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题目A题：购房中的数学问题
摘要
影响消费者选购住房的有平均日照时间、价格、交通、环境和噪音等多方面因素，其中最重要的自然因素莫过于日均采光时间，我们通过建立影子随时间变化的物理模型，给出了一种基于离散思想的日均采光时间的计算方法，并以东经117.17o，北纬34.18o 处一高层建筑小区的14-2-802房间(客厅)为例，分别求得
其冬至日9:00-16:00间可以享受日照的时间区间为：9:00-10：20和12：40-1:32和15:36-16：00，全年365天每一天可以享受日照的累计时间为：208110分钟，全年享受日照时间超过6小时的天数和日期为：2月25号到10月16共计235天，并在仅考虑采光影响的条件下给出最优选房方案为：基于以上采光时间的计算结果并结合其他多方面因素，我们建立了个性化选房模型。
针对问题一：由于题设前提不考虑天气等影响日照的因素，因此临近的高层建筑的遮挡是唯一影响采光时间的因素，因此我们建立了障碍物影长随时间变化的物理模型，为避免公式推导太阳及影子变化轨迹引起计算繁琐的情况，我们考虑将太阳位置离散化处理，在保证精度的前提下大幅度简化了运算，据此计算出一日内任意时刻的太阳高度角及太阳方位角，继而根据障碍物高度，楼宇间距等数据计算出其冬至日9:00-16:00间可以享受日照的时间区间为：9:00-10：20和12：40-1:32和15:36-16：00 针对问题二：对同一房间，一年内可能遮挡它的建筑物是固定的，而障碍物的影长随太阳高度角，赤纬角的变化而变化；因此我们根据赤纬角随日期的变化公式，计算了一年内每一天的太阳高度角和赤纬角，带入问题一的模型并求和，即可描述出全年365天每一天可以享受日照的累计时间为：2月25到10月16共计235天
针对问题三：跟据问题仅考虑采光影响前提，我们通过提取小区住宅楼的布局关系，建立了各楼层互相遮挡的关系矩阵，代入问题二的模型得到小区内18栋楼每一层的年日照累计和，结合附件2的已售楼房信息，我们可以确定一批最优选房方案。
针对问题四：我们根据小区平面图对小区各个影响买房的方面做了评估，利用反复取交集的方法为客户选择房子。最终为高层偏好的人选择了9号楼33层，中层偏好的人选择9号楼13层，低层偏好的人选择了5号楼1层。
针对问题五：通过以两个电梯出口为原点建立空间坐标系，计算车位到电梯口的距离和此车位住户到电梯口的距离，发现并不符合最长和最短距离的结合原则，则车位安排不合理。对于安排车位，我们将充分考虑各种因素，包括低层住户长时间等待时是否乘坐电梯，多种电梯的运行模式的选择，出电梯口时距离电梯口的最近车位，车位与住户楼层的最短路距离，得出最优车位。
关键字：影子变化物理模型离散化处理个性化选房模型电梯控制策略最短路
一、问题重述
当我们买房时，房子的选择是一件很头疼的一件事，地理位置、周边环境、交通便利性、住房户型、住房价格、采光、噪音污染、空气污染等因素影响我们的选择，同时开发商总会追求利润的最大化，所以现在高楼林立，面对现在的高层建筑，选房的问题变得更加复杂，针对东经117.17o，北纬34.18o地理位置的高层建筑，不考虑天气的影响，正确解决购房问题。
问题一，解决A小区14-2-802房间(客厅)在冬至时特定时间段可以享受到日照的时间段结合附件1和4得出正确结果。
问题二，描绘A小区14-2-802房间(客厅)全年日照累计时间，并得出该房间全年日照时间超过六小时的天数和具体日期。
问题三，在部分房间已售出的情况下，仅考虑光照条件，给消费者提供最佳选房方案。
