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微分中值定理习题课

第三微分中值定理习题课

教学目的通过对所学知识的归纳总结及典型题的分析讲解，使学生对所学的知识有一个更深刻的理解和认识．

教学重点对知识的归纳总结．教学难点典型题的剖析．教学过程

一、知识要点回顾

1．费马引理．

2．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理．

3．微分中值定理的本质是:如果连续曲线弧?

AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ．

4．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值的条件是充分的，但不是必要的．即当条件满足时，结论一定成立；而当条件不满足时，结论有可能成立，有可能不成立．如，函数

(){

2,01,0 , 1

x x f x x ≤<==

在[]1,0上不满足罗尔定理的第一个条件，并且定理的结论对其也是不成立的．而函数

(){

1,11,1, 1

x x f x x --≤<=

在[]1,1-上不满足罗尔定理的第一和第三个条件，但是定理的结论对其却是成立的．

5．泰勒中值定理和麦克劳林公式．

6．常用函数x

e 、x sin 、x cos 、)1ln(x +、α

)1(x +的麦克劳林公式．

7．罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理间的关系．

8．00、∞∞

、∞?0、∞-∞、00、∞1、0

∞型未定式．

9．洛必达法则．

10．∞?0、00、∞1、0

∞型未定式向00或∞∞

型未定式的转化．

二、练习

1. 下面的柯西中值定理的证明方法对吗？错在什么地方？

由于()x f 、()x F 在[]b a ,上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点()b a ,∈ξ，使得

()()()()a b f a f b f -=-ξ',

()1

()()()()a b F a F b F -'=-ξ.

()2

又对任一

(),,()0

x a b F x '∈≠，所以上述两式相除即得

()()()()()()ξξF f a F b F a f b f ''=

--.

答上述证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数()x f 和()x F ，拉格朗日中值定理公式中的ξ未必相同．也就是说在()b a ,内不一定存在同一个ξ，使得()1式和()2式同时成立．

例如，对于()2

x x f =，在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的

ξ；对()3

x x F =，

在[]1,0上使拉格朗日中值定理成立的

ξ，两者不等．

2. 设函数()x f y =在区间[]1,0上存在二阶导数，且

()()()()x f x x F f f 2

,010===.试证明在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF

．还至少存在一点η,使()0F η''=

分析单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知，

()()010==F F ，且()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的前两个条件，故在()1,0内至少存在一

点ξ，使()0='ξF

．至于后一问，首先得求出()x F '，然后再考虑问题．

()()()x f x x xf x F '+='22，且()00='F ．这样根据题设，我们只要在[]ξ,0上对函数

()x F '再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论．

证由于()y f x =在[]1,0上存在二阶导数，且()()10F F =，()x F 在[]1,0上满足罗尔定理的条件，故在()1,0内至少存在一点ξ，使()0='ξF

．

由于

()()()x f x x xf x F '+='2

2，且()00='F ，()x F '在[]ξ,0上满足罗尔定理的条件，故在 ()ξ,0内至少存在一点η，使

()0=''ηF ．由于()()1,0,0?ξ，所以()1,0∈η．

3.设12,,,n a a a L 为满足方程()1

12110321n n a a a n --++-=-L 的实数，试证明方程

()12cos cos3cos 210

n a x a x a n x +++-=L

在?

??2,0π内至少有一个实根．

分析证明一个方程在某个区间内至少有一个实根的问题，就同学们目前所掌握的知识来看主要有两种方法，一种是用零点定理，另一种是用罗尔定理.要用零点定理,函数

()()x n a x a x a x f n 12cos ...3cos cos 21-+++=，

需要满足在??????2,0π上连续，且()020

??πf ，因此这种方法并不能直接

应用．换一种方法，就应考虑罗尔定理，而要用罗尔定理解决上述问题，就得设

()()12cos cos3cos 21n F x a x a x a n x

'=+++-L ，

并将()x F '的原函数()x F 求出来，然后对原函数()x F 应用罗尔定理．

在这个问题中()x F '的原函数求起来很容易，

()()

()2

1sin sin 3sin 21321n a a F x a x x n x n =+

++--L ．

求出()x F 后，根据题设条件，对()x F 在???

