2020年中考数学一模试卷(及答案)

一、选择题

1．下列四个实数中，比1-小的数是（ ） A ．2-

B ．0

C ．1

D ．2

2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）

A ．三棱柱

B ．三棱锥

C ．圆柱

D ．圆锥

3．预计到2025年，中国5G 用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为

（ ） A ．94.610?

B ．74610?

C ．84.610?

D ．90.4610?

4．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是

A ．

B ．

C ．

D ．

5．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为?AB 的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为（ ）

A ．

1

2

B ．5

C 53

D ．36．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，且a>b>c ，a ＋b ＋c ＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（ ）

①x=1是二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根； ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下；

③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的左侧； ④不等式4a+2b+c>0一定成立． A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．③④

7．2-的相反数是（ ） A ．2-

B ．2

C ．

12

D ．12

-

8．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x ﹣12

x 2刻画，斜坡可以用一次函数y=

1

2

x 刻画，下列结论错误的是（ ）

A ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m

B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势

C ．小球落地点距O 点水平距离为7米

D ．斜坡的坡度为1：2

9．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，6BC =，将ABC V 沿AC 折叠，使点B 落在点

E 处，CE 交AD 于点

F ，则DF 的长等于（ ）

A ．35

B ．53

C ．73

D ．

54

10．一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB//CF ，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC 的度数为( )

A ．10°

B ．15°

C ．18°

D ．30°

11．矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取

AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）

A．1B．2

3

C．

2

2

D．5

2

12．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）

A．13B．5C．22D．4

二、填空题

13．已知关于x的方程3x n

2

2x1

+

=

+

的解是负数，则n的取值范围为．

14．如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．

15．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.

16．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．

17．已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.

18．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为．

19．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为_____．

20．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是

三、解答题

21．矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC，CE∥BD．

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的而积为83，求AC的长．

22．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若∠BAC=60°，DE=7，求图中阴影部分的面积；

（3）若

4

3

AB

AC

，DF+BF=8，如图2，求BF的长．

23．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与Y轴交于点C，连接AC、BC、AB，

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D 是抛物线上一点，连接BD 、CD ，满足ABC 3

5

DBC S S ?=

V ，求点D 的坐标； （3）点E 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点F 在线段BC 上（与B 、C 不重合），是否存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．

24．荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．

（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y （元）与进货量x （千克）之间的函数关系式；

（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？

25．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：

（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？

（2）将两幅不完整的图补充完整；

（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；

（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【解析】

试题分析：A．﹣2＜﹣1，故正确；

B．0＞﹣1，故本选项错误；

C．1＞﹣1，故本选项错误；

D．2＞﹣1，故本选项错误；

故选A．

考点：有理数大小比较．

2．A

解析：A

【解析】

试题分析：观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A．

考点：由三视图判定几何体.

3．C

解析：C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【详解】

460 000 000=4.6×108．

故选C．

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．C

解析：C

【解析】

【分析】

x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．

【详解】

x=0时，两个函数的函数值y=b，

所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；

由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，

所以，a＞0，

所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，

所以，A选项错误，C选项正确．

故选C．

5．D

解析：D

【解析】

【分析】

连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．

【详解】

连接OC、OA，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOC=60°，

∵AB为弦，点C为?AB的中点，

∴OC⊥AB，

53

在Rt△OAE中，

∴AB=53，

故选D．

【点睛】

此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．

6．C

解析：C

【解析】

试题分析：当x=1时，a+b+c=0，因此可知二次方程ax 2＋bx ＋c=0的一个实数根，故①正确；根据a ＞b ＞c ，且a+b+c =0，可知a ＞0，函数的开口向上，故②不正确； 根据二次函数的对称轴为x =-

2b

a

，可知无法判断对称轴的位置，故③不正确； 根据其图像开口向上，且当x =2时，4a+2b+c ＞a+b+c=0，故不等式4a+2b+c>0一定成立，故④正确. 故选：C.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据相反数的性质可得结果. 【详解】

因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2， 故选B ． 【点睛】

本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .

8．A

解析：A 【解析】

分析：求出当y=7.5时，x 的值，判定A ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出抛物线与直线的交点，判断C ，根据直线解析式和坡度的定义判断D ． 详解：当y=7.5时，7.5=4x ﹣12

x 2， 整理得x 2﹣8x+15=0， 解得，x 1=3，x 2=5，

∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5侧面cm ，A 错误，符合题意； y=4x ﹣12

x 2 =﹣

1

2

（x ﹣4）2+8， 则抛物线的对称轴为x=4，

∴当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，不符合题意；

2142

12y x x y x ?=-+???

?=??

，

解得，1100x y =??=?，2

27

72x y =???=??

，

则小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确，不符合题意； ∵斜坡可以用一次函数y=

1

2

x 刻画， ∴斜坡的坡度为1：2，D 正确，不符合题意； 故选：A ．

点睛：本题考查的是解直角三角形的﹣坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．

9．B

解析：B 【解析】 【分析】

由折叠的性质得到AE=AB ，∠E=∠B=90°，易证Rt △AEF ≌Rt △CDF ，即可得到结论EF=DF ；易得FC=FA ，设FA=x ，则FC=x ，FD=6-x ，在Rt △CDF 中利用勾股定理得到关于x 的方程x 2=42+（6-x ）2，解方程求出x 即可． 【详解】

∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△ACE 的位置， ∴AE=AB ，∠E=∠B=90°， 又∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB=CD ， ∴AE=DC ， 而∠AFE=∠DFC ， ∵在△AEF 与△CDF 中，

AFE CFD E D

AE CD ∠∠??

∠∠???

＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ）， ∴EF=DF ；

∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD=BC=6，CD=AB=4， ∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ， ∴FC=FA ，

设FA=x ，则FC=x ，FD=6-x ，

在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2+DF 2，即x 2=42+（6-x ）2，解得x ＝133

， 则FD ＝6-x=

53

.

故选B．

【点睛】

考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．

10．B

解析：B

【解析】

【分析】

直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．

【详解】

由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，

∵AB∥CF，

∴∠ABD=∠EDF=45°，

∴∠DBC=45°﹣30°=15°．

故选B.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.

11．C

解析：C

【解析】

分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=1

2

PG，再利用

勾股定理求得PG=2，从而得出答案．

详解：如图，延长GH交AD于点P，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，

∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，

∴∠GFH=∠PAH，

又∵H是AF的中点，

∴AH=FH，

在△APH和△FGH中，

∵

PAH GFH AH FH

AHP FHG

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

∴△APH≌△FGH（ASA），

∴AP=GF=1，GH=PH=1

2 PG，

∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，

则GH=1

2

PG=

1

2

2

，

故选：C．

点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．

12．A

解析：A

【解析】

试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．

若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．

∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．

在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．

在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，

由勾股定理得：AD1

故选A.

考点: 1.旋转；2.勾股定理.

二、填空题

13．n＜2且【解析】分析：解方程得：x=n﹣2∵关于x的方程的解是负数∴n ﹣2＜0解得：n＜2又∵原方程有意义的条件为：∴即∴n的取值范围为n＜2且

解析：n＜2且

3 n

2≠-

【解析】

分析：解方程3x n

2

2x1

+

=

+

得：x=n﹣2，

∵关于x的方程3x n

2

2x1

+

=

+

的解是负数，∴n﹣2＜0，解得：n＜2．

又∵原方程有意义的条件为：

1

x

2

≠-，∴

1

n2

2

-≠-，即

3

n

2

≠-．

∴n的取值范围为n＜2且

3

n

2≠-．

14．【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形

∴OB=ODOA=OCAC=BD∴OA=OB∵AE垂直平分

OB∴AB=AO∴OA=AB=OB=3∴BD=2OB=6∴AD=【点睛】此题考查了矩形的性质等边三角

解析：

【解析】

试题解析：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，

∴OA=OB，

∵AE垂直平分OB，

∴AB=AO，

∴OA=AB=OB=3，

∴BD=2OB=6，

∴AD==

【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．15．2000【解析】【分析】设这种商品的进价是x元根据提价之后打八折售价为2240元列方程解答即可【详解】设这种商品的进价是x元由题意得(1+40)x×08＝2 240解得：x＝2000故答案为：2000

解析：2000，

【解析】

【分析】

设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可.

【详解】

设这种商品的进价是x元，

由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240，

解得：x＝2000，

故答案为：2000.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.

