对于积分中值定理的一点思考
摘要
积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数
学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间
),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用.
关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限
一 引言
推广的积分第一中值定理：
若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得
??=b
a
b
a
x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1）
推广的积分中值定理可改进如下：
定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在)
,(b a 上至少存在一点ξ使得??=b
a
b
a
x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。
对其证明如下：
因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2
1
2
1
],,[,<∈，使m f x =)(1
，M f x =)(2
，
又因为
)(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则?≥b
a
dx x g 0)(，
且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在]
,[b a 也可积，从而有 ???≤≤
b
a
b
a
b
a
dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2）
（1） 当
?=b a
dx x g 0)(时，有?=b a
dx x g m 0)(以及?=b
a
dx x g M 0)(，由（2）得
?=b
a
dx x g x f 0)()(，因此对),(b a ∈?ξ，有dx x g f dx x g x f b
a
b a ??=)()()()(ξ 。
（2） 当?>b a
dx x g 0)(时，由（2）得 M dx x g dx x g x f m b
a
b a
≤≤
??)(/)()(
若M dx x g dx x g x f m b
a
b a
<<
??)(/)()(，则)()(/)()()(2
1
x x f dx x g dx x g x f f b
a
b a
<
由于)(x f 在],[b a 上连续，故由介值定理知，存在ξ位于
x 1和x
2
之间，使
dx x g dx x g x f b
a
b
a
??=)(/)()()(f ξ，即dx x g dx x g x f b a
b
a
??=)()(f )()(ξ
再考虑到],[),(
21
b a x x ?，则命题成立。
若
)()(/)()(2
x f M dx x g dx x g x f b
a
b
a
==?? （3）
当
),(2
b a x ∈时，取x 2=ξ，则??=b
a
b
a dx x g x f dx x g )()()()(f ξ，命题成立；当a x
=2
或
b x
=2
时，可以证明存在),(b a ∈ξ，使M f =)(ξ。事实上，假设),(b a x ∈?，都有
M x f <)(，取充分小的0>ξ，使ξξ-<+b a ，令M *
为)(x f 在],[ξξ-+b a 上的最
大值，则
M M
<*
，所以
?
?
??+-+
-
+
+
=
b
a
a a
b a b
b dx
x g x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f ξ
ξ
ξ
ξ)()()()()()()()(
?
???+-
-+
<++≤ξ
ξξ
ξa a
b
b b
a
b a dx x g M dx x g M dx x g dx x g M
M
)()()()(*
故
M dx x g dx x g x f b
a
b
a
从而
dx x g dx x g x f b
a
b
??=)()(f )()(a
ξ
同理可证，当
m d x g dx x g x f b
a
b
a
=??x )(/)()(时，必有),(b a ∈ξ，使
dx x g dx x g x f b
a
b ??=)()(f )()(a
ξ
所以定理得证。
b a dx x g f dx x g x f b
a
b
a
≤≤=??ξξ,)()()()(
推论 1：若)(x f 在区间],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ使
b a a b f dx x f b
a
≤≤-=?ξξ),()()(
定理2：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)在[a, b]上可积且不变号，
则在),(b a 上至少存在一点ξ使得
??=b
a
b
a
x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。
证明：不妨假定g(x)在[a,b]上连续，故存在M x f m m M ≤≤)(,使,
若?
=b
a
dx x g 0)(，则可在),(b a 内任取一点c 使
??=b a
b
a
dx x g c f dx x g x f )()()()(。
若?>b
a
dx x g 0)(，则?
?
?
≤≤b a
b
a
b a
dx x g M x d x g x f dx x g m )()()()()(，
即有M dx
x g dx
x g x f m b
a
b
a
≤≤
??)()()(。
若上式没有一个等号成立，则有M dx
x g dx
x g x f m b
a
b
a
<<
??)()()( （1）
设)(x f 分别在
x 1
和x
2
取得最小值与最大值，即m f x =)(
1
，M f x =)(2
，不妨设
x
x 2
1
<，则],[],[
2
1
b a x x ?，由（1）可知，??=
b
a
b
a
dx
x g dx
x g x f )()()(μ介于M m 与之间。
由连续函数的介值性定理可知，存在),(
2
1
x x c ∈，使μ=)(c f ，
即
??=b
a
b
a
dx x g c f dx x g x f )()()()(。显然),(b a c ∈，故结论成立。
若（1）中至少有一个等号成立，不妨设右边等号成立，则有?