问题四，在考虑日照条件下，结合价格、交通、环境和噪音的影响，给出此时消费者C最优选房方案。楼价在不同楼层相应有所不同，周围环境，北侧有一条河流，并有若干配套设施：地铁，铁路，国道，发电烟囱。综合各种因素得出最佳选房方案。
问题五，该小区已建成地下停车场，建立合理模型验证该停车场是否合理，如果不合理重新设置该停车位。附件三中方格第一行是车位号，第二行是对应的房间号
二、问题分析
问题一的分析
在题设前提条件（不考虑天气因素）下，14-2-8-2房间可以享受日照的时间区间仅受前方障碍物遮蔽的影响，根据附件住宅楼分布情况分析，#7和#8楼有可能遮挡#14楼。障碍物的阴影位置与障碍物的尺寸，楼宇密度（前后楼间距），太阳方位，太阳高度等因素有关，其中障碍物尺寸和建筑密度可从附件查得，太阳方位角和太阳高度角可由相关公式推导得到，进而可以建立楼宇遮光时间的物理模型，求得可以获得日照的时间区间。
问题二的分析
相比于问题一，问题二需要考虑日期的变化；根据相关天文学知识，赤纬角随每年积日数近似的周期变化，进而影响日出日落时间和太阳高度角。因此我们考虑将365天每天的赤纬角值代入第一问的模型并求和，即可较精确的得出一年内享受日照的累计时间。随着赤纬角每年的连续性变化，每日日照时间必定是连续变化，且在夏至日最长（>6h），冬至日最短（<6h），因此在夏至与冬至日间使用二分搜索算法，即可快速确定6小时日照时间的分解日期，求得每日日照时间超过6小时的日期及天数。
问题三的分析
相对于问题二，我们需要考虑小区内每一栋楼的每一层的光照时间，因此我们分析并简化了小区住宅楼的相对位置关系，将楼层（1-34）也作为变量代入问题二的模型，即可得到任一栋楼的任一层的年受光累计时间；根据采光因素优先的前提，结合附件二的销售情况，我们即可给出消费者选房的最优方案。
问题四的分析
问题四要求我们考虑价格，交通，环境与噪音的影响，给出消费者c的最优选房方案。其中价格主要与楼层和是否是河景房有关，交通主要与离车库远近，离地铁远近有关，环境主要与离发电厂和河流远近有关，噪音主要与离马路和高架远近有关。由于权重带有很大主关性，我们买房时总是想所有条件都满足，如果不行的话就退而求其次，在从其中选择最好的。有一些论文可知，用户楼层的选择也反应了用户的偏好。
问题五的分析
针对车位安排是否安排合理，首先建立空间直角坐标系，并以出楼梯口为原点，通过将车位和各住户的高度确定在同一坐标系上，计算图中所给车位到坐标系的距离和楼层的距离，则最佳车位位同事去的最小，将车位的距离做升序排列楼层的高度作降序排列，则最佳排序为两者之和。针对合理安排车位，我们将充分考虑各种因素，包括低层住户长时间等待时是否乘坐电梯，电梯的运行模式的选择，出电梯口时距离电梯口的最近车位，车位与住户楼层的距离，得出最优车位。
三、模型假设
1 对各个房子的影响因素的评价是正确的。
2 上班高峰期时各楼层乘客充足。
3 楼房的倾斜形状对太阳影子没有影响。
4 楼房的厚度对太阳影子没有影响。
5地球是球形的。
6 天气对太阳没有影响。
7 太阳高度角是15度时，光线才足够量。
8 大气层对太阳光线影响忽略。
四、符号说明
五、模型建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解 5.1．1问题一的模型建立 5.1．1．1太阳高度角H 的计算
太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面的夹角。我们假设太阳光是不存在折射的平行光[1]，参考资料得出太阳高度角H 的计算公式；
sin sin sin cos cos cos H t ?δ?δ=+
