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题目系泊系统的设计问题分析
摘要
本文主要研究在风力和海水的作用下，钢管与浮标的受力平衡问题。根据钢桶和钢管分段受力分析，对于锚链结合悬链线法进行求解，进一步可推知其他解。
对于问题一：该题通过对整个系统的各部分进行受力分析并结合悬链线模型来进行解答，首先是假设锚链没有被拉起甚至当风速较小的时候有部分拖地，然后求解锚链与海床的夹角刚好开始从零增大的情况得到临界值为26.47m/s，证明假设成立即可建立悬链线锚角为零的特殊模型求解。
对于问题二：在第一问的基础上使用模型列出方程组进行求解得到第一小问结果，再通过改变重球的重量比较各倾角的变化来得到一个重球重量的范围。
对于问题三：由于从静态的海水转化为有水流速度的动态海水系统，所以在问题1和问题2所建立的模型中要附加一个近海水流力。通过对浮标、钢管、钢桶的受力分析及递推原理和锚链的悬链式方程，得到锚链型号Ⅰ-Ⅴ在临界条件为1.5928下重物球2887.107、2794.959、2661.586、2491.84、2282.809及形状。
关键词受力分析、悬链线、线性规划、非线性方程组、近海水流力
系泊系统的设计问题分析
一．问题重述
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
综上所述，我们需要解决以下问题：
1.某型传输节点选用II型电焊锚链2
2.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
2.在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。
3.由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
二．问题背景与分析
2.1背景分析
系泊系统由浮标、钢管、钢桶、重物球、锚链、以及特制抗拖移的锚组成，其测量系统安放在钢桶里面。测量设备需要正常工作，钢桶的倾斜角度这一个条件首先要满足，然后要确保吃水深度和浮标的游动区域要尽可能的小。浮标的吃水深度与潜在海水中的重物球、钢管、钢桶、锚链、以及特制的锚对锚链向下的拉力直接相关。
图一
2.2问题一的分析
由题设可知，对浮标的作用力最终会使浮标到达稳态（静止状态），钢桶、钢管的倾斜角度与各个部分的相互作用力有关，因此，本问只研究二维平面上（水平、竖直）的受力。本问要求风速为12m/s 和24m/s 时整个系泊系统各参数的情况，这里对整个系统的各部分进行受力分析并结合悬链线模型[1]进行解答。首先假设锚链没有被拉起甚至当风速较小的时候有部分拖地，求解得到结果后进行验证，这里的验证方法可以通过求拖地锚链的长度来判断锚链是否全部被拉起，或者通过锚链全部被拉起时风速的大小来计算这个临界值从而证明假设成立。 2.3问题二的分析
本问在问题一的假设下，增大风速为36m/s 求各倾斜角的的变化情况，由第一题求出锚角0>α的临界风速为27m/s ，而36>27，因此悬链线方程必须选定为一般形式[2]，可列方程组来进行问题的求解；通过改变重球的重量来改变钢桶倾角和锚链与海床的夹角使其减小，可以在前面基础上改变重球的重量使其从1200kg 以1为步长增加到5700kg ，观察各倾斜角的变化，同时注意他们的限制，得到一个重球的重量范围。 2.4问题三的分析
由于从静态的海水转化为有水流速度的动态海水系统，因此在问题1和问题2所建立的模型中要附加一个近海水流力，通过物理平衡法则递推。在水流与风速取极限的情况下，和h=1.5928的临界条件下，求不同型号的锚链锚角临界点所需对应的重物球的重量和锚链的形状。
三． 模型假设
1、假设组成钢管的物质均匀分布；
2、假设在固体内任何部分力学性能完全一样；
3、假设材料沿各个不同方向力学性能均相同；
4、假设海水密度均匀分布；
5、假设游标不会发生倾斜；
6、假设不考虑锚链的浮力影响；
7、假设重力加速度为kg N /9.8；
8、假设重球的密度为33/1011.3m kg ⨯；
9、假设锚链各部分材料质量一致，可以忽略其内力，将其看成一个整体； 10、风的方向与水流的方向一致，且风速恒定、风向水平； 11、不考虑对重物球和锚链的水流力；
12、在计算钢管、钢桶在水流方向的平面投影面积时，由于它们的倾斜角度较小，因此可以认为其投影高度不变；
四．符号说明
1M 浮标质量 2M
钢桶和设备的质量 3M 锚链的质量 m
钢管质量 i a
各钢管或钢桶的倾角 α
各钢管或钢桶的倾角
L 锚链的长度 β 钢桶与垂直方向夹角
θ 锚链的锚角
五． 模型的建立与求解
5.1模型一的建立与求解
在整个系泊系统中都处于平衡状态，且不考虑近海水流的影响，对浮标进行受力分析，如图二所示：
图中T 指浮标链接的第一节钢管对其的拉力，由此可得：
)cos(111a T g M F +=浮 （1）
)sin(*11a T F =风
（2）
对各节钢管进行受力分析，如图三所示：
)cos(*)cos(*1i i i i i a T F a T mg
+=++浮 （3）
)sin(*)sin(11i i i i a T a T =++ （4）
对钢桶和重球这个整体的受力分析，如图四所示：
)
T
)cos(*)cos(*555662a T F a T mg g
M +=++浮 （5）
)sin(*)sin(*5566a T a T = （6）
对锚链受力分析，如图五所示：
图五
)cos(*653a T g M = （7）
)sin(*66a T F =锚
（8）
综合以上等式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）进行求解： 风锚