=-b
a
dx x g x f M 0)()]([。
由于)(x g 在],[b a 上可积，故它在],[b a 上的Darboux 下和x m i
n
i i
g T s ?=
∑=1
),(
当0)(→T λ时趋于?
b
a
dx x g )(，即?∑=?=→b
a
i
n
i i
o
T dx x g x m )(lim
1
)(λ。前面已设
?>b
a
dx x g 0)(，故存在分割T ，只要0)(→T λ，就有0),(1
>?=∑=x m i
n
i i g T s 。
由于0)(≥x g ，故
0≥m i
。而在],[1
x x i
i -上，m i
x g ≥)(又知M x f ≤)( ]),[(b a x ∈，
故???=-≤-≤-≤--b a i dx x g x f M x x dx x g x f M x x dx x f M i
i i i m 0)()]([)()]([)]([01
1
因此0)]([1
=-?-dx x x x f M i
i m i ，其中m i x f M )]([-在],[1x x i i -上非负且连续，
故必有],[,0)]
([1
x x m i
i i
x x f M -∈≡-，而在],[1
x x i
i -上
]),[()(01
x x m i
i i
x M x f -∈≡?>。因此对)
,(1
x x i
i -内任意一点c ，都有
M x f =)(，从而??=b
a
b
a
x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （a<ξ
积分中值定理及其推广的应用：
积分中值定理的重要作用是证明微积分基本定理，从而为建立定积分与不定积分之间的联系以及快捷地计算定积分奠定了基础。由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理。
1.具有某些性质的点的存在问题
我们仔细观察被积函数所具有的性质，注意利用微分中值定理、积分中值定理等从而达到有关问题的证明。
例1 设函数)(x f 在],0[π上连续，且
?=π
0)(dx x f ，?=π
0cos )(xdx x f 试证：在),0(π内
至少存在两个不同的点ξ1
，ξ
2
使0)()(
2
1
==ξ
ξf f
证明：
若0)(≡x f ，],0[π∈x 结论显然成立。
假使)(x f 不恒等于0 由推广的积分中值定理的改进定理的推论可知，存在
),0(1
πξ
∈，
使
0)0()()(0
1
=-=?ππ
ξf dx x f 即 0)(1
=ξf
若在),0(π内0)(=x f 只有一个实根
ξ
1
，由
?=π
0)(dx x f 可知，)(x f 在),0(1
ξ与
),(1πξ内异号，不妨设在),0(1ξ内0)(>x f ，在),(1
πξ内0)( dx x x f dx x f xdx x f ???-= -π π πξξ 1 1 )cos )(cos (cos )(cos )( 0)cos )(cos ()cos )(cos (1 1 1 1 >-+-= ??dx x x f dx x x f ξ ξ π ξξ 与 ?=π 0cos )(xdx x f ，?=π 0)(dx x f 矛盾，于是除ξ 1 外，在),0(π内0)(≡x f 至少还有一 个实根 ξ 2 ，故至少存在两个相异的实根 ξ1 ，),,0(2 πξ ∈使0)()(2 1 ==ξξf f 2.证明积分不等式 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式，当积分区间相同时，先合并统一积分区间 上的不同积分，根据被积函数所满足的条件，灵活运用积分中值定理，以达到证明不等式成立的目的。 例1 假设)(x f 为],[b a 上的连续、非负、严格单调减函数，证明 ?? > b a a dx x f b a dx x f )()(0 证明：由定理1可以得到 ) ()()(10 a af af dx x f a >=? ξ )0(1a <<ξ )()()()()(2 a f a b f a b dx x f b a -<-=? ξ )(2b a <<ξ 由以上两个不等式可以得到 ??->>b a a dx x f a b a f dx x f a )(1)()(10 ??>-b a a x f dx x f a b ) ()()1(0 两边乘以b a 得 ??>-b a a dx x f b a dx x f b a )()()1(0 因为 1 0<< b a 所以11<-b a ，又由于 )(x f 在[]1,0上的连续，非负 所以 )(0>? a dx x f 所以 ?? > b a a dx x f b a dx x f )()(0 例3 设)(x f 在]1,0[上连续，且单调不减，试证：对)1,0(∈?a ，有 ??≤-1 )()()1(a a dx x f a dx x f a 证明：根据积分中值定理有 )()1()()1(1 ξf a a dx x f a a -=-? )0(1a ≤≤ξ )()1()(2 1 ξf a a dx x f a a -=? )1(2≤≤ξa 由于)(x f 在]1,0[上单调不减，所以 )()( 2 1 ξ ξf f ≤ 又因为0)1(>-a a ，则：)()1()( )1(2 1 ξ ξf a a f a a -≤- 即 ? ?≤-1 )()()1(a a dx x f a dx x f a 3．与收敛有关的问题 例1 设函数)(x f 在),0[+∞为连续的，0>?c ，有 dx x x f c ? +∞ ) (收敛。 证明 dx x bx f ax f c ? +∞ -) ()(收敛且其值，)0,0(>>b a 证明：因为0>?c ， dx x x f c ? +∞ )(收敛，所以0>?δ有dx x bx f ax f I ?+∞ -=δ δ) ()( dx x x f dx x x f dx x x f dx x bx f dx x ax f b a b a ?????=-=-= +∞ +∞ +∞ +∞ δ δ δδδ δ ) ()()()() ( 由积分中值定理，存在 之间与介于δδξ δ b a ，使a b f x dx f b a I ln )()( ξξδδ δ δ δ==? ，又因为)(x f 在),0[+∞连续， 从而有 a b f dx x bx f ax f I ln )0(0lim )()(0 ==-? +∞ →+δδ 。 4求含有定积分的极限 例1 求证：01lim 10 =+?∞ →dx x x n n 证明：令x x f += 11 )( ，x n x g =)(，显然在[0，1]满足是推广的积分第一中值定理条件。 