课题15.3 正弦型函数
一、正弦型函数的概念
教材分析
《正弦型函数的概念》是学生在学习了三角函数线及诱导公式后，为学习函数图像的周期、相位变换提供了依据；在正弦函数的图像和性质的基础上，进一步地加深对三角函数的认识，为刻画物理学中简谐振动和电工学中交流电的电压、电流变化提供数学模型，它是三角函数知识从理论到生活实践中的连接桥梁。
学情分析
1、知识方面：学生已经掌握了三角函数线及诱导公式，以及正弦函数的图像和性质。对具体形象的实例比较感兴趣，具有一定的数学基础及分析解决问题能力。
2、能力方面：职业学校学生普遍学习缺乏自觉，学习主动性不强，但是爱动手，对于通过自己的探索得出的结论格外感兴趣。
教学目标一、知识与技能
1、认识正弦型函数图像及其表达式的特征，
2、理解正弦型函数的概念，
3、会根据正弦型函数的图像或表达式求参数A，ω，ϕ的值。
二、过程与方法
1、通过学生动手实践，分组讨论，培养学生分析问题解决问题的能力；
2、通过多媒体辅助教学，使学生学会将复杂问题进行分解的能力
三、情感、态度与价值观
1、通过主动探索，感受探索的乐趣和成功的体验，培养学生合作
交流的意识，体会数学的理性和严谨；
2、让学生感受“从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合”的数学思想方法。
重难点1、教学重点：
正弦型函数的概念，根据已知条件求参数A，ω，ϕ和最大最小值。
2、教学难点：
实际问题中的正弦型函数的理解。
教法与学法一、教法分析
教法上主要体现启发、探究、分组讨论等形式，同时利用学案导学优化课堂教学。
1、充分利用学生的好奇心与创造性，加强师生互动，生生互动，提高学生课堂参与程度。
2、通过采用设疑的形式启发、引导学生参与
二、学法分析
在学生已有的认知基础上，通过教师的引领，学生在已有认知结构的基础上自主探究，合作交流。
教学资源1、江苏省职业学校文化课教材《数学》第四册
2、教师编写的学案
3、多媒体课件（PPT）,几何画板
教学
准备 1、制作多媒体课件，编写本节课学案，从而优化课堂教学；
2、布置学生复习正弦函数的图像和性质。
教学过程设计
教学
环节
教学过程设计意图
温故引新忆一忆：
1.正弦函数sin
y x
的图像
2.定义域_______,
值域_______，
周期________，
奇偶性_______，
单调性______________________
师生活动：学生课前复习正弦函数知识后自主
完成。
通过对正弦
函数相关知识的
复习，引导学生找
到前后知识的联
系点，为正弦型函
数的探究做知识
准备。
创设情境想一想：
如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高
度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，
摩天轮上点P的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高
度，写出P点的纵坐标Y与时间t之间的函数关系
式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离
地面超过85 m?
师生活动：老师设置悬念，引出本节课课题，
引导学生积极探索。
生活中的现
实问题既能让学
生明白数学起源
于生活的道理，又
能激发学生利用
数学方法解决生
活问题的兴趣和
动力
探一探：
探究新知
观察比较几何画板做出的函数图象，回答问题：
1.四个图像的共同点是什么？
2.图2、3、4分别与图1比较，有什么变化？
师生活动：在老师的引导下，学生通过小组合作讨
论，各组派代表发阐述本组取得的结果。
新知的探究
在老师的引导下
由学生通过小组
合作交流完成。
探究新知理一理：
当函数sin
y A x
=的系数A取不同值时，函数的
振幅发生变化，其最大值为A，最小值为-A
当函数sin
y x
ω
=的自变量x的系数ω取不同值
时，函数的周期发生变化
当函数()
sin
y xϕ
=+的自变量x增加常数ϕ时，
函数图像向左平移ϕ；当函数()
sin
y xϕ
=-的自变
量x减少常数ϕ时，函数图像向右平移ϕ
概念：一般地，形如R
x
x
A
y∈
+
=),
sin(ϕ
ω的函
数（A>0，ϕ
ω
ω,
,
,0A
>都是常数）叫做正弦型函数，
其图象叫做正弦型曲线
A：振幅
ω：角速度
ϕ：初相位
:
ϕ
ω+
x相位
2
T
π
ω
=:周期
老师在学生
小组讨论探究的
基础上，进行总结
性表述，将探究的
思想方法进行提
炼。
应用举例用一用：
例1、已知正弦型函数)
3
5
sin(
2
π
+
=x
y，求该正弦
函数的振幅、角速度、初相位、周期、最大值和最
小值。
变一变：
例2、已知正弦交流电电压2202sin314
4
u t
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
求交流电压的振幅、角速度、初相位、周期、最大
值和最小值。
师生活动：本过程由老师进行讲解和板演，并
规范书写格式。
按学生思维
的方式，由易到难
组织应用，逐层剖
析，利于学生全面
掌握。
类题演练练一练：（学生板演）
求下列函数的振幅、角速度、初相位、周期、最大
值和最小值
（1）3sin4
6
y x
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
（2）
11
sin
235
y x
π
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
对照例题设
计练习作为巩固
性训练，给学生一
块“用武之地”，
让每一位同学体
验学习数学的乐
趣，成功的喜悦，
找到自信，增强学
习数学的愿望与
信心.
