教学内容 16.1.2 二次根式
课标对本节课的教学要
求
理解 a （a ≥0）是一个非负数和（ a ） 2
=a （a ≥0），并利用它们进
行计算和化简．
教学目标
理解 a （a ≥0）是一个非负数和（ a ） 2 =a （a ≥0），并利用它们进
行计算和化简．
通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个
非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ a ） 2
=a （a≥0）；最后运用结论严谨解题．
教学重点、 难点 1. 重点： a （a≥0）是一个非负数；（ a ） 2 =a （a≥0）及其运用．
2. 难点、关键：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；•
用探究的方法导出（ a ） 2 =a （a≥0）．
教学准备 教科书、课件 教学时间
1 课时
教学过程
第（1）课时
教学环节
教师活动预设
学生活动预设 设计 意图 备注
口答：
情境导入
老师点评
1. 什么叫二次根式？
2. 当a≥0 时， a 叫什
么？当 a<0 时， a 有意义吗？
复习二次 根式
定义
新课讲授
议一议：（学生分组讨论， 提问解答）
a （a≥0）是一个什 么数呢？
a （a≥0）是一个 非负数．
老师点评：根据学生讨
由特
论和上面的练习，我们 殊到
可以得出
一般
老师点评： 4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的非负数，因此有（ 4 ）2=4．
例 1 计算
3
1．（ 2 ）2；
2．（3 5 ）2；
5
3．（ 6 ）2；
做一做：根据算术平方
根的意义填空：
（4 ）2=；
（2 ）2=；
（9 ）2=；
（3 ）2=；
1
（ 3 ）2=；
7
（ 2 ）2=；
（0 ）2=．
同理可得：（ 2 ）2=2，（
9 ）2=9，（ 3 ）2=3，（
1 1
3 ）2= 3 ，
7 7
（2 ）2= 2 ，
（0 ）2=0，所以
（a ）2=a（a≥0）
3
3
解：（2）2=2 ，（3 5 ）
2=32•（5 ）2
=32•5=45，
5 5 7
（ 6 ）2= 6 ，（ 2 ）2=
( 7 )2
7
22 4 ．
的推
理，使
学生
更容
易认
同得
出的
公式
（ a
）2 =a
（a≥
0）
巩固
新知
应用
拓展
7
4．（ 2 ）2
分析：我们可以直
接利用（ a ）2=a（a
≥0）的结论解题．
巩固练习：
计算下列各式的值：
2
（18 ）2（3 ）2
9
（4 ）2（0 ）2
7
（4 8 ）2
(3 5)2- (5 3)2解：
综合例2 计算（1）因为x≥0，所以 x+1>0 应用
1．（x +1 ）2（x≥0）（x +1 ）2=x+1
2．（a2）23．（
a2+ 2a +1 ）2（2）∵a2≥0，
4．（4x2-12x + 9 ）∴（a2 ）2=a 2
2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
分析：（1）因为x≥0，
∵（a+1）2≥0，
所以 x+1>0；（2）
a2≥0；
（3）a 2+2a+1=（a+1）≥∴a 2+2a+1≥0 ，
0；
∴ a2 + 2a +1 =a 2+2a+1
（ 4） 4x 2-12x+9=
（2x）2- （4）∵4x2-12x+9=（2x）
2•2x•3+32=（2x-3）2 2-2•2x•3+32=（2x-3）
≥0．
2又∵（2x-3）2≥0
所以上面的 4 题都
可以运（用a2）=a（a≥0）∴4x2-12x+9≥0，
的重要结论解题．
∴（4x2-12x + 9 ） 2 =4x
例3 在实数范围内分解下列因式:
（1）x 2-3
（2）x4-4
(3) 2x 2-3
分析：(略) 2-12x+9
学生完成解题步骤
作业安排1．教材P 55，6，7，8
2．选用课时作业设
计．第二课时作业设计
一、选择题
1．下列各式中15 、3a 、b2-1 、a2+b2、m2+ 20 、-144 ，
二次根式的个数是（）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是
（）． A．a>0 B．a≥0C．a<0
D．a=0
二、填空题
1．（- 3 ）2=．
2．已知x +1 有意义，那么是一个
数．
三、综合提高题
1.计算
1
（1）（9 ）2（2）-（ 3 ）2（3）（2 6 ）2
2
（4）（-3 3 ）2 (5) (2 3 + 3 2)(2 3 -3 2)