16．【解析】试题分析：连接OPOQ∵PQ是⊙O的切线∴OQ⊥PQ根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2∴当PO⊥AB时线段PQ最短此时∵在Rt△AOB中OA=OB=∴AB=O A=6∴OP=AB=3∴

解析：22

【解析】

试题分析：连接OP、OQ，

∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ．

根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，

∴当PO⊥AB时，线段PQ最短．此时，

∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6．

∴OP=AB=3．

∴．

17．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π

解析：15π

【解析】

【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.

【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，

∴母线225

r h

+=，

∴S侧=1

2

×2πr×5=

1

2

×2π×3×5=15π，

故答案为15π.

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.

18．12﹣4【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示：连接ACBD交于点E 连接DFFMMNDN∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°180°270°后形成的图形∠BAD=60°AB=2

解析：12﹣3

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，

∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，

∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=3，

∴∠AOE=45°，ED=1，

∴AE=EO=3，DO=3﹣1，

∴S正方形DNMF=2（3﹣1）×2（3﹣1）×1

2

=8﹣43，

S△ADF=1

2

×AD×AFsin30°=1，

∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣43=12﹣43．

故答案为12﹣43．

考点：1、旋转的性质；2、菱形的性质．

19．【解析】【分析】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x-40）千米/时根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可【详解】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x﹣40

解析：1320132030

4060

x x

-=

-

．

【解析】

【分析】

设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．

【详解】

设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x﹣40）千米/时，

根据题意得：1320132030

4060

x x

-=

-

．

故答案为：1320132030

4060

x x

-=

-

．

【点睛】

本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．

20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式

解析：k≥，且k≠0

【解析】

试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，

∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，

解得：k≥-，

∵原方程是一元二次方程，

∴k≠0．

考点：根的判别式．

三、解答题

21．（1）证明见解析；（2）8．

【解析】

【分析】

（1）熟记菱形的判定定理，本题可用一组邻边相等的平行四边形是菱形．

（2）因为∠ACB=30°可证明菱形的一条对角线和边长相等，可证明和对角线构成等边三角形，然后作辅助线，根据菱形的面积已知可求解．

【详解】

解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD

∴四边形OCED是平行四边形

∵四边形ABCD是矩形

∴AO＝OC＝BO＝OD

∴四边形OCED是菱形

（2）∵∠ACB＝30°，

∴∠DCO＝90°－30°＝60°

又∵OD＝OC

∴△OCD是等边三角形

过D作DF⊥OC于F，则CF=1

2

OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x．

在Rt△DFC中，tan60°=DF FC

，

∴3．

∴3．∴x=2．

∴AC=4×2=8．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，菱形的判定和性质，以及解直角三角形等知识点．

22．（1）证明见解析（2）3﹣2π；（3）3

【解析】

【分析】

（1）连结OD，如图1，由已知得到∠BAD=∠CAD，得到??

BD CD

=，再由垂径定理得

OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是可得结论；

（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=3BDF=∠DBP=30°，在Rt△DBP中得到3，PB=3，在Rt△DEP中利用勾股定理可算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，得到

CE=1，由△BDE∽△ACE，得到AE的长，再证明△ABE∽△AFD，可得DF=12，最后利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）进行计算；

（3）连结CD，如图2，由

4

3

AB

AC

=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由??

BD CD

=得到

CD=BD=23△BFD∽△CDA，得到xy=4，再由△FDB∽△FAD，得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程即可得到BF=3．

【详解】

（1）连结OD，如图1，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，

∴∠BAD=∠CAD，∴??

BD CD

=，∴OD⊥BC，

∵BC∥EF，∴OD⊥DF，

∴DF为⊙O的切线；

（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=3

∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，

在Rt△DBP中，PD=1

2

33，

在Rt△DEP中，∵3，7，∴22

(7)(3)

-=2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，

易证得△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=17，∴57

，∵BE∥

DF，∴△ABE∽△AFD，∴BE AE

DF AD

=，即

57

57

125

DF

=，解得DF=12，

在Rt△BDH中，BH=

1

2

BD=3，∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）=

2

2

160(23)3

123(23)

23604

π?

?-+?=932π

-；

（3）连结CD，如图2，由

4

3

AB

AC

=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵??

