2019年中考数学三模试卷
一.选择题(每小题3分,满分30分)
1.方程(x﹣5)(x﹣6)=x﹣5 的解是()
A.x=5 B.x=5 或x=6
C.x=7 D.x=5 或x=7
2.若=,则的值是()
A.B.C.D.
3.⊙O的半径为6,点P在⊙O内,则OP的长可能是()
A.5 B.6 C.7 D.8
4.如图,⊙A,⊙B,⊙C的半径都是2cm,则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是()
A.2πB.πC.D.6π
5.以2和4为根的一元二次方程是()
A.x2+6x+8=0 B.x2﹣6x+8=0 C.x2+6x﹣8=0 D.x2﹣6x﹣8=0 6.如图,P为⊙O外一点,P A、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交P A、PB于点C、D,若P A=5,则△PCD的周长为()
A.5 B.7 C.8 D.10
7.如图,△OAB∽△OCD,OA:OC=3:2,∠A=α,∠C=β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是()
A.B.C.D.
8.如图,⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于()
A.30°B.35°C.40°D.50°
9.如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(﹣1,0)、(3,0)两点,则下列判断中,错误的是()
A.图象的对称轴是直线x=1
B.当x>1时,y随x的增大而减小
C.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1和3
D.当﹣1<x<3时,y<0
10.如图,以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD,其中∠ACB=90°.连接CD,当CD的长度最大时,此时∠CAB的大小是()
A.75°B.45°C.30°D.15°
二.填空题(满分16分,每小题2分)
11.若关于x的方程是一元二次方程,则a的值是.12.已知四条线段a,2,6,a+1成比例,则a的值为.
13.如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且P A>PB,若S1表示P A为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1S2.(填“>”“=”或“<”)
14.已知关于x的函数y=(m﹣1)x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点,则m=.15.如图,AB是⊙O的直径,点D、E是半圆的三等分点,AE、BD的延长线交于点C,若CE=2,则图中阴影部分的面积为.
16.如图,已知A(3,0),B(2,3),将△OAB以点O为位似中心,相似比为2:1,放大得到△OA′B′,则顶点B的对应点B′的坐标为.
17.边长为4的正六边形内接于⊙M,则⊙M的半径是.
18.如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O、A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于.
三.解答题
19.(8分)解方程
(1)(2x+3)2﹣81=0;(2)y2﹣7y+6=0.
20.(8分)已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根,求此时m的值.
21.(6分)已知△ABC,
(1)用无刻度的直尺和圆规作△ABD,使∠ADB=∠ACB.且△ABD的面积为△ABC面积的一半,只需要画出一个△ABD即可(作图不必写作法,但要保留作图痕迹)
(2)在△ABC中,若∠ACB=45°,AB=4,则△ABC面积的最大值是
22.(8分)如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点D垂直于AB的直线交BC于E,交AC延长线于F.
求证:(1)△ADF∽△EDB;
(2)CD2=DE?DF.
23.(6分)数学兴趣小组的同学们,想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度:下午活动时间,兴趣小组的同学们来到操场,发现旗杆的影子有一部分落在了墙上(如图所示).同学们按照以下步骤进行测量:测得小明的身高1.65米,此时其影长为2.5米;
在同一时刻测量旗杆影子落在地面上的影长BC为9米,留在墙上的影高CD为2米,请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度.
24.(8分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,AD、BC的延长线交于点F,点E在CF上,且∠DEC=∠BAC,
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)当AB=AC时,若CE=2,EF=3,求⊙O的半径.
25.(6分)某农户承包荒山种植某产品种蜜柚.已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?
26.(10分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),则当售价x定为多少元时,厂商每天能获得最大利润?最大利润是多少?
(3)如果超市要获得每天不低于1350元的利润,且符合超市自己的规定,那么该商品每千克售价的取值范围是多少?请说明理由.
27.(12分)如图,已知AB是圆O的直径,F是圆O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,CE=2,
①求的值;
②若点G为AE上一点,求OG+EG最小值.
28.(12分)如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为
(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角
三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
一.选择题
1.解:方程移项得:(x﹣5)(x﹣6)﹣(x﹣5)=0,分解因式得:(x﹣5)(x﹣7)=0,
解得:x=5或x=7,
故选:D.
2.解:∵=,
∴m=n,
∴==.
故选:A.