2.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
1
（1）5 （2）3.4 （3）6 （4）x（x≥0）
3. 已知
x - y +1 + x - 3 =0，求 xy 的值．
4. 在实数范围内分解下列因式:
（1）x 2
-2
（2）x 4
-9
3x 2
-5
第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数
三、1．（1）（ 9 ） 2 =9
（2）-（ 3 ） 2 =-3
1 1 3
2 2
（3）（ 2 6 ） 2 = 4 ×6= 2 （4）（-3 3 ） 2 =9×
3 =6 (5)-6
2．（1）5=（ 5 ） 2 （2）3.4=（ 3.4 ） 2
1
1 （3） 6 =（ 6 ） 2
（4）x=（ x ） 2 （x≥0）
⎧x - y +1 = 0 ⎧x = 3 ⎨x - 3 = 0 ⎨
y = 4 y 4 3． ⎩ ⎩ x =3 =81
4.（1）x 2 -2=（x+ 2 ）（x- 2 ）
4
2 2 2
3 3
（2）x -9=（x +3）（x -3）=（x +3）（x+ ）（x- ）
(3)略
小结 本节课应掌握：
1． a （a≥0）是一个非负数；
2．（ a ） 2 =a （a≥0）;反之:a=（ a ） 2
（a≥0）．
板书设计
16.1．2 二次根式
a 2 = a
化简
例题
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
第十六章二次根式 教材简析 本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值． 教学指导 【本章重点】 二次根式的性质和运算． 【本章难点】 灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算． 【本章思想方法】 1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则． 2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论． 3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值． 课时计划 16.1二次根式2课时 16.2二次根式的乘除2课时 16.3二次根式的加减2课时
16.1二次根式 第1课时二次根式的概念 教学目标 一、基本目标 【知识与技能】 理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围． 【过程与方法】 经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力． 【情感态度与价值观】 经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的概念，二次根式有意义的条件． 【教学难点】 求二次根式中字母的取值范围． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 3．下列式子中，不是二次根式的是(B) A．45B．－3 C．a2＋3D．2 3 环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)
16.1二次根式 第2课时 教学目标 【知识与技能】 ≥0）与（a ≥0），并 理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a （a 利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 教学重难点 【教学重点】 2 =a （a ≥0）（a ≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索 2 =a （a ≥0（a ≥0）的结论. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入,初步认识 试一试：请根据算术平方根填空， 猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出 2 （a ≥0）的结论是什么？说说你的 理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力. 二、思考探究，获取新知 在学生相互交流的基础上可归纳出： 2 =a （a ≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题.
