2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义
第19讲 组合图形的认识、表面积与体积
小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。 知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 立体图形 表面积
体积 长方体
S=2)(bh ah ab ++
a ：长 b:宽 h ：高 S ：表面积 V abh = V Sh = 正方体
S=26a a ：棱长 S ：表面积 3V a = V Sh = 圆柱
222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积 2πV r h =圆柱
圆锥 22ππ360n S l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21π3
V r h =圆锥体 知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项
（1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点.
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：
（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物h r h
r 知识精讲
体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变.
（3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。
（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。
提高达标百分练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022•张家川县模拟）如图，圆的直径是20cm，则阴影部分的面积是（）cm2。
A．1056 B．428 C．328 D．114
【思路点拨】通过观察图形可知，正方形的对角线长等于圆的直径，把正方形分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆的直径，每个三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，圆的面积公式：S＝πr2，阴影部分的面积等于圆的面积与正方形的面积差，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：20×（20÷2）÷2×2
＝20×10÷2×2
＝200÷2×2
＝200（平方厘米）
3.14×（20÷2）2﹣200
＝3.14×100﹣200
＝314﹣200
＝114（平方厘米）
答：阴影部分的面积是114平方厘米。
故选：D。
【考点评析】此题主要考查正方形的面积公式、三角形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
2．（2分）（2022•海沧区）如图是淘气比较土豆和胡萝卜体积的实验过程。观察实验过程，下面说法正确的是（）
A．土豆的体积大
B．胡萝卜的体积大
C．土豆和胡萝卜的体积一样大
D．无法判断谁的体积大
【思路点拨】根据图示可知，放入土豆后，水面上升了（10.5﹣8）厘米，再放入胡萝卜后，水面又上升了（14﹣10.5）厘米，土豆和胡萝卜的体积等于容器的底面积乘水面上升的高度，底面积相同，直接比较水面上升的高度即可。
【规范解答】解：10.5﹣8＝2.5（厘米）
14﹣10.5＝3.5（厘米）
3.5＞2.5
因为底面积一样，所以胡萝卜的体积大。
故选：B。
【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
3．（2分）（2022•忠县）小怡做了一个测量铁球体积的实验：①将300毫升的水倒入一个容积为500毫升的杯子中；②将4个相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再将一个同样的铁球放入水中，结果水满并且有溢出。根据这个试验，一个铁球的体积大约相当于（）毫升的水的体积。
A．三十多B．四十多C．五十多D．六十多
【思路点拨】要求每个铁球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5个铁球的体积最少是多少，5个铁球的体积要大于（500﹣300）立方厘米，进而推测这样一个铁球的体积的范围即可。
【规范解答】解：因为把5个铁球放入水中，结果水满溢出，
所以5个铁球的体积要大于：500﹣300＝200（立方厘米）
一个铁球的体积要大于：200÷5＝40（立方厘米）
因此推得这样一个铁球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下。
答：一个铁球的体积大约相当于四十多毫升的水的体积。
故选：B。
【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5个铁球的体积，进而得解。
4．（2分）（2019•防城港模拟）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24cm2，原来这个物体的体积是（）
A．200.96cm3B．226.08cm3C．301.44cm3D．401.92cm3
【思路点拨】根据题意可知：如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米，表面积增加的两个底面的面积，由此可以求出底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝sh，圆锥的体积公式：V＝sh，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可．
【规范解答】解：50.24÷2＝25.12（平方厘米）
25.12×625.12×（12﹣6）
＝150.72+25.12×6
＝150.72+50.24
＝200.96（立方厘米）
答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米．
故选：A．
【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．5．（2分）（2021•深圳模拟）如图的体积是（图中单位：cm）（）。
A．20535cm3B．32550cm3C．20355cm3D．23550cm3
