2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第8章一、数学建模简介含解析
学习目标核心素养
1．了解数学建模的意义；2．了解数学建模的基本过程．（重点)
3．能够运用已有函数模型或建立函数模型解决实际问题．（重点,难点）1。经历数学建模的全过程，培养数学抽象、数据分析的数学素养．
2．通过数学建模解决实际应用问题,提升数学运算、逻辑推理和直观想象的数学素养．
一、数学建模简介
1．数学建模的概念
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程,也是推动数学发展的动力．
2．数学建模一般步骤
3.数学建模活动的主要过程
(1)选题：就是选定研究的问题．
(2）开题:就是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案．
(3)做题：是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动．
(4）结题：是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程,一般来讲，结题会是结题的基本形式．
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
北师大版高中数学必修第一册《数学建模的主要步骤》教案及教学反思 前言 在高中数学的教学中，数学建模是一个非常重要的环节。数学建模可以锻炼学生的综合运用数学知识的能力，提高学生的数学素养。针对数学建模的教学，本文将介绍北师大版高中数学必修第一册《数学建模的主要步骤》教案，并结合教学经验进行反思。 教学目标 通过本节课的学习，学生应该能够： 1.了解数学建模的定义和步骤； 2.掌握数学建模的基本思维方法； 3.认识数学建模在实际生活中的应用。 教材分析 本节课所使用的教材是北师大版高中数学必修第一册，涵盖了以下内容： 1.数学建模的概念和基本步骤； 2.计量经济学中的数学建模实例； 3.森林增长模型的实例分析。 教学内容 第一部分：数学建模的概念和步骤 在引出数学建模的定义和概念后，本文通过简要的PPT演示向学生介绍了数学建模的基本步骤：
1.确定模型研究的问题和范畴； 2.收集有关的数据和事实，整理数据； 3.构建数学模型和假设，确定变量和参数； 4.给模型添加限制条件和假设； 5.求解模型，得到结果； 6.对结果进行分析和解释； 7.验证模型的有效性，并进行调整。 在介绍完数学建模的基本步骤后，本文进一步介绍了数学建模的基本思维方法，例如： 1.抽象思维； 2.归纳思维； 3.演绎思维； 4.直觉思维。 第二部分：计量经济学中的数学建模实例 本节课的第二部分主要介绍了计量经济学中的数学建模实例，通过教师的演示和讲解，让学生深入了解数学建模在实际生活中的应用，例如： 1.计算物价指数； 2.构建需求和供给曲线； 3.制定财政和货币政策。 通过计量经济学的实例，让学生更好地理解数学建模的作用和必要性。 第三部分：森林增长模型的实例分析 本节课的第三部分主要介绍了森林增长模型的实例分析。通过视频案例的播放和教师的讲解，学生可以更好地了解数学
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8.3 简单几何体的表面积与体积8。3。1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和 体积 学 习目标核心素养 1。通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点) 2.会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．（难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养。 2.通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养。 胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59 米,经风化腐蚀,现降至136。5米，塔的底角 为51°51′。假如把建造金字塔的石块凿成平 均一立方英尺的小块,平均每块重2。5吨,像 一辆小汽车那样大． 问题：(1）如何计算建此金字塔需用多少石块? (2）如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量? 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积,h为高）; 棱锥的体积公式V＝错误!Sh（S为底面面积，h为高)； 棱台的体积公式V＝错误!h（S′＋错误!＋S)．其中,棱台的上、下底面面积分别为S′、S，高为h. 思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？ [提示］表面积变大了，而体积不变． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和． ( ) （2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．（）(3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同． （） (4)在三棱锥P。ABC中，V PABC＝V APBC＝V B.PAC＝V C。PAB．（) ［答案] (1）√(2）√(3）√(4）√ 2．棱长为3的正方体的表面积为（) A．27 B．64 C．54 D．36 C[根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54。］ 3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为（) A．6，22 B．3，22 C．6,11 D．3，11 A[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22。]
2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册教师用书：第3章§2指数幂的运算性质含解析 §2指数幂的运算性质 学习目标核心素养 1.掌握指数幂的运算性质．(重点）2。能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．（难点)通过指数幂的运算，培养数学运算素养． 有理数指数幂的运算性质 (1）a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q）。 (2)（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）. （3)(ab）r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q). 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 思考：以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算 错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝－2 提示：错误,错误!错误!＝错误!错误!＝21＝2. 1．用分数指数幂的形式表示a3·错误!错误!的结果是() A．a错误!B．a错误!C。a4D．a错误! B［a3·错误!＝a3·a错误!＝a错误!＝a错误!．故选B。]
