动态规划程序设计
实验目的：掌握并实现动态规划算法。
实验内容：对维数为序列（5，10，3，12，5，50，6）的各矩阵。找出其矩阵链乘的一个最优加全括号。实验要求：利用动态规划思想写出算法的伪代码和C程序代码
(一)算法思想
穷举所有的计算次序，且对每一计算次序确定其乘法次数。由此可找出n个矩阵进行连乘积A1A2…An的最小乘法次数。
将矩阵链乘积简记为A[i:j] ，这里i≤j
考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k 计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n] 当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n 当i 可以递归地定义m[i,j]为： k位置只有j-i种可能 (二)程序代码 //动态规划 import java.io.*; public class Testsuanfa { public final int len = this.GetN()+1; public int[] A = new int[len]; public double[][] M = new double[len][len]; public double[][] S = new double[len][len]; //取得用户需要规划的矩阵连乘的个数。 public int GetN(){ int dvalue = 0; String value; System.out.println("请输入连乘矩阵个数："); BufferedReader bfr = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); try { value = bfr.readLine(); dvalue =Integer.parseInt(value); //捕捉输入异常 } catch (IOException e) { System.out.println("输入出错了，请重新输入："); System.exit(0); }catch (NumberFormatException e2) { System.out.println("请输入正确的数字！！"); System.exit(0); } return dvalue; } //输入矩阵的序列 public int GetA(){ int dvalue = 0; String value; System.out.println("请输入分别矩阵维数序列："); BufferedReader bfr = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); try { value = bfr.readLine(); dvalue =Integer.parseInt(value); //捕捉输入异常 } catch (IOException e) { System.out.println("输入出错了，请重新输入："); System.exit(0); }catch (NumberFormatException e2) { System.out.println("请输入正确的数字！！"); System.exit(0); } return dvalue; } public void f(){ //调用GetA方法，拿到每个序列值 for(int i=0;i A[i] = this.GetA(); } for(int i=0;i M[i][i] = 0; } //依次从长度为2到len，求解每一个长度的最有加全括号。 for(int l=2;l for(int i=1;i int j = i+l-1; M[i][j] = Double.MAX_V ALUE; for(int m=i;m double temp = M[i][m]+M[m+1][j]+A[i-1]*A[m]*A[j]; if(temp M[i][j] = temp; S[i][j] = m; } } } } //调用输出方法print() System.out.print("你输入的一组矩阵序列为："); for(int i=0;i System.out.print(A[i]+" "); } System.out.println(); System.out.println(); System.out.print("通过动态规划，其最优加全括号为："); this.print(1,len-1); } //输出方法 public void print(int i,int j){ if(i==j){ System.out.print("A"+i); }else{System.out.print("("); this.print(i,(int) S[i][j]); this.print((int) (S[i][j]+1),j); System.out.print(")"); } } public static void main(String[] args) {//主函数定义一个对象，调用方法f()，实现动态规划。 Testsuanfa tsf = new Testsuanfa(); tsf.f(); } } 矩阵连乘问题 给定n 个矩阵{ A 1 , A 2 , ... , A n }，其相邻矩阵是可乘的。