BD CD

=，∴CD=BD=23，

∵∠F=∠ABC=∠ADC，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，

∴

BD BF

AC CD

=，即

23

23

=，∴xy=4，

∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，

∴△FDB∽△FAD，∴

DF BF

AF DF

=，即

8

48

y y

y x y

-

=

+-

，

整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的长为3．

考点：1．圆的综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．切线的判定与性质；4．综合题；5．压轴题．

23．（1）2

13

y x x2

22

=--；（2）D的坐标为

17

27,

2

?-

??

，

17

27,

2

??

+

?

?

??

，（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F的坐标为

48

,

55

??

-

?

??

，（2，﹣1）或

53

,

24

??

-

?

??

．【解析】

【分析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点A，B的坐标可得出AB，AC，BC的长度，由AC2+BC2＝25＝AB2可得出∠ACB＝90°，过点D作DM∥BC，交x轴于点M，这样的M有两个，分别记为M1，M2，由D1M1∥BC可得出△AD1M1∽△ACB，利用相似

三角形的性质结合S △DBC ＝3

5

S ABC ? ，可得出AM 1的长度，进而可得出点M 1的坐标，由BM 1

＝BM 2可得出点M 2的坐标，由点B ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可得出直线D 1M 1，D 2M 2的解析式，联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点D 的坐标；

（3）分点E 与点O 重合及点E 与点O 不重合两种情况考虑：①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC，由点A ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，进而可得出直线OF 1的解析式，联立直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F 1的坐标；②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则

△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ．由EC ＝EB 利用等腰三角形的性质可得出点F 2为线段BC 的中点，进而可得出点F 2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF 3的长度，设点F 3的坐标为（x ，

1

2

x ﹣2），结合点C 的坐标可得出关于x 的方程，解之即可得出x 的值，将其正值代入点F 3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解． 【详解】

（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2

+bx ﹣2，得：

2016420a b a b --=??

+-=? ，解得：12

3

2

a b ?=????=-??， ∴抛物线的解析式为y ＝12

x 2﹣3

2x ﹣2．

（2）当x ＝0时，y ＝

12

x 2﹣3

2x ﹣2＝﹣2，

∴点C 的坐标为（0，﹣2）．

∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），

，BC

＝

AB ＝5． ∵AC 2+BC 2＝25＝AB 2， ∴∠ACB＝90°．

过点D 作DM∥BC，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，如图1所示． ∵D 1M 1∥BC， ∴△AD 1M 1∽△ACB． ∵S △DBC ＝3

5

S ABC ?，

∴

12

5

AM AB =, ∴AM 1＝2，

∴点M 1的坐标为（1，0）， ∴BM 1＝BM 2＝3，

∴点M 2的坐标为（7，0）．

设直线BC 的解析式为y ＝kx+c （k≠0）， 将B （4，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx+c ，得： 402k c c +=??

=-? ，解得：122

k c ?

=

???=-? ， ∴直线BC 的解析式为y ＝

1

2

x ﹣2． ∵D 1M 1∥BC∥D 2M 2，点M 1的坐标为（1，0），点M 2的坐标为（7，0）， ∴直线D 1M 1的解析式为y ＝

12 x ﹣12 ，直线D 2M 2的解析式为y ＝12

x ﹣72．

联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，得：21122

132

22y x y x x ?

=-??

?

?=--??

或217

22

13

222

y x y x x ?

=-???

?=--??

，

解得：112x y ?=??=??

，222x y ?=?

?=

??3313x y =??=-? ，4432x y =??=-?，

∴点D 的坐标为（2

，2

），（

，2），（1，﹣3）或（3，﹣

2）．

（3）分两种情况考虑，如图2所示．

①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC ， 设直线AC 的解析设为y ＝mx+n （m≠0）， 将A （﹣1，0），C （0，﹣2）代入y ＝mx+n ，得：

-02m n n +=??

=-? ，解得：2

2

m n =-??=-? ， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2． ∵AC⊥BC，OF 1⊥BC，

∴直线OF 1的解析式为y ＝﹣2x ．

连接直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，得：21

22

y x

y x =-??

?=-?? ， 解得：45

85x y ?

=????=??

，

∴点F 1的坐标为（

45

，﹣8

5 ）；

②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ．