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中考数学三模试卷(含答案)

2019年中考数学三模试卷

一.选择题(每小题3分,满分30分)

1.方程(x﹣5)(x﹣6)=x﹣5 的解是()

A.x=5 B.x=5 或x=6

C.x=7 D.x=5 或x=7

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2.若=,则的值是()

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A.B.C.D.

3.⊙O的半径为6,点P在⊙O内,则OP的长可能是()

A.5 B.6 C.7 D.8

4.如图,⊙A,⊙B,⊙C的半径都是2cm,则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是()

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A.2πB.πC.D.6π

5.以2和4为根的一元二次方程是()

A.x2+6x+8=0 B.x2﹣6x+8=0 C.x2+6x﹣8=0 D.x2﹣6x﹣8=0 6.如图,P为⊙O外一点,P A、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交P A、PB于点C、D,若P A=5,则△PCD的周长为()

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A.5 B.7 C.8 D.10

7.如图,△OAB∽△OCD,OA:OC=3:2,∠A=α,∠C=β,△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2,△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是()

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A.B.C.D.

8.如图,⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于()

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A.30°B.35°C.40°D.50°

9.如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(﹣1,0)、(3,0)两点,则下列判断中,错误的是()

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A.图象的对称轴是直线x=1

B.当x>1时,y随x的增大而减小

C.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1和3

D.当﹣1<x<3时,y<0

10.如图,以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD,其中∠ACB=90°.连接CD,当CD的长度最大时,此时∠CAB的大小是()

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A.75°B.45°C.30°D.15°

二.填空题(满分16分,每小题2分)

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11.若关于x的方程是一元二次方程,则a的值是.12.已知四条线段a,2,6,a+1成比例,则a的值为.

13.如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且P A>PB,若S1表示P A为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1S2.(填“>”“=”或“<”)

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14.已知关于x的函数y=(m﹣1)x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点,则m=.15.如图,AB是⊙O的直径,点D、E是半圆的三等分点,AE、BD的延长线交于点C,若CE=2,则图中阴影部分的面积为.

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16.如图,已知A(3,0),B(2,3),将△OAB以点O为位似中心,相似比为2:1,放大得到△OA′B′,则顶点B的对应点B′的坐标为.

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17.边长为4的正六边形内接于⊙M,则⊙M的半径是.

18.如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O、A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于.

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三.解答题

19.(8分)解方程

(1)(2x+3)2﹣81=0;(2)y2﹣7y+6=0.

20.(8分)已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根

(1)求k的取值范围;

(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根,求此时m的值.

21.(6分)已知△ABC,

(1)用无刻度的直尺和圆规作△ABD,使∠ADB=∠ACB.且△ABD的面积为△ABC面积的一半,只需要画出一个△ABD即可(作图不必写作法,但要保留作图痕迹)

(2)在△ABC中,若∠ACB=45°,AB=4,则△ABC面积的最大值是

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22.(8分)如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点D垂直于AB的直线交BC于E,交AC延长线于F.

求证:(1)△ADF∽△EDB;

(2)CD2=DE?DF.

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23.(6分)数学兴趣小组的同学们,想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度:下午活动时间,兴趣小组的同学们来到操场,发现旗杆的影子有一部分落在了墙上(如图所示).同学们按照以下步骤进行测量:测得小明的身高1.65米,此时其影长为2.5米;

在同一时刻测量旗杆影子落在地面上的影长BC为9米,留在墙上的影高CD为2米,请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度.

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24.(8分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=90°,AD、BC的延长线交于点F,点E在CF上,且∠DEC=∠BAC,

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)当AB=AC时,若CE=2,EF=3,求⊙O的半径.

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25.(6分)某农户承包荒山种植某产品种蜜柚.已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.

(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;

(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?

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26.(10分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:

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(1)求y与x之间的函数表达式;

(2)设商品每天的总利润为W(元),则当售价x定为多少元时,厂商每天能获得最大利润?最大利润是多少?

(3)如果超市要获得每天不低于1350元的利润,且符合超市自己的规定,那么该商品每千克售价的取值范围是多少?请说明理由.

27.(12分)如图,已知AB是圆O的直径,F是圆O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D.

(1)求证:DE是⊙O的切线;

(2)若DE=3,CE=2,

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①求的值;

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②若点G为AE上一点,求OG+EG最小值.

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28.(12分)如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为

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(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式;

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②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角

三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

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参考答案

一.选择题

1.解:方程移项得:(x﹣5)(x﹣6)﹣(x﹣5)=0,分解因式得:(x﹣5)(x﹣7)=0,

解得:x=5或x=7,

故选:D.

