-n m y x C 、n m y x 4 D 、1 4-n m y x 5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 102552 3 -+-各项的公因式是（ ）
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
成本核算的基本方法有哪些 1、品种法 （1）定义 以产品品种作为成本计算对象的一种成本计算方法。 （2）成本对象 品种法的成本计算对象为：产品品种。实际工作中，可以将“品种法”之下的成本对象变通应用为：产品类别、产品品种、产品品种规格。 （3）计算方法及要点 品种法在实际工作中的应用要点为：以“品种”为对象开设生产成本明细账、成本计算单；成本计算期一般采用“会计期间”；以“品种”为对象归集和分配费用；以“品种”为主要对象进行成本分析。 4）适用范围 品种法适合于大批大量、单步骤生产的企业。如发电、采掘业、管理上只要求考核最终产品的企业。 2、分批法 （1）定义 以产品批别作为成本计算对象的一种成本计算方法。 （2）成本对象 产品的“批”。分批法是一种很广义的成本计算方法，在实际工作中，有“批号”、“批次”的定义。可以按照下列方式确定成本对象：产
品品种、存货核算中分批实际计价法下的“批”、生产批次、制药等企业的产品“批号”、客户订单——即按照客户订单计算成本的方法、其他企业需要并自定义的“批” （3）计算方法及要点 分批法在实际工作中的应用要点为：以“批号”、“批次”为成本计算对象开设生产成本明细账、成本计算单。成本计算期一般采用“自，工期”，一般不存在生产费用在完工产品和在产品之间分配。若生产费用在完工产品、在产品间分配采用定额法。 （4）适用范围 单件、小批生产企业、按照客户定单组织生产的企业——因而也称“订单法” 3、分步法 （1）定义 以产品生产阶段、“步骤”作为成本计算对象，计算成本的一种方法。 （2）成本对象 分步法下的“步”同样是广义的，在实际工作中有丰富的、灵活多样的具体内涵和应用方式，分步法下之“步”在实际应用中，可以定义为下列“步”含义：部门——即计算考核“部门成本”、车间、工序、特定的生产、加工阶段、工作中心，上述情况的随意组合 （3）计算方法及要点 较之其他方法，分步法在具体计算方式方法上很有不同，这主要
不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］
1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一：
成本计算基本方法习题参考答案 一、单选题 1.品种法的成本计算对象是（ A ）。 A.各种产品品种 B.产品的批别或订单 C.各种产品的材料费用 D.每个加工阶段的半成品及最后加工阶段的产成品 2.简化分批法与分批法的主要区别是（ B ）。 A.不分批计算完工产品成本 B.不分批计算在产品成本 C.分批核算原材料费用 D.不分配核算在产品成本 3.平行结转分步法在产品的含义是指（ D ）。 A.本步骤在产品 B.最终产成品 C.最后步骤在产品 D.本步骤在产品和以后步骤在产品及入半成品库尚未最后完工的半成品 4.在采用综合逐步结转分步法下，下步骤耗用的上步骤半成品成本应转入下步骤成本明细账中的（ D ）成本项目。 A.直接材料 B.直接人工 C.制造费用 D.直接材料或自制半成品 5.采用分步法，为反映原始成本项目，必须进行成本还原的是（ A ）。 A.逐步综合结转分步法 B.逐步分项结转分步法 C.逐步结转 D.平行结转 6.采用简化分批法下，累计间接费用分配率（ C ）。 A.只是在各产品之间分配间接费用的依据 B.只是在各批产品之间分配间接费用的依据 C.既是各批产品之间，也是完工产品和在产品之间分配间接费用依据 D.只是完工产品和在产品之间分配间接费用的依据 7.采用简化分批法，在产品完工之前，基本生产成本明细账登记的内容是（ B ）。 A.不登记任何费用 B.只登记直接费用和生产工时 C.只登记原材料费用 D.登记间接费用不登记原始费用 8.分批法适用于（ A ）。 A.小批生产 B.大批生产 C.大量生产 D.多步骤生产 9.成本还原是将（ D ）耗用各步骤半成品的综合成本，逐步分解还原为原始成本项目的成本。 A.广义在产品 B.自制半成品 C.狭义在产品 D.产成品 10.分步法中，半成品已经转移，但成本不结转的成本结转方式是（ B ）。 A.逐步结转分步法 B.平行结转分步法 C.综合结转分步法 D.分项结转分步法 11.产品成本计算的分步法是（ C ）。 A.分车间计算产品成本的方法 B.计算各步骤半成品和最后步骤产品成本的方法 C.按生产步骤计算产品成本的方法 D.计算产品成本中各步骤份额的方法 12.逐步结转分步法中在产品含义是指（ B ）。 A.自制半成品 B.狭义在产品 C.广义在产品 D.半成品和产成品 13.分步法适用于（ D ）。 A.单件生产 B.大量生产 C.大量大批生产 D.大量大批多步骤生产 14.将上一步骤转入的半成品成本全部记入下一步骤成本计算单的“自制半成品”或“直接材料”成本项目，这种成本结转方式称为（ D ）。 A.成本还原 B.平行结转 C.分项结转 D.综合结转 15.成本还原是从（ B ）生产步骤开始，将其耗用的前一步骤的自制半成品综合成本，按照上一步骤完工半成品成本构成，还原为原始成本项目的构成。 A.最前 B.最后 C.中间 D.任意 二、多选题
《提取公因式法》教学设计 苍南星海学校（董丽姬）一：教材解析 提公因式法是浙教版七年级下册第四章4.2课时主要是在理解因式分解和公因式概念的基础上，用提取公因式法进行因式分解，它与前面所学的整式乘法是互逆的．通过这节课的学习，一方面了解因式分解与整式乘法的关系，掌握提取公因式法这个最基本的因式分解方法，另一方面为今后解方程、代数式求值、分式各种运算等问题作必要的知识储备；同时在教学中渗透“类比”的数学方法，从而促进学生观察、分析、概括能力的发展．因式分解是把一个多项式写成几个整式的积的形式，等号左边是几个整式的和，等号右边是几个整式的积，本质就是“和→积”．提取公因式法作为因式分解的基本方法，通过逆向使用乘法分配律，把一个多项式转化为公因式与另一个因式的积的形式，因此找对公因式成为了关键。 二：教学目标 （１）掌握公因式的概念，会用提取公因式法进行因式分解。（２）理解添括号法则。 （３）通过观察、分析、交流，激发学生学习的热情。 三：教学重点和难点 重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则，还会运用整体的思想。 难点：确定公因式。
四：教学过程 （一）复习与巩固 判断下列因式分解是否正确 通过对因式分解的回顾是让学生明白，因式分解是将多项式化为几个整式积的形式。 （二）导入新课 温故知新 导入新课 师：计算 怎么做简便？ 生： 师：依据是什么？ 生：乘法分配律。 师：老师记得乘法分配律，等号左边是一项乘以括号里的项，所以这个应该是_______ 生：乘法分配律的逆运算。 师：每个式子里都有一个，小学里我们学过，叫______ 生：公因数。 师：那老师把23写成a,2.2,4,3.8分别写成b,c,d 。 就得到ab+ac+ad=a(b+c+d)。刚刚我们把23叫做公因数，那对于多(1)() ma mb m a b +=+2(2)(1)(1)1x x x +-=-232232 (3)27333a b c a b c =??21(4)21(2)a a a a a -+=-+(5)3123(4) a b a b +=+23 2.223423 3.8?+?+?=23 2.223423 3.823(2.24 3.8)?+?+?=?++原式