组合图形面积计算（一）
一、知识要点
在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
圆的面积。
【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成1
4
＝28.26（平方厘米）
62×3.14×1
4
答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。
练习1：
1．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
2．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
3．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.14×21
4
4
－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2：
1．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
2．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。
3．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。
【例题3】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。
【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。所以3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米）答：长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。
练习3：
1．如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴
影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。
2．如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的中点，求阴影部分的面
积。
3．如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。
【例题4】如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如图所示）。
I和II的面积相等。
因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以
6×4＝24（平方厘米）
答：阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4：
1．如图所示，求四边形ABCD的面积。
2．如图所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。
3．图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴
影部分的面积（单位：厘米）。
【例题5】如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度）
扇形的面积：2×2×3.14×60/360≈2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.16平方厘米。
练习5：
1．如图所示，∠1＝15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
2．如图所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：DC＝3：1。求阴影部分的面积。
3．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。
4、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）。
组合图形面积计算（二）
一、知识要点
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。
二、精讲精练
【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
[3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的
右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从
半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米
的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方
厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1：
1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
2．如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图所示。
3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。
3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
练习2：
1．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
2．如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。
3．如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
【例题3】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
【思路导航】解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3：
1．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
2．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
3．求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】这道题的难点在于正
方形的边长未知，这样扇形的半径也就
不知道。但我们可以看出，AC是等腰
直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角
三角形的对称性可知，斜边上的高等于
斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4：
1．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
2．如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
3．如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。
【例题5】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
3.14×（30×2）×1/4－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
练习5：
1．如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
2．如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
3．如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。
第20讲面积计算（三） 一、知识要点 对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“2r”整体地代入面积公式求面积。 二、精讲精练 【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。 练习1： 1、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米） 2、如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 练习2： 1、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘 米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。 【例题3】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
练习3： 1、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【例题4】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。 练习4： 1、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。 2、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
3、如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。 【例题5】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。 练习5： 1、如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。 2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
组合图形面积计算（一） 一、知识要点 在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。 二、精讲精练 【例题1】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 圆的面积。 【思路导航】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成1 4 ＝28.26（平方厘米） 62×3.14×1 4 答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。 练习1： 1．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 3．求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【例题2】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。 从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。 3.14×21 4 4 －4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是8.56平方厘米。 练习2： 1．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。 3．计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。 【例题3】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O的面积。 【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。所以3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米）答：长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。 练习3： 1．如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴
平面图形计算（一） 经典图形： 1. 任意三角形ABC 中，CD=31AC ，EC= 43 BC ，则三角形CDE 的面积占总面积的31?43=4 1（为什么） 2. 任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和 等于左右两个三角形面积之和。（为什么） 3. 任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。（1）腰上的两个三角形面积相等；（2）上下两个三角形 面积之积等于左右两个三角形面积之积。（为什么） 4. 正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方÷2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方 ÷2，或者等于斜边的平方÷4.（为什么） 例题： 例1． 如右图，三角形ABC 的面积是10，BE=2AB ，CD=3BC ，求三角形BDE 的面积。 例2． 如图，已知三角形ABC 的面积是1，延长AB 至D ，使BD=AB ，延长BC 至E ，使CE=2BC ，延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。
例3．如图，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AE=ED，EF=2BF，求AEF的面积。 例4．如图，ABCD是个长方形，DEFG是个平行四边形，E点在BC边上，FG过A点，已知，三角形AKF 与三角形ADG面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。求三角形BEK的面积。 F K B E C D G A 例5．如图，三角形ABC的AB和AC两条边分别被分成5等分。三角形ABC面积是500，求图中阴影部分的面积 例6．如图，设正方形ABCD的面积为120，E、F分别为边AB、AD的中点，FC=3GC，则阴影部分的面积是多少 A B C D F E G 例7．在如图所示的三角形AGH中，三角形ABC，BCD，CDE，DEF,EFG，FGH的面积分别是1，2，3，4，5，6平方厘米，那么三角形EFH的面积是多少平方厘米 A B C D E F G H 例8．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，EF平行于AC，如果三角形AED的面积为12平方厘米，，求三角形DCF的面积。 D C A B E F