【思路点拨】通过观察图形可知，这是一个空心圆柱的一半，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：3.14×[（40÷2）2﹣（20÷2）2]×50÷2
＝3.14×[400﹣100]×50÷2
＝3.14×300×50÷2
＝942×50÷2
＝47100÷2
＝23550（立方厘米）
答：它的体积是23550立方厘米。
故选：D。
【考点评析】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
二．填空题（共8小题，满分17分）
6．（2分）（2022•泉州模拟）把10个1元硬币分别垒成不同的形状放入装水的长方体容器内，如图。（单位：cm）
①把图1的硬币完全浸没在图3的水中，水面升高了1.6厘米。图1硬币的体积是10
立方厘米。
②把图2的硬币完全浸没在图3的水中，水面会升高 1.6 厘米。
【思路点拨】将图1的硬币放入到图3装水的长方体容器中，水上升部分的体积就是图1硬币的体积，根据长方体的体积计算公式S＝长×宽×高，图I和图2都是由10个1元硬币垒成的，所以图1和图2两摞不论怎么摆放，两者的体积都相等，所以把图2的硬币完全浸没在图3的水中，水面上升的高度与图1硬币的上升高度相同。
【规范解答】解：①2.5×2.5×1.6
＝6.25×1.6
＝10（立方厘米）
答：图1硬币的体积是10立方厘米。
②把图2的硬币完全浸没在图3的水中，水面会升高1.6厘米。
故答案为：10；1.6。
【考点评析】本题考查的是体积的相关知识。
7．（2分）（2022•宝安区）测量体积（如图）。这个苹果的体积是200 立方厘米，合0.2 立方分米。
【思路点拨】利用图二的刻度减去图一的刻度就是苹果的体积。
【规范解答】解：800﹣600＝200（立方厘米）
200立方厘米＝0.2立方分米
答：这个苹果的体积是200立方厘米，合0.2立方分米。
故答案为：200，0.2。
【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
8．（2分）（2022•息县）一个圆柱体水箱中水高为10厘米，圆柱的底面积为20平方厘米，现将一个石块放进水中（完全淹没），水溢出了30毫升。拿出石块，水面下降了4厘米，石块的体积是80 立方厘米。
【思路点拨】石块的体积等于下降的水的体积，用底面积乘下降的厘米数即可。
【规范解答】解：20×4＝80（立方厘米）
答：石块的体积是80立方厘米。
故答案为：80。
【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
9．（2分）（2022•固始县）为了测量一个球的体积，小明将球浸没在一个底面直径是8cm，水深5cm的圆柱形杯中（如图），发现水面上升到6cm。请你帮小明算出这个球的体积是50.24 立方厘米。
【思路点拨】根据图意，利用圆柱的底面积乘水面上升的高度即可，首先求出两个容器的高度差，再利用圆柱的底面积乘高即可。
【规范解答】解：3.14×（8÷2）2×（6﹣5）
＝3.14×16×1
＝50.24（立方厘米）
答：这个球的体积是 50.24立方厘米。
故答案为：50.24。
【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
10．（3分）（2022•普宁市）有大小两种玻璃球，放入装有同样多水的圆柱形容器中（如图）
（1）大球的体积是100.48 立方厘米。
（2）大球与小球的体积之比是4：1 。
（3）图4水的高度是8.5 厘米。
【思路点拨】（1）根据题意可知，把玻璃球放入盛水的圆柱形容器中，上升部分水的体积就等于这个大玻璃求的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
（2）通过观察图形可知，一个大玻璃球的体积等于4个小玻璃球的体积，所以大球的与小球体积的比是4：1。
（3）一个大球和一个小球的体积和除以容器的底面积就是水面上升的高，然后用原来水的高加上上升的高即可。
【规范解答】解：（1）3.14×（8÷2）2×（8﹣6）
＝3.14×16×2
＝100.48（立方厘米）
答：大球的体积是100.48立方厘米。
（2）100.48÷4＝25.12（立方厘米）
100.48：25.12＝4：1
答：大球的与小球体积的比是4：1。
（3）（100.48+25.12）÷[3.14×（8÷2）]2+6
＝125.6÷[3.14×16]+6
＝125.6÷50.24+6
＝2.5+6
＝8.5（厘米）
答：图4水的高度是8.5厘米。
故答案为：100.48；4：1；8.5。
【考点评析】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。11．（2分）（2022•漳平市校级模拟）如图是测量一颗铁球体积的过程：将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约在40 cm3以上，50 cm3以下．（填整十数）
【思路点拨】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是（500﹣300）立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可．
【规范解答】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，
所以5颗玻璃球的体积最少是：500﹣300＝200（立方厘米）
一颗玻璃球的体积最少是：200÷5＝40（立方厘米）
因此推得这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下．
故答案为：40，50．
【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是5颗玻璃球的体积，进而得解．
12．（2分）（2021•周至县）一个底面周长是3.14分米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的。将两个同样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水中，这时水面上升了10厘米，刚好与杯子口相平，玻璃杯的容积是2355 立方厘米。
【思路点拨】根据题意，可以先求出圆柱形杯子的高，已知原来杯子里面的水占杯子容量的，即杯中水的高也占杯子高的，将两个同样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水中．这时水面上升10厘米，刚好与杯子口相平，把杯子的高看作单位“1”，，10厘米占杯子高的（1），由此可以求出杯子的高；再根据圆柱体的体积（容积）公式V＝sh，列式解答即可。
【规范解答】解：杯子高是：
10÷（1﹣）
＝10
＝10×3
＝30（厘米）
3.14分米＝31.4厘米
3.14×（31.4÷3.14÷2）2×30
