正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是数学中常见的两种三角函数。它们的性质包括单调性，也就是函数在定义域上的变化趋势。
先来看正弦函数。正弦函数的定义域是整个实数集，记作：f(x) = sin(x)。在定义域上，正弦函数的周期是2π。正弦函数的图像是一条连续波动的曲线，它在原点附近的取值范围是[-1, 1]之间。正弦函数的单调性是周期性的，即在每个周期内，它在逐渐上升到最大值1，然后下降到最小值-1，接着再上升到1，如此反复。正弦函数在每个周期内是先递增然后递减的，也就是说它在该周期内是非单调函数。但是在整个定义域上，正弦函数不是单调函数，因为它不断地周期性地波动。简单来说，正弦函数没有单调性。
正弦函数和余弦函数都不是单调函数。它们的图像在定义域上进行周期性的波动，而不是保持单调递增或单调递减。
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质 一、正弦函数的图象与性质 1、正弦函数图象的作法： （1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状； （2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。 注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。 2、正弦函数的性质 （1）定义域为，值域为； （2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。函数 的最小正周期是； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。 3、周期函数 函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。 4、关于函数的图象和性质 （1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；
（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期； （3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。 5、正弦型图象的变换方法 （1）先平移后伸缩 的图象 的图象 的图象 的图象 的图象。 （2）先伸缩后平移 的图象 的图象 的图象 的图象 的图象。 二、余弦函数、正切函数的图象与性质 1、余弦函数的图象和性质 （1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。
讲解新课：正弦、余弦函数的图象 （1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线 第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角 6 , 0π ， 3π ，2 π ,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象. 把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象. （2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移 2 π 单位即得余弦函数y=cosx 的图象. （3） 用五 点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) ( 2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 讲解范例： 例1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx 探究 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？ y=cosx y=sinx π 2π 3π 4π 5π 6π-π -2π-3π -4π-5π -6π-6π -5π -4π -3π -2π -π 6π5π 4π 3π 2π π -1 1 y x -11 o x y
正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
（一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x ）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx 的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为；
的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为； （ⅱ）的最小正周期为； （ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝型三角函数的单调区间
正弦函数和余弦函数的单调区间 正弦函数和余弦函数在数学中有着重要的地位，它们经常被用作表示物理和工程中的运动和系统变化的基础。在数学的定义上，正弦函数和余弦函数都属于周期性函数，因此，它们的单调区间也是一个重要的内容，它们的单调区间是学习和理解正弦函数和余弦函数的基础。 正弦函数和余弦函数的单调区间指的是原函数在某个特定区间 内是单调上升或单调下降的区域。正弦函数和余弦函数的单调区间的定义为：若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则[a，b]称为函数f(x)的单调区间。 针对正弦函数和余弦函数，我们可以把它们分别定义为y = sin(x)和y = cos(x)。 首先，我们来看一下正弦函数的单调区间。从正弦函数的定义中可以看出，这些函数具有一定的周期性，它们从－π开始向正π循环起来，每一个完整的循环即构成了一个周期。可以将正弦函数的完整周期分为四个部分，即[-π/2, 0], [0,/2], [π/2,], [-π, -π/2]，在这四个区间内，正弦函数都是单调递增的，这四个区间就是正弦函数的单调区间。 其次，我们来看余弦函数的单调区间。余弦函数也具有一定的周期性，它从π/2开始向-π/2循环起来，每一个完整的循环即构成了一个周期。可以将余弦函数的完整周期分为四个部分，即[π/2,], [π, 3π/2], [3π/2, 2π], [-π/2, 0]，在这四个区间内，余弦
函数都是单调递减的，这四个区间就是余弦函数的单调区间。 最后，我们来看一下正弦函数和余弦函数的函数图。从函数图中可以看出，两个函数的单调区间的定义是非常正确的，他们在四个区间内都是单调递增或单调递减的。 另外，正弦函数和余弦函数的单调区间还可以用对数函数来表示，在对数函数中，可以更容易地看出正弦函数和余弦函数的单调区间。 正弦函数和余弦函数的单调区间在学习这两个函数时是非常重 要的，因为它可以帮助我们更好地理解正弦函数和余弦函数的特性，也可以帮助我们在应用中更好地使用这两个函数。