??2,0π上应用罗尔定理即可得到所要的结论．

证引入辅助函数

()()

()2

1sin sin 3sin 21321n a a F x a x x n x n =+

++--L ．

因为()

x F 在?

?????2,0π上连续，在???

??2,0π内可导，()00=F ，

()1121102321n n a F a a n π-??

=-++-= ?-??L ，所以由罗尔定理知，在?

?? ??2,0π内至少存在一

点ξ，使得()0='ξF

，即

()12cos cos3cos 210

n a a a n ξξξ+++-=L .

于是方程()12cos cos3cos 210n a x a x a n x +++-=L 在?

??2,0π内至少有一个实根．

4. 设函数()x f 在[]2,2-上可导，且()()()02,20,02===-f f f ．试证明曲线弧C ：

()()

22y f x x =-≤≤

上至少有一点处的切线平行于直线012=+-y x ．

分析由于直线012=+-y x 的斜率为21，所以上述命题的本质是要证明在()2,2-内

存在一点ξ，使得

()21

'ξf ．

由于()()212-'='?????

?-x f x x f ，因此若设()()2x x f x F -=，则要证上述命题，只须证明在()2,2-内存在一点ξ，使得()0='ξF

即可．这是一个用罗尔定理解决的问题．

()x F 在[]2,2-上满足罗尔定理的前两个条件没问题，只是由题设我们还不能直接得到()x F 所满足的是罗尔定理的第三个条件.但是我们注意()F x 在[]2,2-上连续，而()()()12,20,12-===-F F F ，且1介于-1和2之间．因此由介值定理知，在()2,0内必

存在一点η，使得()1=ηF ．这样在[]η,2-上对()x F 应用罗尔定理即可证得所要的结果．

证引入辅助函数

()()2x

x f x F -

=．()x F 在[0,2]上连续,且(0)2,(2)1F F ==.由介

值定理知,在()2,0内比存在一点η，使得()1=ηF ．又()12=-F ，且()x F 在[]η,2-上满足罗尔定理的前两个条件,故在(2,)η-内必存在一点ξ，使得()0='ξF ，即

()21=

'ξf ．由

于()ηξ,2-∈，所以()2,2-∈ξ．

5. 设()x f 在[]b a ,上可导，()()b f a f =，试证明在()b a ,内必存在一点ξ,使得

()()()ξξξf f a f '=-．

象上述这种含有中值ξ的等式,一般应考虑用微分中值定理去证明．方法一用罗尔定理证

分析要用罗尔定理证明一个含有中值ξ的等式，第一步要将等式通过移项的方法化为右端仅为零的等式，即

()()()0=-'+a f f f ξξξ．

第二步将等式左端中的ξ都换为x ，并设

()()()()a f x f x x f x F -'+='．

第三步是要去确定()x F '的原函数()x F ，并在相应的区间[]b a ,上对()x F 应用罗尔定

理即可．

本问题中()x F '的原函数为

()()()x a f x xf x F -=．

证引入辅助函数

()()()x a f x xf x F -=．

由题设知，()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()0==b F a F ，由罗尔定理知，在()b a ,内必存在一点ξ，使得()0='ξF

，即

()()()0,f f f a ξξξ'+-=

()()()

f a f f ξξξ'-=.

方法二用拉格朗日中值定理证

分析要用拉格朗日中值定理证明一个含有中值ξ的等式，第一步要将含有ξ的项全部移到等式的右端，其余的项全部移到等式的左端,即作如下恒等变形：

()()()ξξξf f a f '+=.

(3)

第二步是把等式右端中的ξ都换为x ,并设

()()()F x f x xf x ''=+.

第三步是要去确定()F x '的原函数()F x .本问题中()F x '的原函数()F x 为

()()F x xf x =.

