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多项式的最大公因式

问题：

（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？

设与是中两个多项式，中多项式称为与的最大公因式，如果满足下面两个条件：

(1).是与的公因式；

(2).，的公因式全是的因式。

我们约定用，表示首项系数为1的那个最大公因式。

定理1：对于中任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表示成，的一个组合，即有中多项式，使

引理：设，且

则与与与有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且

，，

定理2：的任意两个多项式与一定存在最大公因式。

（二）.用来求最大公因式的方法

(1).辗转相除法:

如果，且,使

其中，则是与的一个最大公因式。

(2).串位加减法

(3).矩阵求法：

一系列初等行变换

，

例1.设

求，

解：法1辗转相除法。

求得是最大公因式，即

，

法2串位加减法

设，则对于任意多项式，

，，

于是是最大公因式，即

，

例2．令F是有理数域，求出的多项式

，

使得成立的，，,其中，。

解我们把I拼在的右边一起做行初等变换：

。所以，，。

注：如果是，在中的公因式，则是与的最大公因式的充分必要条件是存在，使得

例3.求使，：

，

（P45,6.(1)）

解：，其中，

,其中，

所以，是和的最大公因式。

因为,，所以

，

由此可得：

注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。

例4．证明：如果，且为与的一个组合，那么是与

的一个最大公因式。（P45,8）

证：

设是与的任一公因式，即有和

不妨设

由已知条件可得

所以

故有

因此，是与的一个最大公因式。

注：已知是与的任一公因式，只需证明与的任一公因式都是的公因式便可得证。

2019版九年级数学暑期作业因式分解测试1 提公因式法鲁教版五四制

2019版九年级数学暑期作业因式分解测试1 提公因式法鲁教版五四制一、填空题 1．因式分解是把一个______化为______的形式． 2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝______．二、选择题 4．下列各式变形中，是因式分解的是（） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ．)11(22222x x x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（） A ．－3xy B ．－3x 2y C ．－3x 2y 2 D ．－3x 3y 3 6．多项式a n －a 3n ＋a n ＋2分解因式的结果是（） A ．a n （1－a 3＋a 2） B ．a n （－a 2n ＋a 2） C ．a n （1－a 2n ＋a 2） D ．a n （－a 3＋a n ）三、计算题 7．x 4－x 3y 8．12ab ＋6b 9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ） 11．3（x －3）2－6（3－x ） 12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2 13．y （x －y ）2－（y －x ） 3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ） 15．－2x 2n －4x n 16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 四、解答题

单项式与多项式练习题

单项式与多项式练习题一、填空题 1．“x 的平方与2的差”用代数式表示为． 2．单项式8 53ab -的系数是 ___,次数是 ___；当5,2a b ==-时，这个代数式的是 . 3．多项式34232-+x x 是次项式，常数项是． 4．单项式2 5x y 、2 2 3x y 、2 4xy -的和为． 5．若 32115k x y +与387 3 x y -是同类项，则k = ． 6．已知单项式32b a m 与－3 2 14-n b a 的和是单项式，那么m ＝，n ＝． 8．已知轮船在逆水中前进的速度是m 千米/时，水流的速度是2千米/时，则这轮船在静水中航行的速度是千米/时. 9．一个两位数，个位数字是a ，十位数字比个位数字大2，则这个两位数是． 10．若53<