2．下列各式运算错误的是() A．(－a2b)2·（－ab2)3＝－a7b8 B．（－a2b3)3÷（－ab2）3＝a3b3 C．(－a3)2·（－b2）3＝a6b6 D．［（a3）2·（－b2）3］3＝－a18b18 C[（－a3)2·(－b2)3＝a6·（－b6）＝－a6b6≠a6b6.] 3.错误!－错误!＋错误!的值为________． 错误![原式＝错误!－错误!＋错误!＝错误!－错误!＋错误!＝错误!。］ 4．计算8错误!×错误!＋错误!错误!. [解］原式＝2错误!×2错误!＋错误!6＝2＋22×33＝2＋4×27＝110. 对指数幂的运算性质的理解 【例1】(1）下列函数中，满足f错误!＝错误!f错误!的是（）A．f错误!＝4x B．f错误!＝4－x C．f错误!＝2x D．f错误!＝2－x （2)2错误!·5错误!＝（) A．20错误!B．20错误! C．10错误!D．10错误! (1）D（2)A[（1）f错误!＝2－(x＋1)＝错误!×2－x＝错误!f错误!.故选D。 ［(2）2错误!·5错误!＝4错误!·5错误!＝错误!错误!＝20错误!。］
第一章三角形的证明单元测试 一．选择题 1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（） A．40°B．55°C．65°D．70° 2．如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D 和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（） A．2B．3C．3.5D．4 3．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AB等于（） A．11B．12C．13D．14 4．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（） A．40B．28C．20D．10 5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（） A．6个B．5个C．4个D．3个
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AB等于（） A．2B．3C．4D．6 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（） A．32°B．64°C．77°D．87° 8．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（） A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm 9．如图，在△ABC中，∠B＝15o，∠C＝30o，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为，则阴影部分的面积为（） A．B．C．3D． 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）
第一章整式的乘除单元综合测试 一．选择题 1．下列计算正确的是（） A．x3+x3＝x6B．b2+b2＝2b2C．x m•x5＝x5m D．x5•x2＝x10 2．下列四个算式：①a6•a6＝a6；②m3+m2＝m5；③x2•x•x8＝x10；④y2+y2＝y4．其中计算正确的有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 3．下列式子中，正确的有（） ①m3•m5＝m15；②（a3）4＝a7；③（﹣a2）3＝﹣（a3）2；④（3x2）2＝6x6． A．0个B．1个C．2个D．3个 4．如果（4n）3＝224，那么n的值是（） A．2B．4C．6D．8 5．计算：2a（5a﹣3b）＝（） A．10a﹣6ab B．10a2﹣6ab C．10a2﹣5ab D．7a2﹣6ab 6．计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和除式分别为何？（） A．商式为2，除式为﹣5B．商式为2x﹣5，除式为5 C．商式为2x+2，除式为﹣1D．商式为2x﹣2，除式为﹣1 7．下列运算正确的是（） A．（﹣x）2•x3＝x6B．（﹣x）3÷x＝x2 C．3x2yz÷（﹣xy）＝﹣3xz D．（a﹣b）6÷（a﹣b）3＝a3﹣b3 8．计算（﹣2m）3•（﹣m•m2+3m3）﹣（m3﹣4）（m3+4）的结果是（）A．﹣13m6﹣16B．﹣13m6+16 C．﹣17m6+16D．﹣12m6﹣m9+16 9．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：＝（） A．2﹣B．2+C．1D．2 10．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到a（a+b）＝a2+ab，那么利用图2所得到的数学等式是（）
课时分层作业(四十七) 数学建模活动（一） (建议用时:40分钟) 1．A、B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km。已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ＝0。25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月． （1）求x的范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数; (3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小． [解］（1）x的取值范围为［10，90］； (2）y＝0。25×20x2＋0。25×10(100－x）2＝5x2＋错误!（100－x)2(10≤x≤90)； (3）由y＝5x2＋错误!（100－x)2＝错误!x2－500x＋25 000＝错误!错误!错误!＋错误!. 则当x＝100 3km时，y最小． 故当核电站建在距A城错误!km时，才能使供电费用最小．2．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t，130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(t）与月序
数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均为待定系数，x∈N＊）或函数y＝g(x）＝pq x ＋r（p，q，r均为待定系数，x∈N＊),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ ［解］根据题意可列方程组错误! 解得错误!所以y＝f(x）＝－5x2＋35x＋70. ① 同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140。② 再将x＝4分别代入①与②式得f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130（t）， g(4）＝－80×0。54＋140＝135(t）. 与f（4）相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量， 所以②式作为模拟函数比①式更好， 故选用函数y＝g(x）＝pq x＋r作为模拟函数较好． 3．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天）的函数，且日销售量近似地满足g(t）＝－错误!t＋错误! (1≤t≤100,t∈N)。前40天价格为f(t）＝错误!t＋22(1≤t≤40,t∈N)，后60天价格为f(t）＝－错误!t＋52（41≤t≤100，t∈N),试求该商品的日销售额S（t）的最大值和最小值．