3.解:∵⊙O的半径为6,点P在⊙O内,
∴OP<6.
故选:A.
4.解:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴阴影部分的面积==2π.
故选:A.
5.解:以2和4为根的一元二次方程是x2﹣6x+8=0,故选:B.
6.解:∵P A、PB为圆的两条相交切线,
∴P A=PB,
同理可得:CA=CE,DE=DB.
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD,
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=P A+PB=2P A,
∴△PCD的周长=10,
故选:D.
7.解:∵△OAB∽△OCD,OA:OC=3:2,∠A=α,∠C=β,
∴,A错误;
∴,C错误;
∴,D正确;
不能得出,B错误;
故选:D.
8.解:∵∠APD是△APC的外角,
∴∠APD=∠C+∠A;
∵∠A=30°,∠APD=70°,
∴∠C=∠APD﹣∠A=40°;
∴∠B=∠C=40°;
故选:C.
9.解:A、对称轴为直线x==1,正确,故本选项错误;
B、当x>1时,y随x的增大而减小,正确,故本选项错误;
C、一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1和3正确,故本选项错误;
D、应为当﹣1<x<3时,y>0,故本选项正确.
故选:D.
10.解:如图所示:
∵AB长一定,
∴只有C点距离AB距离最大,则CD的长度最大,
∴只有C点在C′位置,即C′在半圆的中点时,此时当CD的长度最大,故此时AC′=BC′,
∴∠C′AB的大小是45°.
故选:B.
二.填空题
11.解:根据题意得:,
解得:a=﹣1.
故答案是:﹣1.
12.解:∵四条线段a,2,6,a+1成比例,
∴,
解得:a1=3,a2=﹣4(舍去),
所以a=3,
故答案为:3
13.解:∵P是线段AB的黄金分割点,且P A>PB,
∴P A2=PB?AB,
又∵S1表示P A为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,∴S1=P A2,S2=PB?AB,
∴S1=S2.
故答案为:=.
14.解:(1)当m﹣1=0时,m=1,函数为一次函数,解析式为y=2x+1,与x轴交点坐
标为(﹣,0);与y轴交点坐标(0,1).符合题意.
(2)当m﹣1≠0时,m≠1,函数为二次函数,与坐标轴有两个交点,则过原点,且与x 轴有两个不同的交点,
于是△=4﹣4(m﹣1)m>0,
解得,(m﹣)2<,
解得m<或m>.
将(0,0)代入解析式得,m=0,符合题意.
(3)函数为二次函数时,还有一种情况是:与x 轴只有一个交点,与Y 轴交于交于另一点,
这时:△=4﹣4(m ﹣1)m =0,
解得:m =
.
故答案为:1或0或
.
15.解:连接OE 、OD ,点D 、E 是半圆的三等分点, ∴∠AOE =∠EOD =∠DOB =60° ∵OA =OE =OD =OB
∴△OAE 、△ODE 、△OBD 、△CDE 都是等边三角形, ∴AB ∥DE ,S △ODE =S △BDE ;
∴图中阴影部分的面积=S 扇形
OAE ﹣S △OAE +S
扇形
ODE =
×2﹣
×22=π﹣
.
故答案为π﹣
.
16.解:∵以原点O 为位似中心,相似比为2:1,将△OAB 放大为△OA ′B ′,B (2,3), 则顶点B 的对应点B ′的坐标为(﹣4,﹣6)或(4,6), 故答案为(﹣4,﹣6)或(4,6). 17.解:正六边形的中心角为360°÷6=60°,
那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形, ∴边长为4的正六边形外接圆半径是4. 故答案为4.
18.解:过B 作BF ⊥OA 于F ,过D 作DE ⊥OA 于E ,过C 作CM ⊥OA 于M , ∵BF ⊥OA ,DE ⊥OA ,CM ⊥OA , ∴BF ∥DE ∥CM , ∵OD =AD =3,DE ⊥OA ,
∴OE=EA=OA=2,
由勾股定理得:DE==,
设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,
∵BF∥DE∥CM,
∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,
∴=,=,
∵AM=PM=(OA﹣OP)=(4﹣2x)=2﹣x,
即=,=,
解得:BF=x,CM=﹣x,
∴BF+CM=.
故答案为:
三.解答题
19.解:(1)(2x+3)2=81,
2x+3=±9,
所以x1=3,x2=﹣6;
(2)(y﹣1)(y﹣6)=0,
y﹣1=0或y﹣6=0,
所以y1=1,y2=6.