于是 1 1.11]11[1111 10|1 011 1 ++=++=+= +≤+??n n dx dx x x x x n n n ξξξ ，]1,0[∈ξ 当 ∞→n 时， 01 1 .11→++n ξ 故 01lim 1 =+?∞ →dx x x n n 例2求 dx x x p n n n ? +∞ →sin lim (p>0) 分析与证明：此被积函数的原函数不能用初等函数表示。令x x f sin )(=，x x g 1)(= ， 显然在],[p n n +上满足推广的积分第一中值定理的条件，于是),(p n n +∈?ξ，使 n p n x dx dx x x p n n p n n +==? ? ++ln sin sin sin ξξ当∞→n 时，0ln →+n p n ，而 1|sin |≤ξ 故 dx n x p n n n ? +∞ →sin lim 0)ln (sin lim =+?=∞→n p n n ξ 。 解此类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，ξ不仅依赖于积分区间，还可能依赖于极限式中自变量n 的趋近方式。 5．积分中值定理在估计值中的应用 例1 估计 dx x e x ?+-100 100的值 解：（法一）令e x x f -= )(，100 1 )(+= x x g 显然)(x f 和)(x g 满足推广的积分第一中值 定理的条件，于是 dx x e x ?+-100 100 =? +-100 100 x dx e ξ ，)100,0(∈ξ 而 2ln 100ln 200ln 1001 100 =-=+?dx x 故 2ln 2ln 100 100 <=+--?e e dx x x ξ （法二）令e x x f -= )(，100 1 )(+= x x g 显然)(x f 和)(x g 满足定理的条件，于是 1.0)1(100 1)1001100100 100 100 0100 01(1001<-< =+=+-----+??e e e e dx dx x x x ξξ)100,0(∈ξ 6 证明函数的单调性 例1设)(x f 在),[+∞a 上连续且为(严格)单调减函数，试证明?-=x a dt t f a x x F )(1 )( 在),(+∞a 内是严格单调减函数。 证明 当x > a 时有 ?---=x a dt t f x f a x x a x F )(1)(1)()(2' 对)(t f 在],[x a 上应用推广积分中值定理的改进定理，则至少存在一点),(x a ∈ξ，使得 )()()(a x f dt t f x a -=? ξ，从而 0) ()()(1)(1)(' <--=---= a x f x f f a x x f a x x F ξξ x a <<ξ 从而)(x F 在),(+∞a 内是严格单调减函数． 例 2 设函数)(x f 在),0(+∞上连续，dt t f t x x F x )()2()(0 ? -=，试证：在),0(+∞内，若 )(x f 为非减函数，则)(x F 为非减函数。 证明：?? ?-=-=x x x dt t tf dt t f x dt t f t x x F 0 )(2)()()2()( ，对此式求导得： ??-=-+=x x x xf dt t f x xf x xf dt t f x F 0 ' )()()(2)()()( 利用积分中值定理得： )]()([)()()(' x f f x x xf xf x F -=-=ξξ，)0(x ≤≤ξ 若)(x f 为非减函数，则0)()(≤-x f f ξ 所以 0)(' ≤x F ，故F(x)为非增函数。 综上所述：积分中值定理在应用中所起的重要作用是可以使积分号去掉，从而使问题简化。 因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号。在使用该定理时，常与微分中值定理或定积分的其它一些性质结合使用，使所求问题迎刃而解。 参考文献 1刘玉涟等 数学分析讲义 高等教育出版社 2004 2数学分析上册华东师范大学数学系编高等教育出版社 2001.6 3 裴礼文数学分析中的典型问题与方法高等教育出版社 2001. 4[苏]C.M.尼柯尔斯基，数学分析教程，第一卷第二分册，高等教育出版社 1983 5 数学分析的概念与方法上海科学文献出版社 1989 6 高等数学典型题精讲大连理工大学出版社 2001 Abstract 积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月 国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月 摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用 ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications. 第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? 其中()lim ()x a p a p x + +→=【右极限】，()lim ()x b p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则 ()()d () ()d b b a c p x f x x p b f x x - =? ? ()a c b ≤≤ 证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中， ①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由 ()()d () ()d b b a c q x f x x q b f x x - =? ? 即 [()()]()d [()()]()d b b a c p x p a f x x p b p a f x x + - + -=-?? ，可得一般情形 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? ②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<< <<<<<= 而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使 1 1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-? 