课程教案
课程名称：数学
任课教师：邓芳
所属院部：中南
教学班级：中大连读1~13班（除12班）
教学时间：2017 — 2018 学年第1学期
中南科技财经管理学校
课程基本信息
第一章三角计算及其应用
正弦型函数y=Asin(ψx+）
一、本次课主要内容
本节主要能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律,画出函数y=Asin(ωx+)的图象。
二、教学目的与要求
（1）理解：理解振幅变换、相位变换和周期变换，通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换规律。
（2）掌握：正弦型函数性质,掌握“五点法”作图。
（3）应用：为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型
三、教学重点难点
（1）重点：考察参数ω、、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+)的图象变化过程，并熟记正弦型函数性质。
（2）难点：对y=Asin(ωx+)的图象的影响规律的发现与概括
四、教学方法和手段
（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；
（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，
（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼；
五、作业与习题布置
课本19页习题 1（2）、2（2）
正弦型函数的概念与性质
复习引入
通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数 的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+)图象的变换规律。提出问题正弦型函数和我们熟知的正弦函数，有什么联系呢
导入新课
学生思考，交流，正弦函数就是函数 在A=1，ω=1，φ=0的特殊情况。 形如y=Asin(ωx+) (A>0，ω>0) 的函数称为正弦型函数.
正弦型函数主要有以下性质： （1）定义域为 R （全体实数） ；
（2）周期为 ω
π
2=T ；
（3）值域为[-A ,A] ，即最大值为A ，最小值为-A . 例题讲解
例 求正弦型函数)6
π
2sin(+=x y 和)52π2sin(+=x y 的周期. 解 根据正弦函数型函数的周期公式ω
π
2=T ，可知
)6π
2sin(+=x y 的周期为 π2
π
2π
2==
=
ω
T ； )5
2π
2sin(+=x y 的周期为
π42
1π
2π
2==
=
ω
T . 例2、例3（略）
正弦型函数的图像
例 利用“五点法”作出正弦型函数)3
π
2sin(+=x y 在一个周期内的简图.
解 在函数)3
π
2sin(+=x y 中2=ω，因此周期为π2
π
2π
2==
=
ω
T . 为求出图像上的五个关键点的横坐标，令3
π
2+
=x z ，分别取π2,2
π
3,π,2π,0=z ，找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x 的值
与函数
y 的值，见下表.
以表中每组),(y x 为坐标描点，在直角坐标系中比较精确地描出对应的五个关
键点：
)0,6
π5(),1,12π7(),0,3π(),1,12π(),0,6π(--.
正弦型函数的应用 复习引入
当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π
ω
=
称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数
12f T ω
π
=
=
，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 导入新课
在电学中，电流强度的大小和方向都是随时间变化的电流称为交变电流，简称交流电.最简单的是简谐交流电，其电流强度的大小和方向随时间而变化，可以用如下函数来表示：
)ππ,0,0()sin(00≤≤->>+=?ω?ωm m I t I I ，
其中m I 是电流强度的最大值，称为简谐交流电的峰值；ω称为角频率，单位为
rad/s ；0?ω+t
称为相位，0?称为初相位，简称初相；ω
π
2=
T 称为简谐交流电
的变化周期，表示交流电完成一次周期性变化所需要的时间，单位为s ；单位时间
内，交流电完成周期性变化的次数称为频率，用f 表示，T
f 1
=
，单位为Hz （赫
兹）.
例题
例 已知简谐交流电的电流强度随时间
t
的变化规律为
)3
π
π100sin(26+=t I ，求出它的峰值、周期、初相位和频率.
解 峰值A 26=m I ；
周期s 02.0π
100π
2π
2==
=
ω
T ； 初相位3
π0=
?；
频率
Hz
50
02
.0
1
1
=
=
=
T
f.