F a T a T F i i i i ===++)sin(*)sin(*11 （9）
∑++=浮总i F M mg g M a T -g *4)cos(*3211 （10）
)
cos()
sin())1(tan(1111a T a T a =
（11）
)cos(***1112
a T g M h r g F +==πρ浮标浮 （12）
求得浮标的吃水深度h 和各钢管和钢桶的倾斜角度，再通过这些角度求其竖直方向的高度，从而得到钢桶与锚链相接处到海床的高度y ，再通过悬链线方程[1]求得游动区域和锚链的形状。
y 的求解过程(l 为钢管和钢桶的长度)：
))cos()cos()cos()cos()cos((*1854321a a a a a l h y ++++--=（13）
悬链线方程]2[：
）
（为锚链单位长度的重量分力，为锚对链的拉力水平的14)
(q F q
F
b =
)sec(*)))sec()(tan(/cosh(*αααb In b x b y -++= （15）
当︒=0α时：
b b x b y -=)/cosh(* （16）
求悬链线长度方程，化简之后如下：
)tan(*)))sec()(tan(/sinh(*αααb In b x b L -++= （17）
当︒=0α时：
)/sinh(*b x b L
= （18）
因为风速相对较小，所以这里的锚角α可能为0，甚至会出现锚链拖地的情况，所
以不妨设锚链拖地长度为l ，观察求出来的l 是否大于零即可证明是否有出现锚链拖地的情况。
即：
05.22=+l
L （19）
这里假设α=0：
q
F b 风
= （20）
根据式子(20)求得b ，得到锚链形状的表达式。
根据式子(16)求得x ，得到游动半径即可求出游动区域。
得到x 即可求得锚链除拖地部分的长度L,进而判断22.05-L 是否大于零即可证明假设是否正确。
当风速为12m/s 时：
根据式子(12)求得浮标的吃水深度h=0.7496m ；
根据式子 (20)、(16)求得悬链系数b=3.2809，得到锚链部分不拖地的形状的表达式为：
2809.3)x *0.3048cosh(*2809.3-=y （21）
根据式子(18)、(19)改锚链的拖地长度为6.87m ：
游动半径为：
L 1))sin(a )sin(a )sin(a )sin(a )(sin(a *l x 54321+++++++=总R （22）
游动区域为：
2*R S
π= （23）
得到游动半径为15.288m ，游动区域面积为2733.90m
综合上述式子 ,求得各钢管和钢桶的倾斜角度如表一所示：
图六
图七
图八
随着风速的增大，锚链对锚的拉力也会增大，锚链会从全部拉起到锚角α从零开始增大，可以求出求解锚角α开始从零增大风速的临界值，通过锚链长度为L=22.05，对整个系泊系统列出方程组进行求解即可，这里使用lingo 求的临界风速为26.47m/s 。
图九
综上所述，两种情况下拖地长度l>0，根据临界风速为26.47m/s 且在第二题中假设锚角0>α的情况下，利用悬链线方程的一般情况计算得到当风速为24m/s 时，其角度为-0.3799，则证明风速24m/s 时其锚角仍为0，所以假设成立，当风速为12m/s 和24m/s 时锚角为0°且锚链有部分拖地。
5.2模型二的建立与求解
（1）在第一题的假设下，风速变为36m/s 时，可以列出四条方程组进行求解：
）（吃水深度风浮总总风2405.22)tan(*)))sec()(tan(sinh(*-18)sec(*)))sec(
)(tan(cosh(*)tan(1⎪⎪
⎪
⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧=-++-=-++==+αααααααb In b x b h h b In b x
b q F b F G F
根据该方程组求解得到结果如表三所示：
)28.18sec(*83.29)))28.18sec()28.18(tan(*0.0335cosh(*83.29-++=In x y （25）
锚链形状如图：
图十
（2）对于第二小题，根据式子(24)，对M2进行步长为1的逐渐增大的改变，进而观察钢桶的倾角、吃水深度和锚链和海床的夹角的变化，由他们的限制范围进而得到一个重
球重量的范围：
下图分别为钢桶倾角、锚链与海床的夹角和吃水深度随重球重量的增加的变化图：
图十一
图十二
图十三
可以观察到钢管的倾角和锚链与海床的夹角都是与重球的重量成反比，并且都是到达一个值后角度变为0，因此存在一个重球重量的最大值，又因为其有一个对两个角度范围的限制，那么则有一个重球重量的最小值，则可以得到一个重球重量的范围。 由图像数据得到：
当h=2时，重球质量为5335kg
当锚链与海床夹角为0°时，重球质量为3281kg 当锚链与海床夹角为16°时，重球质量为1619kg 当钢桶的倾角为0°时，重球质量为∞+kg 当钢桶的倾角为5°时，重球质量为2956kg 当浮标的吃水深度为2时，重球质量为5366kg 综上所述，重球质量的范围为2956kg--3281kg 为宜。
5.3模型三的建立与求解
由于从静态的海水转化为有水流速度的动态海水系统，所以在问题1和问题2所建立的模型中要附加一个近海水流力。因此下面在此基础上对模型1和模型2进行修正 设：1v 为此时的风速，2v 为此时的水流速，h 为浮标的吃水深度。1T 为第一节钢管对浮标的拉力，1α为第一节钢管与垂直方向的夹角。 一、对浮标进行受力分析可得：
21625.0Sv F =风=21)2(25.1v h - （26） 2374Sv F =水=22748hv （27）
ghs F 水标浮ρ==h 3.31541 （28） 在浮标受力平衡状态下有：