【第一积分中值定理】 于是，1 1() ()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-? ，求和得 1 11 1 ()()d ()()()i i n n x i i i i i x i i p f x x p f x x ξξξ--=== -∑∑? （※） 现在，将左端做变换，即 1 11 1 ()()d ()()d ()d i i i i n n x b b i i x x x i i p f x x p f x x f x x --==?? =-??????∑∑ ? ?? ξξ 1 11 2 () ()d ()()()d i n b b i i a x i p f x x p p f x x ξξξ--=??=+ -??∑? ? 因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和 推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对 第二节 定积分的性质 和基本定理 用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭 示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效 §2.1 一、定积分的基本性质 性质 1 b a 1dx=∫b a dx=b-a 证 0 lim →λ∑=n 1 i f(ξi ）Δx i ＝ lim →λ∑=n 1 i １·Δx i ＝0 lim →λ (b-a)=b-a b a 1dx=∫b a dx=b-a 性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ b a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β ∫b a g(x)dx 证：设F(x)=αf(x)+β g(x), lim →λ∑=n 1 i F(ξi ）Δx i ＝0 lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］ Δx i ＝0 lim →λ［α∑ =n 1 i f(ξi ）Δx i ＋β ∑ =n 1 i g(ξi ）Δ x i ］ ＝αb a f(x)dx+β∫b a g(x)dx αf(x)+βg(x)在［a,b b a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ b a f(x)dx+β ∫b a g(x)dx 特别当α=1,β=± 1 b a ［f(x)±g(x)］dx=∫ b a f(x)dx ±∫ b a g(x)dx 当β =0 b a αf(x)dx=α∫ b a f(x)dx 性质 2 性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意 两点构成的区间上可 目录 摘要................................................................................ I 关键词.............................................................................. I Abstract ........................................................................... II Key words .......................................................................... II 前言.. (1) 1预备知识 (1) 1.1相关定理 (1) 2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2) 2.1 曲线积分中值定理的推广 (2) 2.1.1第一型曲线积分中值定理 (2) 2.1.2第二型曲线积分中值定理 (4) 2.2二重积分中值定理的探究及推广 (5) 2.3曲面积分中值定理的探究及推广 (7) 2.3.1第一型曲面积分中值定理 (7) 2.3.2第二型曲面积分中值定理 (7) 结论 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11) 摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式. 关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理 编号 2010011202 毕业论文（设计） （ 2014 届本科） 论文题目：积分中值定理 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级： 2010级本科（2）班 作者姓名：曹强 指导教师：完巧玲职称：副教授 完成日期： 2014 年 5 月 5 日 目录 诚信声明-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。摘要 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1定积分中值定理及推广 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.1定积分中值定理----------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.2定积分中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.2定积分第一中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.1定积分第一中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.2定积分第一中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------- 3 1.3定积分第二中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.1定积分第二中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.2积分第二中值定理的推广 ---------------------------------------------------------------------------------- 6 