第四步确定了()F x '的原函数()F x 后,针对相应的区间[,]a b ,验证(3)式左端是否为

()()F b F a b a --或()()

F a F b a b --.

若是,则只要对()F x 在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理即可得到所要的结论;否则,需另辟新径,考虑用罗尔定理或柯西中值定理等其它方法去解决问题.

在本问题中,由于()()f a f b =,所以

()()()()

()

F b F a bf b af a f a b a b a --==--.

因此,本问题可通过对函数()F x 在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理来证明.

证引入辅助函数

()()F x xf x =.

由题设知,()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件,故在(,)a b 内必存在一点ξ,使得

()()

()

F b F a F b a ξ-'=-,

()()

bf b af a f f b a ξξξ-'=+-.

又由题设知()()f a f b =,所以有

()()()f a f f ξξξ'=+,

()()()f a f f ξξξ'-=.

方法三用柯西中值定理证

分析用柯西中值定理证明一个含有中值ξ的等式,其第一步也是将含有ξ的项全部移到等式的右端,其余的项全部移到等式的左端.即将作如下恒等变形:

()()()f a f f ξξξ'=+.

第二步是把等式右端化为分式形式，即作如下变形： ?

()()()

1ξξξf f a f '+=

(4)

第三步把(4)式右端中的ξ全都换为x ，并设分子函数为()x F '

1，分母函数为

()x F '2．即设

()()()1,

F x f x xf x ''=+

()21

F x '=．

第四步是求()x F '

1和

()x F '2的原函数()x F 1和()x F 2．本问题中的()x F 1和()x F 2分别为

()()1,F x xf x =()2F x x

=．

第五步针对区间[]b a ,，验证()2式左端是否为

()()()()a F b F a F b F 2211--或()()()()b F a F b F a F 2121--．

若是，则只要对()x F 1和()x F 2在[]b a ,上应用柯西中值定理即可证得所要的结论；否则需另辟新径，考虑使用拉格朗日中值定理或罗尔定理等其它方法．

在本问题中，由于()()b f a f =，所以

()()()()a F b F a F b F 2211--=()()

()a f a b a af b bf =--．

故本问题可通过对函数()x F 1和()x F 2在[]b a ,上应用柯西中值定理来证明．

证引入辅助函数

()()()x x F x xf x F ==21,．

由题设知，()x F 1和)(2x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且在()b a ,内

()012≠='x F ，由柯西中值定理知，在()b a ,内必存在一点ξ，使得

()()()()a F b F a F b F 2211--=()()()()ξξ''

=--21F F a b a af b bf =()()

1ξξξf f '+．

又由题设知()()b f a f =，所以有

()()(),ξξξf f a f '+=

即

()()()ξξξf f a f '=-.

总结练习5中方法一、方法二及方法三的分析，是用罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明含有中值ξ这种等式的一般方法和思路，同学们一定要掌握其要领．至于在遇到具体问题时，应当用哪个定理去证明，这要视具体问题而定，甚至于要尝试着去做．但有时经过移项变形后，其特点往往是很明显的．这时根据罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理结论的特点，是比较容易做出选择的．

在运用罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明含有中值ξ的等式时，求一些函数的原函数是不容易的，这时掌握几种常见函数如

()()()()()()x f e x H x x f x G x f x x F x

n λ==

=,,

等的导数，是非常有用的．

下面我们应用练习5中介绍的方法和思路再讨论一个问题．

6. 设()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，b a <<0，试证明在()b a ,内必存在一点

ξ，使得

()()()a b f a f b f ln

ξξ'=-．

分析移项变形得

()()()

ξξf a b a f b f '=--ln ln . (5)

上式的特点是等式左端恰好是两个函数在区间[]b a ,上的增量之比，这恰好是柯西中值公式的特点．因此，我们决定用柯西中值定理去证明．

把(5)式右端化为分式形式，得

()()()ξ

ξ1ln ln f a

b a f b f '=

-- (6)

把(6)式右端的ξ都换成x ，并设

()()1,

F x f x ''=

()21

F x x '=

．

则()x F '