作业与习题布置
课本19页习题 1（2）、2（2）
C语言一些常用语句 2010-03-25 09:55 423人阅读评论(0) 收藏举报一break 1. break语句形式：break; 2. break语句功能： A. switch语句中，break语句会终止其后语句的执行，退出switch语句。 B. 使一个循环立即结束，也就是说在循环中遇到break语句时，循环立即终止， 程序转到循环体后的第一个语句去继续执行。 3. 注： A. break语句在循环中使用时，总是与if一起使用，当条件满足（或不满足） 时，负责退出循环。 B. 如果循环体中使用switch语句，而break出现在switch语句中，则它只用 于结束switch，而不影响循环。 C. break语句只能结束包含它的最内层循环，而不能跳了多重循环。 4. 例: break语句的执行只能从while循环中退出，继续执行for循环的其它语句 而不是退出外层循环。 for() { : : while()
{ : : if() break; : : } : : } 二。continue 1.continue语句形式：continue; 2.continue语句功能：它只能出现在循环体中，其功能是立即结束本次循环， 即遇到continue语句时，不执行循环体中continue后的语句，立即转去判断循环条件是否成立。 3.Continue与break语句的区别: continue只是结束本次循环，而不是终止整个循 环语句的执行，break则是终止整个循环语句的 执行，转到循环语句后的下一条语句去执行。 程序表达式及流程图如下：
(1.) while(表达式1) (2.)while(表达式1) { { : : If(表达式2) break; if(表达式2) continue; : : } } 三．goto 1.goto语句形式：goto语句是无条件转向语句，其一般形式为： goto 语句标号; 2.功能：goto语句往往用来从多重循环中跳出。它在解决一些特定问题时很方便，但由于goto语句难于控制，尽量少用。 3.例： IN: For() { : : Goto IN; }
解函数方程的几种方法 李素真 摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。 关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法 含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法（或代换法）、待定系数法、解方程组法、参数法。 1.换元法 换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。 例1 已知x x f x sin )2(+=，求)(x f 。 解：令u x =2 ）（0>u ，则u x log 2=，于是可得，)log sin()log ()(222 u u u f += ）（0>u ，以x 代替u ，得)log sin(log 2 )(22u x x f += )0(>x 。 例2 已知x x x x f 212ln )1(+=+ )0(>x ，求)(x f 。 解：令t x x =+1，则11-=t x )1(>t ，于是12ln 112111 2 ln )(+=-+-=t t t t f ， 即1 2ln )(+=x x f 。 例3 已知x x f 2cos )cos 1(=+，求)(x f 。 解：原式可以化为 1cos 22cos )cos 1(2+==+x x x f ，令t x =+cos 1，]2,0[∈t ，则换元后有1)1(2)(2 --=x t f ]2,0[∈x 。 2.待定系数法
待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。 例4 已知)(x f 为多项式函数，且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 。 解：由于)1(+x f 与)1(-x f 不改变)(x f 的次数，而它们的和是2次的，所以)(x f 为二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，从而有 由已知条件得 422)(22222+-=+++x x c a bx x a 根据两个多项式相等的条件得 22=a ，22-=b ，4)(2=+c a ，由此得1=a ，1-=b ，1=c ，故有1)(2+-=x x x f 。 例5 已知)(x f 是x 的二次函数，且x x x f f 242)]([-=，求)(x f 。 解：因为c 是x 的二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，由此，c c bx x a b c bx x a a c x bf x f a x f f ++++++=++=)()()()()]([2222 将上式化简并代入x x x f f 242)]([-=，得x x c bc c a x b abc x ab c a b a x b a x a 2)()2()2(24222223243-=+++++++++ 比较对应项的系数有 ?????????=++=+-=++==0 0222021222223c bc c a b abc ab c a b a b a a ，解之得?????-===101c b a ，故1)(2-=x x f 。 3.解方程组法 此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出所求的函数。