1.4 重积分的中值定理 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.1二重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.2三重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5曲线积分中值定理 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.1第一曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.2第二曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.6 曲面积分中值定理 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 1.6.1第一曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 1.6.2第二曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 2中值点的渐进性 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 2.1第一积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 10 2.2第二积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 13 3积分中值定理的应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.1估计积分值------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.2求含定积分的极限 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 3.3确定积分值符号 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15 3.4比较积分大小---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.5证明函数的单调性 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.6证明定理---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 结论 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 参考文献--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 英文摘要-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。致谢 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ． §4定积分的性质 教学目的：熟练掌握定积分性质及积分中值定理。 重点难点：重点为定积分性质及第一中值定理,难点为推广的积分第一中值定理。 教学方法：讲练结合。 一、定积分的基本性质 性质1 若[]b a f ,在上可积，k 为常数，则kf 在[]b a ,上也可积，且 ()()dx x f k dx x kf b a b a ?? = （1） 证 当0=k 时结论显然成立 当0=k 时，由于 ()(),1 1 J x f k kJ x kf i n i i i n i i -??=-?∑∑==ξξ 其中()dx x f J b a ?= ，由[]b a f ,在上可积时，故任给0>ε，存在0>δ，当时δ 《数学分析》自主研究课题： 二、三重积分中值定理的证明和应用 摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。 关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中值定理，二、三重积分中值定理 一、引言 在《数学分析》的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理）及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用. 二、积分第一中值定理（一重积分中值定理） (积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点ε∈[a,b],使得 )()()(a b f dx x f b a -=? ε. ??=D D S f d y x f ),(),(ηεσ和(推广形式的积分第一中值定理)若f 和g 都在[a,b]上连续，且）（x g 在[a,b]上不变号，则至少存在一点b][a,∈ε，使得 ? ?=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ε （明显当1g ≡） （x 时，即为积分第一中值定理） 三、推导二、三重积分中值定理及证明 由积分第一中值定理我们类似的推导出 二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存 在D ∈） ηε,(，使得 ??=D D S f d y x f ),(),(ηεσ, 这里S D 是区域D 的面积. 证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，S D 为这个区域的面积.存在最大值M 和最小值m ，得 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 使用积分不等式性质得 mS D ≤??D d y x f σ),(≤MS D , 即 m ≤ ??D D d y x f S σ),(1 ≤M. 再由连续函数的介值性，至少存在一点D ∈） ηε,(,使 ??= D D d y x f S f ,),(1 ),(σηε 即 对于积分中值定理的一点思考 摘要 积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数 学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间 ),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用. 