任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
正弦函数：
1、正弦函数又称三角函数之一，用来描述某个角（通常用弧度制来表示）对应的正弦值。其定义为：sinθ=y/r，其中θ是一个角、y表示线
段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，r为OP线段
的长度。
2、正弦函数在数学和科学研究中被广泛使用，可以描述很多自然现象，如波形、格林函数、化学反应的振荡及循环等。
3、由于定义中引入了角θ，因此正弦函数也被称为周期函数，其拥有
可预测的周期性，其周期性就受到了角θ的周期性所控制，其周期
T=2π/θ。
余弦函数：
1、余弦函数也是三角函数之一，与正弦函数正交，从定义上来看：
cosθ=x/r，其中θ是一个角、x表示线段OP（P是原点O与某角θ之间
所成的角）的水平宽度，r为OP线段的长度。
2、余弦函数也被人们广泛使用，用来描述很多自然现象，如电磁场的
振荡、微波加热、声反射、图像处理、建筑设计、数控加工中的刀具
轨迹等。
3、余弦函数具有预测的可重复性，其周期T=2π/θ。
正切函数：
1、正切函数也可以称为三角函数之一，定义为：tanθ=y/x，其中θ是一个角，y表示线段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，x为OP线段的水平宽度。
2、正切函数也被广泛应用于数学和科学研究中，可以用来描述很多自然现象，如太阳辐射、抛物线分布、圆周运动及天文学等。
3、正切函数也具有可预测的周期性，其周期T=2π/θ。
三角函数 （一）任意角的三角函数及诱导公式 1．任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2．象限角、终边相同的角、区间角 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α| 6π≤α≤65π}=[6 π，65π]。 3．弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 角α的弧度数的绝对值是：r l = α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒ =。弧度与角度互换公式：1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ； 1°＝180 π≈0.01745（rad ）。弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）； 扇形面积公式：2 ||2 121r r l S α==。 4 三角函数的定义:以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为(0)r r == >，那么 sin y r α= ； cos x r α=； tan y x α=； （cot x y α=； sec r x α=； csc r y α=） 利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。 5 三角函数的符号： 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们 可以得知：①正弦值 y r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值 x r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值y x 对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
三角函数的正切与余切关系解析三角函数是数学中重要的概念之一，其中正切和余切是相互关联的两个函数。在本文中，我们将详细解析正切和余切的关系及其相关性质。 一、正切与余切的定义 正切函数（tangent function）和余切函数（cotangent function）是三角函数中的两个重要函数。在单位圆上，这两个函数与正弦和余弦函数之间存在一定的关系。 正切函数定义如下： tan(x) = sin(x) / cos(x) 余切函数定义如下： cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sin(x) 其中，x为角度值或弧度值，sin(x)代表正弦函数值，cos(x)代表余弦函数值。 二、正切与余切的性质 1. 定义域和值域： 正切函数和余切函数的定义域为x ≠ (2k + 1)π/2 (k为整数)，即除去所有以π/2为倍数的点。 正切函数的值域为R，即所有实数。
余切函数的值域也为R，即所有实数。 2. 奇偶性： 正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。 余切函数是奇函数，即cot(-x) = -cot(x)。 3. 周期性： 正切函数和余切函数的周期都是π，即tan(x + π) = tan(x)，cot(x + π) = cot(x)。 4. 正切和余切的关系： 由正弦和余弦函数定义可得，tan(x) = sin(x) / cos(x)，cot(x) = cos(x) / sin(x)。 这意味着正切和余切是正弦和余弦的倒数关系。 5. 正切和余切的图像： 正切函数和余切函数的图像都是无界的，并且在定义域内具有周期性。 三、正切与余切的应用 正切与余切在数学和科学中有广泛的应用，以下是其中一些重要应用： 1. 三角方程的求解：
