第20讲组合图形的计算
知识网络
组合图形是由一些基本图形如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆和扇形等组合而成的图形。在本讲中，主要介绍长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形组合而成的图形。组合图形的计算，指的是与组合图形的面积、周长等有关的问题的计算。
对五种基本图形，首先要熟记它们面积的基本公式：
。
重点·难点
组合图形的计算是以上述几种基本图形为基础的。这几种基本图形的一些酝酿性质的恰当运用是本讲的重点。这些基本性质包括：等底等高的两个三角形面积相等；等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积比等于底之比。这三条性质都是三角形的性质，它们同样适用于平行四边形和长方形。
学法指导
在求组合图形的面积时，可用一些比较常用的方法，如：直接法、相加法和相减法、翻转法、等积移位法、重叠法。最终的目的是将这些图形转化成我们熟悉的简单规则图形的和或差。
同时，也可以构造图形，利用面积的关系来解一些代数题，如关于线段成比例等问题。
经典例题
[例1]有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？
思路剖析
先求出边长再求面积是一般解法，我们可以利用割补拼凑的方法利用图像来比较直观地求解本题。
解答
如图1所示，将两个正方形的一个顶点对齐，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形。
由于两个正方形的周长相差20厘米，从而它们的每边相差，即图2中长方
形的宽是5厘米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为55平方厘米，从而长方形的长为55÷5=11厘米。
由图中可知，长方形的长是直角梯形的上底和下底的和；长方形的宽是直角梯形的上底和下底的差，从而小正方形的长为（11-5）÷2=3（厘米）。
所以小正方形的面积为3×3=9（平方厘米）。
[例2]如图3所示，将△ABC的各边都延长1倍到，
得到一个新的，如果△ABC的面积为10，求△的面积。
思路剖析
本题仅知△ABC的面积为10，因此，必须根据三角形的两条基本性质：等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积等于底之比，来作出与△ABC等底或等高的三角形。
解答
在△和△ABC中，因为，所以的面积是△ABC的两倍。即
同理
所以
答：△ABC的面积是70。
[例3]如图4所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，那么这个四边形的面积是多少平方厘米（单位：厘米）？
思路剖析
这个四边形不是规则的图形，无法直接应用面积公式。可以连接AC，将其分割成两个直角三角形，但是求解这两个三角形面积的条件又不足。这时不妨把四边形看成整体的一部分，延长BA、CD交于点E（如图5所示），则所求四边形的面积就转化为两个等腰直角三角形面积之差。
解答
延长BA、CD交于点E，
则（平方厘米）
[例4]如图6所示，四边形ABCD是正方形，求阴影部分的面积。
思路剖析
本题的解法思路不外两种：
（1）由大正形的面积减去四个三角形的面积；
（2）由两个平行四边形AFCH和BGDE的面积和减去中间的四边形面积。这两种方法均可。下面我们采取第二种思路解题。
解答
平行四边形AFCH旋转90°后变成平行四边形BGDE，从而这两个平行四边形面积相等，并且有DE⊥AF，即四边表MNPQ是正方形。
从而阴影部分的面积
答：阴影部分的面积是。
[例5]长方形ABCD的周长是26厘米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形。已知这四个正方形的面积之和为178平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？
思路剖析
考虑到恰为长方形的长和宽之和，即为周长的一半，从而可以和构成一
个大正方形，如图7所示，其中包含长方形ABCD面积的两倍和两个正方形，这两个正方形的面积恰为178平方厘米的一半。
解答
延长，
故与的面积和为178÷2=89（平方厘米），长方形ABCD
和面积相等，所以。
答：长方形ABCD的面积是40平方厘米。
[例6]已知a和b均为正数，求证：。
思路剖析
如果a=b，上式左右相等，不等式成立。如果a≠b，我们可以将a、b看成线段的长度，
构造相应的线段，将代数式看成相应图形的面积，人而利用面积的大小关系来说明这两个代数式的大小关系。
解答
如果a=b，则，不等式成立。
若a≠b，以a、b为边长作正方形ABCD和BEFG，如图8所示，连接EG、AC，延长AC交EG与点M，由于∠MAB=∠MEB=45°，所以∠AME是直角。
从而
所以
综上所述，
[例7]如图9所示，正方形ABCD的边长为8厘米，M为AD边上的中点，求图中阴影部分的面积。
思路剖析
直接用三角形的面积公式来求解是比较难的。因此不妨通过添加适当的辅助线来化简问题。
解答
☆解法一：如图10所示，连接DG
（同底等高）
从而
由对称性
又有（等底等高）
所以
即
从而
☆解法二：将△CMD绕M点旋转180°，得到△PMA，如图11所示，则AB=CD=PA，CM=PM，连接PG，则（等底同高）；（等底同高）又由
由
所以
从而
[例8]图12a中的三角形纸片沿虚线折叠得粗实线图形(见图12b)，其面积与原三角形面积之比为2∶3已知图12b中三个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积是多少？
思路剖析
要解此种类型的题要有清晰的头脑，准确把握每个图形的关系，或者用列方程的方法也可以求解。
解答
☆解法一：因为三个画阴影的三角形的面积是1，而由已知条件折叠后的图形的面积是原三角形的面积的，面积减少了原三角形面积的。而减少的面积，恰为图中