应用举例用一用：
例3 当x分别为何值时，正弦函数)
3
5
sin(
2
π
+
=x
y
取得最大值和最小值？
进一步引领
学生观察、思考、
分析，，同时提高
学生分析、解决问
题的能力。
类题演练练一练：（学生板演）
当x分别为何值时，正弦函数
1
5sin
3
y x
=取得最大
值和最小值？
对照例题设
计练习作为巩固
性训练，给学生一
块“用武之地”，
让每一位同学体
验学习数学的乐
趣，成功的喜悦，
找到自信，增强学
习数学的愿望与
信心.
拓展提高求一求：
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，
|φ|<π2)的图象(部分)如图所示，求f(x)的解析
式。
本环节教师要充分引导学生利用“数形结合”的思
想解题。
在学生对所
学知识已经初步
领会的基础上，通
过本环节进一步
检验学生对所学
知识的理解。
活学活用试一试：
如图，摩天轮的半径为50 m，点O距地面的高
度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，
摩天轮上点P的起始位置在最低点处.
（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高
度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离
地面超过85 m?
本节课由生
活情景引入课题，
学生带着悬念和
好奇展开了本节
课的学习，最后利
用学习到的新知
识解决了生活中
得实际问题，进一
步让学生体验成
功的喜悦；同时也
初步了解了利用
数学问题解决实
际应用的基本流
程。
正弦型函数y=Asin(ψx+φ）的图象变换教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能目标： 能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、过程与方法目标： 通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。 3、情感、态度价值观目标： 通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。 二、教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。 三、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这 种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。 学情分析： 本节课在高一第二学段，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。 教学内容分析：
课题15.3 正弦型函数 一、正弦型函数的概念 教材分析 《正弦型函数的概念》是学生在学习了三角函数线及诱导公式后，为学习函数图像的周期、相位变换提供了依据；在正弦函数的图像和性质的基础上，进一步地加深对三角函数的认识，为刻画物理学中简谐振动和电工学中交流电的电压、电流变化提供数学模型，它是三角函数知识从理论到生活实践中的连接桥梁。 学情分析 1、知识方面：学生已经掌握了三角函数线及诱导公式，以及正弦函数的图像和性质。对具体形象的实例比较感兴趣，具有一定的数学基础及分析解决问题能力。 2、能力方面：职业学校学生普遍学习缺乏自觉，学习主动性不强，但是爱动手，对于通过自己的探索得出的结论格外感兴趣。 教学目标一、知识与技能 1、认识正弦型函数图像及其表达式的特征， 2、理解正弦型函数的概念， 3、会根据正弦型函数的图像或表达式求参数A，ω，ϕ的值。 二、过程与方法 1、通过学生动手实践，分组讨论，培养学生分析问题解决问题的能力； 2、通过多媒体辅助教学，使学生学会将复杂问题进行分解的能力 三、情感、态度与价值观 1、通过主动探索，感受探索的乐趣和成功的体验，培养学生合作
交流的意识，体会数学的理性和严谨； 2、让学生感受“从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合”的数学思想方法。 重难点1、教学重点： 正弦型函数的概念，根据已知条件求参数A，ω，ϕ和最大最小值。 2、教学难点： 实际问题中的正弦型函数的理解。 教法与学法一、教法分析 教法上主要体现启发、探究、分组讨论等形式，同时利用学案导学优化课堂教学。 1、充分利用学生的好奇心与创造性，加强师生互动，生生互动，提高学生课堂参与程度。 2、通过采用设疑的形式启发、引导学生参与 二、学法分析 在学生已有的认知基础上，通过教师的引领，学生在已有认知结构的基础上自主探究，合作交流。 教学资源1、江苏省职业学校文化课教材《数学》第四册 2、教师编写的学案 3、多媒体课件（PPT）,几何画板 教学 准备 1、制作多媒体课件，编写本节课学案，从而优化课堂教学；
江苏省新沂中等专业学校2021-2022-2备课纸课时总编号： 备课组别数学 上课 日期 第课时课型 主备 教师 课 题： §15.3正弦型函数(第1课时) 教学目标1.复习正弦函数概念、五点作图法； 2.能够画出几种简单的正弦函数的画法； 3.通过实例了解正弦函数，加深对学习数学的兴趣。 重点正弦函数概念五点作图法 难点对正弦函数图像的认识 教法讲练结合 教学 设备 多媒体一体机 教学 环节 教学活动内容及组织过程个案补充 教学内容【课前导学】 圆上一点沿着圆匀速转动，其高度随时间变化的函数曲线是正弦型函数。函数的最大值就是圆的半径，角速度对应点在圆上运动的速度，初相位对应点D的初始位置。 【设计意图】： （1）通过动画演示，让学生感受正弦型函数在生活中是实实在在 存在的点可生成的轨迹，提高学生学习数学的兴趣。