式中，太阳赤纬用δ表示，地理纬度用?表示（太阳赤纬和地理纬度都是北纬为正，南纬为负），地方时角用t 表示。日出或日末的时刻，可有式取0H =,而求得其时角0t ，即得：
0sin sin cos tan tan cos cos t ?δ
?δ
?δ-==-
图一 太阳高度角示意图
又日出或日末似的太阳方位角0α可取0H =， 即得：
00sin cos sin t αδ=
求得太阳高度角H ， 即得：
180(90)90()H ?δ?δ=-+±=-±
图二 太阳直射点纬度与高度角关系示意图
s 太阳位置；o 地球中心；?纬度；H 正午太阳高度角；'HH 该地的水平面；'EE 赤道
5.1．1．2太阳赤纬角δ的计算
太阳赤纬及太阳直射点纬度，查阅资料得到赤纬角δ的计算方式；
0.3723+23.2567sin 0.1149sin 20.1712sin 30.7580cos 0.3656cos 20.0201cos3δθθθθθθ
=+--+
+
式中，θ称谓日角，即2=365.224
μθΩ。而μ由两部分组成，即0=N N μ-,其中，N 为
积日，即当天日起到当年一月一日的天数；**0=79.6764+0.24221985N ?-（N -1985）-INT[(N )/4]
5.1．1．3时角τ的计算
时角为OP 线在地球赤道平面上的投影与当地时间12点时地中线与赤道平面上的投影之间的夹角。
00t s T T α=+-?- 式中，其中0s 是当天平时的恒星0640356h m m s s d =+?，元旦子夜时的恒星时是640h m ，
d 是从元旦起算的天数。0T 是当时北京时间，120T λ?=- 是当地的地理经度与东经
120 的差，α是恒星的赤经。
5.1．1．4太阳方位角A 的计算
cos sin a sin(
)cos A H
δτ
?=
A 太阳方位角；H 太阳高度角；δ太阳的赤纬；τ太阳的时角
5.1．1．5遮光区域δ的求解的计算
arctan i H s δ=?
i s 楼间距；H 太阳高度角
得到太阳方位角和太阳高度角可以在天穹上确定太阳的位置[2]，则障碍物在地面上的影子可以由投影定理的出。但考虑到物体影子不但有长度变化还有方位变化，如下图(三-C)正方形物体在地面上的影子范围变化示意图，其大小方位受日期，时间，维度等因素影响，转化为数学表达很繁杂；
其次考虑从观测点视角看障碍物ABCD ，在天穹面上得到阴影部分αβδζ ，当太阳处于阴影部分时即被遮住，但阴影部分αβδζ为空间曲面，几何关系复杂，求其与太阳轨迹方程的解析解较为复杂。不利于求解。
我们考虑将太阳位置离散化，以1分钟为步长，如下图(三-D)计算太阳位置，在空间坐标系中求目标点M 与太阳连线的直线方程，将楼宇间距y 代入直线方程，可解得一高度值h ，通过对比h 与障碍物的高度H 即可快捷判断此时此刻太阳是否被障碍物遮住[3]，通过计数被太阳遮盖点的个数即可推算出某日光照时长与光照时间范围
其次：对于目标楼层n ，以其为原点建立的坐标系中障碍物的高度会相对减少n 层，当太阳不处于天穹阴影的边界角内时，太阳即使低于障碍物也不会被遮挡。
A B
C D
图三 阴影部分示意图
5.2数据的处理与分析
利用matlab 编写程序解得当位于视野角范围内比较δ与78.3米的差。78.3δ?=-当0?≥时没有遮光，当0?≤时遮光，通过matlab 得出结果为日照时间为9:00-10：20和12：40-1:32和15:36-16：00
5.2问题二的模型建立与求解
通过简化图得到高楼i A 受到前方区域影响的视野角
图四 高楼遮挡视野角图
在第二问的基础上遮光区域δ的求解的计算
arctan i H s δ=?