＝3.14×52×30
＝3.14×25×30
＝2355（立方厘米）
答：玻璃杯子的容积是2355立方厘米。
【考点评析】此题解答关键是求出杯子的高，再根据圆柱体的体积（容积）计算公式解答即可。
13．（2分）（2021•江都区模拟）
根据上面信息，算一算这块石头的体积是400 立方厘米。
【思路点拨】往盛水的正方体的容器里放入一石块后，水溢出，说明满了，取出后水面下降了，下降了的水的体积就是这个石块的体积，下降的部分是一个长10厘米，宽10厘米，高10﹣6＝4（厘米）的长方体，根据长方体的体积计算公式列式解答即可。
【规范解答】解：10×10×（10﹣6）
＝100×4
＝400（立方厘米）
答：这块石头的体积是400立方厘米。
故答案为：400。
【考点评析】此题主要考查特殊物体体积的计算方法，将物体放入或取出水中，水面上升或下降的体积就是物体的体积；也考查了长方体的体积＝长×宽×高。
三．计算题（共2小题，满分8分，每小题4分）
14．（4分）（2022•府谷县）计算下面组合图形的体积。
【思路点拨】根据圆柱的体积＝π×半径的平方×高，圆锥的体积＝π×半径的平方×高÷3，代入数据分别计算出圆柱的体积和圆锥的体积，再把它们相加即可。
【规范解答】解：3.14×（20÷2）2×60+3.14×（20÷2）2×30÷3
＝3.14×（6000+1000）
＝21980（cm3）
答：组合图形的体积是21980cm3。
【考点评析】熟练掌握圆柱体积的求法和圆锥体的求法是解题的关键。
15．（4分）（2021•绵竹市）如图，计算图形体积。（单位：分米）
【思路点拨】根据图示可知，该图形的体积＝棱长为8分米的正方体的体积﹣底面直径是8分米，高是8分米的圆柱的体积的一半，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据求解即可。
【规范解答】解：8×8×8＝512（立方分米）
8÷2＝4（分米）
3.14×42×8×
＝3.14×16×8×
＝401.92×
＝200.96（立方分米）
512﹣200.96＝311.04（立方分米）
答：这个图形体积是311.04立方分米。
【考点评析】本题主要考查组合图形的体积，关键是能看出这个组合图形的体积等于正方体体积和圆柱的体积的一半的差。
四．应用题（共9小题，满分45分，每小题5分）
16．（5分）（2022•番禺区）为了测量一个铁块的体积，数学兴趣小组的同学进行如下实验：小明测得一个长方体容器里面的长15cm，宽12cm，高10cm。小华用量筒量1080毫升水全部倒入长方体容器中，并测得水面高6cm。小强称得铁球的质量为1440克，并把铁球淹没在水中，此时水面高7cm。请你根据以上信息，求出这个铁块的体积。
【思路点拨】这个铁球的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可。
【规范解答】解：15×12×（7﹣6）
＝15×12×1
＝180（立方厘米）
答：这个铁块的体积是180立方厘米。
【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
17．（5分）（2022•罗庄区）如图，下面是张娜测量一块石头体积时的情景，根据图中信息，计算石头的体积。（图中单位：cm）
【思路点拨】根据图意，往盛水的圆柱体容器里放入一块石头后，水面升高了，升高了的水的体积就是这块石头的体积，升高的部分是底面直径10厘米，高8﹣6＝2（厘米）的圆柱体，根据圆柱体的体积＝底面积×高解答即可。
【规范解答】解：3.14×（10÷2）2×（8﹣6）
＝3.14×52×2
＝3.14×25×2
＝3.14×50
＝157（立方厘米）
答：石头的体积是157立方厘米。
【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：水上升的体积就是鹅卵石的体积，进而得解。
18．（5分）（2022•淮滨县）如图，将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升
1.5厘米，如果将其放入B容器中（全部淹没水中），水位会上升几厘米？（水没有
溢出）
【思路点拨】将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升1.5厘米，上升部分水的体积就是石块的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个石块的体积，再除以B容器的底面积就是B容器中水位上升的高度。
【规范解答】解：8×8×1.5
＝64×1.5
＝96（立方厘米）
96÷32＝3（厘米）
答：水位会上升3厘米。
【考点评析】此题考查了体积的等积变形，关键是明确两个容器中上升部分水的体积都等于石块的体积，即两个容器中上升部分水的体积是相等的。
19．（5分）（2021•合川区）一个内直径16cm的圆柱形容器中装有一些水。把一块石头放入这个容器，石头被完全没入水中，水面上升了2cm（水未溢出），这块石头的体积是多少立方厘米？
【思路点拨】这块石头的体积等于上升的水柱的体积，利用圆柱的体积公式：V＝Sh 计算即可。
【规范解答】解：3.14×（16÷2）2×2
＝3.14×64×2
＝401.92（立方厘米）
答：这块石头的体积是401.92立方厘米。
【考点评析】本题主要考查计算实物体积的方法，关键利用转化方法计算。
20．（5分）（2021•北仑区）在一节拓展课中，王老师和4名同学在测量一些螺丝钉的
体积，他们合作及进行如下的测量与操作：
①小军准备了一个圆柱形玻璃杯，从玻璃杯里面测量得到底面直径是4cm，高是10cm。
②小李往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离比是1：1。
③小明把20枚螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）.
④小丁测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3：2。根据上面的信息，请你
计算出一枚螺丝钉的体积。
【思路点拨】根据题意，首先求出20枚螺丝钉放人水中后水面上升的高度，利用放入螺丝钉后水面的高度减去原来的玻璃杯的高度，再利用圆柱的底面积乘上升水的高度再除以20就是一枚螺丝钉的体积。
【规范解答】解：10×＝6（厘米）
3.14×（4÷2）²×（6﹣5）
＝3.14×4×1
＝12.56（立方厘米）
12.56÷20＝0.628（立方厘米）
答：一枚螺丝钉的体积是0.628立方厘米。
【考点评析】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是20枚螺丝钉的体积，进而得解。
21．（5分）（2021•舞钢市）一个底面直径16cm的玻璃缸里有一块石头，如图所示，水深18cm，拿出石块后水面下降到15cm，这块石头的体积是多少？