20.解:由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根,得△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4k>0,
解得k<4;
(2)由k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2﹣4x+k=0,得x2﹣4x+3=0,
解得x1=1,x2=3,
一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根,
当x=1时,把x=1代入x2+mx﹣1=0,得1+m﹣1=0,解得m=0,
当x=3时,把x=3代入x2+mx﹣1=0,得9+3m﹣1=0,解得m=﹣,
综上所述:如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0
有一个相同的根,.
21.解:(1)如图1所示,∠ABD即为所求.
(2)如图2所示,作以AB为弦,且AB所对圆心角为90°的⊙O,
∵C点轨迹为圆上不与AB重合的任一点,
∴当C在C'位置上时,高最长,
故面积最大,
∵AB=4,
∴AP=BP=OP=2,
则OC=OA=2,
∴PC=2+2,
∴△ABC的面积为?AB?PC=×4×(2+2)=4+4,
故答案为:4+4.
22.证明:(1)在Rt△ABC中,
∠B+∠A=90°
∵DF⊥AB
∴∠BDE=∠ADF=90°
∴∠A+∠F=90°,
∴∠B=∠F,
∴△ADF∽△EDB;
(2)由(1)可知△ADF∽△EDB
∴∠B=∠F,
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线
∴CD=AD=DB,
∴∠DCE=∠B,
∴∠DCE=∠F,
∴△CDE∽△FDC,
∴=,
∴CD2=DF?DE.
23.解:作DH⊥AB于H,如图,
易得四边形BCDH为矩形,
∴BH=CD=2,DH=BC=9,
∵小明的身高1.65米,此时其影长为2.5米,
∴=,
∴AH==5.94,
∴AB=AH+BH=5.94+2=7.94.
答:旗杆的高度为7.94m.
24.解:(1)如图,
连接BD,∵∠BAD=90°,
∴点O必在BD上,即:BD是直径,∴∠BCD=90°,
∴∠DEC+∠CDE=90°,
∵∠DEC=∠BAC,
∴∠BAC+∠CDE=90°,
∵∠BAC=∠BDC,
∴∠BDC+∠CDE=90°,
∴∠BDE=90°,即:BD⊥DE,
∵点D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线;
(2)∵∠BAF=∠BDE=90°,
∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ADB=∠ACB,
∴∠F=∠EDF,
∴DE=EF=3,
∵CE=2,∠BCD=90°,
∴∠DCE=90°,
∴CD==,
∵∠BDE=90°,CD⊥BE,
∴△CDE∽△CBD,
∴=,
∴BD==,
∴⊙O的半径=.
25.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,
将点(10,200),(15,150)代入y=kx+b,得:
,解得:,
∴y=﹣10x+300.
当y=0时,﹣10x+300=0,
解得:x=30.
∴y与x的函数关系式为y=﹣10x+300(8≤x<30).
(2)设每天获得的利润为w元,
根据题意得:w=y(x﹣8)=(﹣10x+300)(x﹣8)=﹣10x2+380x﹣2400=﹣10(x﹣19)2+1210.
∵a=﹣10<0,
∴当x=19时,w取最大值,最大值为1210.
答:当蜜柚定价为19元/千克时,每天获得的利润最大,最大利润是1210元.26.解:(1)设y=kx+b,
将(50,100)、(60,80)代入,得:
,
解得:,
∴y=﹣2x+200 (40≤x≤80);
(2)W=(x﹣40)(﹣2x+200)
=﹣2x2+280x﹣8000
=﹣2(x﹣70)2+1800,
∴当x=70时,W取得最大值为1800,
答:售价为70元时获得最大利润,最大利润是1800元.
(3)当W=1350时,得:﹣2x2+280x﹣8000=1350,
解得:x=55或x=85,
∵该抛物线的开口向下,
所以当55≤x≤85时,W≥1350,
又∵每千克售价不低于成本,且不高于80元,即40≤x≤80,∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x≤80.
27.(1)证明:连接OE
∵OA=OE
∴∠OAE=∠OEA
∵AE平分∠BAF
∴∠OAE=∠EAF
∴∠OEA=∠EAF
∴OE∥AD
∵ED⊥AF
∴∠D=90°
∴∠OED=180°﹣∠D=90°
∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线