计算此n 个矩阵的连乘积，可以有许多不同的计算次序。 例如：计算矩阵A 1 , A 2 , A 3 , A 4的连乘积，可有下面5种计算次序： (A 1(A 2(A 3A 4)))，(A 1((A 2A 3)A 4))，((A 1A 2)(A 3A 4))， ((A 1(A 2A 3))A 4)，(((A 1A 2)A 3)A 4)。 不同的计算次序所需要的计算量是不同的。对于n 个矩阵连乘，如何确定计算次序，使得需要的数乘次数最少 ：穷举搜索法和动态规划法。 对于动态规划法 用Aij 表示从Ai 到Aj 的乘积，即A[i:j]。考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak 和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k A[k+1:j]的次序也是最优的。 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求解的显著特征。 建立递归关系：设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n] 当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n 当i 问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,A n，其中A i与A i+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC) 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数 ((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。 算法思路： 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25 递推关系： 设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。 当i=j时，A[i:j]=A i，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n 当i 实训二 矩阵连乘问题的动态规划算法与实现 一、设计目的 1）掌握动态规划算法思想； 2）掌握矩阵相乘问题的动态规划,得到矩阵相乘问题的最优解； 3）进一步掌握动态规划法的基本思想和算法设计方法； 二、设计内容 1．任务描述 给定n个矩阵｛A1,A2,…,A n｝，其中A i与A i+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 2．主要数据类型与变量 int p[MAX+1]//如任务描述记录30,35,15,5,10,20,25 m[MAX][MAX]//记录存储相乘次数的 s[MAX][MAX]; //记录从哪里断开的才可得到该最优解 int matrixCount;//矩阵个数 3．算法或程序模块 void matrixChain(int p[21],int n,int m[20][20],int s[20][20]) 功能: 得到矩阵相乘问题的最优解 void Trackback(int i,int j,int s[20][20]) 功能: 按算法MatrixChain 计算出的断点矩阵s指示的加括号方式输出计算A[i:j] 的最优计算次序。 三、测试 找不到好的数据,呼呼就拿书上的例子测试吧！我把二维数组m也输出了看了一下,应该是可以的。检查下断开的点,也是正解。 测试多组数据： 四、总结与讨论 对于这个实训二，主要是为了得到矩阵相乘的最少次数。 所以我们引进了一个k值，把一个矩阵链分解成多个矩阵链，可以分成长度为2或者长度为3的矩阵链，当然分开后还要 +（第一个矩阵的行数*Ak矩阵的行或列*最后一个矩阵的列） J=1 j=2 ........... j=n 上图其实很清楚的可以看出程序的流程。 因为对角线上i=j 所以值为0 当j-i=1 为长度为2的矩阵链, 就一个解 另外有多个解的时候k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值，查找的同时替换掉大的数 最后使用Tranceback根据s[][]记录的各个子段的最优解，将其输出。 其最优解为：m[1][matrixCount] 附：程序模块的源代码 #include 矩阵链乘法问题 什么是矩阵链乘法问题？ 矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最优方式的问题。给定n个 矩阵，它们的维度分别为d0×d1，d1×d2，...，dn-1 ×dn。假设这 些矩阵按照顺序相乘，即(A1A2)(A3A4)...(An-1An)，那么计算这个式子所需的标量乘法次数就取决于每个括号内部的矩阵相乘顺序。因此，我们需要找到一种最优的括号方案来使得标量乘法次数最小。 如何解决矩阵链乘法问题？ 动态规划是解决矩阵链乘法问题的经典方法。该方法将原始问题分解 为子问题，并使用已知子问题的解来求解原始问题。