【思路点拨】这块石头的体积等于下降的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可。
【规范解答】解：3.14×（16÷2）²×（18﹣15）
＝3.14×64×3
＝602.88（立方厘米）
答：这块石头的体积是602.88立方厘米。
【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
22．（5分）（2022•红花岗区）玩具店出售一种陀螺，它的上面是圆柱，如图是圆锥。
圆柱与圆锥等底等高，圆柱的直径是8厘米，高是6厘米，这种陀螺的体积是多少立方厘米？
【思路点拨】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积和即可。
【规范解答】解：3.14×（8÷2）2×6+×3.14×（8÷2）2×6
＝3.14×16×6+×3.14×16×6
＝301.44+100.48
＝401.92（立方厘米）
答：这种陀螺的体积是401.92立方厘米。
【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。23．（5分）（2021•海港区）一种水稻磨米机的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成（如图）。
底面直径是4dm，圆柱高2dm，圆锥高4.5dm。每立方分米稻谷重0.6kg。这个漏斗最多能装多少千克稻谷？
【思路点拨】根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的容积和，然后再乘每立方分米稻谷的质量即可。
【规范解答】解：[3.14×（4÷2）2×2+ 3.14×（4÷2）2×4.5]×0.6
＝[3.14×4×2+ 3.14×4×4.5]×0.6
＝[25.12+18.84]×0.6
＝43.96×0.6
＝26.376（千克）
答：这个漏斗最多能装26.376千克稻谷。
【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记
公式。
24．（5分）（2020•吴江区校级模拟）如图，一只工具箱的下半部是棱长20分米的正方体，上半部是圆柱的一半。工具箱占有的空间有多少立方分米？
【思路点拨】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【规范解答】解：3.14×（20÷2）2×20÷2+20×20×20
＝3.14×100×20÷2+8000
＝3140+8000
＝11140（立方分米）
答：工具箱占有的空间有11140立方分米。
【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．解答题（共4小题，满分20分，每小题5分）
25．（5分）（2023•樊城区模拟）科学课上，黄老师布置了测量一个U形铁块实践作业，平平用在图书馆的科普书上学到的方法进行测量。先往长方体容器内倒入1.36L水，再放入一个U形铁块（完全浸没），这时测量得到水深6cm，那么这个U形铁块的体积是多少？
【思路点拨】根据题意，先利用水的体积除以容器的底面积求出原来水的高度，U形铁块的体积等于上升的水的体积，用底面积乘上升的厘米数即可。
【规范解答】解：1.36升＝1.36立方分米＝1360立方厘米
1360÷（25×10）
＝1360÷250
＝5.44（厘米）
25×10×（6﹣5.44）
＝250×0.56
＝140（立方厘米）
答：这个U形铁块的体积是140立方厘米。
【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
26．（5分）（2022•闽侯县）如图，一个长方体容器中装有一些水（灰色部分），把一个马铃薯完全浸没在水中，水刚好满了没有溢出，这个马铃薯的体积是多少立方厘米？
【思路点拨】根据题意，首先求出水面上升的高度，利用长方体容器的高度减去原来未放入马铃薯前水的高度，再利用容器的底面积乘水面上升的高度即可。
【规范解答】解：15×8×（10﹣7）
＝15×8×3
＝360（立方厘米）
答：这个马铃薯的体积是360立方厘米。
【考点评析】此题主要考查某些实物体积的测量方法。
27．（5分）（2022•榆阳区）计算如图图形的体积。
【思路点拨】根据图示，用两个圆锥的体积加上圆柱的体积即可。
【规范解答】解：2××3.14×（4÷2）2×6+3.14×（4÷2）2×（32﹣6﹣6）＝3.14×16+3.14×80
＝50.24+251.2
＝301.44（立方厘米）
【考点评析】本题考查了圆柱体和圆锥体积的计算知识，结合题意分析解答即可。28．（5分）（2021•榕城区）一个底面半径是10厘米的圆柱形玻璃杯，原来水深15厘米。现在把一块长和宽都是8厘米，高是42厘米的长方体铁块垂直放入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？
【思路点拨】因为垂直放入长方体铁块，所以放入铁块后水的底面积＝水槽的底面积﹣长方体铁块的底面积，用水的体积除以水的底面积即可计算出上升后水的高度，再减去原来水的高度就是上升的高度。
【规范解答】解：3.14×102×15÷（3.14×102﹣8×8）
＝314×15÷250
＝4710÷250
＝18.84（厘米）
上升高度：18.84﹣15＝3.84（厘米）
答：这时水面上升3.84厘米。
【考点评析】解题关键是明确放入铁块后水的底面积＝水槽的底面积﹣长方体铁块的底面积
2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义 第19讲 组合图形的认识、表面积与体积 小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。 知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2)(bh ah ab ++ a ：长 b:宽 h ：高 S ：表面积 V abh = V Sh = 正方体 S=26a a ：棱长 S ：表面积 3V a = V Sh = 圆柱 222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积 2πV r h =圆柱 圆锥 22ππ360n S l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21π3 V r h =圆锥体 知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物h r h r 知识精讲