i s 楼间距；H 太阳高度角
通过调整太阳赤纬角δ和时角τ利用穷举法得出各个高楼的遮挡时间，如下表得A 小区14-2-802房间(客厅)到全年享受日照累计时间为208110分钟。14-2-802房间(客厅)全年享受日照时间超过6小时的天数为235天，日期为2月25号到10月16
5.2问题二的模型求解
图五 各楼层年遮光时间随楼层高度变化图
最优解如附表1
5.4.2． 模型的建立 （一） 选房步骤
买房时，我们把选房定为两个步骤，第一步，选择区位，第二步，选择楼层。影响区位的因素主要是出行便利，环境，噪音。影响楼层选择的因素主要是价格。消费者会从各种不同的因素考虑买房，我们把满足因素一最好的一批房子列为集合，满足因素
二最好的一批房子列为集合,满足集合二次好的一批房子。以此类推。 1令。 2若，则根据价格，采光选择具体楼层。 2若，则降低标准，令，直到S 为止，然后执行第二
步。
（二）集合分类原则
1.环境：根据附近有无河流，电厂，垃圾房。
2.噪音：根据楼房附近马路数量。
3.比较每栋居民楼与商业楼和街道口的距离，选择最小距离，并排序。
（三）城市高层住宅楼层偏好
1. 高层用户比较偏好环境，噪音，但由于楼层较高，一般楼底的噪音对高层没有影响。
2. 中层用户考虑比较综合。
3. 底层用户优先考虑采光，并且根据第二问计算结果，中高层用户基本不需要考虑采光。
1-4流程图
5.4.3 模型的求解
在小区平面图上取坐标，并根据公式计算。
根据图片环境a等集合={#9, #10, #11, #12, #13, #14}
环境b等集合={#7，#8， #17，#18}
环境c等集合={#1, #5, #6}
环境d等集合={#2，#3， #4}
噪音a等集合={#10, #11, #12, #13, #7, #17}
噪音b等集合={#9, #2, #3, #4, #5, #14}
噪音c等集合={#1, #6}
出行便利a等集合={#4, #3，#1，#9}
出行便利a等集合={#5, #2, #17, #6}
出行便利a等集合={#10, #18, #7, #11}
出行便利a等集合={#12, #8, #13, #14}
（一）对高层用户
首先考虑环境，其次生活便利。
所以选择9号楼，由于33层环境较好，所以选择9号楼33层。（二）对中层用户，考虑采光以外所有因素
根据第二题数据，9号楼采光差别不大，选择价格最低 13层，对低层用户，采光首先不能太差。
采光a 等集合 采光b 等集合
如果将楼层限定在6层以下。
由于5号楼与6号楼其他条件相同的同时，噪音比较小，生活更便利。由于5号楼1-6层采光没有明显差距，选择价格最低的5号楼1层。
1. 如果用户对价格考虑较多，那么只考虑第一层与顶层，5号第一层4250元/，9号第一层元/。
5.5问题三的模型建立与求解 5.5．1双坐标系的建立
将附件一所给的图像抽象到Excel 表格上，并赋予每个地下车位双坐
()()1122,t t p p x y x y 坐标，以两个电梯出口为原点()()0000,t t p p x y x y ，建立双坐标系，并
以楼房的高度为分别为00,t
p z z ，我们将通过地下车位唯一的确定下来。 车位到()()0
000,t
t p
p x y x y 的距离可以简化为，可以简单的求t t t i i i l x y =+和
p p p i i i l x y =+，
求得t p i i l l ?=-的最小值则能唯一确定确定车位的位置，通过图上图形的分布很容易确定一点到()()0
000,t
t
p
p x y x y 的最近距离，由图形的分布特点，位于两电梯口
的中位线左侧的用左坐标系，反之用右坐标系，则简单的计算空间距离。 要求t t t i i i l x y =+和p p p i i i l x y =+分别按升序排列，
12:,,t t t t
n
l l l l 12:,,p p p p n l l l l
,t p i i z z 按降序排列，
12:,t t t t i n
z z z z 12:,p p p p i n z z z z
则两者相互组合形成最佳车位。图中不符合此最佳排列，所以不合理。常见的几种电梯运行方案的比较。
为简化描述时又不失一般性，我们假设两台电梯同时独立运行。电梯方案的比较有多重标准，在此我们考虑如何在上下班高峰期时，将所有等待的乘客快速送到目的地，一次我们采用侧重乘客等待时间的优化，时间最大、最小群控方法。即用乘客等待时间和被运送时间和最小，最为评价依据，并依据电梯运行周期与时间之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数于总乘客数之比的比例原则，对常见的运行模式进行描述，常见电
梯运行方案的描述 。
假设每层楼工作人员的人数（即电梯需要向每层楼运送乘客的人数）均为m 电梯最多能运送k 人，假设该办公楼总共1b +层。假设每层楼之间电梯的平均运行时间是1t 秒，则平均停留时间为2t 秒。