重叠部分的面积，即重叠部分的面积是原三角形面积的。
因为原三角形的面积=三个阴影三角形的面积+两个重叠部分的面积，而两个重叠部分的面积是原三角形面积的，所以三个阴影三角形的面积是原三角形面积的，从而原三角形的面积为，因此重叠部分的面积为。
☆解法二：设重叠部分的面积是x，因此图12b中粗实线图形面积为x+1，原三角形的面积是：2x+1，根据题意，可列方程得
答：重叠部分的面积为1。
点津
恰当运用一些基本图形的基本性质有时可以使解题变得方便、快捷，而如何在关键的地方添上合适的辅助线，要靠多接触各种不同类型的题来提高水平，也要多进行试探。例如对例3，也许开始会考虑到将四边形分割成四个三角形来求面积，但是在这种方法不合适的情况下，要改变思路，另寻解题方法。又如对例题7，有时候可以用不同的辅助线来求解，所提供的两种解法都可以，但相比而言，第二种解法就比较简单，更容易理解。这要求同学们在做题中多尝试不同的方法。
发散思维训练
1．如图13所示，四边形ABCD的面积是______平方厘米（单位：厘米）。
2．用一根铁丝分别围成正方形、等边三角形和圆，那么这三种图形围成的面积的大小顺序是______。
3．如图14所示，在正方形中画了两个圆，将正方形分成四个区域，则A区域与B
区域面积相差______。
4．如图15所示，ABDE是以长方形ABCD的对角线BD为底的等腰梯形，已知三角形BDE的面积是200平方厘米，则长方形内半圆的面积是______。
5．如图16所示，在△ABC中，，BE=EF=FC，，则阴影部分面积是三角形ABC面积的______。
6．已知a、b均为正数，试用面积方法证明：
7．如图17所示，正方形的面积是27平方厘米，在正方形内有两条平行于对角线段把正方形的面积平均分成三份，求图中这两条线段的长是多少厘米？
8．如图18所示，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形，现在已知A的面积是2平方厘米，B的面积是4平方厘米，C的面积是6平方厘米。试问：原矩形的面积是多少平方厘米？
发散思维训练
1．解：
如答图1所示，延长AB、DC相交于点F，∠BCF=45°,AFC=45°，从而有∠FAE=45°因此△AFE是等腰直角三角形，故EF=AE=12厘米。
。而△CBF也是等腰直角三角形，所以BF=BC=6厘米。从而。
因此
2．解：
设铁丝的长度为a，那么它组成的正方形的边长为，从而正方形的面积是
；由铁丝圈围成的正三角形的边长是，从而它圈成的面积是；由铁丝围成的圆的半径是，从而它围成的面积是。
综上所述有：
3．解：
如答图2所示，要求出A区域与B区域的面积差，可以求（A+C）区域与（B+C）区域的面积差，由
从而有
4．解：
△ABD与△BDE同底等高，因此，设长方形的宽为r，
则，因此，而
。
5．解：
从而，即阴影部分
面积占三角形ABC面积的。
6．解：
当a=b时，恰好左式右式，不等号成立。当a≠b时，不妨设a>b，以a、b为长和宽作长方形ABCD，以b为边长作正方形BCFE，取AE的中点J，AJ为边长作正方形AJGH，如答图3所示。
显然
因
所以，从而
即
综合有
7．解：
如答图4所示，以一条线段BC为边作一个新的正方形ABCD。由于原正方形的面积是27平方厘米，所以，从而
，从而BC=6（厘米）。显然这两条平行线段的长度是相等的，因此它们的长度均为6厘米。
8．解：
图中的四个矩形是原矩形被两条直线分割得到的。矩形的面积等于一组邻边的乘积。从横向看，每行两个相邻矩形的倍比关系是一致的，B的面积是A的面积的2倍，那么D的面积也是C的面积的2倍，所以D的面积是2×6=12（平方厘米），从而原矩形的面积是2+4+6+12=24（平方厘米）。
小学六年级奥数竞赛试卷 一、填空题（共23小题，每小题3分，满分69分） 1．（3分）计算：（12345+23451+34512+45123+51234）÷5= 2．（3分）比较大小：（填＞、＜或=） 3．（3分）分数化成循环小数后，小数部分左起第2004个数字是．4．（3分）边长24厘米的等边三角形ABC，被分成面积相等的4个小三角形（如图）．那么线段DF比BE长厘米． 5．（3分）A、B两点分别是长方形的长和宽的中点，那么，阴影部分（如图）占长方形面积的（填几分之几）． 6．（3分）三角形ABC中（如图），DE将三角形分成甲、乙两部分．那么乙的面积是甲的面积的倍． 7．（3分）计算：． 8．（3分）……+++1+2+4+8+16+……+256+512=． 9．（3分）一个长方形，如果长和宽都增加4米，则面积增加88平方米．原来长方形的周长是米．
10．（3分）某个自然数与10的和与差均为完全平方数，这个自然数是．11．（3分）一筐苹果不足60个，若把它平均分给几个同学，则每人恰好分6个；若只分给其中几个女同学，则每个女同学可分到10个．共有位男同学．12．（3分）小王与甲、乙、丙、丁四人一起打乒乓球，每两人打一局，已知甲已打4局，乙已打3局，丙已打2局，丁已打1局．那么小王已打了局． 13．（3分）100以内只有10个不同约数的自然数是． 14．（3分）分母小于10且最接近1.14的最简分数是． 15．（3分）两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是． 16．（3分）两个循环小数0.96925和0.925，在小数点后第数位上首次同时出现数字7？ 17．（3分）等腰直角三角形的面积是4.5平方厘米，由8个这样的三角形组成一个正方形，这个正方形的周长是厘米． 18．（3分）一个六位数的左边第一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，所得的新六位数是原数的3倍．原数是． 19．（3分）对于小数0.0123456，要使它成为循环小数且小数部分左起第100位上数字是4，那么两个循环点应分别加在和这两个数字上． 20．（3分）甲、乙两个自然数，它们的和被3除余1，它们的差能被3整除．那么甲数被3除的余数是． 21．（3分）有四个分数：，其中最大的分数与最小的分数之和是． 22．（3分）有两堆棋子，若从第一堆拿1枚放到第二堆中去，则第二堆的棋子数是第一堆的2倍；若从第二堆拿1枚放到第一堆中去，则两堆棋子数恰好相同．第一堆有枚，第二堆有枚． 23．（3分）长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形．
圆和组合图形（后面有答案分析） 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是厘米.(保留两位小数) 5.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28 长厘米.
6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 45
二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米. 那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π 14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它 们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都 是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
第20讲面积计算（三） 一、知识要点 对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“2r”整体地代入面积公式求面积。 二、精讲精练 【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。 练习1： 1、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米） 2、如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 练习2： 1、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高 为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。 【例题3】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
练习3： 1、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。 练习4： 1、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。 2、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
3、如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。 【例题5】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。 练习5： 1、如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。 2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
组合图形面积计算（一） 一、知识要点 在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。 二、精讲精练 【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 圆的面积。 【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成1 4 ＝28.26（平方厘米） 62×3.14×1 4 答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。 练习1： 1．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 3．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。 从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。 3.14×21 4 4 －4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。 练习2： 1．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。 3．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。 【例题3】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。 【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。所以3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米）答：长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。 练习3： 1．如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴
圆和组合图形（后面有答案分析） 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数) 5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. AB 长40厘米, BC 长 厘米 .