小升初数学总复习专题分类训练卷 圆、组合图形的面积 第一部分知识梳理 字母意义：O 圆心，r 半径，d 直径，π 圆周率,C 周长，S 面积特征：同一圆内，所有的半径、直径都分别相等，直径等于半径的2倍 对称性：圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线是圆的对称轴 1.圆圆的周长计算公式：C=πd=2πr ，半圆周长计算公式：C半圆=πr+2r=(π+2)r 圆的面积计算公式推导过程：将圆沿着直径等分成若干个扇形（偶数份），再拼成一个近似的长方形（分成的扇形越多，越接近长方形），长方形的长相当于圆的周 长一半（πr），宽相当与圆的半径，圆的面积等于长方形的面积。 所以：S圆=S长方形=πr×r=πr2 概念：两个半径不等的同心圆之间的部分称之为圆环。 各部分名称： ①外圆：圆环中较大的圆叫做外圆，其半径通常用R表示。 2.圆环②内圆：圆环中较小的圆叫做内圆，其半径通常用r表示。 ③环宽：外圆到内圆的距离叫做环宽环宽=R—r 圆环的面积计算方法：外圆的面积与内圆的面积之差是圆环的面积。 即：S圆环=S外圆—S内圆,S圆环=π(R2 —r2) 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧 3.扇形圆心角：弧的两个端点与圆心连结，所得两条半径的夹角叫圆心角 扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形叫扇形 割补（平移）法 组合图形的面积加减法 计算策略1 旋转、对称法 4.组合图形的要求阴影先求空白 面积计算包含与排除 组合图形的面积总面积=两部分面积和-重叠部分面积 计算策略2 巧添辅助线 等积转化（代换）
第二部分精讲点拨 例1判断下列各题是否正确： （1）圆的周长是直径的3.14倍。（） （2）圆是轴对称图形，直径是圆的对称轴。（） （3）世界上第一位把圆周率精确到七位小数的人物是祖冲之。（） 举一反三： 1.填空题： （1）经过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的（），圆有（）条直径。 （2）圆的面积推导公式是：将圆分成若干个扇形，再拼成一个近似的长方形，长方形的长相当于圆的（），长方形的宽相当于圆的（），所以圆的面积公式为（）。 （3）圆的半径扩大到原来的3倍，则它的周长就扩大到原来的（）倍，面积扩大到原来的（）倍。 2.选择题 （1）周长相等的正三角形、长方形、正方形、圆形，面积最大的是（）。 A.正三角形 B.长方形 C.正方形 D.圆形 （2）面积相等的长方形、正方形、圆形，周长最短的是（），周长最长的是（）。 A.正方形 B.长方形 C.圆形 （3）甲、乙是面积相等的正方形，甲中布满了大小相同且相邻的4个圆，乙中同样布满了大小相同且相邻的9个圆，甲中圆的面积和与乙中圆的面积和相比，结果是（）。 A.甲大于乙 B.乙大于甲 C.甲等于乙 D.无法比较 3.用同样的一根绳子，先后分别一个正方形与一个圆形，已知圆的半径比正方形的边长少2（π-2）米，求这根绳子的长度是多少米？ 小结： 例2 已知一个圆的半径是4厘米,这个圆的周长和面积各是多少？ 举一反三： 1.用圆规画一个周长是1 2.56分米，这个圆的面积是多少平方厘米？
组合图形的面积 一、单选题 1.如图中的阴影部分面积是（）平方厘米 A. 144 B. 72 C. 18 D. 无法确定 2.如图中阴影部分的面积是（）平方厘米．（单位：厘米） A. 132 B. 14.25 C. 289 D. 28.5 3.等腰梯形的一内角为45°，高等于上底，下底为9，那么梯形的面积为（）。 A. 27 B. 18 C. 36 D. 24 4.图中阴影部分的面积是（）平方厘米． A. 24 B. 28 C. 32 5.下面三幅图的阴影部分的面积相比较，( )的面积大。 A. 图(1)大 B. 图(2)大 C. 图(3)大 D. 同样大 二、填空题 6.求图中阴影部分的面积为________ (结果保留π)． 7.已知如图中三角形的面积是10平方厘米，图中圆的面积是________平方厘 米．
组合图形的面积是________平方厘米 9.求下列图形的面积是________dm2。。（单位：dm） 10.图中正方形的面积是12平方厘米，圆的面积是________平方厘米． 11.计算下面图形阴影部分的面积________．(单位：厘米) 12.（2015•长沙）如图，两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，则阴影部分的面积是________平方厘米． 13.先求右面图形中涂色部分的面积，再求小正方形的面积． 涂色面积________平方分米，小正方形面积________平方分米．
平行四边形AFEB的面积S=________平方厘米 平行四边形CFED的面积S=________平方厘米 15.下图表示的是一间房子侧面墙的形状．它的面积是________平方米． 16.求下面各图阴影部分的面积 （1）________ （2）________ 17.计算下面图形的面积________．(单位：厘米) 18.有一条引水渠穿过了一块麦地，这块地的总面积是引水渠占去的面积的________倍？ 19.把一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸片剪下一个最大的正方形，剩下部分的面积是________平方厘米．
小升初数学专题复习训练—空间与图形 周长、面积与体积（1） 知识点复习 一．长方形的周长 【知识点归纳】 周长：图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示． 计算方法： ①周长=长+宽+长+宽 ②周长=长×2+宽×2 ③周长=（长+宽）×2． 【命题方向】 例1：用一根长38厘米的铁丝围长方形，使它们的长和宽都是整厘米数，可以有（）种围法． A、7 B、8 C、9 D、10 分析：要求有几种围法，应依据长方形的周长公式，求出长和宽的和，再据条件“长和宽都是整数”进行推算即可． 解：长方形的周长=（长+宽）×2 所以长与宽之和是：38÷2=19（厘米） 由此可知：1+18=19、2+17=19、3+16=19、4+15=19、5+14=19 6+13=19、7+12=19、8+11=19、9+10=19． 一共有9种方法． 故选：C． 点评：此题主要考查长方形的周长公式及整数的加减问题，依据题目条件，可以推算出结果． 例2：一个周长为20米的长方形，如果把它的长和宽都增加5米，那么它的周长增加（） A、10米 B、20米 C、30米 D、40米 分析：抓住“长和宽都增加5米”，那么周长就增加了2个（5+5）的长度．由此计算得出即可选择正确答案． 解：（5+5）×2 =10×2
