2019年中考数学三模试卷

一．选择题（每小题3分，满分30分）

1．方程（x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5 的解是（）

A．x＝5 B．x＝5 或x＝6

C．x＝7 D．x＝5 或x＝7

2．若＝，则的值是（）

A．B．C．D．

3．⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是（）

A．2πB．πC．D．6π

5．以2和4为根的一元二次方程是（）

A．x2+6x+8＝0 B．x2﹣6x+8＝0 C．x2+6x﹣8＝0 D．x2﹣6x﹣8＝0 6．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝5，则△PCD的周长为（）

A．5 B．7 C．8 D．10

7．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

8．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（）

A．30°B．35°C．40°D．50°

9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0）、（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（）

A．图象的对称轴是直线x＝1

B．当x＞1时，y随x的增大而减小

C．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3

D．当﹣1＜x＜3时，y＜0

10．如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB＝90°．连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAB的大小是（）

A．75°B．45°C．30°D．15°

二．填空题（满分16分，每小题2分）

11．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值是．12．已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为．

13．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示P A为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1S2．（填“＞”“＝”或“＜”）

14．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．15．如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为．

16．如图，已知A（3，0），B（2，3），将△OAB以点O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△OA′B′，则顶点B的对应点B′的坐标为．

17．边长为4的正六边形内接于⊙M，则⊙M的半径是．

18．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于．

三．解答题

19．（8分）解方程

（1）（2x+3）2﹣81＝0；（2）y2﹣7y+6＝0．

20．（8分）已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．

21．（6分）已知△ABC，

（1）用无刻度的直尺和圆规作△ABD，使∠ADB＝∠ACB．且△ABD的面积为△ABC面积的一半，只需要画出一个△ABD即可（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在△ABC中，若∠ACB＝45°，AB＝4，则△ABC面积的最大值是

22．（8分）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．

求证：（1）△ADF∽△EDB；

（2）CD2＝DE?DF．

23．（6分）数学兴趣小组的同学们，想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度：下午活动时间，兴趣小组的同学们来到操场，发现旗杆的影子有一部分落在了墙上（如图所示）．同学们按照以下步骤进行测量：测得小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米；

在同一时刻测量旗杆影子落在地面上的影长BC为9米，留在墙上的影高CD为2米，请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度．

24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC，

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）当AB＝AC时，若CE＝2，EF＝3，求⊙O的半径．

25．（6分）某农户承包荒山种植某产品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

26．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．

27．（12分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE＝3，CE＝2，

①求的值；

②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．

28．（12分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为

（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角

三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：方程移项得：（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，

解得：x＝5或x＝7，

故选：D．

2．解：∵＝，

∴m＝n，

∴＝＝．

故选：A．

3．解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，

∴OP＜6．

故选：A．

4．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴阴影部分的面积＝＝2π．

故选：A．

5．解：以2和4为根的一元二次方程是x2﹣6x+8＝0，故选：B．

6．解：∵P A、PB为圆的两条相交切线，

∴P A＝PB，

同理可得：CA＝CE，DE＝DB．

∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，

∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝P A+PB＝2P A，

∴△PCD的周长＝10，

故选：D．

7．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，

∴，A错误；

∴，C错误；

∴，D正确；

不能得出，B错误；

故选：D．

8．解：∵∠APD是△APC的外角，

∴∠APD＝∠C+∠A；

∵∠A＝30°，∠APD＝70°，

∴∠C＝∠APD﹣∠A＝40°；

∴∠B＝∠C＝40°；

故选：C．

9．解：A、对称轴为直线x＝＝1，正确，故本选项错误；

B、当x＞1时，y随x的增大而减小，正确，故本选项错误；

C、一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3正确，故本选项错误；

D、应为当﹣1＜x＜3时，y＞0，故本选项正确．

故选：D．

10．解：如图所示：

∵AB长一定，

∴只有C点距离AB距离最大，则CD的长度最大，

∴只有C点在C′位置，即C′在半圆的中点时，此时当CD的长度最大，故此时AC′＝BC′，

∴∠C′AB的大小是45°．

故选：B．

二．填空题

11．解：根据题意得：，

解得：a＝﹣1．

故答案是：﹣1．

12．解：∵四条线段a，2，6，a+1成比例，

∴，

解得：a1＝3，a2＝﹣4（舍去），

所以a＝3，

故答案为：3

13．解：∵P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，

∴P A2＝PB?AB，

又∵S1表示P A为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1＝P A2，S2＝PB?AB，

∴S1＝S2．

故答案为：＝．

14．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐

标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．

（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，

于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，

解得，（m﹣）2＜，

解得m＜或m＞．

将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．

（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x 轴只有一个交点，与Y 轴交于交于另一点，

这时：△＝4﹣4（m ﹣1）m ＝0，

解得：m ＝

．

故答案为：1或0或

．

15．解：连接OE 、OD ，点D 、E 是半圆的三等分点， ∴∠AOE ＝∠EOD ＝∠DOB ＝60° ∵OA ＝OE ＝OD ＝OB

∴△OAE 、△ODE 、△OBD 、△CDE 都是等边三角形， ∴AB ∥DE ，S △ODE ＝S △BDE ；

∴图中阴影部分的面积＝S 扇形

OAE ﹣S △OAE +S

扇形

ODE ＝

×2﹣

×22＝π﹣

．

故答案为π﹣

．

16．解：∵以原点O 为位似中心，相似比为2：1，将△OAB 放大为△OA ′B ′，B （2，3）， 则顶点B 的对应点B ′的坐标为（﹣4，﹣6）或（4，6）， 故答案为（﹣4，﹣6）或（4，6）． 17．解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，

