2016年武汉理工大学数学建模暑期培训练习题
1、编写MATLAB 和lingo 程序求解下列方程（组） （1）4
x
sin x cos x +=
（2） x x 24-= （3）求方程
()074223=---=x x x x f 在[]43,中的根的近似值．
（4）0432=--x x
（5）12341234123420,3230,4350.
x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
-+-=⎨⎪+-+=⎩
（6）⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++--=++.
x x x ,x x x ,
x x x 3103220241225321
321321
2、编写lingo 程序求解下列最优化问题 （1）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-.
x ,x ,x ,x ,x x x x ,x x x x ,x x x x .t .s 无约束432143214
32143210232142224 （2）32132-2x x x z min +=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤≤-+-=++-.
x ,x ,x ,x x x ,x x x .t .s 无约束32132142100624 （3）213x x z max -=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≥+≤-.
x ,x ,x x ,x x ,
x x .t .s 为整数052104532321212
121 （4）32152-3x x x z max +=
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≤+≤+≤++≤-+.x ,x ,x ,
x x ,x x ,x x x ,x x x .t .s 1064344223213
221321321或 （5）||4||3||2||min
4321x x x x z +++=
s.t.⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-
=+--=-+-=+--2132130432143214321x x x x x x x x x x x x （6）求图中点1v 到各点的最短路（不可逆行）．
3、先建立问题的数学模型，再编写lingo 程序求解
（1）某厂每日8小时的产量不低于1800件．为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员．一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时．检验员每错检一次，工厂要损失2元．为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？
（2）某饲料场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素．现有5种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表所示：
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案．（3）某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表所示．每班护士值班开始时向病房报到，并连续工作8小时．试决定该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要．
（4）一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1所示．现有三种货物待运，已知有关数据列于表2．为了航运安全，前、中、后舱的实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系．具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前后舱之间不超过10%．问该货轮应装载A，B，C各多少件运费收入才最大？
表1
表2
（5）某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工厂所需的面粉．各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价如下表所示．假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总收益最大的面粉分配计划．
（6）1，2，3三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I，II两个
电站提供，它们的最大可供电量分别为400个单位和450个单位，单位费用如下表所示．由于需要量大于可供量，决定城市1的供应量可减少0单位～30单位，城市2的供应量不变，城市3的供应量不能少于270单位，试求总费用最低的分配方案（将可供电量用完）．
（7）有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费用、单件售价、资源单耗量及组织三种产品生产的固定费用见下表．要求制定一个生产计划，使总收益最大．
（8）某商业公司计划开办5家新商店．为了尽早建成营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建．已知建筑公司A i（i=1，2，3，4，5）对新商店B j（j=1，2，3，4，5）的建造费用的报价（万元）为c ij（i，j=1，2，3，4，5），见下表．商业公司应当对5家建筑公司怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最少？
（9）篮球队需要选择5名队员组成出场阵容参加比赛．8名队员的身高及擅长位置见下表：
出场阵容应满足以下条件：
（1）只能有一名中锋上场；
（2）至少有一名后卫；