具体地说，在矩 阵链乘法中，我们定义一个二维数组m[i][j]表示从第i个到第j个矩阵所需的最小标量乘法次数。同时，我们还定义一个二维数组s[i][j]表示从第i个到第j个矩阵中最优括号方案中第一个括号所包含的最后一个位置k。 根据上述定义，我们可以得出以下递推式： m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+di-1×dk×dj}(i≤k s[i][j]=argmin{m[i][k]+m[k+1][j]+di-1×dk×dj}(i≤k 矩阵链相乘问题的算法是用 矩阵链相乘问题是一个经典的问题，它的目标是找到一种最优的方式来连乘一系列矩阵，使得计算乘积的总运算量最小。这个问题在计算机科学和数学领域都具有重要的应用价值。 一种常用的算法解决矩阵链相乘问题是动态规划算法。动态规划算法是一种通过构建一个最优解的递归结构，并利用子问题的最优解来逐步构建整个问题的最优解的方法。 为了使用动态规划算法解决矩阵链相乘问题，首先需要定义一个特定的问题形式，并设计一个递归解法来解决它。对于矩阵链相乘问题，可以定义以下形式： 假设有n个矩阵 {A1, A2, ..., An}，它们的维度分别是 {d0, d1, d2, ..., dn}，其中Ai的维度是di-1 x di。 要解决矩阵链相乘问题，需要找到一种最优的括号方案，使得计算乘积的总运算量最小。可以定义一个函数MCM(i, j)来表 示解决从第i个矩阵到第j个矩阵的子问题所需要的最小运算量。那么，这个问题可以分解为以下两个子问题： 1. 计算第i个矩阵到第k个矩阵的子问题所需要的最小运算量：MCM(i, k) 2. 计算第k+1个矩阵到第j个矩阵的子问题所需要的最小运算量：MCM(k+1, j) 接下来，需要设计一个递归解法来解决这个问题。可以使用一 个循环来遍历可能的k值，从而得到所有可能的组合方式。对于每个k值，可以计算出相应的运算量，并选择最小的结果。递归方程可以表示如下： MCM(i, j) = min { MCM(i, k) + MCM(k+1, j) + di-1 * dk * dj } 其中i ≤ k < j，i ≤ 1 < n，MCM(i, i) = 0 通过自底向上的方式，可以使用动态规划算法来解决矩阵链相乘问题。需要构建一个二维数组dp来保存中间计算结果，其中dp[i][j]表示解决从第i个矩阵到第j个矩阵的子问题所需要的最小运算量。动态规划算法的伪代码如下所示： ``` for l = 2 to n: for i = 1 to n-l+1: j = i + l - 1 dp[i][j] = infinity for k = i to j-1: q = dp[i][k] + dp[k+1][j] + di-1 * dk * dj if q < dp[i][j]: dp[i][j] = q ``` 最后，动态规划算法的最优解可以通过访问dp[1][n]来获取。这个值表示解决从第1个矩阵到第n个矩阵的子问题所需要的最小运算量。 总结起来，矩阵链相乘问题是一个经典的问题，可以通过动态规划算法来解决。动态规划算法通过构建一个最优解的递归结 动态规划法解矩阵连乘问题 动态规划法解矩阵连乘问题实验内容 给定n个矩阵{A1,A2,….An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,3。。。，n-1。我们要计算这n个矩阵的连乘积。由于矩阵乘法满足结合性，故计算矩阵连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则我们可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 解题思路 将矩阵连乘积A(i)A(i+1)…A(j)简记为A[i:j]，这里 i <= j。考察计算 A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵A(k)和A(k+1)之间将矩阵链断开，i <= k < j, 则其相应完全加括号方式为(A(i)A(i+1)…A(k)) * (A(k+1)A(k+2)…A(j))。 特征:计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。 矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题的最优解。 设计算A[i:j]，1 <= i <= j <= n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n] 当i = j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i] = 0，i = 1,2,…,n 当i < j时，m[i,j] = m[i,k] + m[k+1,j] + p(i-1)p(k)p(j)这里A(i)的维数为p(i-1)*(i)(注:p(i-1)为矩阵A(i)的行数，p(i)为矩阵A[i]的列数) 实验实验代码 #include 矩阵连乘问题的算法 介绍 矩阵连乘问题是一个经典的数学问题，它涉及到如何寻找一组矩阵相乘的最优顺序，使得计算所需的乘法操作总数最小化。这个问题在计算机科学和算法设计中有着重要的应用。