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2.解:∵=,

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∴m=n,

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∴==.

故选:A.

3.解:∵⊙O的半径为6,点P在⊙O内,

∴OP<6.

故选:A.

4.解:∵∠A+∠B+∠C=180°,

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∴阴影部分的面积==2π.

故选:A.

5.解:以2和4为根的一元二次方程是x2﹣6x+8=0,故选:B.

6.解:∵P A、PB为圆的两条相交切线,

∴P A=PB,

同理可得:CA=CE,DE=DB.

∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD,

∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=P A+PB=2P A,

∴△PCD的周长=10,

故选:D.

7.解:∵△OAB∽△OCD,OA:OC=3:2,∠A=α,∠C=β,

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∴,A错误;

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∴,C错误;

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∴,D正确;

不能得出,B错误;

故选:D.

8.解:∵∠APD是△APC的外角,

∴∠APD=∠C+∠A;

∵∠A=30°,∠APD=70°,

∴∠C=∠APD﹣∠A=40°;

∴∠B=∠C=40°;

故选:C.

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9.解:A、对称轴为直线x==1,正确,故本选项错误;

B、当x>1时,y随x的增大而减小,正确,故本选项错误;

C、一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1和3正确,故本选项错误;

D、应为当﹣1<x<3时,y>0,故本选项正确.

故选:D.

10.解:如图所示:

∵AB长一定,

∴只有C点距离AB距离最大,则CD的长度最大,

∴只有C点在C′位置,即C′在半圆的中点时,此时当CD的长度最大,故此时AC′=BC′,

∴∠C′AB的大小是45°.

故选:B.

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二.填空题

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11.解:根据题意得:,

解得:a=﹣1.

故答案是:﹣1.

12.解:∵四条线段a,2,6,a+1成比例,

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∴,

解得:a1=3,a2=﹣4(舍去),

所以a=3,

故答案为:3

13.解:∵P是线段AB的黄金分割点,且P A>PB,

∴P A2=PB?AB,

又∵S1表示P A为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,∴S1=P A2,S2=PB?AB,

∴S1=S2.

故答案为:=.

14.解:(1)当m﹣1=0时,m=1,函数为一次函数,解析式为y=2x+1,与x轴交点坐

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标为(﹣,0);与y轴交点坐标(0,1).符合题意.

(2)当m﹣1≠0时,m≠1,函数为二次函数,与坐标轴有两个交点,则过原点,且与x 轴有两个不同的交点,

于是△=4﹣4(m﹣1)m>0,

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解得,(m﹣)2<,

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解得m<或m>.

将(0,0)代入解析式得,m=0,符合题意.

(3)函数为二次函数时,还有一种情况是:与x 轴只有一个交点,与Y 轴交于交于另一点,

这时:△=4﹣4(m ﹣1)m =0,

解得:m =

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故答案为:1或0或

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15.解:连接OE 、OD ,点D 、E 是半圆的三等分点, ∴∠AOE =∠EOD =∠DOB =60° ∵OA =OE =OD =OB

∴△OAE 、△ODE 、△OBD 、△CDE 都是等边三角形, ∴AB ∥DE ,S △ODE =S △BDE ;

∴图中阴影部分的面积=S 扇形

OAE ﹣S △OAE +S

扇形

ODE =

×2﹣

×22=π﹣

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故答案为π﹣

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16.解:∵以原点O 为位似中心,相似比为2:1,将△OAB 放大为△OA ′B ′,B (2,3), 则顶点B 的对应点B ′的坐标为(﹣4,﹣6)或(4,6), 故答案为(﹣4,﹣6)或(4,6). 17.解:正六边形的中心角为360°÷6=60°,

那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形, ∴边长为4的正六边形外接圆半径是4. 故答案为4.

18.解:过B 作BF ⊥OA 于F ,过D 作DE ⊥OA 于E ,过C 作CM ⊥OA 于M , ∵BF ⊥OA ,DE ⊥OA ,CM ⊥OA , ∴BF ∥DE ∥CM , ∵OD =AD =3,DE ⊥OA ,

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∴OE=EA=OA=2,

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由勾股定理得:DE==,

设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,

∵BF∥DE∥CM,

∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,

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∴=,=,

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∵AM=PM=(OA﹣OP)=(4﹣2x)=2﹣x,

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即=,=,

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解得:BF=x,CM=﹣x,

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∴BF+CM=.

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故答案为:

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三.解答题

19.解:(1)(2x+3)2=81,

2x+3=±9,

所以x1=3,x2=﹣6;

(2)(y﹣1)(y﹣6)=0,

y﹣1=0或y﹣6=0,

所以y1=1,y2=6.