1和()x F '2的原函数为

()()1,

F x f x =

()2ln F x x

=．

而(6)式左端恰好是

()()()()a F b F a F b F 2211--=()()a b a f b f ln ln -- ．

证引入辅助函数

()()()x x F x f x F ln ,21==．

由题设知，()x F 1和()x F 2在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且在()b a ,内()0

12≠='

x x F ，

故由柯西中值定理知，在()b a ,内至少存在一个ξ，使得

()()()()a F b F a F b F 2211--=()()

a b a f b f ln ln --=()()ξξ''

21F F =

()ξ

ξ1

f '．

即

()()()a b f a f b f ln

ξξ'=-.

7. 设()x f 在[]1,1-上有二阶连续导数，且()01=-f ，()00=f ，()21=f .证明存在

()1,1-∈ξ，使()2=''ξf .

证由于函数()f x 在[]1,1-上有二阶连续导数，故我们可以求出函数()x f 的带有拉格

朗日型余项的一阶麦克劳林公式：

()x f =

()()221

0x f x f ξ''+

'(ξ在0与x 之间)．

将1,1=-=x x 带入上式得

()()()121

010ξf f f ''+'-=-=，()0,11-∈ξ；

()()()221

012ξf f f ''+

'==，()1,02∈ξ．

将上述两式相加得

()()[]221

21=''+''ξξf f ．

若()()21ξξf f ''=''，则1ξ和2ξ都可作为ξ，使()2=''ξf ，()1,1-∈ξ；若()()21ξξf f ''≠''，

则()()[]2121

ξξf f ''+''介于()1ξf ''与()2ξf ''之间，即2介于()1ξf ''与()2ξf ''之间．由于

()x f ''在[]1,1-上连续，因而也在[]21,ξξ上连续，故由介值定理知，在()21,ξξ内必存在一点ξ，使得()2=''ξf ．综上所述，必存在ξ()1,1-∈，使()2=''ξf ．

总结用泰勒中值定理去证明含有中值ξ的等式，也是一种常用的方法，尤其在题设的函数存在较高阶的导数，并且已知其多点函数值时，更应注意应用练习7的方法去证明．

8. 求函数()x f =

x 按()4-x 的幂展开的带有拉格朗日余项的3阶泰勒公式．

解 ()()()()()2

425

1615,83,41,21-

----=='''-=''='x x f x x f x x f x x f ，故

()()()2563

4,3214,414='''-=''=

'f f f ．

因此，所求3阶泰勒公式为

()()()()()()()()()()()

4234

444444442!3!4!f f f f x f f x x x x ξ''''''=+-+-+-+-

()()()(

)23

1115

24444464512

128x x x x ξ=+

---+-+-,

其中ξ介于x 与4之间．

9. 求函数()x f =x

xe 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．

分析 x

e 的带有佩亚诺型余项的1-n 阶麦克劳林公式我们是已知的，这时求函数

()x f =x xe 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式可以采用下面的所谓间接方法．

解由于

x e =()21

12!n x x o x -++++L ，

所以

()x f =x xe =()()

!1!2-?+-++++n n x x n x x x x Λ．

又因为

()10

lim

n n

x xo x x -→=0，

所以

()

1n xo x -是当0→x 时比n

x 高阶的无穷小．故

()x f =x xe =()()32

...2!1!n

n x x x x o x n +++++-．

上式即为()x f =x

xe 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．

总结理论上可以证明，任何一个函数的同阶泰勒公式在形式上是唯一的．因此，我们可以利用一些已知的函数的泰勒展开式，通过适当的运算去获得另外一些函数的泰勒展开式．只要所获函数展开式的形式与泰勒公式的形式一致，则它就是该函数的泰勒公式．这就是获得某些函数泰勒公式的间接方法．在运用泰勒公式的间接展开方法时，必须熟记一些常

见函数的泰勒公式，如()()α

x x x x e x

++11ln cos sin 、、、、

等． 10. 利用泰勒公式求极限

()[]x x x e

x x x -+--

→1ln cos lim

2．

解由于是求0→x 时的极限，故分子和分母中的函数都要用麦克劳林公式去表示．利用函数()x +1ln 的麦克劳林公式，求出函数()x -1ln 的带有佩亚诺型余项的二阶麦克劳林公式

()x -1ln =()2

22x x o x --+.