三角函数中的正弦函数与余弦函数 在数学中，三角函数是研究角的性质和变化规律的重要工具。其中，正弦函数（sine function）和余弦函数（cosine function）是最基本和常见的两个三角函数。 它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。本文将对正弦函数和余弦函数进行详细介绍，探讨它们的定义、性质和应用。 一、正弦函数 正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，通常用符号sin表示。它可以通过 单位圆上的点的纵坐标来定义。在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其纵坐标y就是正弦函数的值。正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。 正弦函数具有以下几个重要的性质： 1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。也就是说，对于任意 实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。 2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。这意味着正弦函数关于原点对称。 3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x)=sin(x)。 4. 最值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。 正弦函数在数学和物理中有广泛的应用。例如，在几何学中，正弦函数可以用 来求解三角形的边长和角度。在物理学中，正弦函数可以用来描述波动、振动等现象。 二、余弦函数
余弦函数是另一个常见的三角函数，通常用符号cos表示。它也可以通过单位 圆上的点的横坐标来定义。在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其横坐标x就是余弦函数的值。余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。 余弦函数具有以下几个重要的性质： 1. 周期性：余弦函数也是周期函数，其最小正周期为2π。也就是说，对于任 意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。 2. 偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。这意味着余弦函数关于y 轴对称。 3. 对称性：余弦函数具有轴对称性，即cos(π-x)=-cos(x)。 4. 最值：余弦函数的最大值为1，最小值为-1。 余弦函数也有广泛的应用。在几何学中，余弦函数可以用来求解三角形的边长 和角度。在物理学中，余弦函数可以用来描述振动、波动、交流电等现象。 三、正弦函数与余弦函数的关系 正弦函数和余弦函数之间存在着密切的关系。根据三角恒等式 sin^2(x)+cos^2(x)=1，可以得出以下结论： 1. 正弦函数和余弦函数是互余函数，即sin(x)=cos(π/2-x)。 2. 正弦函数和余弦函数在相位上相差π/2，即sin(x+π/2)=cos(x)。 3. 正弦函数和余弦函数的图像关于直线y=x对称。 这些关系使得正弦函数和余弦函数在实际应用中可以相互转化和替代，提供了 更多的计算和分析方法。 结语
正弦、余弦函数的性质〔奇偶性、单调性〕 教学目的： 知识目标：理解三角函数的奇、偶性和单调性； 能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性，并能根据正、余弦函数的单调性解题 德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生勇于探究创新的精神。 教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性； 教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 教学过程： 一、复习引入：(学生小组选派学生答复)定义域、值域、周期性？偶函数、奇函数的定义？ 图像有什么特征呢？ 设计意图：回忆三角函数的周期性，为引入三角函数的其他性质做准备。 二、讲解新课： 1． 奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线，你还能发现它们具有什么好的性质？如图象的对称性，你能证明吗？ 设计意图：让学生从直观发现对称，进而反映到代数性质上，发现正弦函数，余弦函数的奇偶性，使学生能从“形〞与“数〞两个方面来理解它们的奇偶性。 师生活动：师生——引导学生观察，不难发现各种对称性，进一步引导学生思考，这些对称性反映了函数什么特征？〔奇偶性〕从代数角度如何具体证明它们的奇偶性呢？共同归纳总结正弦函数，余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。考虑到学生的根底，打算先带着学生回忆函数奇偶性的概念。 (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3 π)；…… cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点〔x,y 〕是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y )也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。 也就是说，如果点〔x,y 〕是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点〔-x,-y 〕也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。 2. 单调性
正弦函数和余弦函数是数学中一类重要的函数，在图像识别、空间分析和自然语言处理等领域有着广泛的应用。它们的单调区间也是一个重要的概念，我们来看一下。 首先，正弦函数单调区间的术语定义是：当函数f(x)在某个区间上单调时，称其为f(x)的单调区间。正弦函数的单调区间是： [-π/2, π/2] 。函数在此区间上，从x=π/2 到x=-π/2，单调递增。 其次，余弦函数的单调区间的术语定义是：当函数f(x)在某个区间上单调时，称其为f(x)的单调区间。余弦函数的单调区间是：[-π, 0] 。函数在此区间上，从x=0到x=-π，单调递减。 接下来，我们来看一下，这两个函数的单调区间有什么关系，我们只需要将x=0和x=π/2 代入正弦函数，就可以得到y=0 和 y=1，同样的，将x=0和x= -π 代入余弦函数，就可以得到y=1 和 y= -1。从这里可以看出，正弦函数的单调区间和余弦函数的单调区间是相互交叉的，它们的函数值的范围也是相同的。 再次，正弦函数和余弦函数的单调区间也可以用积分来表示。对于正弦函数，积分结果是：sin x dx 从 -π/2 到π/2 等于2，而余弦函数的积分结果是：cos x dx 从 -π 到 0 等于2。这里可以看出，两个函数的单调区间的大小是相等的。 最后，正弦函数和余弦函数的单调区间也可以用几何图形来表示。在几何图形表示下，正弦函数的图形是一个正弦曲线，从x=π/2 到 x=-π/2 单调递增；而余弦函数的图形是一个余弦曲线，从 x=0 到 x=-π 单调递减。 总结，正弦函数和余弦函数的单调区间是数学中一个重要的概念，它们的单调区间都是 [-π/2，π/2] 和[-π, 0] ，两个函数的函数值的范围也是相同的，它们的积分结果也是相等的，从几何图形表示下可以看出，正弦函数和余弦函数的单调区间也是相互交叉的。