教学内容 一、正弦函数概念 1.函数的概念：一个物体以3米/秒的速度沿直线匀速行驶，则运动路程s与运动时间t之间存在关系： S=3t 在此过程中，s是t的函数 函数的实质是一个变量和另一个变量的对应关系。在之间三角形ABC中 AB BC = α sin 当α变化时，α sin的值也随之变化， 即α sin是α的函数 2.正弦函数x y sin =的图像，五点作图法： 当x分别取π π π π 2, 2 3 2 0， ， ，时，可以得到x y sin =的值0,1 0,1,0- ，， 即可以得到五个点） （0,0，） （1, 2 π ，） （0,π，） （1-, 2 3π ，） （0,0， 用平滑的曲线将五点连起来，得到正弦函数x y sin =在一个周期内的图像
正弦函数的图像和性质 教学目标： 1、 知识与技能目标 通过研究正弦函数图像及其画法, 理解并掌握正弦函数的性质，运用其性质解决相关问题 2、 过程与方法目标 通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解， 培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法 3、 情感态度与价值观 用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。 教学重点： 正弦函数的性质 教学难点： 正弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）： 把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平
行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线 3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π,-1) (2π,0) 二、讲解新课： (1)定义域： 正弦函数的定义域是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， (2)值域 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， 所以｜sin x ｜≤1， 即 －1≤sin x ≤1， 也就是说，正弦函数的值域是［－1，1 其中正弦函数y = sin x ,x ∈R ①当且仅当x ＝2 π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2 π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 (3)周期性 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，知： 一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的 由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0) 对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期 注意： 1.周期函数定义域x ∈M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2.“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数;
§15.3 正弦型函数教学案 【学习目标】 1.掌握函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的概念及性质, 理解振幅、周期、频率、 初相位的定义； 2.会用“五点法”作出函数sin()y A x ωϕ=+图像 3.理解ϕ、ω、A 对函数sin )y A x ωϕ=+（图象的影响； 4.能够将sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象. 【学习重点】：会用“五点法”作出函数sin()y A x ωϕ=+图像． 【学习难点】：能够将sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象. 【学习过程】: 1. 函数sin )y A x ωϕ=+（，R x ∈（其中0A >，0ω>,ϕ、ω、A 为常数）叫正 弦型函数. A ：“振幅”； T ：2T π ω = 周期；ω：角速度 ϕ：初相位． 例1 已知正弦型函数)3 5sin(2π +=x y ,求该正弦型函数的振幅、角速度、初相位、 周期、最大值和最小值. 例2 当x 分别为何值时, 正弦型函数)3 5sin(2π +=x y 取最大值和最小值. 2、探究一、函数图象的纵向伸缩变换（画图像学生讨论总结） 例3，在同一坐标系中作sin y x =，2sin y x =及1 sin 2 y x =的简图（先画在［0，π］ sin y x =,x R ∈的图象间的关系？ 函数sin (0,1)y A x A A =>≠的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标