11sin αT F F =+水风 (29)
11cos -αT G F =标标浮 (30) 因此联合（1）、（2）式整理可得：
9800
3.31541748)2(25.1arctan 22211-+-=h hv v h α （31）
二、对钢管的受力分析，设i T 表示第i 节钢管向上的拉力，则1+i T 表示第i 节钢管向下
的拉力，也即第i+1节钢管向上的拉力。i α表示第i 节钢管与垂直方向的夹角。管水F 表示管受到的水流力。
管水管浮gv F ρ==19.7133(N) （32） 2218.7v =管水F （33）
则对第i 节钢管的受力平衡状态有：
11i i cos -cos T ++=+i i T G F αα管管浮 （34） 11sin sin ++=+i i i i T F T αα管水 （35）于是将（32）、（33）、（34）、（35）联合，并结合递推原理可得： )
-)(1(-)1(arctan
管管浮标标浮管水水风G F i G F F i F F i -+-++=α , i=(1,2,3,4) （36）
代入数据可得各节钢管与垂直方向的夹角：
i
h v i h v h i 2867.7898003.31541)]1(7.18748[)2(25.1arctan 2221---++-=α i=(1,2,3,4) （37）
所以（37）式就是问题三加入水流力后的修正的各节钢管与垂直方向的夹角模型。 三、对钢桶的受力分析，设钢桶与垂直方向的夹角为β，5T 表示第四节钢管对钢桶向上的拉力，5α表示第四节钢管对钢桶的拉力的夹角；6T 表示锚链对钢桶向下的拉力，
桶水F 表示钢桶受到的水流力。
桶水桶浮gv F ρ==67925.709(N) （38） 2374v S F 桶桶水=222.112v = （39） 则钢桶的受力平衡状态有：
桶水F T T +=556sin sin αβ （40） 球桶桶浮G G F T T --cos cos 556+=αβ （41） 将（7）式结合前面（1）（4）式进行迭代可得：
桶水管水水风F F F F T +++=4sin 6β （42） 将（8）式结合前面的（2）（3）式进行迭代可得：
球桶桶浮管管浮标标浮）（G G F G F G F T ---4-cos 6++=β （43）
由（9）、（10）式联解可得： 球
桶桶浮管管浮标标浮桶水
管水水风）（G G F G F G F F F F F ---4-4arctan
+++++=β （44）
代入数据于（11）式中可得：
球
M h v h v h 8.946755.103833.31541)187748()2(25.1arctan 2221--++-=β （45）
所以（45）式为附加水流力后的钢桶与垂直方向的夹角的数学模型。
由于钢桶的倾斜角度不能超过5度，所以对吃水深度h 的边界值，由6）式中的各个钢管的
切斜角度模型中可以求得在水流力和风力都取极限状态下时5α为钢桶的倾斜角，所以
由4
*2867.7898003.315415.1*]4*7.18748[36*)2(25.1arctan 225--++-=h h h α=
5 计算可得吃水深度的临界值为
h=1.5928;因此将此值作为h 的边界条件。
四、对锚链的受力分析，由于对整个系泊系统，除了锚以外进行受力平衡分析可知，锚对锚链的拉力的水平分力就是浮标受到的风力，和整个系统受到的水流力。锚对锚链的拉力的竖直上的分力就是整个系统受到的浮力减去其整个系统除锚以外受到的重力，设
锚链的锚角为θ，锚对其拉力为T ,球球球水球浮M M
g F 8889.0≈=ρρ
链链链ρρ09.216==g G L
于是锚链平衡状态有:
桶水管水水风F F F F T +++=4sin θ （46）
链球桶管标球浮桶浮管浮标浮G -G --4--4cos G G G F F F F T +++=θ （47）
由（46）、（47）代入已知数据整理可得：
链
球ρθ216.09-46755.103839111.8-3.31541)187748()2(25.1arctan 2221-++-=M h v h v h （48）
所以式（48） 为锚链的锚角此时的数学模型。 五、由锚链的悬链式方程可得：
)tan())]sec()(tan([θθθa In a x
ash L -++= （49）
)sec()]sec()ln(tan([θθθa a
x
ach y -++= （50）
其中g
F F F F a 链管水
桶水标水风ρ+++=
4，θ为锚角。
六、模型求解： 选取一种情况：
在水流与风速取极限的情况下，和h=1.5928的临界条件下，求不同型号的锚链使得钢桶的与垂直方向夹角β为5度，锚链的锚角θ为16度的临界点所需对应的重物球的重量和锚链的形状、游动区域x.(这里游动区域只用锚链的x 表示）、水深H 。 （各个钢管的倾斜角度用模型（37）式可以算出，下表就不一一列出） 由模型（46）式代入不同型号的锚链得：
结论：不同的锚链要对应不同的重物，且要在水深符合的状态下才能满足本系泊系统的而要求，从上表可得只有锚链型号为Ⅱ、Ⅲ的才符合。
图十四
图十五
图十六
图十七
图十八
六．模型分析：
6.1模型的优点
该题主要是运用了物理上的整体法与隔离法对物体进行受力分析，其中采用悬链线方程对锚链的形状进行求解，该模型从客观上满足了题目的需要，可以解决问题。
6.2模型的缺点
模型从理论上可以解出准确答案，但是计算量较大，计算结果只能是一个大概值，所以该模型在计算方面产生的误差较大。
6.3模型的改进
该模型的计算可以采用遗传算法来提高计算结果的精准度。
七．参考文献
[1] 悬链线方程，百度百科
[2]王丹, 刘家新. 一般状态下悬链线方程的应用[J]. 船海工程, 2007, 36(3):26-28.