（3）如1号和4号均上场，则6号不出场；
（4）2号和8号至少有一个不出场．
问应当选择哪5名队员上场，才能使出场队员平均身高最高？
（10）有5项设计任务可供选择．各项设计任务的预期完成时间分别为3，8，5，4，10周，设计报酬分别为7，17，11，9，21万元．设计任务只能一项一项地进行，总的期限是20周．选择任务时必须满足下面要求：
（1）至少完成3项设计任务；
（2）若选择任务1，必须同时选择任务2；
（3）任务3和任务4不能同时选择．
应当选择那些设计任务，才能使总的设计报酬最大？
（11）公司在各地有4项业务，选定了4位业务员去分别处理．由于业务能力、经验和其它情况的不同，4位业务员处理这4项业务的费用（单位：元）各不相同，见下表：
应当怎样分派任务，才能使总的业务费最少？
（12）某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定，如果继续使用旧设备，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费．试制定一个5年的更新计划，使总支出最少．设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与维修费见下表：
（提示：转化为最短路问题）
（13）已知某地区的交通网络如图所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边
4、MATLAB 编程训练题
（1）在matlab 的命令窗口里完成如下计算，其中t 的值分别取-1,0,1，表达式如下：4/3)t
y e π-=
（2）自行产生一个5行5列的数组，得到最中间的三行三列矩阵。
（3）用magic 产生一个5*5的矩阵，将这个矩阵的第二行与第三行互换位置 （4）已知：一个多项式的系数向量是p=[1 -6-72 -27]，求这个多项式的根。 （5）已经两个多项式的系数分别是：[1 2 3 4]和[1 4 9 16]，请求这两个多项式的乘积，及商和余数。
（6）给定一个多项式的根是[-5 -3+4i -3-4i],求原来的多项式
（7）电路分析常常涉及到对方程组的求解，这些方程常常是利用描述电流进入和离开节点的电流方程，或者描述电路中网络回路上的电压的电压方程得出的。下图描述了3个回路电压的方程，方程式如下：
11121222132423432
532()0()()0()0
V R I R I I R I I R I R I I R I I R I V -++-=⎧⎪
-++-=⎨⎪-++=⎩ 假设5个电阻值为已知，2个电压值也为已知，求3个电流值。
（8）自行产生一个5行5列的数组，用两种方法得到最中间的三行三列矩阵。 （9）根据a=reshape(-4:4,3,3)做一个矩阵，然后（1）取出所有大于0的元素构
成一个向量（可推广到从一个矩阵里筛选出符合条件的元素组成一个向量）（2）将原矩阵中大于0的元素正常显示，而小于等于0的元素全部用0来表示(可推广到将原矩阵中不符合条件的全用0来表示，符合条件的值不变)。(思考：大于0的正常显示，小于等于0的用-10来表示)
（10）建立如下一个元胞数组，现在要求计算第一个元胞第4行第2列加上第二个元胞+第三个元胞里的第二个元素+最后一个元胞的第二个元素。
（11）建立一个结构体的数组，包括3个人，字段有姓名，年龄，分数，其中分数由随机函数产生一个3行10列的数据表示了有10门课程，每门课程有三个阶段的分数。问题是：
问题1，如何找到第2个人的分数并显示出来
问题2，如何找到第2个人的每门课程3个阶段的平均分数并显示出来
问题3，全班同学（指这3个学生）的10门课程的每门课程的平均分如何计算出来？要求放到一个数组里。
问题4，找到这个班所有同学的姓名放到一个元胞数组里
（12）给定一个图像文件，格式是jpg，通过inportdata引入这个文件，查看引入后数据保存是一个数组，是100*100*3的一个数组，这是一个三维的数组，表明有100*100个点，每个点有RGB三个方面决定的。现在，要求将这些点的中间部分30个象素宽度的正方形用黑点表示。
（13）手动构造一个长宽页是1000*1000*3的图像，每个图像的点有三个0-255之间的随机值构成。然后使用image函数显示这个图像，再用imwrite函数保存这个图像，使这个图像用图片浏览器也能够查看。
（14）给定一个矩阵
a =
1 2 3
4 5 6
编写一个M函数，要求输入是a，输出有三个：平均数，标准差，秩。程序运行后分析其性能指标（主要从时间上分析）
（15）编写一个M函数，将一个给定图片文件里的白色全部换成另一种颜色，比如说：将白色转成黑色。
（16）要求编写一个M函数文件，完成求三角函数，x变化范围从-pi到pi，求出相应的y的值，并画出图，然后使用编译器生成EXE，脱离MATLAB环境运行。（17）定义一个2*2的元胞数组，放入相应的数据，然后保存到MAT文件中，清除内存后，然后再调入内存。查看数据是否改变。
（18）实验用图像：pic.jpg.(注意，此图片是灰度图片，本题是针对灰度图片的处理) 使用imread函数将图像读入Matlab。根据产生灰度变换函数T1，使得：
0.3r r < 0.35
d = 0.105 + 2.6333(r – 0.35) 0.35 ≤r ≤0.65
1 + 0.3(r – 1) r > 0.65
用T1对原图像pic.jpg进行处理，查看结果。并打印出来。
（19）自己查阅资料找出中国近10年人口数，制成txt文件，格式如下：
1990 11.3456
1991 12.3566
…
然后将数据引入到内存，并绘制出相应的人口变化曲线图。
（20）使用通用读函数importdata读入一个声音文件hello.wav，将所有的数据反序排列后，播放声音，听效果，最后，将数据保存成另外的的声音文件名helloRev.wav。
（21）已知在三维空间里，x,y,z的变化规律如下，试用plot3来做出其图形。z = 0:0.1:40;
x = cos(z).^2;
y = sin(z)+cos(z);
5、spss训练题
（1）去年某企业每天平均生产元件105个，今年改进了生产技术随机抽取15天进行测量，结果为
208 112 202 108 210 106 206 204 118 112 116 210 114 104 214