_______（1A >）或_______（01A <<）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的. 探究二、函数图象的横向伸缩变换 例4、画出函数y=sin2x, x ∈R ；y=sin 2 1x, x ∈R 的图象．（先画在［0,π］上的简图） 【解】函数y ＝sin2x ，x ∈R 的周期T ＝ 22 π = 观察图像， 函数sin ,y x x R ω=∈（其中0ω>且1ω≠）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标_________（1ω>）或_________（01ω<<）到原来的1 ω 倍（纵坐标不变）而得到. 探究三、 函数图象的左右平移变换 例5、画出函数y=sinx ，x ∈R 、y ＝sin(x ＋ π)，x ∈R 、y ＝sin(x －π )，x ∈R 的简图 观察图像，你发现它们的图像有何异同及联系？你能得到一般性的结论吗？
正弦型函数的性质与图像 【教学目标】 1．了解正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等． 2．会用“图像变换法”作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像． 【教学重难点】 会求正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期、最值、单调区间． 【教学过程】 一、问题导入 日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i 与时间t 的关系一般可以写成i=I m sin （wt+φ）的形式. 显然，上述x 与i 都是t 的函数，那么，这种类型的函数具有什么性质呢？怎样研究这种类型的函数的性质？ 二、新知探究 1.正弦型函数的图像与性质 【例1】用五点法作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ x －π3＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、 频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程． [思路探究]先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质． [解]① ①描点连线作出一周期的函数图像． ①把此图像左、右扩展即得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ x －π3＋3的图像． 由图像可知函数的定义域为R ，值域为[1,5]，
周期为T ＝2πω＝2π，频率为f ＝1T ＝12π，初相为φ＝－π 3，最大值为5，最小值为1． 令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ①Z )得原函数的增区间为⎣⎢⎡ ⎦ ⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π(k ①Z )． 令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋32π，(k ①Z )得原函数的减区间为⎣⎢⎡ ⎦ ⎥⎤2k π＋56π，2k π＋116π(k ①Z )． 令x －π3＝k π＋π2(k ①Z )得原函数的对称轴方程为x ＝k π＋5 6π(k ①Z )． 【教师小结】 （1）用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3 2π，2π，然后解出自变量x 的对应值，作出一周期内的图象． （2）求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先把x 的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx ＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x 的范围． 2.三角函数的图像变换 【例2】函数y ＝2sin ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫2x ＋π3－2的图像是由函数y ＝sin x 的图像通过怎样的变换得到 的？ [思路探究]由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动． 【教师小结】三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略： (1)确定函数y ＝sin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x ”而言. (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位. 3.求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 【例3】如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛ ⎭⎪⎫|φ|<π2的图像，确定其一个函数解析式． [思路探究]解答本题可由最高点、最低点确定A ，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ. [解]由图像，知A ＝3，T ＝π， 又图像过点A ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －π6，0， ①所求图像由y ＝3sin 2x 的图像向左平移π 6个单位得到， ①y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫2x ＋π3.