八．附录
1.1（计算12m/s的情况）
g=9.8;
v1=12;
M1=1000;
M2=1300;
M3=7*22.05;
m=10;
p=1025;
l1=1;%钢管和钢桶的长度
f=p*g*(4*0.025^2+0.15^2)*pi;
f1=p*g*0.025^2*pi*l1;%钢管的浮力
f2=p*g*0.15^2*pi;%钢桶的浮力
h=(M1*g+4*m*g+M2*g+M3*g-f)/(p*g*pi);%计算出吃水深度h %注释中的*表示1-6的数字
T12=4*m*g+M2*g+M3*g-f1*4-f2;%T*2为t*.cos（a*）
T11=0.625*2*(2-h)*v1^2;%T*1为t*.sin（a*）
a13=T11/T12;%a*3为tan（a*）的意思
a1=atand(a13);%a*表示第*个管的竖直方向的角度
t1=T11/sind(a1);%t*表示第几个力
T22=T12+f1-m*g;
T21=T11;
a23=T21/T22;
a2=atand(a23);
t2=T21/sind(a2);
T32=T22+f1-m*g;
T31=T21;
a33=T31/T32;
a3=atand(a33);
t3=T31/sind(a3);
T42=T32+f1-m*g;
T41=T31;
a43=T41/T42;
a4=atand(a43);
t4=T41/sind(a4);
T52=T42+f1-m*g;
T51=T41;
a53=T51/T52;
a5=atand(a53);
t5=T51/sind(a5);
T61=T51;
T62=M3*g;
a63=T61/T62;
a6=atand(a63);
h1=l1*(cosd(a1)+cosd(a2)+cosd(a3)+cosd(a4)+cosd(a5)); y1=18-h1-h;
a=T11/(7*g);%求悬链系数
x=solve('3.28*cosh(x/3.28)-3.28-12.2511');
L=22.05-3.28*sinh(x(2)/3.28)%锚链拖地长度
X1=L:1/100:x(2)+L;
if X1 Y1=0; else 数学建模试卷及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分） 答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。 2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。 3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大；（5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达 山顶并留宿.次日早8:00沿同一路径下山,下午5:00回到旅店. 证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明: 记出发时刻为,到达目的时刻为,从旅店到山顶的路程为s. 设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t)是 一天内时刻变量，则f(t)(t)在[]是连续函数。 作辅助函数F(t)(t)(t),它也是连续的， 则由f(a)=0(b)>0和g(a)>0(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于()使F(t0)=0, 即f(t0)(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，1，2,........， k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全 渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。 ()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分） 记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ， k v ）定义为决策。允许决策集合记作 D ，由小船的容量可知 (){2 ,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } （3分） 状态 k s 随 k d 的变化规律是： 1 +k s = k s +()k k d *-1 2016 MCM Problem A A Hot Bath A person fills a bathtub with hot water from a single faucet and settles into the bathtub to cleanse and relax. 一个人用一个水龙头让浴缸装满了热水，（然后？）睡进去来清洗和放松。 //那就先放到一定的程度，泡进去，然后边加水这样。 Unfortunately, the bathtub is not a spa-style tub with a secondary heating system and circulating jets, but rather a simple water containment vessel. 不幸的是，这个浴缸没有温泉热水模式，就是没有另外的加热系统和循环的喷嘴，而是个简单的水密闭容器。 After a while, the bath gets noticeably cooler, so the person adds a constant trickle of hot water from the faucet to reheat the bathing water. 不一会儿，这个水池明显的变冷了，所以这个人打开水龙头，加入了持续的细细的水，来加热这个浴缸里面的水。 The bathtub is designed in such a way that when the tub reaches its capacity, excess water escapes through an overflow drain. 这个浴缸设计成一种形式，当这个池子到达了它的容量，多余的水会通过一个溢出排水系统排出。 Develop a model of the temperature of the bathtub water in space and time to determine the best strategy the person in the bathtub can adopt to keep the temperature even throughout the bathtub and as close as possible to the initial temperature without wasting too much water. 设计一个浴缸里面的水温度关于空间和时间上的模型，去决定最好的策略，让这个人在浴缸里能够在不浪费太多的水的前提下，去尽量的靠近初始的温度。 