走近数学建模 一、实际问题 1．观察实际情景，发现和提出问题 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题．为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型．2．收集数据 我们可以利用秒表、温度计等工具(若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好)，收集茶水温度随时间变化的数据． 例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据． 表(1) 时间/min012345 水温/℃ 3．分析数据 茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型． 设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y℃.根据表(1)，画散点图(图(1))． 图(1) 观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y ＝ka x＋25(k∈R,0 比值 0.903 2 0.918 1 0.928 4 0.935 1 0.928 5 计算各比值的平均值，得 a ＝15 (0.903 2＋0.918 1＋0.928 4＋0.935 1＋0.928 5)＝0.922 7. 我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型y ＝60×0.922 7x ＋25(x ≥0)．① 5．检验模型 将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图(2))，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律． 图(2) 6．求解问题 将y ＝60代入y ＝60×0.922 7x ＋25，得 60×0.922 7x ＋25＝60. 解得x ＝log 0.922 7712 . 由信息技术得x ≈6.699 7. 所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min. 上述过程可以概括为： 二、数学建模活动的选题 请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动．可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个： 1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？ 2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册专题强化训练3指数运算与指数函数含解析专题强化训练（三)指数运算与指数函数 (建议用时:40分钟) 一、选择题 1．若a〈错误!，则化简错误!的结果是（） A．错误!B．－错误! C．错误!D．－错误! C［∵a〈错误!，∴2a－1<0，于是，原式＝错误!＝错误!。］2．若函数f(x)＝错误!·a x是指数函数,则f错误!的值为（) A．2B．－2 C．－2错误!D．2错误! D[∵函数f(x)是指数函数， ∴错误!a－3＝1，∴a＝8. ∴f（x）＝8x，f错误!＝8错误!＝错误!＝2错误!.] 3．函数y＝a x＋1（a＞0且a≠1)的图象必经过点(） A．（0，1) B．（1,0） C．(2，1) D．（0,2） D[因为a0＝1,所以,当x＝0时，y＝1＋1＝2。] 4．已知函数f（x）＝3x－错误!错误!，则f（x)（） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数,且在R上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数 A [∵函数f (x ）的定义域为R , f （－x )＝3－x －错误!错误!＝错误!错误!－3x ＝－f (x ）， ∴函数f （x )是奇函数． ∵函数y ＝错误!错误!在R 上是减函数， ∴函数y ＝－错误!错误!在R 上是增函数． 又∵y ＝3x 在R 上是增函数， ∴函数f (x ）＝3x －错误!错误!在R 上是增函数． 故选A 。] 5．函数f （x )＝(错误!)错误!的单调递减区间为( ) A ．（－∞，＋∞) B ．［－3,3] C ．（－∞，3］ D ．［3，＋∞) D ［令u ＝x 2－6x ＋5＝错误!错误!－4，则u 的单调递增区间为错误!，又y ＝错误!错误!是减函数，所以函数f （x ）＝（错误!）错误!的单调递减区间为［3，＋∞）] 二、填空题 6．方程3x －1＝19的解为________． －1 ［∵3x －1＝错误!＝3－2,∴x －1＝－2， ∴x ＝－1.］ 7．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为_____________． y ＝13×（1＋1%）x ，x ∈N * ［经过1年后人口数为13×(1＋1％) 第一章预备知识 §1集合 1.3集合的基本运算 第1课时交集和并集 课后篇巩固提升 基础达标练 1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=() A.{4,8} B.{0,2,6} C.{0,2} D.{2,4,6} {x|x<3.5},又A={0,2,4,6,8,10}, ∴A∩B={0,2}. 2.已知集合M={-1,0,1,2}和N={0,1,2,3}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合是() A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2,3} M∩N={0,1,2},故选C. 3.(多选题)(2020山东泰安高一质检)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是() A.{5} B.{1,5} C.{3} D.{1,3,5} {1,3}∪A={1,3,5},知A⊆{1,3,5},且A中至少有1个元素5.所以A={5}或A={1,5}或 A={1,3,5}. 4.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=() A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4} 5.(2020安徽池州高三期末)已知集合A={(x,y)|x-2y+1=0},B={(x,y)|x-y=0},则A∩B=() A.{x=1,y=1} B.{1,1} C.{(1,1)} D.⌀ A表示直线x-2y+1=0的点的集合,集合B表示直线x-y=0的点的集合,所以A∩B表示两条直线的交点, 解 所以A∩B={(1,1)}. 6.(2020广东珠海高一期末)已知集合A={-2,0,2},B={y|y=x2,x∈A},则A∪B=() A.{-4,4,-2,2,0} B.{-2,2,0,4} C.{-4,4,0,2} D.{0,2,4} B={y|y=x2,x∈A}={0,4},A={-2,0,2},所以A∪B={-2,0,2,4}. 7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5 第2课时基本不等式的综合应用 学习目标核心素养 1.会用基本不等式求函数的最大(小）值问题．（重点）2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 已知x、y都是正数， (1)若x＋y＝s(和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值错误!； （2）若xy＝p（积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2错误!。 上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小． 思考：(1）两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？ （2)两个非负数的和为定值,它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？ 