假定生产从正态分布，能否判断今年的产量是否是去年的两倍(a=0.05)（2）一生产商想比较两种汽车轮胎A和B的磨损质量。在比较中，选A和B型
轮胎组成一对后任意安装在7辆汽车的后轮上，然后让汽车运行指定的英里数，记录下每只轮胎的磨损量。数据如下：
汽车 1 2 3 4 5 6 7
轮胎A 9.6 10.8 11.3 10.7 8.2 9.0 11.2
轮胎B 8.2 9.4 11.8 9.1 9.3 11.0 13.1
这两种轮胎的平均磨损质量存在显著差异吗？
（3）某地一年级12名女大学生的身高、体重与肺活量数据如下，试建立体重与身高、肺活量间的线性回归方程。
（4）某企业欲研究不同类型的商店对一种新产品的销售影响，选取了三类商店：副食品店、百货公司和超市。调查时销售额如表，现分析不同商店类型对销售量有无显著影响。
6、ANSYS 训练题
1、问题描述：确定一个冷却栅管（图a ）的温度场分布及位移和应力分布。一个轴对称的冷却栅结构管内为热流体，管外流体为空气。冷却栅材料为不锈钢，特性如下：
导热系数：25.96 W/m ℃ 弹性模量：1.93×109 MPa 热膨胀系数：1.62×10-5/℃ 泊松比：0.3 边界条件：
（1）管内：压力：6.89 MPa
流体温度：250 ℃
对流系数249.23 W/m 2℃
（2）管外：空气温度39℃
对流系数：62.3 W/m 2℃ 假定冷却栅管无限长，根据冷却
栅结构的对称性特点可以构造出的有限元模型如图b 。其上下边界承受边界约束，管内部承受均布压力。
练习1：冷却栅管的稳态热分析
练习2：间接法计算冷却栅管的热应力
2、问题描述：一个30公斤重、温度为70℃的铜块,以及一个20公斤重、温度为80℃的铁块，突然放入温度为20℃、盛满了300升水的、完全绝热的水箱中,如图所示。过了一个小时，求铜块与铁块的最高温度(假设忽略水的流动)。
材料热物理性能如下：
（）（）
练习3：铜块和铁块的水冷瞬态热分析
数学模型课程期末大作业题 要求: 1）该类题目大部分为优划问题，有一些差分方程，微分方程问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo集合形式编程，其它可用Matlab或Mathmatica编写。 2）论文以纸质文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。 问题1 某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）： 表 到6月底每种产品有存货50件。 工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。 不需要考虑排队等待加工的问题。 在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；
6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？ 注意，可假设每月仅有24个工作日。 问题2： 在某给定区域内均匀分布若干个几何形状相同的小区域（小区域为边长a的正三角形）。在每个区域中心安排一个寻呼台，管理部门将拿出一贯频域区间由于安排这些寻呼台，这个频域区间被规则地分成若干频域区间，分别被依次标号为：1、2、3、……，每一个寻呼台被分配给一个具有标号的频率小区间，只要不相互干扰，标号相同的频域小区间可以被分配多个寻呼台使用，为了避免干扰，在安排过程中，应满足以下要求： 1）、距离为2a以内的两个寻呼台的编号至少必须相差2，在4a以内的寻呼台编号不能相同； 2）、除1）以外并考虑三角形区域在三个方向任意延伸的情况； 3）、除条件1），2）外，但要求距离在2a以内的寻呼台编号至少相差R，此时能够得到什么结果？ 请你在上述各种情况条件下建立数学模型，确立需要的频域区间的最小长度，即要求给出各种不同分配方案中所使用的最大编号达到最小。 问题3： 某办公大楼有十一层高，办公室都安排在7，8，9，10，11层上．假设办公人员都乘电梯上楼，每层有60人办公．现有三台电梯A、B、C可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层(一层)停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间为10秒．每台电梯的最大的容量是10人，在上班前电梯只在7，8，9，10，11层停靠．为简单起见，假设早晨8∶00以前办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内(20秒)能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯．当无人使用电梯时，电梯应在底层待命．请问： 把这些人都送到相应的办公楼层，要用多少时间？ 怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少？ 请给出一种具体实用的电梯运行方案． 问题4： 一项食品加工工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种：植物油2种，分别记为V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。各种原料油均从市场采购。现在（一月份）和未来半年中，市场价格
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也 与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的 夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确 定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ 唯一确定。由假设（1），()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故 ()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g = -<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10；