本文将介绍矩阵连乘问题的算法及其相关概念和应用。 问题描述 给定一组矩阵{A1, A2, A3, …, An}，其中Ai的维度为pi-1 × pi（1 ≤ i ≤ n），我们希望找到一种矩阵相乘的顺序，使得计算这些矩阵相乘所需的乘法操作 总数最小化。 动态规划算法 动态规划算法是解决矩阵连乘问题的经典方法。它通过存储中间结果来避免重复计算，从而提高计算效率。下面将介绍动态规划算法的具体实现步骤。 定义子问题 假设我们要计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数，其中 i ≤ j。 确定状态转移方程 设m[i][j]表示计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj的最优顺序和乘法操作总数。 根据定义，我们有以下状态转移方程： - 当i = j时，m[i][j] = 0，因为只有一个矩阵无需进行乘法操作； - 当i < j时，m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + pi-1 × pk × pj}，其中i ≤ k < j。 填表计算最优值 根据状态转移方程，我们可以使用动态规划的方法逐步填充表格m。具体步骤如下：1. 初始化所有m[i][i]为0（0 ≤ i ≤ n）； 2. 对于每个子问题(i, j)，从i = 1递增到j = n-1，按照递增的长度进行计算： - 对于每个i和j，根据状态转移方程计算m[i][j]； 3. 最终，m[1][n-1]即为所求的计算矩阵Ai × Ai+1 × … × An的最优顺序和乘法操作总数。 重构最优解 为了得到最优顺序下的具体计算过程，我们可以使用一个辅助表格s来记录最优划分点。s[i][j]表示计算矩阵Ai × Ai+1 × … × Aj时的最优划分点k。具体步骤如下： 1. 初始化所有s[i][j]为0（1 ≤ i ≤ n-1， 2 ≤ j ≤ n）； 2. 对于每个子问题(i, j)，从i = 1递增到j = n-1，按照递增的长度进行计算： - 对于每个i和j，根据状态转移方程和最优值m[i][j]，确定最优划分点k，并将k 赋值给s[i][j]； 3. 最终，根据表格s可以重构出最优顺序下的具体计算过程。 算法实现 下面是矩阵连乘问题的动态规划算法的Python实现代码： def matrix_chain_order(p): n = len(p) - 1 m = [[0] * n for _ in range(n)] s = [[0] * n for _ in range(n)] for chain_length in range(2, n + 1): for i in range(1, n - chain_length + 2): j = i + chain_length - 1 m[i - 1][j - 1] = float('inf') for k in range(i, j): q = m[i - 1][k - 1] + m[k][j - 1] + p[i - 1] * p[k] * p[j] if q < m[i - 1][j - 1]: m[i - 1][j - 1] = q s[i - 1][j - 1] = k return m, s def print_optimal_parens(s, i, j): if i == j: print(f'A{i}', end='') else: print('(', end='') print_optimal_parens(s, i, s[i - 1][j - 1]) print_optimal_parens(s, s[i - 1][j - 1] + 1, j) print(')', end='') 文章标题：迭代法求解矩阵链相乘问题c语言 一、引言 在计算机科学中，矩阵链相乘问题是一个经典的问题，也是动态规划的典型应用之一。在实际应用中，我们经常会遇到需要对多个矩阵进行相乘的情况，例如在图形处理、人工智能等领域，矩阵相乘是一种常见的操作。而利用迭代法求解矩阵链相乘问题，可以有效地提高计算效率，本文将对此进行深入探讨。 二、迭代法求解矩阵链相乘问题 1. 问题描述 矩阵链相乘问题是指给定n个矩阵{A1, A2, ..., An}，其中矩阵Ai的维度为pi-1 * pi，求解它们相乘的最小次数和计算次数最小的次序。 2. 算法思路 迭代法求解矩阵链相乘问题的基本思路是利用动态规划的思想，通过迭代的方式逐步求解子问题，最终得到整体的最优解。具体而言，可以采用自底向上的方法，先求解较小规模的子问题，然后逐步扩大规模，直至求解整个问题。 3. 算法实现 通过编写C语言程序，我们可以很好地实现迭代法求解矩阵链相乘问题。我们需要定义一个二维数组来保存子问题的最优解，然后利用循 环迭代的方式逐步填充数组，最终得到最优解。在实际编写过程中，需要注意细节和边界条件的处理，以确保程序的正确性和高效性。 三、个人观点和理解 迭代法求解矩阵链相乘问题在计算机科学中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们更好地理解动态规划的思想，还可以在实际应用中提高计算效率。作为一名程序员，我深刻理解其重要性，并且乐于不断探究和应用这一领域的知识。