5.5．1．1分层法
该方案允许电梯可以在任意层停靠,随机运行,两台电梯平均运行周期均为
**12(2)k b t b t +秒，共运送乘客*2k 人,运送所有乘客共*b m 人,所用时间为T , 并依据“电梯运行周期与运行总时间之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数与乘客总数之比”的“比例”原则得:
12
22bt bt k bm T
+= 解得；
212(2)2b m t t T k
+=
5.5．1．2奇偶层运行方案
该方案规定两台中的一台停靠在奇数层，另一台停放在偶数层。因为一共1b +层，
所以停靠在奇数层的电梯运行时间为**12(2)()
2
k b t b t +秒，，完成运送乘客时间1T ，并依据“电梯运行周期与运行总时间之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数与乘客总数之比”的“比例”原则：
2
1222
bt bt k km T += 212(4)4b m t t T k
+=
而停靠偶数层的电梯的运行周期为**
21((21))2
k b t b t -+秒, 共运送乘客20人,运送所
有乘客完成运送至偶数层的乘客所用的时间2T, 并依据“电梯运行周期与运行总时间之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数与乘客总数之比”的“比例”原则：
2122(4)4b m bt bt t T k ++=
5.5.1.3分段运行方案
此方案以*1b n +层为界分为上下两段，一台运行在1-*1b n +层，运送所有乘客用时1T ，并依据“电梯运行周期与运行总时间之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数与乘客总数之比”的“比例”原则：
121
2()(1)bt b nb t k
n bm T +-=
- 122
2nbt nbt k
nbm T +=
整理得：
21221222212(1)(2)(2)
max(,)
b m n t t nt T k
b n m t t T k
T T T -+-=
+=
= 最优方案为
2*2*212212(1)(2)()(2)b m m t t nt b n m t t T k k
-+-+==
5.5.1.4分层次法
该方案同样将以*1b n +层为界分为上下两段,第一台运行第1层,第*1b n +层至第1b +层,而另一台电梯则可以停在所有楼层，在等可能几率乘坐的情况下，故所需的总时间为运送目的地为第2层至*1nb +层的乘客所用时间，第一台电梯完成运送所有乘客所用时间1T,并依据“电梯运行周期与运行总时间之比等于电梯在一个周期内运送的乘客数与乘客总数之比”的“比例”原则：
122k nb
bt bt b bnm T
?+=
即
12(2)bm t t T k
=
由于总时间为运送目的地为第2-层的乘客所用时间[4]，而这些楼层之间仅有一台电梯按平均原则运送乘客，故当*1b n ≥，即*2b n ≥时无论n 为何值，该电梯每运行一次
可向第2层-*(1)b n +层运行()k b 名乘客，运行总数为*
()m b k
，运行一次所用时间
***11(2)b t b t +，故即与n 无关
5.5.15逐层运输法
两台电梯运送完一层运送另一层。 故时间：
T T =
5.5.2 常见电梯运行方案比较（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式。 我们容易得到: 综上考虑电梯的运行效率可得: 逐层运输方案>分段运行方案>奇偶层运行方案>分层次与分段相结合>分层次运行方案的方案。不过考虑到逐层运输不符合实际。因此我们得出结论: 分段运行方案是最及时的将所有等待的乘客快速运至目的地,尽快地疏散等候区的乘客的最优调度方案
5.5.3实际问题的求解
假定1234,3=10b t t ==秒，秒代入公式的
*
1
n n ==0.535n =
则得出层数为*118.19b +=，取整的19或者18带入得
2*2*212212(1)(2)()(2)b m m t t nt b n m t t T k k
-+-+==
当取19时，1934n = 计算19288.8T = ，当取18时，18
34
n =计算18259.2T =,则应选18
层为分界点。则可以得到各个楼层到达地面时间，3*(1)10i t i =-+楼梯口到达车位所用
时间1i t ，则1i i t t t =+按照i t 的升序和1i t 的降序结合获得最优组合。考虑到较低层住户会选择不乘坐电梯，结合楼梯周围车位数为16，则1-4楼住户走楼梯，并且参照正常爬楼梯时所用时间，则四楼住户用时最长为480t =，远大于需要等待时间206秒，5-18楼住户乘坐一电梯，19-34乘坐另一电梯，根据到达时间长短安排车位的远近。