电池剩余放电时间预测 摘要 铅酸电池的剩余放电时间是电池性能指标中的一个重要参数，对电池的输出性能和使用寿命有着至关重要的影响。但是在生活中不免遇到电池用完了却没有备用电池的情况，而且电池的使用时间在我们生活中与我们息息相关，有时候这会给我们的生活造成很大的困扰。本文就是对电池剩余电量和放电时间的矛盾进行讨论得出一个相对准确的电池剩余放电时间预测的一个模型的建立。 针对问题一：电池的剩余放电量这一问题。首先，根据题目我们得知铅酸电池在放电过程中电流时恒定的，并且铅酸电池的额定保护电压是9V ，我们根据{附件一}给出的数据进行分析，然后利用MATLAB 软件进行图像拟合，得到一个电压与时间的放电曲线图，并且，根据MATLAB 软件拟合得出的图像，经过figure 对图像的精确处理，最终得出初等函数来表示各放电曲线。又根据平均相对误差定义得出： 平均相对误差（MRE 是预测误差相对值的平均值，其计算公式为：） '|i i |1j j j j MRE n i -=∑ 根据公式和附件一中给出的数据按照比例筛选出231组数据【附件二】，并对数据进行处理，我们分别求出各放电曲线的平均相对误差。并且根据测得电压都为9.8V 时，根据模型得出电池剩余放电时间分别是多少。 针对问题二：根据数据拟合的曲线图像得出三种情况进行讨论。用初等函数表示A20-A100的放电曲线，并根据放电曲线的平均相对误差。然后分别求出它们剩余放电时间。然后我们利用求平均数的方法大概绘制出55A 的曲线图。 针对问题三：根据附件2中的数据，利用Excel 表格数据整理得出图形【附件三】，分析并计算得出模型1、模型2，通过优化得出模型3。由于同一电池在不同衰减状态下，在同一电流强度情况下从充满电开始放电，时间随电压不断变化，所以我们从电压方面进行具体分析。 一.问题重述 铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压（Um ）。电池在当前负荷下还能供电多长时间（即以当前电流强度放电到Um
数学建模题目及答案-数学建模100题 假设每个宿舍的委员数与该宿舍的学生数成比例，即每个宿舍的委员数为该宿舍学生数除以总学生数的比例乘以10. 则A宿舍应分配的委员数为235/1000×10=2.35，但委员 数必须为整数，所以可以向上取整，即A宿舍分配3个委员。 同理，B宿舍应分配的委员数为333/1000×10=3.33，向上 取整为4个委员；C宿舍应分配的委员数为432/1000×10=4.32，向下取整为4个委员。 因此，A宿舍分配3个委员，B宿舍分配4个委员，C宿 舍分配3个委员，剩下的委员数（10-3-4-3=0）为0. 按照各宿舍人数占总人数的比例分配各宿舍的委员数。设 A宿舍、B宿舍、C宿舍的委员数分别为x、y、z人。根据题意，我们可以列出以下方程组： x + y + z = 10 x/10 = 235/1000 y/10 = 333/1000 z/10 = 432/1000
其中，小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。解方 程组得到x=3，y=3，z=4.因此，A宿舍、B宿舍、C宿舍的委 员数分别为3、3、4人。 一家饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，预计每天可使一头80公斤重的生猪增加2公斤。假设生猪出售 的市场价格为每公斤8元，每天会降低0.1元。我们设在第t 天出售这样的生猪（初始重80公斤的猪）可以获得的利润为 z元。根据题意，我们可以列出以下方程： 每头猪投入：5t元 产出：（8-0.1t）（80+2t）元 利润：Z = 5t +（8-0.1t）（80+2t）=-0.2 t^2 + 13t +640 我们可以求得二次函数的顶点，即t=32.5时，Z取得最大 值851.25元。因此，该饲养场应该在第33天出售这样的生猪，以获得最大利润。 一家奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶 牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备 乙上用8小时加工成4公斤A2.市场需求量与生产量相等，每 公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。加工厂每天能得
2016年全国大学生数学建模竞赛A题2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 ,请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”, A题系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成(如图1 所示)。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为 10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外00kg。钢桶上接第4节钢径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为1 管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度(钢桶与竖直线的夹角)超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
图1 传输节点示意图(仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例) 系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1 某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为 1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2 在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 2说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv(N)计算，其中S为物体在风2向法平面的投影面积(m)，v为风速(m/s)。近海水流力可通过近似公式 22F=374×Sv(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积)，v(m为水流速度(m/s)。 附表锚链型号和参数表 型号长度(mm) 单位长度的质量(kg/m) I 78 3.2 II 105 7 III 120 12.5 IV 150 19.5