通过编写C语言程序实现矩阵链相乘的迭代法求解，我对算法思想和实现方法有了更深入的了解，也提升了自己的编程能力。 四、总结 通过本文的探讨，我们对迭代法求解矩阵链相乘问题有了更深入的了解。我们从问题描述、算法思路、算法实现和个人观点等方面对其进行了全面分析和讨论，并且共享了我个人对该主题的理解和感悟。希望读者能够通过本文的阅读，更好地理解和运用迭代法求解矩阵链相乘问题，提升自己的编程能力和动态规划算法的应用水平。 在C语言中实现迭代法求解矩阵链相乘问题的算法，能够帮助我们更好地理解动态规划的思想。这个方法可以帮助我们提高计算效率，并且在实际工程中具有广泛的应用前景。希望今后能够深入研究并不断应用这一算法，并在实际项目中取得更好的效果。 矩阵链乘法问题 引言 矩阵链乘法问题是计算机科学中的一个重要问题，它涉及到矩阵的乘法操作。在很多实际的应用中，我们需要对多个矩阵进行乘法运算，这时候就需要考虑乘法的顺序。矩阵的乘法运算是一个复杂的计算过程，不同的乘法顺序可能会导致不同的计算量和时间复杂度。因此，矩阵链乘法问题就是要找到一种最优的乘法顺序，使得计算的总时间最短。 动态规划解法 矩阵链乘法问题可以使用动态规划的方法来解决。动态规划是一种将复杂问题分解成若干个子问题进行求解的方法。在矩阵链乘法问题中，我们可以定义一个二维数组dp来存储最优的乘法顺序和对应的最小计算量。 状态定义 我们可以将整个矩阵链划分成子问题，其中dp[i][j]表示从第i个矩阵乘到第j个矩阵所需要的最小计算量。那么当i=j时，dp[i][j]=0，因为矩阵自己和自己相乘的计算量为0。当i 3.对于每一对(i, j)，利用状态转移方程计算dp[i][j]的最小值。 4.最后，dp[1][n]即为所求的最小计算量。 算法分析 对于给定的矩阵链，动态规划算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是矩阵链的长度。这是因为对于每一个子问题，都需要计算一次状态转移方程，总共有n^2个子问题，而每个子问题的计算量为O(n)。因此，总的时间复杂度为O(n^3)。 同时，动态规划算法还需要O(n^2)的空间来存储中间结果。因此，矩阵链乘法问题的空间复杂度也为O(n^2)。 示例和应用 矩阵链乘法问题广泛应用于计算机图形学、网络优化、机器学习等领域。在图形学中，矩阵的乘法运算常用于计算三维变换和投影等操作。在网络优化中，矩阵的乘法运算常用于计算网络中的路由和带宽等。在机器学习中，矩阵的乘法运算常用于计算矩阵的特征值分解和奇异值分解等。 示例一：计算三维变换 在计算机图形学中，矩阵链乘法经常用于计算三维物体的变换。假设我们有一个三维物体，它由一系列的变换操作组成，包括平移、缩放和旋转等。这些变换操作可以表示为一个矩阵链，我们可以通过矩阵链乘法来计算最终的变换矩阵。 示例二：计算神经网络 在机器学习中，神经网络是一个常用的模型，它涉及到大量的矩阵运算。神经网络的训练过程中，需要计算每一层的输出值，并通过反向传播算法来更新模型的参数。这个过程中，矩阵的乘法运算是一个关键的步骤。通过矩阵链乘法，我们可以找到一个最优的计算顺序，从而降低计算的时间复杂度。 总结 矩阵链乘法问题是一个重要的计算机科学问题，它涉及到矩阵的乘法顺序和计算量的优化。通过动态规划的方法，我们可以求解最优的乘法顺序，从而降低计算的时间复杂度。矩阵链乘法问题在计算机图形学、网络优化、机器学习等领域都有广泛 04实验四动态规划矩阵连乘问题 实验四动态规划矩阵连乘问题 一、实验目的 1、掌握动态规划算法的基本思想。 2、掌握设计动态规划算法的基本步骤。 3、掌握用动态规划算法求矩阵连乘问题。 二、实验环境 Windows XP以上版本的操作系统，Visual Studio 2010编程环境。 三、实验内容 【问题】：矩阵链乘问题：给定n个矩阵｛A1,A2,...,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 1、按设计动态规划算法的步骤解题。 (1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 (2)递归地定义最优值。 (3)以自底向上的方式计算出最优值。 (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解(由子结构的最优解得到原先大问题的最优解)。 2、求算法的时间复杂性，和空间复杂性 3、体会动态规划和穷举法在解决该问题中的本质差异。 （1）问题的描述 给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要算出这n 个矩阵的连乘积A1A2…An。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：（1）单个矩阵是完全加括号的；（2）矩阵连 乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：（A1（A2（A3A4））），（A1（（A2A3）A4）），（（A1A2）（A3A4）），（（A1（A2A3））A4），（（（A1A2）A3）A4）。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB的标准算法中，需要进行pqr次数乘。