=20（米）； 答：那么它的周长增加20米． 故选：B． 点评：此题考查了长方形的周长公式的灵活应用． 二．正方形的周长 【知识点归纳】 正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长=边长×4． 用字母表示为c=4a． 【命题方向】 例1：正方形的边长是周长的（） A、B、C、D、 分析：因为正方形的周长是四条边的和，并且正方形的4条边都相等，所以正方形的边长是周长的．解：正方形的周长=边长×4，所以正方形的边长是周长的． 故选：A． 点评：此题主要考查正方形的边长和周长的关系，根据正方形周长是边长的4倍即可得出二者的关系． 例2：一个边长2分米的正方形，如果在四个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形，那么它周长与原来比，结果是（） A、减小 B、不变 C、增加 分析：正方形对边相等，所以减去后周长不变． 解：因为正方形对边相等，所以减去后周长不变． 故选：B． 点评：此题考查学生对空间的想象力． 三．梯形的周长 【知识点归纳】 梯形的周长=两腰长度+上底+下底．
2021-2022学年六年级数学下册典型例题系列之 期中专项练习： 求不规则或组合立体图形的表面积与体积（解析 版） 1．求如图图形的表面积。（单位：厘米） 【解析】 3.14×6×8÷2 ＝18.84×4 ＝75.36（平方厘米） 3.14×3×3 ＝9.42×3 ＝28.26（平方厘米） 6×8＝48（平方厘米） 75.36＋28.26＋48 ＝103.62＋48 ＝151.62（平方厘米） 2．求体积。（单位：dm） 【解析】 3.14×（4÷2）2×10＋3.14×（4÷2）2×6×1 3 ＝3.14×4×10＋3.14×4×6×1 3
＝125.6＋25.12 ＝150.72（立方分米） 3．计算下面图形的体积。 【解析】 3.14×（20÷2）2×4＋3.14×（20÷2）2×3÷3 ＝3.14×100×4＋3.14×100 ＝1256＋314 ＝1570（立方米） 4．看图求体积。（单位：cm） 【解析】 3.14×（6÷2）2×3.5÷3＋3.14×（6÷2）2×5.5 ÷3 ＝32.97＋51.81 ＝84.78（立方厘米） 5．计算下图的表面积与体积。（单位：厘米）
【解析】 （15×10＋15×2＋10×2）×2＋3.14×6×8 ＝400＋150.72 ＝550.72（平方厘米） 15×10×2＋3.14×（6÷2）²×8 ＝300＋226.08 ＝526.08（立方厘米） 6．计算下面模具（由正方体与圆柱体组成）的表面积与体积。（单位：厘米） 【解析】 表面积：30×30×6＋3.14×20×10 ＝900×6＋3.14×200 ＝5400＋628 ＝6028（平方厘米） 体积：30×30×30＋3.14×（20÷2）2×10 ＝900×30＋3.14×1000 ＝27000＋3140 ＝30140（立方厘米） 7．下图中圆柱的底面周长是6.28厘米，高是3厘米，求阴影部分的体积。 【解析】 3.14×（6.28÷3.14÷2）2×3×（1－1 3 ）
六年级小升初数学总复习【图形与几何】 专题训练(解析卷) 六年级小升初数学总复【图形与几何】专题训练【解析卷】 直线型面积】 1.在图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平 行四边形ABCD的面积。 解答：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边形ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。 2.图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米，求CD的 长。 解答：连结CB。三角形DCB的面积为4×4÷2-2=6（厘米2），CD=6÷4×2=3（厘米）。
3.有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它 们之间互相叠合。已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14。 绿色面积是10，求正方形盒子底部的面积。 解答：把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。 由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。 此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于（14+10）÷2=12. 因为绿：红=A∶黄，以是绿×黄=红×A，A=绿×XXX÷红 12×12÷20=7.2.正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2. 三角形的等积变换】： 4.如左下图是两个相同的直角三角形叠在一起组成的，求阴影部分的面积。 单位：分米） 谜底：32.5平方分米。
小升初第一轮总复习—空间与图形 组合图形的面积（一） ✎一、选择 1.从三张同样大小的正方形铁皮中，分别按下面的三种方式剪出不同规格的圆片。剪完圆片后，哪张铁皮剩下的废料多？（） A. 第一张 B. 第二张 C. 第三张 D. 一样多 2.观察下面三个图形，已知正方形大小相同，各图中涂色部分的面积相比（）。 A. 甲图中涂色部分面积最大 B. 乙图中涂色部分面积最大 C. 丙图中涂色部分面积最大 D. 三个图形中涂色部分面积一样大 3.右图中，三角形ABC是等腰直角三角形，图中涂色部分和空白部分的面积相比，（）。 A. 空白部分面积大 B. 涂色部分面积大 C. 面积一样大 D. 无法判断 4.下面5个图中，大、小正方形的面积分别相等。与图①涂色部分面积相等是图（）。 A. A B. B C. C D. D 5.下图平行线中涂色部分的面积是（）。 A. 675 cm2 B. 450cm2 C.225 cm2 D.无法确定
6.计算下图的面积（单位：cm），小明的算法是这样的：(12−6)×(10−5)÷2+12×5，下面（）表示了小明的思考过程。 A. B. C. D. 7.下图是三个完全相同的平行四边形，从中各剪去一个完全一样的正方形，则剩下部分的面积相比，（）。 A. 甲面积最大 B. 乙面积最大 C. 丙面积最大 D. 一样大 8.如图中阴影部分的面积是60平方厘米，空白部分的面积是 （）平方厘米。 A. 12 B. 30 C. 60 D. 无法判断 9.在下列图形中，每个小正方形边长都是1厘米，图中阴影面积最大的是（） A. B. C. D. 10.如图的两个图形阴影部分的周长与阴影部分面积 之间的大小关系是（） A. 周长相等，面积不相等 B. 面积相等，周长不相等 C. 面积、周长都相等 D. 周长和面积都不相等 11.如图是一个直角梯形，图中阴影部分面积是100平方厘米， 空白部分面积是（）平方厘米． A. 140 B. 120 C. 100 D. 70 12.如图阴影部分的面积是（） A. 36c m2 B. 42c m2 C. 48c m2 D. 56c m2