数学建模试题（带答案） 第一章 4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。 答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为)()(a g a f 和。f 和g 都是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的a ，)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后，对角线互换， 0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证 明如下的数学命题： 已知a a g a f 是和)()(的连续函数，对任意0)π/2()0(,0)()(,===⋅f g a g a f a 且， 0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ，使0)()(00==a g a f 证：令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则， 由g f 和的连续性知h 也是连续函数。 根据连续函数的基本性质， 必存在0a （0＜0a ＜π/2）使0)(0=a h ，即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=•a g a f ，所以0)()(00==a g a f
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第二章 7. 10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设 kx q x q -=0)( (1)k 是产量增加一个单位时成本的降低 ， 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将（1）（2）（3）代入（4）求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--= 6.根据最优定价模型 px x f =)( x 是销售量 p 是价格，成本q 随着时间增长，ββ,0t q q +=为增长率，0q 为边际成本（单位成本）。销售量与价格二者呈线性关系0,,>-=b a bp a x . 利润)()()(x q x f x u -=.假设前一半销售量的销售价格为1p ，后一半销售量的销售价格为2p 。 前期利润 dt bp a t q p p u T ))](([)(12 /011--=⎰ 后期利润 dt bp a t q p p u T T ))](([)(22/22--=⎰ 总利润 )()(21p u p u U += 由 0,02 1=∂∂=∂∂p U p U 可得到最优价格: )]4([2101T q b a b p β++= )]4 3([2102T q b a b P β++=
2016年武汉理工大学数学建模暑期培训练习题 1、编写MATLAB 和lingo 程序求解下列方程（组） （1）4 x sin x cos x += （2） x x 24-= （3）求方程 ()074223=---=x x x x f 在[]43,中的根的近似值． （4）0432=--x x （5）12341234123420,3230,4350. x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪ -+-=⎨⎪+-+=⎩ （6）⎪⎩⎪ ⎨⎧=+-=++--=++. x x x ,x x x , x x x 3103220241225321 321321 2、编写lingo 程序求解下列最优化问题 （1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-. x ,x ,x ,x ,x x x x ,x x x x ,x x x x .t .s 无约束432143214 32143210232142224 （2）32132-2x x x z min += ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≤≤-+-=++-. x ,x ,x ,x x x ,x x x .t .s 无约束32132142100624 （3）213x x z max -= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧≥≤+≥+≤-. x ,x ,x x ,x x , x x .t .s 为整数052104532321212 121 （4）32152-3x x x z max +=
⎪⎪⎪⎩⎪ ⎪⎪⎨⎧=≤+≤+≤++≤-+.x ,x ,x , x x ,x x ,x x x ,x x x .t .s 1064344223213 221321321或 （5）||4||3||2||min 4321x x x x z +++= s.t.⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎨⎧ - =+--=-+-=+--2132130432143214321x x x x x x x x x x x x （6）求图中点1v 到各点的最短路（不可逆行）． 3、先建立问题的数学模型，再编写lingo 程序求解 （1）某厂每日8小时的产量不低于1800件．为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员．一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时．检验员每错检一次，工厂要损失2元．为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ （2）某饲料场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素．现有5种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表所示：