为了说明在计算矩阵连乘积时，加括号方式对整个计算量的影响，先考察3个矩阵{A1,A2,A3}连乘的情况。设这三个矩阵的维数分别为10×100，100×5，5×50。加括号的方式只有两种：（（A1A2）A3），（A1（A2A3）），第一种方式需要的数乘次数为10×100 ×5＋10×5×50＝7500，第二种方式需要的数乘次数为100×5×50＋10×100×50＝75000。第二种加括号方式的计算量时第一种方式计算量的10倍。由此可见，在计算矩阵连乘积时，加括号方式，即计算次序对计算量有很大的影响。于是，自然提出矩阵连乘积的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵{A1,A2,…,An}（其中矩阵Ai的维数为pi-1×pi，i＝1,2,…,n），如何确定计算矩阵连乘积A1A2…An的计算次序（完全加括号方式），使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。 穷举搜索法的计算量太大，它不是一个有效的算法，本实验采用动态规划算法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。 （2）算法设计思想 动态规划算法的基本思想是将待求解问题分成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，动态规划法经分解得到的子问题往往不是相互独立的，前一子问题的解为后一子问题的解提供有用的信息，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案，不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。 leetcode 矩阵链乘法问题 【原创实用版】 目录 一、矩阵链乘法问题的背景和概念 二、矩阵链乘法问题的解法 三、矩阵链乘法问题的优化 四、矩阵链乘法问题的应用示例 五、结论 正文 一、矩阵链乘法问题的背景和概念 矩阵链乘法问题是 LeetCode 上的一道经典题目，主要涉及到矩阵的乘法运算。题目要求给定一个矩阵链，例如：a1a2a3，其维数分别为：10100，1005，550。要求计算这个矩阵链的乘积。 在矩阵链乘法问题中，需要按照给定的计算顺序进行矩阵相乘，即先计算 a1 和 a2 的乘积，再将结果与 a3 相乘。这个过程中，需要遵循矩阵乘法的规则，即第一个矩阵的行数等于第二个矩阵的列数。 二、矩阵链乘法问题的解法 对于矩阵链乘法问题，可以采用递归的方法进行求解。具体来说，可以先计算前两个矩阵的乘积，然后再将结果与第三个矩阵相乘。在计算过程中，需要对矩阵的大小进行调整，以满足矩阵乘法的规则。同时，还需要考虑乘法的结合率，确保计算结果的正确性。 三、矩阵链乘法问题的优化 在实际计算过程中，可以采用动态规划的方法对矩阵链乘法问题进行优化。具体来说，可以先计算每个矩阵的行向量与列向量的乘积，然后将 这些乘积相加，得到最终的结果矩阵。这种方法可以有效减少重复计算的次数，提高计算效率。 四、矩阵链乘法问题的应用示例 矩阵链乘法问题在实际应用中有很多例子，例如在计算机图形学中，需要计算多个矩阵的乘积以得到一个复杂的变换矩阵；在机器学习中，需要对多个矩阵进行相乘以得到一个更大的特征矩阵。这些应用场景都需要高效地解决矩阵链乘法问题。 五、结论 矩阵链乘法问题是一个涉及矩阵相乘的经典问题，可以通过递归或动态规划等方法进行求解。 矩阵连乘实验报告 华北电力大学科技学院 实验报告 实验名称矩阵连乘问题 课程名称计算机算法设计与分析 专业班级：软件12K1 学生姓名：吴旭 学号：121909020124 成绩： 指导老师：刘老师实验日期：2014.11.14 计算结果相乘得到A[1:n]。 1、建立递归关系 设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。 当i=j时，A[i:j]=A i为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=0，i=1,2,…n。 当i 最优加括号方式为(A[i:k])(A[k+1:j])。依次构造最优解。(算法见实验代码部分) 一、实验结果 二、结果验证 对实验结果进行验证，4个矩阵分别是A1[35*15]，A2[15*5]，A3[5*10]，A4[10*20]。依递归式有： M[1][4]=min{0+2500+35×15×20=13000 2625+1000+35×5×20=7125 4375+0+35×10×20=11375 =7125 且k=3。 计算结果正确，证明所编写的程序可正确算出最优解。 南京信息工程大学滨江学院实验（实习）报告 1.实验目的 动态规划通常用来求解最优化问题。通过本次实验掌握动态规划算法。通过矩阵连乘问题和0-1背包问题实现动态规划算法。学会刻画问题的最优结构特征，并利用最优化问题具有的重叠子问题性质，对每个子问题求解一次，将解存入表中，当再次需要这个子问题时直接查表，每次查表的代价为常量时间。 2.实验内容及分析设计过程 1.矩阵链乘法问题 矩阵链乘法问题可描述如下：给定个矩阵的链,矩阵的规模为 ，求完全括号方案，使得计算乘积所需的标量乘法次数最 少。 令m[i,j]表示计算矩阵所需标量乘法次数的最小值，那么，原问题的最优解计 是m[1,n］。 