关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言 推广的积分第一中值定理： 若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得 ??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1） 推广的积分中值定理可改进如下： 定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在) ,(b a 上至少存在一点ξ使得??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。 对其证明如下： 因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2 1 2 1 ],,[,<∈，使m f x =)(1 ，M f x =)(2 ， 又因为 )(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则?≥b a dx x g 0)(， 且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在] ,[b a 也可积，从而有 ???≤≤ b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2） 积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月 国内图书分类号：O172.2 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月 摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用 ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the calculus.Many questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about median.It is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of teaching.This article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications. 积分中值定理（开区间）的几种证明方法 定理：设f 在[,]a b 上连续，则(,)a b ξ?∈，使得 ()()()b a f x dx f b a ξ=-?。 [证一]：由积分第一中值定理（P217）， [,]a b ξ?∈， 使得 ()()()b a f x dx f b a ξ=-?。 于是 [()()]0.b a f x f dx ξ-=? 由于函数()()()F x f x f ξ=-在[,]a b 上连续，易证（可反证）： (这还是书上例2的结论) (,)a b η?∈，使得()()()0F f f ηηξ=-=，即()()f f ηξ=。 [证二]：令()()x a F x f t dt =?，则()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故 (,)a b ξ?∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-，即结论成立。 （注：书上在后面讲的微积分基本定理） [证三]：反证：假设不(,)a b ξ?∈，使得 ()()()b a f x dx f b a ξ=-?，由积分第一中值定理， 知ξ只能为a 或b ，不妨设为b ，即 1(,),()()()b a x a b f x f b f x dx b a ?∈≠=-?。 由于f 连续，故(,),x a b ?∈ ()()f x f b >（或()()f x f b <）， （这一点是不是用介值定理来说明） 这样 （上限x 改为b ）()()()().x b a a f x dx f b dx f b b a >=-?? （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明） 矛盾。 [证四]：设f 在[,]a b 上的最大值为M ，最小值为m 。若m M =，则f c ≡，ξ可任取。 若m M <，则1[,]x a b ?∈，有1()0M f x ->，故 [()]0b a M f x dx ->?，即 ()().b a f x d x M b a <-? 第一章 积分中值定理 一、本章有一个按序排列而成的定理系列，即罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它们都拥有一个“微分中值点ξ”，故有时也将其统称为微分中值定理，该定理系列在微分学的理论中起着极为重要的作用，故需要大家学习时要格外重视。在应用这些定理时，要特别注意“点ξ”，定理只告诉了我们//的存在性，并未指出它的确切位置（实际上，许多情况下我们并不需要知道它的确切位置，只要知道//存在就足够了），若忽视了这一点，在作题的过程中就容易出错或无法达到目的。如设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内有二阶导数，证明存在//，使得 )(4 )()()2(2)(2 ξf a b a f b a f b f ''-=++-。 分析：根据给出的条件以及要证明的表达式，我们往往联想采用如下的方法 )()2 ( 2)(a f b a f b f ++- )]()2 ([)]2()([a f b a f b a f b f -+-+-= （*） )]()([2 21ξξf f a b '-'-= )()(2 21ξξξf a b ''--= （1212,2ξξξξξ<<<<+<
积分中值定理的推广与应用
第二积分中值定理
推广的积分中值定理及其应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
定积分的性质和基本定理
二元函数的积分中值定理的探究
积分中值定理
微分与积分中值定理及其应用
(整理)4定积分的性质.
二、三重积分中值定理的证明与应用
对积分中值定理的一点思考
积分中值定理的推广与应用
积分中值定理(开区间)证明的几种方法
积分中值定理
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