excel表格的基本操作函数乘法 乘法是没有快捷键的，看下边例子，求合价： C2输入公式=A1*B1，下拉公式，计算每一项的合价; 最后对合价进行求和，求和就有快捷键了，选中C8，点击工具栏上的求和按钮或者按快捷键“ALT+=”，excel会自动捕捉求和区域，填入=SUM(c2:c7)，回车即可。 如果不求每一项的合价，直接求所有项目的价款总和，用sumproduct函数 我们先从简单的说起吧!首先教大家在A1*B1=C1，也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 ①首先，打开表格，在C1单元格中输入“=A1*B1”乘法公式。 ③现在我们在“A1”和“B1”单元格中输入需要相乘的数据来进行求积，如下图，我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘，结果在C1中就会显示出来，等于“500”。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法，但是在我们平常工作中，可能会遇到更多数据相乘，下面主要说说多个单元格乘法公式运用，如：“A1*B1*C1*D1”=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式“=A1*B1*C1*D1”。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据，结果就会显示在“E1”中啦! 看看图中的结果是否正确呀!其实，这个方法和上面的差不多，只不过是多了几道数字罢了。 3、Excel混合运算的乘法公式
5加10减3乘2除3等于多少? 提示：加=+，减=-，乘=*，除=/。 ①首先，我们要了解这个公式怎么写，“5+10-3*2/3”这是错误的写法，正确写法应该是“(5+10-3)*2/3”。 ②好了，知道公式了，我们是不是应该马上来在Excel中的“F1”中输入“=(A1+B1-C1)*D1/E1”。 ③然后依次在A1、B1、C1、D1、E1中输入需要运算的数据。 好了，上面的一些基本乘法公式就已经讲玩了，下面教大家个小技巧，在有多行需要计算的时候该怎么办呢? 4、将公式复制到每行或每列 ②此时，从F1到下面的F2、F3、F4等等，都已经复制了“F1”中的公式，下次你需要运算的时候，直接在前面输入数据，在F2、 F3、F4等单元格中就会自动显示运算的结果了。
在Excel表格中，我们常常会利用Excel公式来统计一些报表或数据等，这时就少不了要用到加、减、乘、除法，在前面我们已经详细的讲解了求差公式使用方法。那么我们又如何利用公式来对一些数据进行乘法计算呢？怎样快速而又方便的来算出结果呢？下面小编就来教大家一步一步的使用Excel乘法公式！ 我们先从简单的说起吧！首先教大家在A1*B1=C1，也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 1、A1*B1=C1的Excel乘法公式 ①首先，打开表格，在C1单元格中输入=A1*B1乘法公式。 ②输入完毕以后，我们会发现在 C1 单元格中会显示0，当然了，因为现在还没有输入要相乘的数据嘛，自然会显示0了。 ③现在我们在A1和B1单元格中输入需要相乘的数据来进行求积，如下图，我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘，结果在C1中就会显示出来，等于500。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法，但是在我们平常工作中，可能会遇到更多数据相乘，下面主要说说多个单元格乘法公式运用，如：A1*B1*C1*D1=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式=A1*B1*C1*D1。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据，结果就会显示在E1中啦！ 看看图中的结果是否正确呀！其实，这个方法和上面的差不多，只不过是多了几道数字罢了。 因为在工作中不止是乘法这么简单，偶尔也会有一些需要加减乘除一起运算的时候，那么当遇到这种混合运算的时候我们应当如何来实现呢？这里就要看你们小学的数学有没学好了。下面让我们一起来做一道小学时的数学题吧！ 3、Excel混合运算的乘法公式，5加10减3乘2除3等于多少？ 提示：加=+，减=-，乘=*，除=/。
三角函数的图象与性质 【例1】?(1)函数y ＝ sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈???? ?? π8，3π4上的最大值为________，最小值为________． 解析 (1)sin x －cos x ＝ 2sin ? ?? ??x － π4≥0， 所以定义域为? ????? ??? ?x ??? 2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π 4，k ∈Z .
(2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ? ?? ??2x － π4， ∵x ∈??????π8，3π4，∴2x －π4∈??????0，5π4，∴sin ? ? ???2x －π4∈???? ?? － 22 ，1， 故f (x )max ＝ 2，f (x )min ＝－1. 答案 (1)? ????? ??? ?x ??? 2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π 4，k ∈Z (2) 2 －1 【训练1】 (1)函数y ＝1tan x －1 的定义域为________； (2)当x ∈???? ?? π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________． 解析 (1)由题意知：tan x ≠1，即? ????? ??? ?x ??? x ≠π 4＋k π，k ∈Z ， 又? ????? ??? ?x ??? x ≠π 2＋k π，k ∈Z ， 故函数的定义域为：? ????? ??? ?x ??? x ≠π4＋k π且x ≠π 2＋k π，k ∈Z . (2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2 ? ? ???sin x －142＋78 . 又x ∈??????π6，7π6，∴sin x ∈???? ?? －12，1， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－1 2 时，y max ＝2. 答案 (1)? ????? ??? ?x ??? x ≠π4＋k π且x ≠π 2＋k π，k ∈Z (2)7 8 2 三角函数的单调性 【例2】?(2012·北京)已知函数f (x )＝ sin x －cos x sin 2x sin x .