提示:(1)不一定，例如a2＋2与错误!,它们的积为定值,但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值． (2）不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值． 1．若a＞1，则a＋ 1 a－1的最小值是（） A．2B．a C．错误!D．3 D［∵a＞1,∴a－1＞0，∴a＋错误!＝a－1＋错误!＋1≥2 错误!＋1＝3.当且仅当a－1＝错误!，即a＝2时，等号成立．] 2．设x＞0，则y＝3－3x－错误!的最大值是() A．3 B．－3错误!C．3－2错误!D．－1 C［∵x＞0， ∴y＝3－错误!≤3－2错误!＝3－2错误!。当且仅当3x＝错误!，且x ＞0,即x＝ 3 3时，等号成立．］ 3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 5[依题意得y1＝错误!,y2＝错误!x为仓库与车站的距离， 2020-2021学年新教材人教B版数学必修第三册教师用书：第8章8.18.1.2向量数量积的运算 律含解析 8。1.2向量数量积的运算律 学习目标核心素养 1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．（难点) 2．能利用运算律进行向量的数量积运算．(重点、难点)1。通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．2．利用平面向量的运算律进行数量积运算,提升学生数学运算的核心素养。 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律,那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 问题向量数量积的运算律在解题过程中有怎样的作用？ 提示若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简,再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积． 1．两个向量数量积的运算律 （1)交换律：a·b＝b·a． （2）结合律：（λa)·b＝λ(a·b)（λ∈R)． (3)分配律:（a＋b)·c＝a·c＋b·c. 思考：“若a·b＝a·c,则b＝c”成立吗？为什么？ [提示]不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c,但b与c不一定相等． 2．重要公式 平方差公式(a＋b)(a－b）＝a2－b2 完全平方公式（a±b）2＝a2±2a·b＋b2思考:根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式： (1)平方差公式：（a＋b）(a－b)＝__________； 向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________. （2)完全平方公式：（a±b）2＝__________； 向量数量积公式：（a±b)2＝__________. ［提示]（1）a2－b2 ；a2－b2 （2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2 1．思考辨析（对的打“√”,错的打“×”） (1）（a·b)·c＝a·（b·c)．(）(2）(a·b)2＝a2·b2. （） (3)a·[b（a·c）－c(a·b）］＝0。 ［提示］（1)×。向量（a·b)·c与c共线,a·（b·c)与a共线， 4.2一元二次不等式及其解法 学习目标核心素养 1.掌握图象法解一元二次不等式．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决 简单问题．(难点) 1. 通过一元二次不等式的学习，培养数 学运算素养． 2. 通过一元二次不等式的应用，培养逻 辑推理素养． 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫作一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作一元二次不等式的解集． 3．一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系 如下表： 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋ c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ b 2a 没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的 解集 {x|x＞x2或x＜x1} ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ x⎪⎪ ⎪x≠－b 2a R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的 解集 {x|x1＜x＜x2}∅∅ 么？ 提示：⎩⎨⎧a ＝b ＝0c >0 或⎩⎨⎧a >0b 2－4ac <0 . 2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅，a ，b ，c 满足的条件是什么？ 提示：⎩ ⎨⎧a ＝b ＝0c ≤0 或⎩⎨⎧a <0b 2－4ac ≤0 . 1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2) D [∵(x －1)(x －2)＜0，∴1＜x ＜2. 故原不等式的解集为(1，2).] 2．设集合S ＝{x ||x |<5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( ) A ．{x |－7 第一章勾股定理 一．选择题 1．一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（） A ．B．13C．6D．25 2．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（） A．50B．16C．25D．41 3．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（） A．8cm2B．16cm2C．32cm2D．64ccm2 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值不可能为（） A．5B．8C ．D ．5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：5 6．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（） A．5，11，12B．3，4，5C．4，6，8D．6，12，13 7．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（） A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm 8．如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7m，如果梯子的顶端B下滑0.4m至B'，那么梯子底端将滑动（） A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m 9．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（） A．1米B ．米C．2米D．4米 10．已如长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条2020-2021学年数学第一册专题强化训练3指数运算与指数函数含解析
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