20.解:由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根,得△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4k>0,

解得k<4;

(2)由k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2﹣4x+k=0,得x2﹣4x+3=0,

解得x1=1,x2=3,

一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根,

当x=1时,把x=1代入x2+mx﹣1=0,得1+m﹣1=0,解得m=0,

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当x=3时,把x=3代入x2+mx﹣1=0,得9+3m﹣1=0,解得m=﹣,

综上所述:如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0

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有一个相同的根,.

21.解:(1)如图1所示,∠ABD即为所求.

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(2)如图2所示,作以AB为弦,且AB所对圆心角为90°的⊙O,

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∵C点轨迹为圆上不与AB重合的任一点,

∴当C在C'位置上时,高最长,

故面积最大,

∵AB=4,

∴AP=BP=OP=2,

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则OC=OA=2,

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∴PC=2+2,

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∴△ABC的面积为?AB?PC=×4×(2+2)=4+4,

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故答案为:4+4.

22.证明:(1)在Rt△ABC中,

∠B+∠A=90°

∵DF⊥AB

∴∠BDE=∠ADF=90°

∴∠A+∠F=90°,

∴∠B=∠F,

∴△ADF∽△EDB;

(2)由(1)可知△ADF∽△EDB

∴∠B=∠F,

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线

∴CD=AD=DB,

∴∠DCE=∠B,

∴∠DCE=∠F,

∴△CDE∽△FDC,

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∴=,

∴CD2=DF?DE.

23.解:作DH⊥AB于H,如图,

易得四边形BCDH为矩形,

∴BH=CD=2,DH=BC=9,

∵小明的身高1.65米,此时其影长为2.5米,

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∴=,

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∴AH==5.94,

∴AB=AH+BH=5.94+2=7.94.

答:旗杆的高度为7.94m.

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24.解:(1)如图,

连接BD,∵∠BAD=90°,

∴点O必在BD上,即:BD是直径,∴∠BCD=90°,

∴∠DEC+∠CDE=90°,

∵∠DEC=∠BAC,

∴∠BAC+∠CDE=90°,

∵∠BAC=∠BDC,

∴∠BDC+∠CDE=90°,

∴∠BDE=90°,即:BD⊥DE,

∵点D在⊙O上,

∴DE是⊙O的切线;

(2)∵∠BAF=∠BDE=90°,

∴∠F+∠ABC=∠FDE+∠ADB=90°,∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∵∠ADB=∠ACB,

∴∠F=∠EDF,

∴DE=EF=3,

∵CE=2,∠BCD=90°,

∴∠DCE=90°,

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∴CD==,

∵∠BDE=90°,CD⊥BE,

∴△CDE∽△CBD,

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∴=,

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∴BD==,

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∴⊙O的半径=.

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25.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,

将点(10,200),(15,150)代入y=kx+b,得:

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,解得:,

∴y=﹣10x+300.

当y=0时,﹣10x+300=0,

解得:x=30.

∴y与x的函数关系式为y=﹣10x+300(8≤x<30).

(2)设每天获得的利润为w元,

根据题意得:w=y(x﹣8)=(﹣10x+300)(x﹣8)=﹣10x2+380x﹣2400=﹣10(x﹣19)2+1210.

∵a=﹣10<0,

∴当x=19时,w取最大值,最大值为1210.

答:当蜜柚定价为19元/千克时,每天获得的利润最大,最大利润是1210元.26.解:(1)设y=kx+b,

将(50,100)、(60,80)代入,得:

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解得:,

∴y=﹣2x+200 (40≤x≤80);

(2)W=(x﹣40)(﹣2x+200)

=﹣2x2+280x﹣8000

=﹣2(x﹣70)2+1800,

∴当x=70时,W取得最大值为1800,

答:售价为70元时获得最大利润,最大利润是1800元.

(3)当W=1350时,得:﹣2x2+280x﹣8000=1350,

解得:x=55或x=85,

∵该抛物线的开口向下,

所以当55≤x≤85时,W≥1350,

又∵每千克售价不低于成本,且不高于80元,即40≤x≤80,∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x≤80.

27.(1)证明:连接OE

∵OA=OE

∴∠OAE=∠OEA

∵AE平分∠BAF

∴∠OAE=∠EAF

∴∠OEA=∠EAF

∴OE∥AD

∵ED⊥AF

∴∠D=90°

∴∠OED=180°﹣∠D=90°

∴OE⊥DE

∴DE是⊙O的切线

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