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
1.document.write( " "); 输出语句 2.JS中的注释为// 3.传统的HTML文档顺序是:document- >html- >(head,body) 4.一个浏览器窗口中的DOM顺序是:window- >(navigator,screen,history,location,document) 5.得到表单中元素的名称和值:document.getElementById( "表单中元素的ID號 ").name(或value) 6.一个小写转大写的JS: document.getElementById( "output ").value = document.getElementById( "input ").value.toUpperCase(); 7.JS中的值类型:String,Number,Boolean,Null,Object,Function 8.JS中的字符型转换成数值型:parseInt(),parseFloat() 9.JS中的数字转换成字符型:( " " 变量) 10.JS中的取字符串长度是:(length) 11.JS中的字符与字符相连接使用號. 12.JS中的比较操作符有:==等于,!=不等于, >, >=, <. <= 13.JS中声明变量使用:var来进行声明 14.JS中的判定语句结构:if(condition){}else{} 15.JS中的循环结构:for([initial expression];[condition];[upadte expression]) {inside loop} 16.循环中止的命令是:break 17.JS中的函数定义:function functionName([parameter],...){statement[s]} 18.当文件中出现多个form表单时.可以用document.forms[0],document.forms[1]来代替. 19.窗口:打开窗口window.open(), 关闭一个窗口:window.close(), 窗口本身:self 20.状態栏的设置:window.status= "字符 "; 21.弹出提示信息:window.alert( "字符 "); 22.弹出確认框:window.confirm(); 23.弹出输入提示框:window.prompt(); 24.指定当前显示链接的位置:window.location.href= "URL " 25.取出窗体中的所有表单的数量:document.forms.length 26.关闭文档的输出流:document.close(); 27.字符串追加连接符: = 28.创建一个文档元素:document.createElement(),document.createTextNode() 29.得到元素的方法:document.getElementById() 30.设置表单中所有文本型的成员的值为空: var form = window.document.forms[0] for (var i = 0; i 函数导数公式及证明 复合函数导数公式 ) ), ()0g x ≠' ''2 )()()()() ()()f x g x f x g x g x g x ?-=?? ())() x g x , 1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -== 证： ' 00()()()()lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x →→+-+-== 根据二项式定理展开()n x x + 011222110(...)lim n n n n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x ----→+++++-= 消去0n n n C x x - 11222110...lim n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x x ----→++++= 分式上下约去x 112211210 lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++ 因0x →，上式去掉零项 111 n n n C x nx --== 12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x ----→+-+++++++= 12210 lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++ 1221...n n n n x x x x x x ----=++++ 1n n x -= 2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a = 证： ' 00()()()lim lim x x x x x f x x f x a a f x x x +→→+--== 0(1)lim x x x a a x →-= 令1x a m -=，则有log (1)a x m =-，代入上式 00(1)lim lim log (1)x x x x x a a a a m x m →→-==+ 1000 ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m a m a a a a m m m a m →→→===+++ 根据e 的定义1lim(1)x x e x →∞ =+ ，则1 0lim(1)m x m e →+=，于是 1 ln ln lim ln ln ln(1) x x x x m a a a a a a e m →===+ 3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1 ()(log )ln a f x x x a == 证： '0 0log ()log ()() ()lim lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-== 00log log (1)ln(1) lim lim lim ln a a x x x x x x x x x x x x x a →→→+++=== C语言常用语句总结 C语言常用语句总结 一：常用函数 1、putchar函数： putchar函数（字符输出函数）：向终端输出一个字符。 一般形式为： putchar(c) // 输出字符变量c的值。 == printf(“%c”,c) 2、getchar函数 getchar函数（字符输入函数）：从终端输入一个字符。 getchar函数没有参数，一般形式为： c=getchar() //将输入的字符赋值给c 3、printf函数 printf函数(格式输入函数):向终端输出若干个任意类型的数据。printf的一般格式为: printf（“格式控制”，对应变量名） // 例如：printf （”%d,%c\n”,i,c） 4、scanf函数 scanf（格式输入函数）：从终端输入若干个任意类型的数据。 一般形式为： scanf（“格式控制”，&变量名） 二：基本语句（除if语句外，switch和三种循环语句都需要{大括号}的支持）（1）条件语句if和switch 1、if语句: ********************* if(表达式) 语句1； 语句2；// if下的各独立语句用分号分隔。 ********************* if(表达式) 语句1； else 语句2； ********************* if(表达式1) 语句1； else if(表达式2) // 每一个if与他最近的一个else对应。 