正弦函数的图像与性质教案 正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案） 教学目标： 1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力。 教学重点： 1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想。 教学难点： 正弦函数性质的理解和应用。
教学方法： 多媒体辅助教学、讨论式教学、讲述结合教学、分层教学。 教学过程： I。知识回顾 终边相同角的诱导公式：sin(α+2kπ)=sinα(k∈Z) 因此，正弦函数是周期函数，即2π,4π,6π,……以及-2π,- 4π,-6π,……都是它的周期，其中2π是它的最小正周期，也叫 做周期，因此正弦函数的周期为2π。 II。新知识 1、用五点法作出正弦函数在最小正周期上的图像 y=sinx，x∈[0,2π] 1）列表 x π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/6 4π/3 5π/3 11π/6 2π y 1/2 √3/2 1 √3/2 1/2 0 -1/2 -√3/2 -1 -√3/2 -1
2）描点 3）连线 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图像在[-4π,-2π]、[-2π,0]、[0,2π]、[2π,4π]，以及其他周期区间中与y=sinx，x∈[0,2π]的图像相同。 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式sin(-x)=-sinx，x∈R得： ①定义域关于原点对称 ②满足f(-x)=-f(x) 因此，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称）。 3、正弦函数单调性、值域 由图像观察可得： 正弦函数在 [-π/2+2kπ,π/2+2kπ] 是增函数，在 [π/2+2kπ,3π/2+2kπ] 是减函数（k∈Z）。 得到最大值为1，最小值为-1，因此值域为[-1,1]。
正弦型函数教案
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质【教学目标】 1、用五点法作出正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象； 2、正确理解正弦函数y=sinx的图象与正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象之间的关系； 3、掌握正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的性质。 【教学重点】 用五点法作出正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及正确理解正弦函数y=sinx的图象与正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象之间的关系。 【教学难点】 如何正确描出五个关键点及正弦函数y=sinx与正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象之间的变换关系。 【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合 【教学过程】 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习提问1、正弦函数y=sinx 的图象； 2、正弦函数y=sinx 的性质 教师问，学生答， 同时教师借助计算 机展示正弦函数图 象的画法及性质 引发学生触景 生情，回想起 上节课的内 容，达到温故 而自新的目的 教学例1.试作出下列函数通过计算师生表格设计
过程在长度为一个周期的 闭区间上的简图： （1）y=sin2x （2）y=sin x 例2.试作出下列函数 在长度为一个周期的 闭区间上的简图： （1）y=2sinx （2）y=sinx 例3.作出函数 y=3sin(2x+)在长度为一 个周期的闭区间上的简图： 正弦型函数y=Asin(ω x+φ)的性质：1.定义 域：R； 2.值域[－A，A]； y max=A,y min=-A; 3.周期：T＝共同完成表格，计 算机模拟作图，建 立坐标系，描点， 连线，共同作出函 数y=sin2x的简 图；通过比较 y=sinx的图象与 y=sin2x的关系， 猜想y=sin x的图 象，计算机横拟作出，拓展后 师生共同得到结论1：y=sinx 图象上所有点的横 坐标变为原来的 ，纵坐标不变，就可得到 y=sinωx的图象。 教师启发学生用 类比的方法来学 习，计算机演示作 图过程。师生共同 归纳总结得出结论 2：y=sinx图象上 所有点的纵坐标变 成输入文本， 加深学生对五 点的取法的印 象，计算机模 拟作图，不仅 直观而且示范 性又强。通过 图象的比较， 启发学生思 维，调动学生 学习的积极 性。 计算机模 拟作图既省时 又方便。 计算机模拟作 出 y=3sin2(x+), 可以加深学生的印象， 这也是图象变换的一个 关键点；跟踪练习使学 生学习兴趣盎然，提高 学生的课堂学习效率。 提高学生自主
正弦函数教案 正弦函数教案 概述： 正弦函数是高中数学中重要的一部分，也是数学中最基础的三角函数之一。它 在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。本教案将介绍正弦函数的定义、性质以及一些常见的应用。 一、正弦函数的定义和性质 正弦函数可以用一个周期为2π的周期函数来表示，其定义如下： f(x) = A*sin(Bx + C) + D 其中，A表示振幅，B表示周期的倒数，C表示相位差，D表示垂直方向上的平移。 1. 振幅（Amplitude） 振幅是正弦函数在垂直方向上的最大值和最小值之间的差异。振幅越大，正弦 函数的波动幅度越大。 2. 周期（Period） 周期是正弦函数在水平方向上重复的最小单位。周期的倒数就是正弦函数的频率，表示单位时间内重复的次数。 3. 相位差（Phase Shift） 相位差是正弦函数在水平方向上的平移量。当C>0时，函数向左平移；当C<0时，函数向右平移。 4. 垂直平移（Vertical Shift） 垂直平移是正弦函数在垂直方向上的平移量。当D>0时，函数向上平移；当