Use your model to determine the extent to which your strategy depends upon the shape and volume of the tub, the shapeolume/temperature of the person in the bathtub, and the motions made by the person in the bathtub. 用你的模型去决定你的策略对以下因素的依赖程度（依赖关系）。因素为：缸的形状和容量，这个浴缸里面的人的形状，体积，温度，还有这个人在浴缸里面的动作。 If the person used a bubble bath additive while initially filling the bathtub to assist in cleansing, how would this affect you r model’s results? 如果这个人在一开始装满这个浴缸的时候，就加入了泡泡添加剂去帮助清洗，这个会如何影响你的模型的结果呢？ In addition to the required one-page summary for your MCM submission, your report must include a one-page non-technical explanation for users of the bathtub that describes your strategy while explaining why it is so difficult to get an evenly maintained temperature throughout the bath water. 除了已经要求的一页的总结，你的报告必须含有一页的对浴缸使用者的非技术性的解释，去描述你的策略，同时解释为什么如此难以做到保持整个洗澡水的水温是均匀的。 2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度错误！未找到引用源。，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例） 系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标 的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N)错误！未找到引用源。计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。 实用标准文档 承诺书 参赛队员 (打印并签名) ： 题目系泊系统的设计问题分析 摘要 本文主要研究在风力和海水的作用下，钢管与浮标的受力平衡问题。根据钢桶和钢管分段受力分析，对于锚链结合悬链线法进行求解，进一步可推知其他解。 对于问题一：该题通过对整个系统的各部分进行受力分析并结合悬链线模型来进行解答，首先是假设锚链没有被拉起甚至当风速较小的时候有部分拖地，然后求解锚链与海床的夹角刚好开始从零增大的情况得到临界值为26.47m/s，证明假设成立即可建立悬链线锚角为零的特殊模型求解。 对于问题二：在第一问的基础上使用模型列出方程组进行求解得到第一小问结果，再通过改变重球的重量比较各倾角的变化来得到一个重球重量的范围。 对于问题三：由于从静态的海水转化为有水流速度的动态海水系统，所以在问题1和问题2所建立的模型中要附加一个近海水流力。通过对浮标、钢管、钢桶的受力分析及递推原理和锚链的悬链式方程，得到锚链型号Ⅰ-Ⅴ在临界条件为1.5928下重物球2887.107、2794.959、2661.586、2491.84、2282.809及形状。 关键词受力分析、悬链线、线性规划、非线性方程组、近海水流力 系泊系统的设计问题分析 一．问题重述 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 综上所述，我们需要解决以下问题： 1.某型传输节点选用II型电焊锚链2 2.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 2.在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 3.由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 二．问题背景与分析 2.1背景分析 系泊系统由浮标、钢管、钢桶、重物球、锚链、以及特制抗拖移的锚组成，其测量系统安放在钢桶里面。测量设备需要正常工作，钢桶的倾斜角度这一个条件首先要满足，然后要确保吃水深度和浮标的游动区域要尽可能的小。浮标的吃水深度与潜在海水中的重物球、钢管、钢桶、锚链、以及特制的锚对锚链向下的拉力直接相关。 大学生数学建模竞赛A 题优秀论文A题葡萄酒 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 葡萄酒质量的评价 摘要 葡萄酒质量的好坏主要依赖于评酒员的感观评价，由于人为主观因素的影响，对于酒质量的评价总会存在随机差异，为此找到一种简单有效的客观方法来评酒，就显得尤为重要了。本文通过研究酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量的关系，以及葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标的关系，以及葡萄酒理化指标与葡萄酒质量的关系，旨在通过客观数据建立数学模型，用客观有效的方法来评价葡萄酒质量。 首先，采用双因子可重复方差分析方法，对红、白葡萄酒评分结果分别进行检验，利用Matlab软件得到样品酒各个分析结果，结合01 -数据分析，发现对于红葡酒有70.3%的评价结果存在显着性差异，对于白葡萄酒只有53%的评价结果存在显着性差异。通过比较可知，两组评酒员对红葡萄酒的评分结果更具有显着性差异，而对于白葡萄酒的评分，评价差异性较为不明显。为了评价两组结果的可信度，借助Alpha模型用克伦巴赫α系数衡量，并结合F检验，得出红葡萄酒第一组评酒员的评价结果可信度更高，而对白葡萄酒的品尝评分，第二组评酒员的评价结果可信度更高。综合来看，主观因素对葡萄酒质量的评价具有不确定性。 结合已分析出的两组品酒师可靠性结果，对葡萄酒的理化指标进行加权平均，最终得出十位品酒师对样品酒的综合评价得分。将每一样品酒的综合得分与其所对应酿酒葡萄的理化指标（一级指标）共同构成一个数据矩阵，采用聚类分析法，利用SPSS软件对葡萄酒样进行分类，根据分类的结果以及各葡萄样品酒综合得分最终将酿酒葡萄分为A（优 2016年全国大学生数学建模竞赛A题2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 ,请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”, A题系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成(如图1 所示)。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为 10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外00kg。