语句2； .... else if（表达式n） 语句n； else 语句n+1； ********************* If语句的嵌套 if(表达式) 求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 （一）待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x (k≠0)；f(x)为 二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) （二）换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 ：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析： 1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。 注意：换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用 函数证明问题专题训练 ⑴．代数论证问题 ⑴．关于函数性质的论证 ⑵．证明不等式 6．已知函数()f x 的定义域为R ，其导数()f x '满足0＜()f x '＜1．设a 是方程()f x ＝x 的根． （Ⅰ）当x ＞a 时，求证：()f x ＜x ； （Ⅱ）求证：|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|（x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2）； （Ⅲ）试举一个定义域为R 的函数()f x ，满足0＜()f x '＜1，且()f x '不为常数． 解：（Ⅰ）令g (x )=f (x ) －x ，则g`(x )=f `(x ) －1<0．故g (x )为减函数，又因为g (a )=f(a ）－a =0，所以当x >a 时，g (x )＜g (a )=0，所以f (x ) －x ＜0，即()f x 求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法：已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。 2、凑配法 若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的 3、待定系数法 若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。 式子，再换元求出)(x f 的式子。 4、赋值法 在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 5、消元法 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成 方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 典型题例示范讲解 例1 如果45)1(2+-=+x x x f ，那么f(x)=______________________. 例2 设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f(x)的解析式。 例 3 设y=f(x)是实数函数，且x x f x f =-)1(2)(，求证：23 2|)(|≥x f 。 例4 已知bx x f x af n n =-+)()(，其中n a ,12≠奇数，试求)(x f 。 例5 已知)12()()(+++=+b a a b f b a f ，且,1)0(=f 求)(x f 的表达式。 解：令0=b ,由已知得：.1)1()0()(2a a a a f a f ++=++= 1)(2++=∴x x x f 例6 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求 f (x ) 的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;0 §4.4 正弦函数的性质教学目标： 1、进一步熟悉单位圆中的正弦线； 2、理解正弦诱导公式的推导过程； 3、掌握正弦诱导公式的运用； 4、能了解诱导公式之间的关系，能相互推导； 5、理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性； 6、能熟练运用正弦函数的性质解题。 二、教学重、难点 重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。 难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。 第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路 【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。 【探究新知】 1．复习：（公式1）sin(360?k +α) = sin α 2．对于任一0?到360?的角，有四种可能（其中α为不大于90?的非负角） [ [[[ ??? ????β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角），当为第三象限角）， 当为第二象限角）， 当为第一象限角，当 36027036027018018018090180)900 （以下设α为任意角） 3． 公式2： 设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180?+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知： sin(180?+α) = -sin α 4．公式3： 如图：在单位圆中作出α与－α角的终边， 同样可得： sin(-α) = -sin α, 5．公式4：由公式2和公式3可得： P’(P(x ,-y ) 一般地，对于函数f(x) ⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。 ⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。 ⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 ⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称 特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 ④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 ⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x3【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称） ⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0 注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数 解析函数的应用 —浅谈在陌生弹性力学中的应用 （杜碧晶，运城学院数学系） 摘要：在数学中，我们知道一个复变函数如果解析，则其实部和虚部均为调和函数，满足调和方程。