三角函数和方程知识点总结 一、三角函数的定义和性质 1. 三角函数的定义 三角函数是以角度作为自变量的函数，最基本的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。这些函数的定义如下： 正弦函数：sinθ = 对边/斜边 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边 正切函数：tanθ = 对边/邻边 这里的对边、邻边、斜边是指与角θ相关的直角三角形的三条边。值得注意的是，对于不 同单位制的角度，三角函数的定义也有所不同，需要根据具体情况进行变化。 2. 三角函数的性质 三角函数具有一些特定的性质，其中最基本的有以下几点： （1）周期性：正弦函数和余弦函数的周期是2π，即sin(x+2π) = sinx, cos(x+2π) = cosx； 而正切函数的周期是π，即tan(x+π) = tanx。 （2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，即sin(-x) = -sinx, cos(-x) = cosx； 而正切函数既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-x) ≠ -tanx。 （3）单调性：正弦函数和余弦函数在一个周期内是单调递增或单调递减的，而正切函数 则在每个π/2的区间内是单调递增或单调递减的。 二、三角函数的图像和性质 1. 正弦函数的图像和性质 正弦函数的图像是一条周期性的曲线，其图像的性质主要包括以下几点： （1）在0到2π的区间内，sinx的图像是一条周期为2π、上下波动的曲线，其最大值为1，最小值为-1； （2）正弦函数的图像在x轴上有一个周期的零点，即sin0 = 0，以及在π和2π处的零点，即sinπ = 0，sin2π=0； （3）sinx的图像是奇函数，关于原点对称。 2. 余弦函数的图像和性质
中考数学考试知识点分析：三角函数 中考数学考试知识点分析:三角函数 以下是小编带来的中考数学考试知识点分析:三角函数，欢迎阅读。 锐角三角函数定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c 余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c 正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b 余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a 正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1
cosα·secα=1 锐角三角函数公式 两角和与差的三角函数： sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ? cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三角和的'三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1- tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数 教学目标： ⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；会利用定义求任意角的三角函数值； ⑵理解三角函数在各象限的正负号，会判断任意角三角函数的正负号； 教学重点：任意角的三角函数的概念；三角函数在各象限的符号。 教学难点：任意角的三角函数值符号的确定． 教学设计： （1）在知识回顾中推广得到新知识； （2）数形结合探求三角函数的定义域； （3）利用定义认识各象限角三角函数的正负号。 教学设备： 多媒体教学课件。 教学过程： 一、复习锐角三角函数的概念，导入新课。（利用多媒体课件） 二、讲授新课： （一）、任意角三角函数的概念： 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角 的正弦、余弦、正切分别定义为
；；． 在比值存在的情况下，对角的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数． 由定义可以看出：当角的终边在轴上时，，终 边上任意一点的横坐标的值都等于0，此时无意义．除此以外，对于每一个确定的角，三个函数都有意义． 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示： 三角函数定义域 R R ｛︱｝ 当角采用弧度制时，角的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数． 例1 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值．分析已知角终边上一点P的坐标，求角的某个三角函数值时，首先要根据关系式，求出点P到坐标原点的距离，然后根据三角函数定义进行计算． 解因为，，所以，因此 ，，
三角函数边的关系 三角函数是数学中的一种基础函数，主要涉及三角形的角度与边长之 间的关系。其中，三角函数边的关系是三角函数的一个重要应用，其 涉及到三角函数中的三个基本函数：正弦函数、余弦函数和正切函数。下面将针对这三个函数的边的关系进行详细介绍。 正弦函数边的关系： 1. 正弦函数的定义 正弦函数是指一个角的正弦值与其对边之比。即sin(α) = a/b 其中，α为角度，a为角度对应的对边长度，b为斜边长度。 2. 正弦函数边的关系公式 sin(α) = a/b sin(β) = b/c sin(γ) = a/c 其中，α、β、γ分别为三角形A、B、C的角度，a、b、c分别为其对应
3. 正弦函数边的关系解析 正弦函数边的关系是三角形中最为基础的边的关系之一。在解决一些 三角形相关的问题时，可以利用这个公式来确定三角形中的各个边长，或者确定角度的大小。 余弦函数边的关系： 1. 余弦函数的定义 余弦函数是指一个角的余弦值与其邻边之比。即cos(α) = b/c 其中，α为角度，b为角度对应的邻边长度，c为斜边长度。 2. 余弦函数边的关系公式 cos(α) = b/c cos(β) = a/c cos(γ) = b/a 其中，α、β、γ分别为三角形A、B、C的角度，a、b、c分别为其对应
3. 余弦函数边的关系解析 余弦函数边的关系是三角形中基础的边的关系之一。在解决一些三角 形相关的问题时，可以利用这个公式来确定三角形中的各个边长，或 者确定角度的大小。 正切函数边的关系： 1. 正切函数的定义 正切函数是指一个角的正切值与其对边之比。即tan(α) = a/b 其中，α为角度，a为角度对应的对边长度，b为角度对应的邻边长度。 2. 正切函数边的关系公式 tan(α) = a/b tan(β) = b/a tan(γ) = a/b 其中，α、β、γ分别为三角形A、B、C的角度，a、b、c分别为其对应
直角三角形的三角函数 直角三角形是指一个角为90度的三角形。在直角三角形中，三角 函数起到了非常重要的作用。本文将重点讨论直角三角形的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数，并且会给出它们的定义、公式 以及在解决实际问题中的应用。 一、正弦函数(sin) 正弦函数是指一个角的正弦值与其对边长度之比。在直角三角形中，正弦函数的定义如下： sin(A) = a / c 其中，A表示角A的度数，a表示角A的对边长度，c表示斜边的 长度。 二、余弦函数(cos) 余弦函数是指一个角的余弦值与其邻边长度之比。在直角三角形中，余弦函数的定义如下： cos(A) = b / c 其中，A表示角A的度数，b表示角A的邻边长度，c表示斜边的 长度。 三、正切函数(tan) 正切函数是指一个角的正切值与其对边长度之比。在直角三角形中，正切函数的定义如下：