2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。
现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N)计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。 2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题小区开放对道路通行的影响 2016年2月21日，国务院发布《关于进一步加强城市规划建设管理工作的若干意见》，其中第十六条关于推广街区制，原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院要逐步开放等意见，引起了广泛的关注和讨论。 除了开放小区可能引发的安保等问题外，议论的焦点之一是：开放小区能否达到优化路网结构，提高道路通行能力，改善交通状况的目的，以及改善效果如何。一种观点认为封闭式小区破坏了城市路网结构，堵塞了城市“毛细血管”，容易造成交通阻塞。小区开放后，路网密度提高，道路面积增加，通行能力自然会有提升。也有人认为这与
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题系泊系统的设计 分析初稿，旨在交流，有各种做题思路，大家自由发挥！ 不保证正确,如有错误,欢迎指正! 注意1：程序为最初稿，只是证明解的存在性，可以使用二分法、牛顿法等进行进一步求解！ 2：剩下的可以使用锚链线等更复杂的理论：请继续查阅文献，给文章加分 3：此外可以化下面的流程图，解释求解程序，给文章加分 4：剩下题目问题原则上是把问题做的更复杂，考虑更多的受力，请大家自行脑补。 5：第一天说了对系缆力的计算，目前主要有三种模型：悬链线模型（我们下面说的第三种静力学分析）、以多体动力学理论为基础的集中质量一弹簧模型（我们下面说的第二种，需要matlab做常微分方程数值解）以及细长杆模型（我们下面说的第一种，力学有限元分析））。查阅参考文献《深海系泊系统动力特性研究进展》，请大家自行选择各类方法。 1. 某型传输节点选用II型电焊锚链2 2.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 1. 某型传输节点选用II型电焊锚链2 2.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 分析:
为简化起见, 按平浮处理，风引起的水平力x F ()()220.625,0.6252x F v S h r h h v θ'==⨯- 浮力f F 为 2f F g r h ρπ'= 其中h '为正浮吃水深度。 则对浮标的方程有 11110 11011sin ,cos sin ,cos x f x f F T F T G F T F G T θθθθ==+=-= (1) 其中0G 为浮标自重，00G m g =，0m 为浮标的质量为1000kg 。钢管如图有四节，最上面的钢管对浮标的拉力为1T ，与垂直方向的倾斜角度为1θ。 最上面第一钢管的重心进行受力分析， 1122112211221122sin sin ,cos cos sin sin ,cos cos g g T T T T G T T T G T θθθθθθθθ==+=-= (2) 其中g G 为浮标自重，g g G m g =，1m 为钢管的质量为10kg 。最上面第二根的钢管拉力为2T ，与垂直方向的倾斜角度为2θ。 最上面第二钢管的重心进行受力分析， 2233223322332233sin sin ,cos cos sin sin ,cos cos g g T T T T G T T T G T θθθθθθθθ==+=-= (3)
小区开放对道路通行的影响 摘要 本文主要针对推广街区制所引起的问题，选取了适宜的评价指标体系，进而建立出研究小区开放对周边道路通行的影响的模型，然后运用该模型对各类型小区开放前后对道路通行的影响进展比拟，最后根据研究结果提出了建议。 首先，为使指标体系科学化、规X化，满足评价指标体系的构建原如此，本文根据道路通行能力的影响因素选取评价指标体系。而影响城市道路通行能力的因素主要取决于道路条件、交通状况与服务水平等因素[1]，道路条件包括道路等级和路网密度，交通条件包括车流量与交叉口平均延误时间,服务水平包括路段饱和度和路段车速。 由于小区开放对周边道路通行的影响因素较多且相互关联、相互制约，缺少定量数据，因此本文采用层次分析法[2]先建立递阶层次结构模型，进而得出各影响因素的权重向量并排序。但该法有其局限性，主观因素影响较大，所以建立了一种基于层次分析法的模糊综合评价模型，从多个因素对评价事物隶属等级状况进展综合性评判[3]。 针对问题三，本文选取某某万科城市花园小区，该小区属于半封闭式小区，由于城市道路网络脆弱性分析评价指标为小区开放程度、小区位置与小区规模[4]，在需要定量比拟各类型小区的根底上，小区规模和小区位置为定量，通过改变小区开放程度来满足类型不同的要求。开放程度可分为全封闭、半封闭、全开放三种形式[5]，将全封闭式与半封闭式和全开放式进展比照，半开放式小区的车流量为0.4102，封闭式小区的车流量为0.7465,全开放式小区的车流量为0.6352，对小区开放程度对道路交通影响的打分，全封闭式小区的评分为0.7125，半封闭小区的得分为0.3924，全开放小区的得分为0.5726，与得分区间进展比照，得出全封闭式下的交通能力最差，全开放下的小区内的车流量最大，半封闭下达到开放度的均衡的结论。 根据得到的研究成果，本文从小区内部路网结构和交通安全等方面对城市规划和交通管理部门提出了具体建议。