正弦函数、余弦函数、及函数y=Asin(ωx+)的图象和性质[本周教学重点] 会用“五点作图法”画出正弦函数、余弦函数及y=Asin(ωx+)的图象；掌握正弦函数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间、最小正周期；清楚y=sinx与y=Asin(ωx+)图象间的变换过程，了解振幅、频率、相位、初相的定义. [本周教学难点] 准确理解周期函数的定义，灵活应用正弦函数、余弦函数的性质，求解以三角式确定的函数的性质. [内容] 一、三角函数的图象和性质 sinx=cosx=tanx=cotx= 定义域x∈R x∈R {x|x≠kπ+,k∈Z} {x|x≠kπ,k∈Z} 值 域 [-1，1] [-1，1] (-∞，+∞) (-∞，+∞) 图 象 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性单调增区间 [2kπ-,2kπ+]k∈ Z 单调增区间 [2kπ-π,2kπ]k∈Z 单调减区间 [2kπ,2kπ+π]k∈Z 单调增区间 (kπ-,kπ+), k∈Z 单调减区间 (kπ,kπ+π)k∈Z
单调减区间 [2kπ+,2kπ+]k ∈Z 周 期 性 T=2π T=2π T=π T=π 对称性对称中心: (kπ,0) k∈Z 对称轴: x=kπ+,k∈Z 对称中心: (kπ+,0)k∈Z 对称轴:x=kπ, k∈Z 对称中心:(,0) 对称中心: (,0) 最 值 x=2kπ+时，y取最 大值1； x=2kπ+π时，y取最 小值-1；k∈Z x=2kπ时，y取最大值1； x=2kπ+π时，y取最小值 -1；k∈Z 无无 二、函数y=Asin(ωx+)的图象和性质(A>0, ω>0) 1．图象 函数y=Asin(ωx+)(A>0, ω>0)x∈R的图象可由y=sinx图象按下列顺序变换得到: ①相位变换:把y=sinx图象上所有点向左(>0)或向右(<0)平行移动||个单位． ②周期变换:把所有各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变） ③振幅变换:把所有各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 正弦、余弦函数的性质-单调性 一、教学内容概括 （1）《正弦、余弦函数的性质------单调性》是人教版必修4第一章1.4节的内容.所用时间为一课时. （2）该课学习的主要内容是正、余弦函数的单调性，学生在前面已经学习了三角函数的其他性质是这节课的基础；此外，在这节课进一步提高学生的数形结合方法，为后面的学习打好基础。 二、教学设计指导思想 高中学生已具备一定的知识和学习能力，我所教的班是文科中的好班,对于知识的归纳总结也有一定的能力，对于新问题，有主动思考问题、探索问题的信习和勇气，因此，本课遵循“以教师为主导，学生为主体”的教学思想，把提问题作为教学出发点，指导尝试，总结反思。 三、教学目标分析 1、知识与技能： （1）借助图像直观理解正、余弦函数在定义域上的单调性。（2）能用性质解决一些简单问题。 （3）锻炼学生的抽象思维和换元思想。 2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独 立思考能力，规范解题的标准。 3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。 四、教学重点：正余弦函数的单调性 五、教学难点、关键：换元思想与抽象思想的简单应用 六、课前对学生的要求：熟记三角函数图像及性质 七、关于教学策略的选择： 在教学组织策略上，根据本班学生的状况，我先研究正弦函数和余弦函数的图像及其他性质，利用整体代换的思想引出正弦和余弦函数的单调性。在教学传递策略上，教师只是扮演一个引领者的角色，启发、引导、适当点拨，把课堂大部分时间交给学生。采用启发引导式教学方法，让学生自己一步步找出答案，理解并学会运用新知解题。在教学管理策略上，本节课知识点较少，但是利用知识点解题，是这节课的重点，所以需要大量问题来引导学生，为了节约时间，本节课我采用多媒体课件作为辅助教学。 八、教学媒体 黑板、彩色粉笔、多媒体课件。 九、教学课时：一课时 十、教学过程的设计 （1）开门见山，直接复习相关内容。引导学生回忆前几天讲的三角函数的图像和性质，先让学生去讲台上画出正弦和余 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 〔1〕函数的概念 在*个变化过程中有两个变量x 、y ，假设对于x 在*个实数集合D 的每一个确定的值，按照*个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 〔2〕三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边〔当α在第一、四象限角时〕或其反向延长线〔当α为第二、三象限角时〕相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α= ===； cos 1 x x x OM r α= ===； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系.假设存在，请对这种函数关系下一个定义；假设不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 〔1〕正弦函数：R x x y ∈=,sin ； 〔2〕余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象. 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 〔1〕[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线〔正弦线〕得三角函数值； 步骤2：描点——平移定点，即描点()x x sin ,； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结：几何描点法作图准确，但过程比拟繁。 【方案2】——五点法 步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标； 6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量 x 、 y ，若对于 x 在某个实数集合 D 内的每一个确定的 值，按照某个对应法则 f ， y 都有唯一确定的实数值与它对应，则 y 就是 x 的函数，记作 y f x ， x D 。 （2）三角函数线 设任意角 的顶点在原点 O ，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P （ x, y ） ，过P 作x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A （1,0）作单位圆的切线，设它与角 的 终边（当 在 第一、四象限角时）或其反向延长线（当 为第二、三象限角时）相交于 T . 