那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形， ∴边长为4的正六边形外接圆半径是4． 故答案为4．

18．解：过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ， ∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ， ∴BF ∥DE ∥CM ， ∵OD ＝AD ＝3，DE ⊥OA ，

∴OE＝EA＝OA＝2，

由勾股定理得：DE＝＝，

设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，

∵BF∥DE∥CM，

∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，

∴＝，＝，

∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（4﹣2x）＝2﹣x，

即＝，＝，

解得：BF＝x，CM＝﹣x，

∴BF+CM＝．

故答案为：

三．解答题

19．解：（1）（2x+3）2＝81，

2x+3＝±9，

所以x1＝3，x2＝﹣6；

（2）（y﹣1）（y﹣6）＝0，

y﹣1＝0或y﹣6＝0，

所以y1＝1，y2＝6．

20．解：由一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，得△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4k＞0，

解得k＜4；

（2）由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0，得x2﹣4x+3＝0，

解得x1＝1，x2＝3，

一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，

当x＝1时，把x＝1代入x2+mx﹣1＝0，得1+m﹣1＝0，解得m＝0，

当x＝3时，把x＝3代入x2+mx﹣1＝0，得9+3m﹣1＝0，解得m＝﹣，

综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0

有一个相同的根，．

21．解：（1）如图1所示，∠ABD即为所求．

（2）如图2所示，作以AB为弦，且AB所对圆心角为90°的⊙O，

∵C点轨迹为圆上不与AB重合的任一点，

∴当C在C'位置上时，高最长，

故面积最大，

∵AB＝4，

∴AP＝BP＝OP＝2，

则OC＝OA＝2，

∴PC＝2+2，

∴△ABC的面积为?AB?PC＝×4×（2+2）＝4+4，

故答案为：4+4．

22．证明：（1）在Rt△ABC中，

∠B+∠A＝90°

∵DF⊥AB

∴∠BDE＝∠ADF＝90°

∴∠A+∠F＝90°，

∴∠B＝∠F，

∴△ADF∽△EDB；

（2）由（1）可知△ADF∽△EDB

∴∠B＝∠F，

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线

∴CD＝AD＝DB，

∴∠DCE＝∠B，

∴∠DCE＝∠F，

∴△CDE∽△FDC，

∴＝，

∴CD2＝DF?DE．

23．解：作DH⊥AB于H，如图，

易得四边形BCDH为矩形，

∴BH＝CD＝2，DH＝BC＝9，

∵小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米，

∴＝，

∴AH＝＝5.94，

∴AB＝AH+BH＝5.94+2＝7.94．

答：旗杆的高度为7.94m．

24．解：（1）如图，

连接BD，∵∠BAD＝90°，

∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，

∴∠DEC+∠CDE＝90°，

∵∠DEC＝∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE＝90°，

∵∠BAC＝∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE＝90°，

∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，

∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠ADB＝∠ACB，

∴∠F＝∠EDF，

∴DE＝EF＝3，

∵CE＝2，∠BCD＝90°，

∴∠DCE＝90°，

∴CD＝＝，

∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，

∴△CDE∽△CBD，

∴＝，

∴BD＝＝，

∴⊙O的半径＝．

25．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

将点（10，200），（15，150）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴y＝﹣10x+300．

当y＝0时，﹣10x+300＝0，

解得：x＝30．

∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x＜30）．

（2）设每天获得的利润为w元，

根据题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣10x+300）（x﹣8）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210．

∵a＝﹣10＜0，

∴当x＝19时，w取最大值，最大值为1210．

答：当蜜柚定价为19元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润是1210元．26．解：（1）设y＝kx+b，

将（50，100）、（60，80）代入，得：

，

解得：，

∴y＝﹣2x+200 （40≤x≤80）；

（2）W＝（x﹣40）（﹣2x+200）

＝﹣2x2+280x﹣8000

＝﹣2（x﹣70）2+1800，

∴当x＝70时，W取得最大值为1800，

答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．

（3）当W＝1350时，得：﹣2x2+280x﹣8000＝1350，

解得：x＝55或x＝85，

∵该抛物线的开口向下，

所以当55≤x≤85时，W≥1350，

又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x≤80，∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x≤80．

27．（1）证明：连接OE

∵OA＝OE

∴∠OAE＝∠OEA

∵AE平分∠BAF

∴∠OAE＝∠EAF

∴∠OEA＝∠EAF

∴OE∥AD

∵ED⊥AF

∴∠D＝90°

∴∠OED＝180°﹣∠D＝90°

∴OE⊥DE

∴DE是⊙O的切线