2020年六年级小升初专题综合训练图形的认识 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 ） A．长方形 B．平行四边形 C．梯形 2.图中有（）条线段． A．3条B．5条C．6条 3.图中一共有（）个锐角． A．4B．5C．6 4.把一个长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长与原长方形相比，（） A．大B．小C．一样大 5.下面哪个图形不能折成一个正方体．（） A． B． C． 6.求一个长方体水池能装多少水，就是求这个水池的（） A．占地面积 B．表面积 C．体积 D．容积 7.三角形中最多有（）个直角。 A.1 B.2 C.3 D.0 8.正方体的棱长扩大3倍，则体积扩大（）倍。 A.2 B.4 C.27 D.8 9.圆内最长的线段是（） A、半径 B、直径 C、周长 10.用一副三角尺可以拼成的角是（） ° 二、解答题 4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形．（先在左下图画出切割示意图，后在右下图画出新拼成的正方形示意图．）
12.如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积． 13.把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少？ 14.现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张。请你把它拼成一个长方形。 15.一个体积为160立方米的长方体中，两个侧面的面积分别是20平方米和32平方米，这个长方体的表面积是多少平方米？ 16.一个圆锥形麦堆，底面周长12.56米，高1.5米，每立方米小麦重735千克，这堆小麦重多少千克？（保留整千克） 17.一个圆柱形木块切成四块（如图1），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加了50.24平方厘米．若削成一个最大的圆锥体（如图3），体积减少了多少立方厘米？ 18.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以等腰直角三角形ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角ADE，…，以此类推直到第五个等腰直角三角形AFG．已知，这五个等腰直角三角形的面积和为15.5，求原来等腰直角三角形ABC的直角边的长． 1米的环形小路，这条小路的面积是多少？ 三、填空题 平行四边形具有 性，而三角形具有 性。 O2 O1 B A
小学数学-有答案-人教版小升初数学专题复习：面积与体积 一.填空. 1. 估计我们正在做的试卷的面积大小约是________． 2. 一个长方体物体长、宽、高如图所示，这个实物可能是________．（填一文化用品） 3. 图中，阴影部分的面积用字母表示是________，a2表示________的面积。 4. 一个平行四边形菜地的高是40m，底是105m，它的面积是________平方米，合 ________公顷。 5. 如图是平行四边形，图中数据为相应的面积数（单位：cm2），那么阴影部分的面 积是________cm2． 6. 某长方形足球场周长为350m，长和宽的比为3:2，则长为________m．国际比赛的 足球场的长可以是在100m到110m之间，宽在64m到75m之间，则这个足球场 ________可以作国际足球比赛场。（填“是”或“否”） 7. 一个长方体的长是4厘米，宽3厘米，高2厘米，它的表面积是________平方厘米。 可以切成棱长1厘米的立方体________块。 8. 教室长8m、宽6m、高3m，六(1)班有48名学生，平均每人占有的空间是________． 9. 如图，至少再摆上________个这样的正方体，可以得到一个长方体。 10. 如图中甲是用20个硬币堆成的，底面是个圆形，面积是5.3cm2，它的高度是4cm，那么甲的体积是________cm3．再用这20个硬币重新堆成乙图，乙的高度 ________4cm．（填“大于”、“小于”或“等于”） 11. 圆锥体底面直径是6厘米，高3厘米，体积是________立方厘米。
12. 一个长方体盒子从里面量长6dm，宽4dm，高5dm，若把棱长为2dm的正方体积木装进盒内（要求积木不能露出盒子），最多能装________块。 二．选择． 一本数学书的体积约是240() A.cm2 B.cm3 C.dm3 D.m3 根据下图给出的数据，面积最大的是图________，面积相等的是图________和图 ________ 贝贝家圆桌直径1米，现在要给它铺上台布，（）种台布比较合适。 A.100厘米×80厘米 B.120厘米×80厘米 C.80厘米×80厘米 D.120厘米×120厘米 在下图中，以直线为轴旋转，可以得出圆柱体的是（） A. B. C. D. 做一个底面直径2分米，高10分米的圆柱形铁皮通风管（接头处不计），至少要（）平方分米铁皮。 A.65.94 B.62.8 C.69.08 如图为某湖的地图，每一个方块代表1平方千米，那么这个湖的面积大约是（） A.60至65平方千米 B.30至35平方千米 C.5至10平方千米 D.15至20平方千米 用一条长16厘米的铁丝围成一个长方形，如果长和宽都是质数，它的面积是（）平方厘米。 A.6 B.10 C.15 D.21
组合图形的体积 典题探究 例1．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的体积是10立方厘米，表面积是36平方厘米． 例2．计算体积．（单位：厘米） 例3．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形．当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出．容器内的水有22.5升． 例4．有一个棱长是10厘米的正方体木块，在它的上、左、前三个面中心分别穿一个3厘米见方的孔，直至对面．求穿孔后木块的体积． 演练方阵 A档（巩固专练） 一．选择题（共5小题） 1．如图，三个半径分别为l米、l．5米和2米的同轴圆柱，每个圆柱高0.5米，这三个圆柱组成一个立体图形，这个立体图形的表面积是（）平方米．
A．42.39 B．39.25 C．36.11 D．25.12 2．图形甲和图形乙所占空间的大小关系，是甲（）乙． A．＞B．＜C．﹦ 3．把一个底面直径为a，高为a的圆柱恰好放入正方体盒子里，此时盒子剩余空间（） A． （1﹣）a3B． （1﹣）a3 C． （1﹣）a3 D． （1﹣）a3 4．两个棱长1分米的正方体并成一个长方体，并成的长方体的表面积（）原两个正方体的表面积之和． A．大于B．小于C．等于 5．用两根完全相同的圆柱形木料分别制作成右图中的两个模型（图中涂色部分），甲与乙的体积相比（） A．甲大B．乙大C．相等 二．填空题（共13小题） 6．如图中，每个小长方体的体积都是1立方厘米，那么图形的体积是_________，表面积是_________． 7．如图，是一个直立于水平面上的几何体（它是圆柱的一部分，下底面为圆面，单位：cm）．则这个几何体的体积为_________cm3．（计算结果保留π）