若将上式代入函数的分母，则分母是一个最高幂为4次的多项式．因此需将函数x cos 和

x e

都用带有佩亚诺型余项的四阶麦克劳林公式来表示．

x cos 的四阶麦克劳林公式可直接给出，而2

2x e

-的四阶麦克劳林公式可利用x

e 的麦

克劳林公式间接获得，它们是

x cos =()246 1224x x o x -++，

x e

-=()246 128x x o x -++．

因此

()[]x x x e x x x -+--

→1ln cos lim 2

2 02=()()()24246

620

221122428lim 2x x x x x o x o x x x x x o x →??-++--++??

??????+--+?? ?????

=()()4

6044112lim 1

2x x o x x o x →-

+-+=61．

11. 求极限x x x

x x x 222220sin cos sin lim

-→．

分析虽然本题是00

型未定式，可以直接应用洛必达法则求极限．但如果先将极限形

式作一些简化，然后再使用洛必达法则可使求解过程大幅度简化．

解 x x x x x x 222220sin cos sin lim -→=()()40cos sin cos sin lim

x x x x x x x x -+→

=300cos sin lim cos sin lim x x x x x x x x x -???? ??+→→=203sin cos cos lim

2x x x x x x +-→

=32

3sin lim

20=

→x x x ． 12. 求

??? ??

-→2201csc lim x x x ．解所求极限为∞-∞型未定式，通分化为00

型．

??? ??-→2201csc lim x x x =x x x x x 222

20sin sin lim -→=()()40sin sin lim x x x x x x -+→

= ??? ??-???? ??→→300sin lim sin 1lim x x x x x x x ＋=

316sin lim 23cos 1lim 2020==-→→x x x x x x .

13. 求

??? ??

+-∞→11arctan 1arctan lim 2n n n n ．分析这是一个∞?0型未定式，转化为00

型未定式．

??? ??+-∞→11arctan 1arctan lim 2n n n n =2111arctan

1arctan lim

n n n n +-∞→，

虽然原极限已转化为00

型未定式，但因为n 是正整数，不是连续变量，故不能直接应用洛

必达法则．先把n 换成连续自变量x ，再应用洛必达法则，得

2111arctan 1arctan lim x x x x +-+∞→=()()322222

11111111lim

x x x x x x -

+++--

+-+∞→

()

()()32

221lim

2111x x x x x →+∞

+??

+++??=1．

因为+∞→x 时，必有∞→n ，所以

? ??

+-∞→11arctan 1arctan lim 2n n n n =21

arctan

1arctan lim

x x x x +-+∞→=1．

总结数列的极限既使是未定式也不能直接应用洛必达法则，只有将数列中的n 换为连续自变量x 后，才能应用洛必达法则． 2? 验证极限x

x x sin lim +∞→存在? 但不能用洛必达法则得出?

解 1)sin 1(lim sin lim

=+=+∞→∞→x x x x x x x ??极限x x

x x sin lim

+∞→是存在的?? 但)cos 1(lim 1

cos 1lim )()sin (lim

x x

x x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在??不能用洛必达法则?? 3? 验证极限x

x x x sin 1

sin

lim

→存在??但不能用洛必达法则得出?

解 0011sin sin lim sin 1

sin

lim

020=?=?=→→x

x x x x x x x x ??极限x x x x sin 1sin

lim 20→是存在的?? 但x

x x x x x x x x cos 1cos

1sin 2lim )(sin )1sin (lim

020-=''→→不存在??不能用洛必达法则?? 4? 讨论函数???

????≤>+=-

0 0 ])1([

)(211

1x e x e

x x f x

x 在点x ?0处的连续性? 解 2

)0(-=e f ??)0(lim )(lim 2

f e

x f x x ===-

-→-→??