tan(A) = a / b 其中，A表示角A的度数，a表示角A的对边长度，b表示角A的 邻边长度。 直角三角形中三角函数的公式还可以通过勾股定理来进一步推导， 根据勾股定理，我们有以下关系式： a^2 + b^2 = c^2 其中，a、b、c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度。 利用这些定义和公式，我们可以在解决直角三角形相关的问题时运 用三角函数。 实际应用中，直角三角形的三角函数经常用于测量和计算，尤其是 当我们只知道一个角和一个边的长度时，可以根据三角函数的定义和 公式求解其他未知量。 例如，当我们已知一个角的度数和一个边的长度时，可以通过正弦 函数、余弦函数或正切函数来计算其他边的长度。 另外一个常见的应用是在解决角度及其相关问题时，可以通过三角 函数来计算不同角度之间的关系，比如角的补角和余角等。 总结： 直角三角形的三角函数在数学和物理等领域中具有广泛的应用。正 弦函数、余弦函数和正切函数是解决直角三角形相关问题的重要工具，通过这些函数的定义和公式，我们可以计算直角三角形各个边的关系，
三角函数的基本概念与性质解析三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。本文将对三角函数的基本概念与性质进行解析，以帮助读者更好 地理解和运用三角函数。 一、基本概念解析 三角函数主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）及其倒数函数分别为余弦的倒数（sec）、正弦的倒数（csc）和正切的倒数（cot）。这些函数是角度的函数，基于单位圆上的点坐标 关系推导而来。 1. 正弦函数（sin）：在单位圆上，任意角的正弦值等于以角所在点 为顶点的半径在y轴上的长度。它是一个奇函数，其定义域为实数集，值域为[-1,1]。 2. 余弦函数（cos）：在单位圆上，任意角的余弦值等于以角所在点为顶点的半径在x轴上的长度。它是一个偶函数，其定义域为实数集，值域也为[-1,1]。 3. 正切函数（tan）：在单位圆上，任意角的正切值等于该角的正弦值与余弦值的比值。当角的余弦值为0时，不存在正切值。当角为90 度或270度时，正切值不存在。其定义域为实数集，值域为全体实数。 二、性质解析 三角函数具有多个重要的性质，下面将逐一进行解析。
1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即在每个2π的区 间内，函数值重复出现。正切函数的周期为π，即在每个π的区间内， 函数值重复出现。 2. 奇偶性：正弦函数为奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数为偶函数，即cos(-x)=cos(x)。正切函数为奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。 3. 诱导公式：根据三角函数的定义和坐标关系，可以推导出一些重 要的诱导公式。例如，sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB； cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB等。 4. 值域与定义域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1,1]，定义域为全体实数。正切函数的值域为全体实数，定义域为除去奇数个π的整数 倍的点。 5. 增减性与单调性：在某些区间上，三角函数具有增减性或单调性。例如，正弦函数在[0,π]上递增，在[-π/2,π/2]上为正，而在[π/2,3π/2]上为负。 综上所述，三角函数是数学中的重要概念，它们基于单位圆上的点 坐标关系推导而来。正弦函数、余弦函数和正切函数具有不同的定义 域和值域，同时还具备周期性、奇偶性、诱导公式、增减性和单调性 等性质。正确理解和掌握三角函数的基本概念与性质，对于解决相关 数学问题和应用到实际生活中具有重要意义。
5.2.1 三角函数的概念 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．任意角的三角函数的定义 (1)条件 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (2)结论 ①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝ y x (x≠0)． (3)总结 y x ＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．公式一
1．sin(－315°)的值是( ) A ．－ 22 B ．－12 C.22 D.12 C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝2 2 .] 2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sin 25 3 π＝________. 32 [sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.] 4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 32，12，则cos α＋sin α的值为________． 3＋12 [cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝1 2， 故cos α＋sin α＝ 3＋1 2 .] 三角函数的定义及应用 [探究问题] 1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？ 提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)． 2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P 点在终边上的位置的改变而改变． 【例1】 (1)已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝10 10 x ，则sin θ＋tan θ的值为________． (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路点拨] (1)依据余弦函数定义列方程求x → 依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ
5.2.1 三角函数的概念 （基础知识+基本题型） 知识点一 任意角的三角函数 1、单位圆的概念 在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么： y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③ y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0y x x α=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它 们统称为三角函数。 拓展： （1）任意角的三角函数的定义 一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r = ，则 sin ,cos ,tan (0)y x y x r r x ααα= ==≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定. （4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的. 知识点二 三角函数的定义域和函数值的符号 1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶
2.在各个象限内的符号，如图所示. 【拓展】 为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负. 由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号; (3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三 诱导公式一 公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】 (1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等. (2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角 的三角 函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四 三角函数线 1.有向线段 带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义 如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).
任意角的三角函数 一、学习目标：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义 二、学习重难点： 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，及这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的 符号 难点：三角函数定义的合理性（只与角的大小有关，而与点P 在角的终边上的位置无关） 三、学习过程： 上一节引入了任意角的概念及角和弧度之间的转化，这一节主要解决怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数． 在初中，我们利用直角三角形定义了锐角三角函数（如图）． sin PM OP α= ，cos OM OP α=，tan PM OM α= 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(,)x y ，它与原点的距离是(0)r r =>．当α为锐角时（如图），过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ．在Rt OPM ∆中，sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=． ⇒ 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？首先给出以下规定： 一般地，对任意角α， （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值(0)y x x ≠叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=． M P
（此处要理解 ,,y x y r r x 这三个比值都只与角的大小（即终边位置）有关，而与点P 在角的终边上的位置无关，因而它们都是以角为自变量的函数，从而给出任意角的三角函数的定义．） 对于确定的角α，比值y r 和x r 都唯一确定，故正弦和余弦都是角α的函数． 当()2 k k Z π απ= +∈时，角α的终边在y 轴上，故有0x =，这时tan α无意义．除此之 外，对于确定的角(())2 k k Z π ααπ≠ +∈，比值 y x 也是唯一确定的，故正切也是角α的函数．sin α，cos α，tan α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数，由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数．在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下表所示： 由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号如图所示： sin α cos α tan α 注：正弦函数值的符号与y 的符号相同，余弦函数值的符号与x 的符号相同，正切函数值的符号与xy 的符号相同． 四、学习自测： 1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则sin α= ，cos α= . 2．已知角α 的终边过点( )m m P 34， -()0m <，则ααcos sin 2+= .