一个实变的双调和函数，可由共轭复变函数的线形组合得到。在平面弹性力学中，对于平面应力问题和平面应变问题，可以通过假设，转变成求解满足某些边界条件下的双调和方程问题。这样就可以用复变函数中的解析函数进行解决。 关键词：解析函数、应力函数、平面应力问题、平面应变问题。 1、引言：社会十分尊重数学，这可能不是因为这个学科的内在美，而是因为数学是社会极其需要和工程中有广泛应用的一种艺术。以复数作为自变量的函数叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中具有解析（可微）性质的函数。如果一个复变函数解析，那么 它的实部和虚部均为调和函数，满足拉普拉斯调和方程(02222=??+??y x φ φ)。在区域D 内满足C —R 方 程即： x v y u y v x u ??-=????=??,的两个调和函数v u ,中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数。 任何一个弹性体都是空间问题，一般的外力都是空间系，因此严格的说，任何一个实际的弹性力学问题，都是空间问题。但是所考察的弹性体具有某种特殊形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可把空间问题简化为平面问题。这样处理后，分析和计算的工作量将大大的减少，而所得的结果仍满足工程上对精度的要求，因此具有广泛的实用价值。 弹性力学的平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。其中平面应力问题是指很薄的等厚度薄板 只在板边上受有平行平板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化；平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作用都不沿长度而变。 2基础内容介绍 更多课程传送门：点这里 Excel表格乘法函数公式 时间:2011-04-05 来源:Word联盟阅读:21051次评论18条 在Excel表格中，我们常常会利用Excel公式来统计一些报表或数据等，这时就少不了要用到加、减、乘、除法，在前面我们已经详细的讲解了Excel求和以及求差公式使用方法。那么我们又如何利用公式来对一些数据进行乘法计算呢？怎样快速而又方便的来算出结果呢？下面Word联盟就来教大家一步一步的使用Excel乘法公式！ 我们先从简单的说起吧！首先教大家在A1*B1=C1，也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 1、A1*B1=C1的Excel乘法公式 ①首先，打开表格，在C1单元格中输入“=A1*B1”乘法公式。 ②输入完毕以后，我们会发现在 C1 单元格中会显示“0”，当然了，因为现在还没有输入要相乘的数据嘛，自然会显示0了。 ③现在我们在“A1”和“B1”单元格中输入需要相乘的数据来进行求积，如下图，我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘，结果在C1中就会显示出来，等于“500”。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法，但是在我们平常工作中，可能会遇到更多数据相乘，下面主要说说多个单元格乘法公式运用，如： “A1*B1*C1*D1”=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式“=A1*B1*C1*D1”。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据，结果就会显示在“E1”中啦！ 看看图中的结果是否正确呀！其实，这个方法和上面的差不多，只不过是多了几道数字罢了。 因为在工作中不止是乘法这么简单，偶尔也会有一些需要“加减乘除”一起运算的时候，那么当遇到这种混合运算的时候我们应当如何来实现呢？这里就要看你们小学的数学有没学好了。下面让我们一起来做一道小学时的数学题吧！ 3、Excel混合运算的乘法公式，5加10减3乘2除3等于多少？ 提示：加=+，减=-，乘=*，除=/。 ①首先，我们要了解这个公式怎么写，“5+10-3*2/3”这是错误的写法，正确写法应该是“（5+10-3）*2/3”。 ②好了，知道公式了，我们是不是应该马上来在Excel中的“F1”中输入“=(A1+B1-C1)*D1/E1”。 ③然后依次在A1、B1、C1、D1、E1中输入需要运算的数据。 欧拉函数： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n ，小于n 且和n 互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。 完全余数集合： 定义小于n 且和n 互质的数构成的集合为Zn ，称呼这个集合为n 的完全余数集合。显然|Zn| ＝φ(n) 。 有关性质： 对于素数p ，φ(p) = p -1 。 对于两个不同素数p，q ，它们的乘积n = p * q 满足φ(n) = (p -1) * (q -1) 。 这是因为Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ，则φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。 欧拉定理： 对于互质的正整数 a 和n ，有aφ(n)≡ 1 mod n。 证明： ( 1 ) 令Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ，S= {a * x1mod n, a * x2mod n, ... , a * xφ(n)mod n} ，则Zn = S 。 ① 因为a 与n 互质，x i(1 ≤ i ≤ φ(n)) 与n 互质，所以a * x i与n 互质，所以a * x i mod n ∈ Zn 。 ② 若i ≠ j ，那么x i≠ x j，且由a, n互质可得a * x i mod n ≠ a * x j mod n （消去律）。( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n)mod n ≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n ≡ (a * x1mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n)mod n) mod n ≡x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n 对比等式的左右两端，因为x i(1 ≤ i ≤ φ(n)) 与n 互质，所以aφ(n)≡ 1 mod n （消去律）。 注： 消去律：如果gcd(c,p) = 1 ，则ac ≡ bc mod p ? a ≡ b mod p 。 费马定理： 若正整数 a 与素数p 互质，则有a p - 1≡ 1 mod p。 证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。 ********************************************************************* ******** 补充：欧拉函数公式 ( 1 ) p k的欧拉函数 对于给定的一个素数p ，φ(p) = p -1。则对于正整数n = p k，函数导数公式及证明
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