探究 （1）填空： （2）通过（1a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. （a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式： 用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.） 三、典例精析，掌握新知 例1 计算： （1）2；（2）（ 2
16.1(2)二次根式 【教学目标】 重点: 二次根式乘除法的性质. 难点: 体会运用性质化简二次根式的方法. 【教学流程】 流程意图说明 1. 复习字母的取值范围及计算. 2.自我探求实数运算的二次根式的性质3、4. 3.二次根式乘除法的性质应用:化简二次根式. 4.归纳小结，理清概念，掌握方法. 5.了解学生学习的效果，检验目标的适切性. 【学习导航】 一.学习准备 1.（1）二次根式x 21-中的字母x 的取值范围是____； （2）二次根式3 21 +x 中字母x 的取值范围是____. 2.（口答）计算： （1）2 )3 2( =____； （2）()2 9=_____； （3）2 )5 25 (-=___;
(4)()2 9 - =_____； （5） 16=_______； （6）2)5(-=______. 二1..观察讨论: 在实数运算中我们由 9494?=?；5454?=?； 16 9169=；2 323 = 得出两个等式： =ab （ ） =b a （ ） 这两个等式也作为二次根式的两个性质,分别为二次根式的性质3和性质4. 2.探究:18与23相等吗？为什么？ 18=___________=_____________ 2623与相等吗？为什么？ ._________________2 3 == 还有其他方法吗? 3.一般地，设0,0≥≥b a ，那么a b ab =2 .如果二次根式的被开方数是几个因式的乘积,其中有的因式是_____________式,那么这样的因式可以用它的______平方根代替后移到根号外面. 类似地，设0,0?≥b a ，那么 b ab b ab b a ==2 .如果二次根式中被开方数是分式(或分数),那么可以化去分母.方法是将分子和分母同乘一个不等于零的代数式,使分母变为___________式,再将 分母用它的__________4.把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 5.通常把形如m )0(≥a a 的式子也叫做二次根式.如312,3,22+-b a 等也是二次根式. 6.思考,如果. 0,0 b a ≥a b ab =2还成立吗?. 7.本章所给出的二次根式中所含字母的取值,都能确保二次根式有意义. 三.二次根式性质的应用: 1. 例题1 化简二次根式：化简下列各式：
教学内容 16.1.2 二次根式 课标对本节课的教学要 求 理解 a （a ≥0）是一个非负数和（ a ） 2 =a （a ≥0），并利用它们进 行计算和化简． 教学目标 理解 a （a ≥0）是一个非负数和（ a ） 2 =a （a ≥0），并利用它们进 行计算和化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个 非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ a ） 2 =a （a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重点、 难点 1. 重点： a （a≥0）是一个非负数；（ a ） 2 =a （a≥0）及其运用． 2. 难点、关键：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；• 用探究的方法导出（ a ） 2 =a （a≥0）． 教学准备 教科书、课件 教学时间 1 课时 教学过程 第（1）课时 教学环节 教师活动预设 学生活动预设 设计 意图 备注 口答： 情境导入 老师点评 1. 什么叫二次根式？ 2. 当a≥0 时， a 叫什 么？当 a<0 时， a 有意义吗？ 复习二次 根式 定义 新课讲授 议一议：（学生分组讨论， 提问解答） a （a≥0）是一个什 么数呢？ a （a≥0）是一个 非负数． 老师点评：根据学生讨 由特 论和上面的练习，我们 殊到 可以得出 一般
老师点评： 4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的非负数，因此有（ 4 ）2=4． 例 1 计算 3 1．（ 2 ）2； 2．（3 5 ）2； 5 3．（ 6 ）2； 做一做：根据算术平方 根的意义填空： （4 ）2=； （2 ）2=； （9 ）2=； （3 ）2=； 1 （ 3 ）2=； 7 （ 2 ）2=； （0 ）2=． 同理可得：（ 2 ）2=2，（ 9 ）2=9，（ 3 ）2=3，（ 1 1 3 ）2= 3 ， 7 7 （2 ）2= 2 ， （0 ）2=0，所以 （a ）2=a（a≥0） 3 3 解：（2）2=2 ，（3 5 ） 2=32•（5 ）2 =32•5=45， 5 5 7 （ 6 ）2= 6 ，（ 2 ）2= ( 7 )2 7 22 4 ． 的推 理，使 学生 更容 易认 同得 出的 公式 （ a ）2 =a （a≥ 0） 巩固 新知 应用 拓展
16．1 二次根式 [学习目标] 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目． 教学重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念 教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题． 教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法: 学法：1、类比的方法、2、阅读的方法、3、分组讨论法4、练习法 [学习过程] 一、板书课题 （一）讲述：同学们，我们来学习 16．1 二次根式 二、出示目标 （一）过渡语：要达到什么教学目标呢？请看投影： （二）屏幕显示 学习目标 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目． 三、指导自学 （一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学. （二）出示自学自导 自学指导 认真看课本P2全部内容： 1.思考“思考1、2”中的问题，完成思考1中的问题，理解二次根式的概念及二次根式有无意义的条件。 2.注意例题1的格式和步骤。 3.讨论回答思考2中的问题。. 如有疑问，可请教同桌或举手问老师. 5分钟后，比谁能做对与例题类似的题. 四、先学 （一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难. （二）过渡语：同学们，看完的请举手？懂了的请举手？好，下面就比一比，看谁能正确做出检测题. （三）检测 : P.3 练习1、2题。 学生练习，教师巡视。（收集错误进行二次备课） 五、后教 教师引导学生评议、订正。