A题盐的存储 某路政仓库把冬天用来洒在马路上的盐存贮在一个球顶仓库里大约有15年了。图1表示在过去15年中盐是怎么存贮的。通过驾驶铲斗车在由盐铺成的坡道上进出仓里并利用铲斗车上的铲子把盐装进仓里或从仓里取出来。 最近，一个小组确定这种做法是不安全的。如果铲斗车太靠近盐堆的顶端，盐就会滑动，而铲斗车就要翻到为加固仓库而筑的挡壁上去。该小组建议，如果盐堆是用铲斗车堆起来的，那么盐堆的最高高度不要超过4.6米。 图中仓高15.2米，挡壁高1.22米，仓的外直径31.4米，门的净空高6米，铲斗车高3.3米。对这种情况建立一个数学模型并求得在仓库中盐堆的最大高度并估算出盐堆的体积。
B 现代都市的治安与安全评估 在现代大城市里，我们可以用收集到的大量犯罪统计数据来做什么事情呢？除了统计出一些基本的描述性统计信息，我们可以利用这些数据来评估该城市的安全性吗？ 假设你和你的建模团队住在我们现在要建模的这个现代大城市里：该城市集成了大型的国际商业中心，技术，金融和旅游，目前都市人口280万人，受影响的郊区都市人口约600万。 现提供一个来自该城市公安部门的2周犯罪数据集(B_Data.xlsx) 。该数据集包含如下属性变量：案件编号（case number），发生日期（date of occurrence），主要和次要的犯罪说明（primary and secondary crime descriptions），犯罪地点（crime location），是否有逮捕（whether an arrest was made），是否这是国内犯罪（whether or not this was domestic crime），和打击区域（the beat number of the police route）。请对以下两个方面进行数学建模。 第一部分：运用数学建模，对数据进行分析。并计算该城市的安全比率。使用该安全比率来衡量该城市的安全程度。 第二部分：对该数据集进一步分析，你有什么新的发现吗？请用1-2页的篇幅为该市市长写作一个技术报告，描述你对数据集的分析结果和建议。
数学建模习题 题目1 1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。 解答： （1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s 均无关的成本。又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示为 （α，β，γ为大于0的常数）。 （2）单位重量价格,显然c是w的减函数。说明大 包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。 函数图像如下图所示： 题目2 2.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长， 设,β为增长率。又设单位时间的销售量为(p为价格)。今将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求 ,的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为,
再求,的最优值。 解答： 由题意得：总利润为 ,=+ = 由=0，，可得最优价格 , 设总销量为， 在此约束条件下的最大值点为 , 题目3 3.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c (与数量无关)，随 机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利 加什么限制？ 润为正值，需要对订购费c 解答： 设订购量为u，则平均利润为
数学建模 习 题
习题一 1.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余不变。试构造模型并求解。 2.模仿1.4节商过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。 3.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：（1）分段的指数增长模型。将时间分为若干段，分别确定增长率r 。 （2）阻滞增长模型。换一种方法确定固有增长率r 和最大容量m x 。 4.说明1.5节中Logistic 模型(9)可以表为) (01)(t t r m e x t x --+= ,其中0t 是人口增长出现拐点的时刻,并说明0t 与r, m x 的关系. 5.假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+∆t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。 6.某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿。次日早8：00沿同一条路径下山，下午5：00回旅店。某乙说，甲必在二天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？ 7.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜
者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛。如果是n支球队比赛呢？ 8.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。 9.某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一旦他提前下班搭早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？ 10.一男孩和一女孩分别在离家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公里和2公里每小时的速度步行回家。一小狗以6公里/小时速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？