D<0时，函数向下平移。 二、正弦函数的图像和性质 1. 基本图像 正弦函数的基本图像是一个在x轴上方和下方交替波动的曲线。它在原点处取 得最小值，峰值为振幅A。 2. 对称性 正弦函数具有奇对称性，即f(x) = -f(-x)。这意味着正弦函数以原点为中心对称。 3. 周期性 正弦函数是一个周期函数，其周期为2π。也就是说，当x增加2π时，正弦函 数的值会重复。 4. 单调性 正弦函数在一个周期内是非单调递增和非单调递减的。它在峰值和谷值之间交 替波动。 三、正弦函数的应用 1. 几何学中的应用 正弦函数在几何学中有广泛的应用。例如，它可以用来描述三角形的边长和角 度之间的关系。通过正弦函数，我们可以计算出三角形的未知边长或角度。 2. 物理学中的应用 正弦函数在物理学中也有重要的应用。例如，它可以用来描述波动的形态和运动。光的波动、声音的波动以及其他各种波动都可以用正弦函数来表示。 3. 工程学中的应用 正弦函数在工程学中也有许多应用。例如，电流和电压的交流信号可以用正弦
正弦函数教案 引言: 正弦函数是数学中非常重要的一个概念，它在科学、工程和自然界中具有广泛的应用。通过学习正弦函数，学生可以理解周期性的概念和波动现象，进一步认识数学与实际问题的联系。本教案旨在帮助学生全面理解正弦函数的定义、性质和应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力。 一、教学目标: 1. 理解正弦函数的定义并能正确表示正弦函数的图像 2. 掌握正弦函数的性质，包括周期性、幅值和相位差的概念 3. 能够应用正弦函数解决实际问题，例如物理、音乐和天文学中的波动问题 二、教学重点与难点: 1. 正弦函数的定义和图像表示 2. 正弦函数的周期、幅值和相位差的概念
三、教学内容与方法: 1. 正弦函数的定义和图像表示 a. 介绍正弦函数的定义：y = sin(x)，其中x是自变量，y是函 数值。 b. 分析正弦函数的图像特点：周期性、振动、坐标轴交点等。 c. 运用教学软件或手绘图表，展示不同频率、幅值和相位差下的正弦函数图像。 2. 正弦函数的周期、幅值和相位差的概念 a. 解释正弦函数的周期性：通过图像分析，引导学生发现正弦函数的周期是2π。 b. 介绍正弦函数的幅值和相位差的概念：幅值表示振动的最 大幅度，相位差表示起始点的位置。 c. 通过具体例子和实验数据，帮助学生理解和计算正弦函数的幅值和相位差。
a. 归纳和总结正弦函数在物理、音乐和天文学中的应用场景。 b. 通过实例分析和解决问题，培养学生将正弦函数应用于实际问题的能力。 c. 引导学生思考和讨论：正弦函数在不同领域中有什么相似之处？有何差异？ 四、教学手段与资源: 1. 教学软件或数学绘图软件，用于展示正弦函数的图像和计算幅值、相位差等。 2. 实验设备和仪器，用于展示正弦函数在实际问题中的应用，例如波动现象的实验。 五、教学流程安排: 1. 导入新知识 a. 利用教学软件或实物展示正弦函数的图像，引起学生兴趣。
《正弦型函数的性质与图像（第一课时）》学习任务单 【学习目标】 （1）了解正弦型函数的概念及其简单的物理背景； （2）探究正弦型函数的定义域、值域、周期，掌握用五点作图法画正弦型函数图像的方法； （3）数形结合理解参数A ，ω，ϕ对于正弦型函数()sin y A x ωϕ=+的图像的影响，从而发现正弦曲线与正弦型函数图像的变换关系. 【课上任务】 1．什么是正弦型函数？ 2．2sin y x =的定义域、值域、周期分别是什么？ 3．如何用五点作图法作出2sin y x =的图像？ 4．2sin y x =可以由sin y x =经过怎样的图像变换得到？ 5．作出1sin 2y x =的图像，探究1sin 2 y x =可以由sin y x =经过怎样的图像变换得到？ 6．总结一般地，sin y A x =的定义域、值域、周期分别是什么？可以由sin y x =经过怎样的图像变换得到？ 7．类比研究πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域、值域、周期、五点法作图、与sin y x =的图像变换关系，并推广到一般情形. 8．类比研究sin 2y x =与1sin 2 y x =的定义域、值域、周期、五点法作图、与sin y x =的图像变换关系，并推广到一般情形. 【学习疑问】（可选） 9．哪段文字没看明白？ 10．哪个环节没弄清楚？
11．有什么困惑？ 12．您想向同伴提出什么问题？ 13．您想向老师提出什么问题？ 14．没看明白的文字，用自己的话怎么说？ 15．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？ 16．同伴提出的问题，您怎么解决？ 【课后作业】 17．基础作业：求下列函数的周期，并用五点作图法作出其一个周期的图像. （1）πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ；（2）sin3y x =. 18．拓展作业：请你总结一下，正弦型函数()sin y A x ωϕ=+中的参数A ，ω，ϕ对于函数的性质和图像有怎样的影响？并思考这些结论能否推广到一般函数的情形？ 【课后作业参考答案】 基础作业：(1)=2πT ；（2）2π= 3T . （五点作图法略）
正弦函数的图像教案 教案标题：正弦函数的图像教案 教案目标： 1. 了解正弦函数的定义和性质。 2. 掌握如何绘制正弦函数的图像。 3. 理解正弦函数在数学和实际问题中的应用。 教案步骤： 引入： 1. 引导学生回顾三角函数的概念和性质，特别是正弦函数的定义。 2. 提出问题：你知道正弦函数的图像是什么样的吗？为什么正弦函数在数学和实际问题中如此重要？ 探究： 3. 向学生介绍正弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位差等。 4. 提供一组正弦函数的表格数据，让学生通过计算得到对应的函数值。 5. 引导学生根据表格数据绘制正弦函数的图像，并观察图像的特点。 6. 指导学生总结正弦函数图像的一般规律和特点。 拓展： 7. 提供一些实际问题，引导学生将问题转化为正弦函数的图像。 8. 引导学生分析实际问题中的振幅、周期和相位差的含义，并解决问题。 9. 鼓励学生思考正弦函数在其他学科和领域中的应用，如物理、音乐等。 巩固： 10. 给学生提供一些练习题，让他们应用所学知识绘制正弦函数的图像。
11. 引导学生分析不同参数对正弦函数图像的影响，如振幅变化、相位差变化等。总结： 12. 总结正弦函数的定义、性质和图像特点。 13. 强调正弦函数在数学和实际问题中的重要性，并鼓励学生继续探索和应用。评估： 14. 设计一些评估题目，考察学生对正弦函数图像以及应用的理解程度。 15. 对学生的表现进行评估和反馈，指出需要加强的地方并提供进一步的指导。延伸活动： 16. 鼓励有兴趣的学生进行更深入的研究，如探究其他三角函数的图像特点、探索更复杂的正弦函数应用等。 17. 提供一些拓展阅读资源，让学生进一步了解正弦函数在不同学科和领域的应用。 希望以上教案建议和指导能够帮助您撰写《正弦函数的图像教案》。祝您教案撰写顺利，并取得良好的教学效果！
篇3正弦函数余弦函数的图象教案 一、教材分析： 本节课是高中新教材《数学》第一册（下）§4.8《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法．为今后学习正弦型函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用． 二、学情分析： 在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。 三、教学目标： 依据教学大纲的要求，制订如下三维教学目标： 知识目标是：1．理解几何法作图原理（难点）；
2．掌握五点法作图（重点）； 3．了解三角函数图象的变换作图． 能力目标是：通过识记正、余弦曲线的形状特征，培养学生分析问题、 解决问题的能力；强化学生＂数形结合＂的数学思想． 发展目标是：教给学生灵活的思维方法，培养学生的学习兴趣和勇于 探索、勇于创新的精神，提高综合素质． 四、设计理念： 教无定法，贵在得法．诱思探究学科教学论认为：在教学思想上是启发式，在教学过程上是探究式，在教学价值上是发展式。德国教育学家第斯多惠也曾说过：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞．为了充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，充分让学生参与教学活动。同时利用多媒体电教手段提高学生的学习兴趣．采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法；教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法．体现“教师是主导，学生是主体”的教学原
教学设计案例 正弦函数、余弦函数的图象 1.教学任务分析 (1)函数性质的研究常常以图象直观为基础.正弦函数、余弦函数的教学也是如此，先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求. (2)由于正弦线。余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此，利用单位圆中的三角函数、线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。 2.教学重点、难点 重点：正弦函数、余弦函数的图象. 难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数和余弦函数图象间的关系. 3.教学基本流程 问题设计意图师生活动 1.遇到一个新的函数，画出它的图，通过观察图象获得对它的性质的直观认识，是研究函数的基本方法. 为了获得正弦函数和余弦函数的图象，我们先做一个简谐运动实验，请注意观察它的图形特 明确研究思想； 利用简谐运动图象引 进正弦曲线、余弦曲 线. 教师说明基本思路，指导学生做单摆简 谐运动的实验，并观察漏斗中的细沙落在纸 板上所形成曲线的形状.
5.几点说明 (1)单摆简谐运动的图象是正弦曲线，这是学生熟悉的，因而可作为学习正弦函数图象的出发点.教学中应当充分用好这个背景知识，教师可以在课堂上演示一下这个实验. (2)有条件的学校，可由师生共同使用信息技术进行本小节的教学.借助信息技术, 可以较方便地利用单位圆中的三角函数线作出三角函数的图象.另外，还可以帮助学生寻找关键点，对所作的图象进行验证，了解不同函数图象间的关系. (3)在利用单位圆中的正弦线画正弦函数的图象时，将单位圆分成12等分，则正好对应著12个特殊角.教学中应当让学生亲自动手画一画，并引导学生思考将单位圆分成12等分的好处. (4)本小节设置了较多的“探究”“思考”，还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时，应留给学生一定的时间思考、探究这些问题.