锐角三角函数知识点 锐角三角函数是九年级学生在学习了函数概念以及反比例函数、一次函数、二次函数之后学习的又一种形式的函数，本文是店铺整理锐角三角函数知识点的资料，仅供参考。 锐角三角函数的定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 它有六种基本函数(初等基本表示)： 函数名正弦余弦正切余切正割余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y
(斜边为r，对边为y，邻边为x。) 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versinθ =1-cosθ 余矢函数coversθ =1-sinθ 锐角三角函数的性质 1、锐角三角函数定义 锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数2、互余角的三角函数间的关系。 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 3、同角三角函数间的关系 平方关系：sin2α+cos2α=1 倒数关系：cotα=(或tanα·cotα=1) 商的关系：tanα= , cotα=. (这三个关系的证明均可由定义得出) 4、三角函数值 (1)特殊角三角函数值 (2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 (3)锐角三角函数值的变化情况 (i)锐角三角函数值都是正值 (ii)当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0. 锐角三角函数单元试测试题
锐角三角函数的定义 锐角的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角〔函数〕是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。下面是为大家整理的关于锐角三角函数的定义，盼望对您有所关怀。欢迎大家阅读参考学习! 锐角三角函数的定义 锐角角的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tn),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代〔数学〕把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。 它有六种基本函数(初等基本表示)： 函数名正弦余弦正切余切正割余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有 正弦函数sin=y/r 余弦函数cos=x/r 正切函数tn=y/x 余切函数cot=x/y 正割函数sec=r/x 余割函数csc=r/y (斜边为r，对边为y，邻边为x。) 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versin=1-cos 余矢函数covers=1-sin 同角三角函数间的关系： 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tn^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系：
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念兰州市西北音乐学校王娟丽
(一）创设情境引出新课 思考：用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？ （二）创设情境导入新课 生活中的数学问题：如图，摩天轮的半径为10m ，中心o 离地面为20m ，现在小明坐上了摩天轮，并从点P 开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？120秒，240秒，300秒后呢？ ( 初中，我们学习过锐角三角函数，（如图1）在OMP Rt ∆中，M ∠是直角，那么根据锐角三角函数的定义，O ∠的正弦、余弦和正切是如何定义的？（通过提问，帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义） x y OM PM r x OP OM r y OP PM ==== == |||tan |||cos ||||sin ｜＝邻边对边｜＝斜边邻边＝斜边对边ααα 教师强调：只要角度确定了，无论角的边长如何改变，正弦、余弦和正切值都已经确定了。每一个确定的锐角，都有相应的唯一的正弦值、余弦值和正切值与之对应。因此，锐角三角函数是以角为自变量，以边长的比值为函数值的函数。（以此强调来唤醒学生函数的认识） （二） 探讨学习、建构知识。 上节课，我们已经把锐角推广到了任意角，今天锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！ 问题1：今天我们能否继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？（引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数） 问题2：（追问）在上节课，我们是如何将锐角的概念推广到任意角的？（更进一步引导学生在平面直角坐标系中定义任意角三角函数）， 与学生一起探讨将锐角三角形放到直角坐标系中研究（如图2）：把锐角α放置于直角坐标系（角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负轴重合），在直角坐标系中，αP O 10m 20m