归纳小结： 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 五、当堂训练： 一、选择题 1．下列各式中①；②；③；④；⑤； ⑥一定是二次根式的有（）个。 A . 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若，则b的值为（） A．0 B．0或1 C．b≤3 D．b≥3 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A .5 B C D．以上皆不对 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．若+有意义，则=_______． 2.使式子有意义的未知数x有（）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？ 4. 已知y=++5，求的值． 教学反思： 16.1 二次根式(2) [学习目标] 理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．教学重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用． 教学难点：导出（a≥0）是一个非负数；?用探究（）2=a（a≥0）．
第十六章二次根式 课题：16。1二次根式课型:新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道(≥0）是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算, 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究和所含运算、运算顺序、运算结果分析，归 纳并掌握性质 教学重点: 1.有意义的条件. 2.≥0时≥0的应用. 3。和的运算、化简 教学难点: 当<0时的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： ,,， 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法。 活动4、思考下列问题： ①的运算结果是3，是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加≥0？若a〈0，表示什么?有无意义？ ③当a=0时，表示什么?结果是什么？当a>0时，表示什么？可不可能为负数？(≥0）是什么样的数呢？ 例1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义?在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？ ，， 练习：1、课本思考2：当x是怎样的实数时，，有意义？ 1、若，则x和m的取值范围是x_____；m______. 2、已知，求的值各是多少？ (二)两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方,结果不变。 练习:课本例2
活动7、完成课本探究2 活动8、对中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先平方再开方，结果不变;一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习: 1、化简：，； 2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，则式子-与式子有什么关系? 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、成立的条件是_______. 2、成立的条件是_______。 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”。 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题,供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思 教学课题：16.2二次根式的乘除（第1课时)教学课型：新授课 教学目标： 1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算 2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双 向性得到积的算术平方根性质。 3。通过例题分析和学生练习，达成目标1,2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步,之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法 教学重点：双向运用(≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算 教学难点:被开方数的最优分解因数或因式的方法 教学过程 一、复习引入:上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法 运算 二、探究新知 （一)二次根式乘法法则
八年级下册数学 第十六章 二次根式 16．1 二次根式（1）（第一课时） 教学目的： 1、了解二次根式的概念； 2、了解二次根式的基本性质； 3、通过二次根式原概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。 重点：二次根式的概念和基本性质 难点：二次根式的基本性质的灵活运用。 教学过程： 例1．（1）当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？ （2）当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？ （3）当x 是怎样的实数时，3x 在实数范围内有意义？ 归纳总结：n x ：当n 为奇数时，x ≥0时n x 有意义 当n 为偶数时，x 为任意实数时n x 都有意义 1. 求下列二次根式中字母k 的取值范围: 1k 2 31k 2 4 2 2. 当x 分别取下列值时,1 x 的值: 10x ; 21x ; 31x . 检测：求二次根式中x 的取值范围： （1） 4-x （2）12 +x （3）25+x （4）x x -42 附加题：（5）2 2x x - （6）42 -x （7）42+-x x 教学目的： 1、理解二次根式的性质： （1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2 =a （a ≥0）；（3）2a =a （a ≥0） 2、会运用其进行相关计算。 重点：会运用a （a ≥0）是非负数、（a ）2 =a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）进行相关运算。 难点：理解a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）。