钢桶上接第4节钢径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为1 管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度(钢桶与竖直线的夹角)超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 图1 传输节点示意图(仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例) 系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2 在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 2说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv(N)计算，其中S为物体在风2向法平面的投影面积(m)，v为风速(m/s)。近海水流力可通过近似公式 22F=374×Sv(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积)，v(m为水流速度(m/s)。 附表锚链型号和参数表 型号长度(mm) 单位长度的质量(kg/m) I 78 3.2 II 105 7 III 120 12.5 IV 150 19.5 数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f 8 第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。 第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=⎰ 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=⎰ 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=∂∂=∂∂p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++= 数学建模习题及答案 数学建模是一种将数学方法应用于实际问题求解的技能。通过数学建模，我们可以将现实世界中的问题转化为数学问题，并运用数学工具和计算机技术进行求解。在本文中，我们将讨论几个常见的数学建模习题及对应的答案。 1、人口增长模型 人口增长是现实生活中一个普遍的问题。该问题可以通过指数增长模型进行描述。假设初始人口数量为P0，年增长率为r，则t年后的人口数量可以表示为P0ert。例如，如果初始人口为1000人，年增长率为0.05，则10年后的人口数量为1000e0.0510约等于1628人。 2、投资回报模型 投资回报是金融领域中一个关键问题。该问题可以通过几何布朗运动模型进行描述。假设初始投资为S0，每日回报率为μ，标准差为σ，则t天后的投资回报可以表示为S0e^(μt + σWt)，其中Wt表示标准布朗运动。例如，如果初始投资为100元，每日回报率为0.01，标准差为0.05，则10天后的投资回报可以表示为100e^(0.01 × 10 + 0.05 × sqrt(10) × N(0,1))，其中N(0,1)表示标准正态分布的随机变量。 3、随机游走模型 随机游走是物理学中一个著名的问题。该问题可以通过随机过程进行描述。假设每次向上走或向下走的概率为p和q，则t步之后的位置可以表示为Xt = (Wt+1-Wt) ∑_{i=0}^{t-1} (-1)^i，其中Wt表示标准布朗运动。例如，如果初始位置为0，每次向上走和向下走的概率都为0.5，则5步之后的位置可以表示为X5 = (W6-W0) ∑_{i=0}^{4} (-1)^i。 4、传染病模型 传染病模型是公共卫生领域中一个重要的问题。该问题可以通过SIR 模型进行描述。假设总人数为N，其中易感者、感染者和康复者的人数分别为S、I和R，感染者的传染率为β，康复率为γ，则t时刻 的易感者、感染者和康复者的人数可以表示为S(t)、I(t)和R(t)。 例如，如果初始时刻易感者、感染者和康复者的人数分别为999、1 和0，传染率为0.2，康复率为0.1，则经过25天之后易感者、感染者和康复者的人数可以表示为S(25) ≈ 976.64、I(25) ≈ 22.36和R(25) ≈ 478.69。 这些数学建模习题是实际生活中经常遇到的问题。通过求解这些问题，我们可以加深对数学建模的理解和应用。这些问题的求解方法也可以帮助我们更好地解决类似的问题。 数学建模课后习题 数学建模课后习题：探索斐波那契数列的奥秘 2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题系泊系统的设计 分析初稿，旨在交流，有各种做题思路，大家自由发挥！ 不保证正确,如有错误,欢迎指正! 注意1：程序为最初稿，只是证明解的存在性，可以使用二分法、牛顿法等进行进一步求解！ 2：剩下的可以使用锚链线等更复杂的理论：请继续查阅文献，给文章加分 3：此外可以化下面的流程图，解释求解程序，给文章加分 4：剩下题目问题原则上是把问题做的更复杂，考虑更多的受力，请大家自行脑补。 5：第一天说了对系缆力的计算，目前主要有三种模型：悬链线模型（我们下面说的第三种静力学分析）、以多体动力学理论为基础的集中质量一弹簧模型（我们下面说的第二种，需要matlab做常微分方程数值解）以及细长杆模型（我们下面说的第一种，力学有限元分析））。查阅参考文献《深海系泊系统动力特性研究进展》，请大家自行选择各类方法。 1. 某型传输节点选用II型电焊锚链2 2.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 1. 某型传输节点选用II型电焊锚链2 2.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 分析: 为简化起见, 按平浮处理，风引起的水平力x F ()()220.625,0.6252x F v S h r h h v θ'==⨯- 浮力f F 为 2f F g r h ρπ'= 其中h '为正浮吃水深度。 则对浮标的方程有 11110 11011sin ,cos sin ,cos x f x f F T F T G F T F G T θθθθ==+=-= (1) 其中0G 为浮标自重，00G m g =，0m 为浮标的质量为1000kg 。钢管如图有四节，最上面的钢管对浮标的拉力为1T ，与垂直方向的倾斜角度为1θ。 最上面第一钢管的重心进行受力分析， 1122112211221122sin sin ,cos cos sin sin ,cos cos g g T T T T G T T T G T θθθθθθθθ==+=-= (2) 其中g G 为浮标自重，g g G m g =，1m 为钢管的质量为10kg 。最上面第二根的钢管拉力为2T ，与垂直方向的倾斜角度为2θ。 