正弦函数的图像与性质 教学目标： 1、知识与技能目标 通过研究正弦函数图像及其画法,理解并掌握正弦函数的性质，运用其性质解决相关问题 2、过程与方法目标 通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解，培养学生的观察、分析、归纳与表达能力以及数形结合与化归转化的数学思想方法 3、情感态度与价值观 用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。 教学重点： 五点法作正弦函数图像，正弦函数的性质 教学难点： 正弦函数性质的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入： 1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 二、讲解新课： 1．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）： 把y=sinx ，[0,2]x π∈的图象，沿着x 轴向右与向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线 2．用五点法作正弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，[0,2]x π∈的图象中，五个关键点是： (0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 3.分组讨论正弦函数的性质 (1)定义域： 正弦函数的定义域是实数集R 或(－∞，＋∞)， (2)值域 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， 所以｜sin x ｜≤1， 即 －1≤sin x ≤1，
正弦函数余弦函数的性质教案 1.正弦函数、余弦函数图像的画法 (1)描点法：按照列表、描点、连线的顺序可作出正弦函数、余弦函数图像的方法. (2)几何法：利用单位圆中的正弦线、余弦线来作出正弦函数、余弦函数图像的方法. (3)五点法：观察正弦函数图像可以看出，(0，0)，( ，1)，(π，0)，(，-1)，(2π，0)这五个点在确定正弦函数图像形状时起着关键的作用.这五个点描出后，正弦函数y=sin某,某∈[0，2π]的图像的形状就基本上确定了. (0，1)，( ，0)，(π，-1)，(，0)，(2π，1)这五个点描出后，余弦函数y=cos某,某∈[0，2π]的图像的形状就基本上确定了. 在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫做五点法. 2.正、余弦函数的性质 y=sin某y=cos某 定义域RR 值域[-1,1][-1,1] 奇偶性奇函数偶函数 单调性在每个区间[2kπ- ，2kπ+]上递增，在每个区间[2kπ+,2kπ+]上递减(k∈Z)在每个区间[(2k-1)π,2kπ]上递增，在每个区间[2kπ,(2k+1)π]上递减(k∈Z)
周期性2π2π 有界性当某=2kπ- (k∈Z),y最小=-1，当某=2kπ+(k∈Z)时，y最大=1当某=(2k+1)π(k∈Z)时,y最小=-1，当某=2kπ(k∈Z)时，y最大=1 (注：在单调性中，把函数说成在某象限是增函数或是减函数是不正确的). 3.周期函数 三角函数的周期性，是角的终边位置周期性的变化的反映，这种周期性清 晰地表现在三角函数的图像中，对于周期函数，只要掌握它在一个周期的性质(提供研究问题的方案：先解答一个周期上的问题，再按周期性推广) 周期函数定义：设函数y=f(某)的定义域为D，若存在常数T≠0，使得对 一切某∈D,且某+T∈D时，都有f(某+T)=f(某)成立，则称y=f(某)为D上的周 期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最 小正周期。今后的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期，并不是所有的周期都存在最小正周期. (1)利用三角函数线可以画出正弦函数、余弦函数的图像，此外，三角函 数线还可用来三角函数值的大小比较，有关三角函数不等关系的证明. (2)一般地，我们常用“五点法”，画出正弦函数与余弦函数的图像.三角 函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等等，在其图像上都 被充分地反映出来.因此，熟练掌握画三角函数图像的方法，用数形结合的方法解决有关三角函数问题是很重要的. (3)对于比较三角函数值，一般利用诱导公式将三角函数化成同名函数的同一单调区间去比较. 例1 (1)用“五点法”作出函数y=2+sin 某在一个周期内的简图; (2)求函数的最大、最小值及取得最小、最小值时的某的集合;
正弦函数、余弦函数的图像〔一〕教案 成都田家炳刘冬玲 一、教学目标： 〔一〕知识目标： 1．理解几何法作图原理 2．掌握五点法作图 3．了解三角函数图象的变换作图 〔二〕能力目标： 用多媒体展示，增强学生的直观感知，培养学生自主探索和合作学习的能力；在解决问题过程中培养渗透学生应用联想类比、化归、数形结合等数学思想方法。 〔三〕情感目标： 创设和谐融洽的教学气氛和阶梯形问题，使学生在学习活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。 二、教学重点与难点： 1、重点：正弦函数、余弦函数的五点法作图。 2、难点：①、利用正弦线画出函数y=sinx, x∈[0,2π]的图像； ②、利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。 三、教法：发现法、启发式教学； 学法：自主探索、合作学习。 四、教学准备： 1、教师：多媒体课件，实物投影仪
2、学生：学案
引导学生用特殊到一般的思想方法，联想到我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数，那是否可以用它来帮助作三角函数图像呢？由此突破难点，得到作图方法二：几何法。 拓展：如何做出函数y=sinx ,x∈R的图像？ 【设计意图】：明确如何利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像。培养学生的动手操作能力，形成对正弦函数图像感知。 3、探究三：从正弦函数的图像得出的探究过程中，你能得出余弦函数的图像吗？ 引导学生类比思考利用余弦线画余弦函数图像；引导学生利用诱导公式，答复两个函数之间的关系，再用坐标变换做出余弦函数图像。 【设计意图】：使学生从类比联想中得出函数图像之间的关系，进而了解通过余弦线或图象变换画余弦函数图像的方法。 4、探究四：如何较为快速和较为准确的作出正弦函数图像和余弦函数图像？ 引导学生通过观察正弦函数和余弦函数图像，类比函数的简图作法，确定在[0,2π]上起关键作用的五个点，学会“五点法〞作正弦函数和余弦函数的简图。 【设计意图】：从对图像的整体观察入手，引出“五点法〞。 5、课堂小结： 引导学生作如下小结： 1.代数描点法〔误差大〕 2.几何描点法〔精确但步骤繁〕