因为 ]1)1ln(1

[10

1100lim

])1([

lim )(lim -+-→-→+→=+

=x x

x x x

x x e e

x x f ?? 而 21)1(21lim 21

lim )1ln(lim ]1)1ln(1[1lim 00200-=+-=-+=-+=-++→+→+→+→x x x x x x x x x x x x x ?? 所以 )0(lim

])1([

lim )(lim 2

]1)1ln(1

[10

00f e

e e

x x f x x

x x x

x x ===+

-+-→-→+→??

因此f (x )在点x ?0处连续?

14. 设()x f 具有二阶连续导数，且()x x f x 0lim →0=，()20=''f ，求()x

x x x f 101lim ??????+→．分析所求极限为∞

1型未定式，一般情况下是将该极限转化为00或∞∞

型未定式，应用

洛必达法则去求解．但是注意到

()x

x x x f 101lim ??????+→=()()()2

1lim 0x x f x f x

x x x f ??

???

???????????

+→，

且()x x f x 0lim →=0，所以

()()

x f x

x x x f ??????+→1lim 0=e ．因此，只须求出极限()

lim

x x f x →即可．

解由()x x f x 0

lim

→=0知，()0lim 0=→x f x ．对00型未定式()x x f x 0lim →应用一次洛必达法则，

得

()

x x f x 0

lim

→=()x f x '→0lim =0．

因此()20

lim

x x f x →和()x x f x 2lim 0'→都是00型未定式．对极限()20lim

x x f x →两次应用洛必达法则，得

()20

lim

x x f x →=()x x f x 2lim 0'→=()2lim 0x f x ''→=()120=''f ．

故

()x

x x x f 101lim ??????+→=()()()

1lim 0x x f x f x

x x x f ??

???

???????????

+→=e ．

3. 若函数()f x 在[0,1]上二阶可导, 且(0)0f =，(1)1f =，(0)(1)0f f ''==，则存

在(0,1)c ∈使得|()|2f c ''≥.

证法一： (0,1)x ?∈, 把()f x 在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项, 有

122()()(0)(0)(0),2!

()

()(1)(1)(1)(1),

2!f f x f f x x f f x f f x x ξξ'''=+-+

'''=+-+- 1201x ξξ<<<<, ………4分

上两式相减, 有

2212()()

1(1)22

f f x x ξξ''''=

--. 记12|()|max{|()|,|()|}f c f f ξξ''''''=,则有

221

1|()|[(1)]2

f c x x ''≤

+- 2

111|()|2222f c x ??

??''=-+?? ???????

|()|2

f c ''≤

, ………4分即存在(0,1)c ∈使得|()|2f c ''≥. ………2分

证法二：在[0,1]上对()f x 应用拉格朗日中值定理有 ()(1)(0)1f f f ξ'=-=，01ξ<<.……3分

当12

0ξ<≤

时，在[0,]ξ上对()f x '应用拉格朗日中值定理有

1()(0)()f f f c ξξ''''=-=，1

|()|()2f c f c ξ

''''?==

≥，(0,)(0,1)c ξ∈?.

……3分

当121ξ<<时，在[,1]ξ上对()f x '应用拉格朗日中值定理有

1()(1)()(1)f f f c ξξ''''=-=-，1

|()|21f c ξ

''?=

≥-，(,1)(0,1)c ξ∈?. ……2分

综上证明知存在(0,1)c ∈使得|()|2f c ''≥. ……2分

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章微分中值定理及其应用上册P 178—180 习题解答 1．设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ，此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ，此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

一元微分中值定理练习题

一元微分中值定理练习题一、证明ff (nn )(ξξ)=00成立 1.若函数f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中 a 0, 证明存在ξ∈(a,b)，使得f ′′(ξ)=0。 4.设曲线y=f(x)在[a,b]上二阶可导，连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线交曲线于点C（c,f(c)）(a

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

微分中值定理及其应用习题解析2

第六节定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。解由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2）（1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。