6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 45
二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米. 那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π 14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它 们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都 是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
第20讲组合图形的计算 知识网络 组合图形是由一些基本图形如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆和扇形等组合而成的图形。在本讲中，主要介绍长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形组合而成的图形。组合图形的计算，指的是与组合图形的面积、周长等有关的问题的计算。 对五种基本图形，首先要熟记它们面积的基本公式： 。 重点·难点 组合图形的计算是以上述几种基本图形为基础的。这几种基本图形的一些酝酿性质的恰当运用是本讲的重点。这些基本性质包括：等底等高的两个三角形面积相等；等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积比等于底之比。这三条性质都是三角形的性质，它们同样适用于平行四边形和长方形。 学法指导 在求组合图形的面积时，可用一些比较常用的方法，如：直接法、相加法和相减法、翻转法、等积移位法、重叠法。最终的目的是将这些图形转化成我们熟悉的简单规则图形的和或差。 同时，也可以构造图形，利用面积的关系来解一些代数题，如关于线段成比例等问题。 经典例题 [例1]有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？ 思路剖析
先求出边长再求面积是一般解法，我们可以利用割补拼凑的方法利用图像来比较直观地求解本题。 解答 如图1所示，将两个正方形的一个顶点对齐，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形。 由于两个正方形的周长相差20厘米，从而它们的每边相差，即图2中长方 形的宽是5厘米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为55平方厘米，从而长方形的长为55÷5=11厘米。 由图中可知，长方形的长是直角梯形的上底和下底的和；长方形的宽是直角梯形的上底和下底的差，从而小正方形的长为（11-5）÷2=3（厘米）。 所以小正方形的面积为3×3=9（平方厘米）。 [例2]如图3所示，将△ABC的各边都延长1倍到， 得到一个新的，如果△ABC的面积为10，求△的面积。 思路剖析 本题仅知△ABC的面积为10，因此，必须根据三角形的两条基本性质：等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积等于底之比，来作出与△ABC等底或等高的三角形。 解答 在△和△ABC中，因为，所以的面积是△ABC的两倍。即 同理 所以 答：△ABC的面积是70。 [例3]如图4所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，那么这个四边形的面积是多少平方厘米（单位：厘米）？
六年级奥数--圆和组合图形 授课时间：年月日 学生姓名：老师姓名： 课时： 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为. 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是. 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是厘米.(保留两位小数 )
5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28 . 6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积为. 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB ,AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是平方厘米.)14.3(=π 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是平方厘米. 45
10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是平方厘米. 二、解答题 1.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2 、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 3.如图 :阴影部分的面积是多少?四分 10
之一大圆的半径为4.(计算时圆周率取722) 4、在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。 5.ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点,BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 6、如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO 1O 的面积。 7.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么 A 10 D C B
第二十讲 计数综合提高下 一、上楼梯模型 找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系 二、几何图形分平面——增量分析 考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点： 1. 交点越多越好； 2. 交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形）； 3. 有几段则增加几部分（有直线要先画直线） ． 三、传球法 1. 传球法是树形图的简化版本； 2. 传球规则决定累加规则； （1）首先从传球者角度考虑传球方法； （2）其次从接球者角度考虑如何累加； 3. 可以使用传球法的题型； （1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数问题； （2）环形染色问题． 四、插板法 用于求解“把m 个相同．．的球放到n 个不同．．的盒子中”这类问题． a) 注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的． b) 如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为1 1n m C --（把1n -个板插到1m -个 空隙中）． c) 如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为11n m n C -+-（先借n 个球，然后按照每 个盒子至少1个去放，最后再从每个盒子中拿出1个还回去）． d) 对其它情况，如：每个盒子至少2个，或者某些盒子可以没有，某些盒子至少 2个等，则需要做相应调整后才可应用上述结果． 五、对应法解计数问题 关键在于看出问题的本质，根据问题本质找到合适的方法，进行解题． 六、对于可以旋转或者可以翻转的题目，解题时要注意区分是否是不同情形． 这种题目通常要先固定一个部分，使之不能旋转或翻转，如果固定一个不够，则还需要再固定一个．
例1．满足下面性质的三位数称为“红数”：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如246、367是“红数”，但278就不是“红数”．请问：一共有多少个“红数”？ 「分析」大家还记得“传球法”吗？ 练习1、满足以下条件的四位数称为“N数”：它的个位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相邻两位数字差不超过2，例如3524是“N数”，但1234不是“N数”．一共有多少个“N数”？ 例2．（1）在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？ （2）在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？ 「分析」本题可以采用递推计数法． 练习2、在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？ 例3．一个长方形被分成7部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四Array种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？ 「分析」这道题目是否可以转化为一道环形染色问题呢？ 练习3、将如图的8部分用3种不同的颜色着色，且相邻的部分不能 使用同一种颜色，不相邻部分可以同色，那么共有多少种着色方法？
六年级奥数题-圆及组合图形(含分析答案解 析) 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
圆和组合图形（后面有答案分析） 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是厘米.(保留两位小数) 5.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28 长厘米.
6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米, 等腰直角三角形的面积 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 45
二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少( 圆周率14.3=π) 12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米. 那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米? .3(≈π
六年级奥数题-圆及组合图形含分析答案解析 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数) 5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. AB
6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积为 . 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面 积是 平方厘米.)14.3(=π 9.图形的总面积是 平方厘米. 10.在右图中(单位:厘米 ),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 二、解答题 11. ABC , BC 是半圆的直径,已知: 45
AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形 (阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π 14. 4个顶点,它 们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都 是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?