小学数学圆与组合图形面积专题 1．如图所示，大正方形与小正方形的面积之差为50平方厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米． A ．33.5π B ．37.5π C ．40π D ．47.5π 2．如图中，三角形ABC 是等腰直角三角形，图中阴影部分和空白部分的面积相比较，( ) A ．阴影部分的面积大 B ．空白部分的面积大 C ．面积一样大 D ．无法判断 3．计算如图阴影部分面积，正确的列式是( ) A ．26 6 3.14() 3.142⨯-⨯ B ．2216 6 3.14() 3.1422⨯⨯-⨯ C ．2216 [6 3.14() 3.14]22 ⨯⨯-⨯ D ．1 (62 3.146 3.14)2 ⨯⨯⨯-⨯ 4．下面是两张同样大小的正方形纸，分别剪出不同规格的圆片，剩下的面积( ) A ．第一张纸剩下的面积大 B ．第二张纸剩下的面积大 C ．两张纸剩下的面积一样大
5．如图，长方形ABCD 的面积是26m ，圆的面积是 2m 6．如图两个圆的半径都是4厘米，涂色部分的面积之和是 平方厘米． 7．长方形里有两个圆（如图），阴影部分的面积是27cm ，那么一个圆的面积是 平方厘米． 8．如图，这个图形的周长是 厘米． 9．如图阴影部分的面积是25cm ，环形的面积是 2cm ． 三．计算题（共7小题） 10．如图中正方形的边长为4cm ，求阴影部分的面积．
11．求如图阴影部分的面积．（单位：厘米） 12．计算如图图形中阴影部分的面积． 13．求如图阴影部分的面积． 14．求图中阴影部分面积． 15．如图中，已知圆的周长是25.12厘米，圆的面积与长方形的面积相等，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
长方体的再认识是初中数学六年级下学期第4章的内容．通过本章的学习，同学们需要掌握长方体的表示方法、长方体直观图的画法，理清长方体中棱与棱的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，并要学会如何检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的方法．难点是相关的长方体的表面积和体积的计算． 1、长方体的元素 长方体有六个面，八个顶点，十二条棱． 2、长方体的元素特征 （1）长方体的每个面都是长方形． （2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等． （3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同． 3、正方体是特殊的长方体 长方体的再认识 内容分析 知识结构 模块一：长方体的元素 知识精讲
例题解析 【例1】填空： （1）长方体有______个顶点； （2）长方体有______个面，每个面都是______，相对的两个面的面积______； （3）长方体共有______条棱，按棱的长短可分为______组，每组棱的长度相等，每组有______条棱． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】（1）8；（2）6；长方形；相等；（3）十二；三；四． 【总结】考查长方体的相关元素的概念． 【例2】判断： （1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（） （2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（） （3）长方体共有6个面；（） （4）长方体的六个面，至少有四个面的形状、大小相同；（） （5）平面就是水平面；（） （6）水平面是平面．（） 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】（1）正确；（2）错误：桌面所在的平面是无穷无尽的，但是桌面的面积是固定的； （3）正确；（4）错误，长方体至少有两个面形状大小相同； （5）错误：平面不一定是水平面（6）正确：水平面就是一个平面． 【总结】考查长方体的元素，注意进行辨析． 【例3】在长方体ABCD– EFGH中，与棱EF相等的棱是（） A．棱AB、棱CD、棱GH B．棱AB、棱AE、棱BF C．棱GH、棱EH、棱FG D．棱BC、棱CG、棱GF 【难度】★ 【答案】A 【解析】画图即可观察出，与一条棱相等的棱共有三条，分别是棱AB、棱CD、棱GH．【总结】考查长方体的棱的概念．
例1已知一个五边形的三条边的长和四个角，如图所示，那么，这个五边形的面积 例2.如图，梯形 ABCD 中，BC=2AD , E 、F 分别为BC 、AB 的中点.连接 EF 、FC . 例3•如图，每个小方格的面积是 Icm 2,那么△ ABC 的面积是 _______________ c m 2 . 例4•如图等腰三角形中阴影部分的面积是 __________________ 例5•求右图直角梯形中阴影部分的面积. （单位：厘米） 例6.求阴影部分的面积.（单位，厘米） 组合图形的面积 典题探究 是 ________ ABCD 的面积是
.选择题（共15小题） 3.由四个相同的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形 形的两条直角边的长分别是 3厘米和2厘米，大正方形的面积是 A ]∙⅜ IL —» ∣Q R 演练方阵 A 档（巩固专练） 1 .如图中，阴影部分的面积甲（ A .大于 B .小于 ）乙. C .等于 D .无法确定 2•如图中阴影甲的面积比阴影乙的面积大多少（ C . 4 （平方厘米） D . 10 （平方厘米） B . 14 C . 15 D . 25 ）平方厘米. 4.图中阴影部分的面积之和是（ （如图）.如果直角三角 ）平方厘米.
5•如图是由面积都是5平方厘米的8个三角形组成，图中阴影部分的面积是多少平方厘米? 6•如图，涂色部分面积是长方形面积的（） C.无法计算 A . 20 B . 24 C . 26 D . 30 的面积是40平方分米，三角形ABC的面积是25平方分米，则三角7.下图中梯形ABCD ) B . 15平方分米 C . 40平方分米 96平方厘米，则空白部分的面积为（ &如图，黑色部分的面积为 C . 120 D . 100 9. （?南城县）图中阴影部分占总面积的（ 5+5 × C. 5×5×D .訝普 A. ： ■： 3