最小代价括号化方案的递归求解公式为 采用自底向上表格法代替上述递归算法来计算最优代价。 为了实现自底向上方法，我们必须确定计算m[i,j]时需要访问哪些其他表项。上述公式显示，j-i+l 个矩阵链相乘的最优计算代价m[i,j] 只依赖于那些少于j-i+l 个矩阵链相乘的最优计算代价。因此，算法应该按长度递增的顺序求解矩阵链括号化问题，并按对应的顺序填写表m。对如下输入 A1 A2 A3 A4 A5 A6 30⨯35 35⨯15 15⨯5 5⨯10 10⨯20 20⨯25 程序运行结果为 2.背包问题 给定n 个重量为价值为的物品和一个承重为W 的背包。求这些 物品中最有价值的一个子集，并且要能装到背包中。 设V[i,j]是能够放进承重量为j 的背包的前i 个物品中最有价值子集的总价值。则递推关系为 初始条件V[0,j]=0(j>=0),V[i,0]=0(i>=0) 我们的目标是求V[n ，W]。递归式给出了V[i,j]的计算顺序，V[i,j]只依赖与前一行的那些项。故可以逐行计算V[i,j]. 对于物品数量n=5，w[n]={2,2,6,5,4},v[n]={6,3,5,4,6},背包总重量c=10 程序运行结果为 3. 实验小结 通过本次实验加深了我对动态规划算法的理解。而且对动态规范编写代码解决一个实际问题有了进一步的认识。即当算法考虑的原问题的每一个子问题，算法都需要计算一个最优解。换句话说，所有算法生成的表项表示算法考虑的子问题的最优解。这时候用动态规范把每一个最优解求出来（利用递归公式），就能够保证最后求得的一定是最优解。 附录 1. 矩阵链乘问题 MatrixChainTest.java public class MatrixChainTest { public static void main (String [] args ) { int p []={30,35,15,5,10,20,25}; MatrixChain mc =new MatrixChain (p ); mc .solve (); } } class MatrixChain 算法分析与设计实验报告 软服2班学号1207132229 姓名吕联栋班级 上课地点教师陈思上课时间 实验三动态规划 1. 实验目的 1.1理解动态规划算法的主要设计思想和基本步骤； 1.2掌握用动态规划策略解决实际问题。 2. 实验环境 2.1 Eclipse 2.2 Window XP 3. 实验内容 3.1 矩阵连乘问题 3.2 最长公共子序列问题 3.3 0-1背包问题 4. 教师批改意见 成绩 签字： 日期： 实验报告细表 1矩阵连乘问题 1.1 算法设计思想 给定n个矩阵，其中A1与Ai+1是可乘的i=1,2...n。考察这n个矩阵的连乘积:A1a2A3..An.由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 1.2 程序源码 package suanfa; import java.util.Scanner; public class shiyansan1 { public static void main(String[] args) { Scanner scan=new Scanner(System.in); System.out.print("输入矩阵个数:"); int n = scan.nextInt();//矩阵的个数 int p[]=new int[100]; int x[]=new int[100]; int y[]=new int[100]; for (int i=0;i 问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An,其中Ai与Ai+1是可乘 的,i=1,2...,n-1.确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少.输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模,输 出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数. 问题解析：由于矩阵乘法满足结合律,故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序.这种计算次序可以用加括号的方式来确定.若一个矩阵 连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依 此次序反复调用2个矩阵相乘的标准计算出矩阵连乘积. 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： 1单个矩阵是完全加括号的； 2矩阵连乘积A是完全加括号的,则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号,即A=BC 例如,矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式： A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4.每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序,这决定着作乘积所需要的计算量. 