最上面第二钢管的重心进行受力分析， 2233223322332233sin sin ,cos cos sin sin ,cos cos g g T T T T G T T T G T θθθθθθθθ==+=-= (3) 小区开放对道路通行的影响 摘要 本文主要针对推广街区制所引起的问题，选取了适宜的评价指标体系，进而建立出研究小区开放对周边道路通行的影响的模型，然后运用该模型对各类型小区开放前后对道路通行的影响进展比拟，最后根据研究结果提出了建议。 首先，为使指标体系科学化、规X化，满足评价指标体系的构建原如此，本文根据道路通行能力的影响因素选取评价指标体系。而影响城市道路通行能力的因素主要取决于道路条件、交通状况与服务水平等因素[1]，道路条件包括道路等级和路网密度，交通条件包括车流量与交叉口平均延误时间,服务水平包括路段饱和度和路段车速。 由于小区开放对周边道路通行的影响因素较多且相互关联、相互制约，缺少定量数据，因此本文采用层次分析法[2]先建立递阶层次结构模型，进而得出各影响因素的权重向量并排序。但该法有其局限性，主观因素影响较大，所以建立了一种基于层次分析法的模糊综合评价模型，从多个因素对评价事物隶属等级状况进展综合性评判[3]。 针对问题三，本文选取某某万科城市花园小区，该小区属于半封闭式小区，由于城市道路网络脆弱性分析评价指标为小区开放程度、小区位置与小区规模[4]，在需要定量比拟各类型小区的根底上，小区规模和小区位置为定量，通过改变小区开放程度来满足类型不同的要求。开放程度可分为全封闭、半封闭、全开放三种形式[5]，将全封闭式与半封闭式和全开放式进展比照，半开放式小区的车流量为0.4102，封闭式小区的车流量为0.7465,全开放式小区的车流量为0.6352，对小区开放程度对道路交通影响的打分，全封闭式小区的评分为0.7125，半封闭小区的得分为0.3924，全开放小区的得分为0.5726，与得分区间进展比照，得出全封闭式下的交通能力最差，全开放下的小区内的车流量最大，半封闭下达到开放度的均衡的结论。 根据得到的研究成果，本文从小区内部路网结构和交通安全等方面对城市规划和交通管理部门提出了具体建议。 2016年全国研究生数学建模竞赛A题 多无人机协同任务规划 无人机（Unmanned Aerial Vehicle，UAV）是一种具备自主飞行和独立执行任务能力的新型作战平台，不仅能够执行军事侦察、监视、搜索、目标指向等非攻击性任务，而且还能够执行对地攻击和目标轰炸等作战任务。随着无人机技术的快速发展，越来越多的无人机将应用在未来战场。 某无人机作战部队现配属有P01~P07等7个无人机基地，各基地均配备一定数量的FY系列无人机（各基地具体坐标、配备的无人机类型及数量见附件1，位置示意图见附件2）。其中FY-1型无人机主要担任目标侦察和目标指示，FY-2型无人机主要担任通信中继，FY-3型无人机用于对地攻击。FY-1型无人机的巡航飞行速度为200km/h，最长巡航时间为10h，巡航飞行高度为1500m；FY-2型、FY-3型无人机的巡航飞行速度为300km/h，最长巡航时间为8h，巡航飞行高度为5000m。受燃料限制，无人机在飞行过程中尽可能减少转弯、爬升、俯冲等机动动作，一般来说，机动时消耗的燃料是巡航的2~4倍。最小转弯半径70m。 FY-1型无人机可加载S-1、S-2、S-3三种载荷。其中载荷S-1系成像传感器，采用广域搜索模式对目标进行成像，传感器的成像带宽为2km（附件3对成像传感器工作原理提供了一个非常简洁的说明，对性能参数进行了一些限定，若干简化亦有助于本赛题的讨论）；载荷S-2系光学传感器，为达到一定的目标识别精度，对地面目标拍照时要求距目标的距离不超过7.5km，可瞬时完成拍照任务；载荷S-3系目标指示器，为制导炸弹提供目标指示时要求距被攻击目标的距离不超过15km。由于各种技术条件的限制，该系列无人机每次只能加载S-1、S-2、S-3三种载荷中的一种。为保证侦察效果，对每一个目标需安排S-1、S-2两种不同载荷各自至少侦察一次，两种不同载荷对同一目标的侦察间隔时间不超过4小时。 为保证执行侦察任务的无人机与地面控制中心的联系，需安排专门的FY-2型无人机担任通信中继任务，通信中继无人机与执行侦察任务的无人机的通信距离限定在50km范围内。通信中继无人机正常工作状态下可随时保持与地面控制中心的通信。 FY-3型无人机可携带6枚D-1或D-2两种型号的炸弹。其中D-1炸弹系某种类型的“灵巧”炸弹，采用抛投方式对地攻击，即投放后炸弹以飞机投弹时的速 数学建模试卷（A ）卷参考答案 一、答： 二、解： 对应的约束条件代表的区域为如下图中阴影部分： 两线的交点坐标为()()12,6,4x x =，由图可知z 值在交点处最大，即max 36z =。 三、解： 设z 为利润，123,,x x x 分别表示,,A B C 生产的件数，123,,y y y 分别表示,,A B C 生产是否生产（为0-1变量，0表示不生产，1表示生产）。则 目标函数： ()()()123112233max 200025003000300503208040070z y y y y x y x y x =+++-+-+- 约束条件： 123123 1231231232350024000350000,0,0;,0 1; x x x x x x x x x x x x y y or ++≤⎧⎪++≤⎪⎨ ++≤⎪⎪≥≥≥=⎩ 四、解：（一） （二） 目标层 准则层 方案层 11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/53 11A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥ =⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ 1(),0,ij n n ij ji ij A a a a a ⨯=>= 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则C 1,C 2,… , C n 对目标O 的重要性 :i j ij C C a ⇒A ~成对比较阵 A 是正互反阵 要由A 确定C 1,… , C n 对O 的权向量 选择旅游地 （三） 1 1 112222121 2 n n n n n n w w w w w w w w w w w w A w w w w w w ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ =⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎤ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ 23a =一致比较 允许不一致，但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况 12(1),, n W w w w =⇒/ij i j a w w =令12(,, )~T n w w w w =权向量 “选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验 1 1/2 433217551/4 1/711/21/31/31/52111/3 1/53 11A ⎡⎤⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ =⎢ ⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 准则层对目标的成对比较阵 最大特征根λ=5.073 权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 5.0735 0.018 51 CI -==-一致性指标 随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR =0.018/1.12=0.016<0.1 通过一致性检 验 09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标 系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初 始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、 B ， C 、 D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记 为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确 定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设 （1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立 （∀θ）。不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某 一0θ，使 00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故 ()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g = -<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10； x/10=235/1000； y/10=333/1000； z/10=432/1000； 随着我国经济崛起，陆地自然资源急剧减少，我国开发海洋资源迫在眉睫，近年 来我国系泊系统的设计 摘要 在沿海地区建设了多个海洋工作站组成了完善的近浅海观测网。以便观测天气、海风、海水流速等的情况变化。近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成，本文就在海洋观测中在不同风速、钢桶的倾斜角度的情况下研究钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域的问题。 针对问题一，首先建立直角坐标系对系泊系统的浮标、钢管、钢桶、锚链等进行受力分析列出静力学方程，引入重力、浮力、拉力、张力、摩擦力、支持力、角度七个参数.松弛与紧绷、拖地与不拖地，锚链的不同状态要求了区别的受力分析，根据相应的锚链状态，我们结合悬链式方程分别建立模型。然后依靠浮标系泊系统静力计算算出各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 针对问题二，在第一问的分析中，已经建立了一套适用于一般情况的模型选择流程，考虑了四种不同的锚链状态，我们将其应用于对问题二的求解，并得到了理想的求解结果。针对模型考虑之外的重物球质量调节，我们结合已知条件构造不等式，并利用线性规划求解了小球的重力范围。 针对问题三,我们结合分段外推的数值求解方法，对非静海条件下的系泊系统求解控制方程，在考虑潮汐，不同风力和水深情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。首先，根据第一二问的基础模型再考虑外加因素来确定所求各项的值。 关键词：悬链线理论、浮标系泊系统静力计算、动态平衡 一、问题重述 1.1问题背景 向海洋进军，利用开发海洋资源已经成为扩展人类生存资源，提高资源储备的主要方式。随着人们对大海的研究越来越深刻，在近浅海海域人们需要实时观测天气、海风、海水流速等的情况变化。这就需要人们建立大量的观测站，而这些观测站的传输节点是由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。其中，系泊系统则是整个传输节点的关键。 1.2问题提出 在设计系泊系统时，要求锚链末端与锚的连接处的切线方向和海平面的夹角不超过16度，以保证锚不会被拖行。为了使水声通讯系统工作效果更好，钢桶的倾斜角度应小于5度。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶和电焊锚链链接处可悬挂重物球，可以通过改变重物球的质量来控制钢桶的倾斜角。计算下面三个问题： 一、已知传输节点选用二型电焊锚链22.05m、重物球质量为1200kg。现将该传输节点布放在水深18米、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各界钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 二、在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点和海床夹角不超过16度。 三、受潮汐因素的影响，布放海域水深在16m～20m之间。布放海域的实测水深介于16m～20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 摘要 为了更好地对我国人口进行有效地调控，人口增长趋势和结构进行预测将会越来越重要。本文主要从中短期和长期两方面讨论了中国人口发展问题：建立灰色预测模型, 对中国人口总数进行中短期预测；建立多元线性回归模型，对中国人口总数进行了长期预测；建立了动态差分方程模型的模型, 对中国人口的年龄结构以及男女性别比等几个方面进行客观预测。 对人口总数进行中短期预测时，根据处理后的数据的自相关函数和偏相关函数的拖尾性，将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。用此模型预测出未来中国在短期、中期内人口的变化趋势。 对人口组成结构进行长期预测时，引用多元线性回归模型。根据中国人口发展的特点，分为单区域预测和多区域预测，并加入影响因素改进原始模型，分别建立了带移民因素和两性具有不同出生率、死亡率的微分方程模型，并讨论得出带移民因素的模型对我国人口结构预测比多元线性回归模型更合理。 对中国总人口进行中短期和长期的总体预测后，我们重点从数据中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，并且在新的计划生育的政策下，再运用层次分析法和多元线性回归方程分为单区域和多区域两个部分对中国未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 关键字：灰色预测模型多元线性回归动态差分方程多项式拟合层次分析法数学建模试卷及参考答案
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