规定：当 OM 与 x 轴同向时为正值，当 OM 与 x 轴反向时为负值； 当 MP 与 y 轴同向时为正值，当 MP 与 y 轴反向时为负值； 当 AT 与 y 轴同向时为正值，当 AT 与 y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则 OM x,MP y , 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： 二、讲授新课 【问题驱动 1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦 （或余弦 ）为例，对于每一个给定 的角和它的正弦值 （ 或余弦值 ） 之间是否也存在一种函数关系？若存 在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （ 1）正弦函数： y sin x,x R ； （ 2）余弦函数： y cosx,x R 【问题驱动 2】——如何作出正弦函数 y sin x,x R 、余弦函数 y cosx,x R 的 函数 图象？ 2、正弦函数 y sin x,x R 的图像 （1） y sin x,x 0,2 的图像 方案 1】——几何描点法 sin y y y MP ； r 1 x x OM ； cos x r 1 y MP AT tan AT x OM OA 这几条与单位圆有关的有向线段 MP,OM , AT 叫做角 的 正弦线 、余弦线 、正 第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 问题导学 预习教材P204－P207，并思考以下问题： 1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？ 正弦、余弦函数的图象和性质 正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错 误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y ＝sin x 都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1 2sin x 的最大值为1.( ) (2)∃x 0∈[0，2π]，满足cos x 0＝ 2.( ) (3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2 ，3π2 C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π] 答案：C 函数y ＝1－2cos π 2x 的最小值、最大值分别是( ) A ．－1，3 B ．－1，1 C ．0，3 D ．0，1 答案：A 函数y ＝sin x (π3≤x ≤2π 3)的值域为________． 答案：[ 3 2 ，1] 函数y ＝－cos x 的单调递减区间是____________； 单调递增区间是____________． 答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 正、余弦函数的单调性 求下列函数的单调递减区间： (1)y ＝1 2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭ ⎫π 4－x . 【解】 (1)令z ＝2x ＋π 3，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )． 所以当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋ π 3(k ∈Z )． 所以原函数的单调递减区间是 ⎣ ⎢⎡⎦⎥⎤ k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x －π4. 令z ＝x －π 4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的单调递减区间，即求sin z 的单调递增区 间． 所以－π2＋2k π≤z ≤π 2＋2k π，k ∈Z . 即－π2＋2k π≤x －π4≤π 2＋2k π，k ∈Z . 所以－π4＋2k π≤x ≤3π 4 ＋2k π，k ∈Z . 所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π4＋2k π，3π 4＋2k π(k ∈Z )． 求正、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上． 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题 . 知识点 正弦、余弦函数的性质 思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？ 答案 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1. 思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的？ 答案 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的. 梳理 正弦、余弦函数的性质 1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.正弦函数在第一象限是增函数.( × ) 提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π 6. 3.存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1. 4.余弦函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数.( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确. 类型一 正弦、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg ⎝ ⎛⎭ ⎫ sin x － 22＋1－2cos x . 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0， 即sin x ≥ 32 . 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z . 第3课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正、余弦函数的图象与性质 正弦函数余弦函数图象 值域[－1,1] [－1,1] 单调性在 ⎣⎢ ⎡ ⎦⎥ ⎤ 2kπ－ π 2 ，2kπ＋ π 2 (k∈Z)上递 增, 在 ⎣⎢ ⎡ ⎦⎥ ⎤ 2kπ＋ π 2 ，2kπ＋ 3π 2 (k∈Z)上 递减 在[2kπ－π,2kπ](k∈Z)上递增, 在[2kπ,2kπ＋π](k∈Z)上递减 最值x＝2kπ＋ π 2 (k∈Z)时,y max＝1； x＝2kπ－ π 2 (k∈Z)时,y min＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时,y max＝1； x＝2kπ＋π(k∈Z)时,y min＝－1 状元随笔(1)正、余弦函数的单调性： ①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步； ②单调区间要在定义域内求解； ③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时,要注意用复合函数法来判断． (2)正、余弦函数的最值 ①明确正、余弦函数的有界性,即|sinx|≤1, |cosx|≤1； ②对有些函数,其最值不一定就是1或－1,要依赖函数的定义域来决定； ③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的函数求最值时,通常利用“整体代换”,即令ωx＋φ＝z,将函数转化为y＝Asinz的形式求最值． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( ) (2)正弦函数y ＝sin x 的一个增区间是[0,π]．( ) (3)当余弦函数y ＝cos x 取最大值时,x ＝π＋2kπ,k∈Z.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R 在( ) A.⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0,π]上是减函数 C ．[－π,0]上是减函数 D ．[－π,π]上是减函数 解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x,所以在区间[－π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数． 答案：B 3．下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x| B ．y ＝cos|－x| C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 D ．y ＝－sin x 2 解析：y ＝cos|x|在()0，π上是减函数,排除A ；y ＝cos|－x|＝cos|x|,排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－ sin ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数,且在(0,π)上单调递增,符合题意；y ＝－sin x 2在(0,π)上是单调递减的． 答案：C 4．函数y ＝1－2cos π 2x 的最小值,最大值分别是( ) A ．－1,3 B ．－1,1 C ．0,3 D ．0,1 解析：∵－1≤cos π 2x≤1,∴－1≤y≤3. 答案：A 类型一 正、余弦函数的单调性 例1 (1)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤－π2，π2 正弦函数、余弦函数的性质 整体设计 教学分析 对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用. 由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质. 正弦、余弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图象观察,不要求证明,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可. 三维目标 1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用. 2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点 教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法. 教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路 1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象,在日常生活和工作中,人们常常有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时候却疲倦乏力,心灰意冷,反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉呈周期性发生,贯穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课. 思路2.取出一个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,在代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2kπ)=sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过对图象、函数解析式的特点的描述,使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复始”变化的代数刻画,由此引出周期函数的概念. 推进新课 新知探究 6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质 1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中， 五个关键点是 (0,0) ( 2π,1) (π,0) (2 3π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx ， x ∈[0,2π]的图像中， 五个关键点是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 3．定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 4．值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 其中正弦函数y =sin x ,x ∈R ①当且仅当x ＝ 2 π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1. ②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 5．周期性 一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做正弦、余弦函数的性质-单调性
正弦函数和余弦函数的图像及性质
正弦函数和余弦函数图像与性质
2 第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
第1章 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
高中数学学案 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数、余弦函数的性质 说课稿 教案
61_正弦函数和余弦函数图像与性质
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