看下面一个例子,计算三个矩阵连乘{A1,A2,A3}；维数分别为10100 , 1005 , 550 按此顺序计算需要的次数A1A2A3:10X100X5+10X5X50=7500次,按此顺序计算需要的次数A1A2A3:10550+1010050=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序,可以使计算量达到最小化. 算法思路： 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6,其中各矩阵的维数分别是： A1：3035; A 2：3515; A3：155; A4：510; A5：1020; A6：2025 递推关系： 设计算Ai:j,1≤i≤j≤n,所需要的最少数乘次数mi,j,则原问题的最优值为m1,n. 当i=j时,Ai:j=Ai,因此,mii=0,i=1,2,…,n 当i 分治法解决归并排序问题及动态计划解决矩阵连乘和最长公共子序列问题及贪婪法解决哈夫曼编码问题 一、课程设计目的 本次课程设计能够说是咱们学完《运算机算法设计与分析》这门课程后的一次综合性训练。 本课程设计的训练的目的是： 1、巩固和把握运算机算法设计和分析课程的基础知识。 2、培育利用运算机大体算法解决实际问题的能力。 3、提升利用程序设计语言对算法程序的开发、调试和测试能力。 4、对必然的实际问题，能够设计求解算法并分析算法的效率。 五、提高综合运用算法、程序设计语言等能力。 六、把握文档的书写能力。 二、课程设计内容 1、分治法 （1）归并排序 2、动态计划 （1）矩阵连乘 （2）最长公共子序列 3、贪婪法 （1）哈夫曼编码 三、概要设计 1、分治法 大体思想: 将规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，使这些子问题彼此独立可别离求解，再将k个子问题的解归并成原问题的解。如子问题的规模仍专门大，那么反复分解直到问题小到可直接求解为止。在分治法中,子问题的解法通常与原问题相同。 （1）归并排序 [问题描述] 将n个元素排成非递减顺序。 [算法思路] 假设n 为1，算法终止；不然，将n 个待排元素分割成k(k=2)个大致相等子集合A, B, 对每一个子集合别离递归排序,再将排好序的子集归并为一个集合。 2、动态计划 大体思想： 将问题的求解进程化为多步选择，在每一步选择上，列出各类可能的结果(各子问题的可行解)，舍去那些确信不能成为最优解的局部解。最后一步取得的解必是最优解。求解进程多为自底向上,求解进程产生多个选择序列, 下一步的选择依托上一步的结果，总能取得最优解。 （1）矩阵连乘 [问题描述] 给定n 个矩阵{A1，…，An}，其中Ai 与A(i-1)是可相乘的。确信一个计算顺序，使计算矩阵连乘积A1…An 所需计算量最少。例如，三个矩阵连乘，两种计算顺序(A*B)*C ，A*(B*C)。设A 为100*1的矩阵，B 为1*100的矩阵，C 为100*1的矩阵, 那么 D=A*B 为100*100的矩阵, 需乘法次数为10000, D 与C 相乘，所需乘法次数为1000000, 计算(A*B)*C 的总时刻长度为1010000。E=B*C 需乘法次数为10000, B*C 为1*1的矩阵，E 与A 相乘，所需乘法数为100，计算A*(B*C)的时刻长度只有10100。计算(A*B)*C 时，还需10000个单元来存储A*B ，而A*(B*C)计算进程中,只需用1个单元来存储B*C 。 [算法思路] 将步骤化为多步,自底向上,先求出矩阵链长为1的最优计算顺序，链长为2的最优顺序，… [最优解结构] 设A[1:n]= A1…An ，最优计算顺序在Ak 和A(k+1)中断开，那么共计算量=A[1:k]的计算量+A[k+1:n]的计算量+A[1:k]*A[k+1:n]那么矩阵子链A[1:k]和A[k+1:n]的计算顺序也必最优。 [递推关系] 设计算A[i:j]=Ai …Aj 所需最少次数乘法为m[i][j]，Ai 的维数设为matrix[i].row*matrix[i].col 。 ⎪⎩⎪⎨⎧<=⨯⨯+++=<≤j i j i j i m j k i }col matrix[j].col matrix[k].row matrix[i].1][j]m[k m[i][k]{min 0]][[ [构造最优解] 记m[i][j]的断开位置k 为s[i][j],在计算出m[i][j]后,可由s[i][j]递归构造相应的最优解。 （2）最长公共子序列 [问题描述] 矩阵链乘问题 一、问题定义（将待解决的问题描述清楚） 【问题描述】 给定n个矩阵的链 2、一个递归求解的方案 对于矩阵链乘法问题，我们将所有对于1≤i≤j≤n确定A i A i+1⋯A j的最小代价括号方案作为子问题。令m[i,j]表示计算矩阵A i,j所需要的标量乘法的次数最小值，则最优解就是计算A1,n所需的最低代价就是m[1,n]。 递归定义m[i，j]： （1）对于i=j的情况下，显然有m[i,i]=0，不需要做任何标量乘法运算。所以，对于所有的i=1、2......n，m[i，i] = 0； （2）当i矩阵连乘问题
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