求阴影面积的常用方法 计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。现介绍几种常用的方法。 一、转化法 此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。 例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和CD ⌒ 围成的阴影部分图形的面积为_________。 分析：连结CD 、OC 、OD ，如图2。易证AB//CD ，则??ACD OCD 和的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等 于扇形OCD 的面积。易得∠=?COD 60，故S S OCD 阴影扇形==?=606360 62ππ。 二、和差法 有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。 例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，ADE ⌒为1 4 圆，求阴影部分面积。 分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD 、扇形ADE 、Rt EBC ?。所以， S S S S A D E A B C D Rt EBC 阴影扇形矩形=+-=?+?-??=+?904360481 2 412482ππ。 三、重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。 例3. 如图4，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
第20讲组合图形的计算 知识网络 组合图形是由一些基本图形如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆和扇形等组合而成的图形。在本讲中，主要介绍长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形组合而成的图形。组合图形的计算，指的是与组合图形的面积、周长等有关的问题的计算。 对五种基本图形，首先要熟记它们面积的基本公式： 。 重点·难点 组合图形的计算是以上述几种基本图形为基础的。这几种基本图形的一些酝酿性质的恰当运用是本讲的重点。这些基本性质包括：等底等高的两个三角形面积相等；等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积比等于底之比。这三条性质都是三角形的性质，它们同样适用于平行四边形和长方形。 学法指导 在求组合图形的面积时，可用一些比较常用的方法，如：直接法、相加法和相减法、翻转法、等积移位法、重叠法。最终的目的是将这些图形转化成我们熟悉的简单规则图形的和或差。 同时，也可以构造图形，利用面积的关系来解一些代数题，如关于线段成比例等问题。 经典例题 [例1]有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？ 思路剖析
先求出边长再求面积是一般解法，我们可以利用割补拼凑的方法利用图像来比较直观地求解本题。 解答 如图1所示，将两个正方形的一个顶点对齐，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形。 由于两个正方形的周长相差20厘米，从而它们的每边相差，即图2中长方 形的宽是5厘米。又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为55平方厘米，从而长方形的长为55÷5=11厘米。 由图中可知，长方形的长是直角梯形的上底和下底的和；长方形的宽是直角梯形的上底和下底的差，从而小正方形的长为（11-5）÷2=3（厘米）。 所以小正方形的面积为3×3=9（平方厘米）。 [例2]如图3所示，将△ABC的各边都延长1倍到， 得到一个新的，如果△ABC的面积为10，求△的面积。 思路剖析 本题仅知△ABC的面积为10，因此，必须根据三角形的两条基本性质：等底的两个三角形面积比等于高之比；等高的两个三角形面积等于底之比，来作出与△ABC等底或等高的三角形。 解答 在△和△ABC中，因为，所以的面积是△ABC的两倍。即 同理 所以 答：△ABC的面积是70。 [例3]如图4所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，那么这个四边形的面积是多少平方厘米（单位：厘米）？
第六讲六年级奥数——组合图形（教师版）在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 一、知识储备 二、例题讲解 1、求阴影部分的面积。（单位：厘米） 25 2、如图所示，大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和是多少平方厘米？ 50 3、求图形面积（单位：厘米）（π取3） 16
4、如图，ABCD和DEFG都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 28 5、求阴影部分的面积。（单位：米） 19 2 6、如图，AB=5厘米，CE=12厘米，CD=10厘米。AF=9厘米，求四边形ABCD 的面积。 75 7、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积。（单位：厘 米） 32
8、等边三角形ABC，分别把AB、AC三等分得到DEGF四个点，连接DE和FG，求四边形DEGF的面积是三角形ABC面积的几分之几？ 1 3 9、如图，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米，求长方形EFGH的面积。 16 10、如图，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 14 11、求下图中四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 20
12、如图，在两个相同的等腰直角三角形中各有一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？ 32 13、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米。求乙正方形的面积。 81 【练习】 1、求阴影部分的面积。（单位：米） 22.5 2、求阴影部分的面积。（单位：厘米） 5.375
组合图形的面积(一) 例1一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 练习一 1、求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 2、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 3、有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。
例2正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。 练习二 1、已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。 2、如下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。 3、求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
例3四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？ 练习三 1、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分面积。 2、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。 3、下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？
例4下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的 面积是多少平方厘米？ 练习四 1、如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分 的面积。 2、在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米） 3、图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面 积大10平方厘米。求平行四边形的面积。
六年级数学组合图形的面积试题答案及解析 1.我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 【答案】18 【解析】图形内部格点数；图形边界上的格点数；根据毕克定理，则(单 位面积)． 2.两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为，右下角的阴影部分(线状)面积为，求大正方 形的面积． 【答案】19 【解析】块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个方格的面积是 大正方形的面积为． 3.如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是 ，求平行四边形与四边形的面积比． 【答案】1/18 【解析】 连接、．根据共角定理 ∵在和中，与互补， ∴． 又，所以． 同理可得，，． 所以．
所以． 4.如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积． 【答案】100 【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对 角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化． 如右图所示，连接、、，则，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得，，所以阴影部分的面积就等于正方形的面积，即为平方厘米． 5.如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少？ 【答案】6 【解析】 如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等， 所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米． 6.在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
圆和组合图形（后面有答案分析） 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为 . 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 4.如图所示,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是厘米.(保留两位小数) 5.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28 长厘米.
6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米. 45
二、解答题 11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米? 13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π 14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它 们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都 是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
面积计算（一） 专题简析： 在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。 例题1。 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 练习1 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 6 19－ 1 19－2 19－ 3
例题2。 求图19－5中阴影部分的面积（单位：厘米）。 练习2 计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 例题3。 如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO 1O 的面积。 19－5 4 19－7 19－8 19－ 9
练习3 1、如图19－11所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部 分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形 2、如图19－12所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的重点，求阴影部分的面积。 3、如图19－13所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。 例题4。 如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示），因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分 的两组三角形面积分别相等，所以I和II的面积相等。 19－11 19－12 C B C 19－13 19－14 B 4 6 I
1、 如图19－15所示，求四边形ABCD 的面积。 2、 如图19－16所示，BE 长5厘米，长方形AEFD 面积是38平方厘米。求CD 的长度。 3、 图19－17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部 分的面积（单位：厘米）。 例题5 。 如图19－18 所示，图中圆的直径AB 是4厘米，平行四边形ABCD 的面积是7平方厘米， ∠ABC ＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。 19－15 A B 19－17 D 19－16 19－18 B B
第十九周 面积计算（二） 专题简析: 在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。 例题1。 求图中阴影部分的面积（单位:厘米）。 【思路导航】如图19－1所示的特点，阴影部分的面积可以拼成1 4 圆的面积。 62×3.14×1 4 ＝28.26（平方厘米） 答:阴影部分的面积是28.26平方厘米。 练习1 求下面各个图形中阴影部分的面积（单位:厘米）。 6 6 19－ 1 19－2 19－ 3 19－4
例题2。 求图19－5中阴影部分的面积（单位:厘米）。 【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图19－6所示），从 图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。 3.14×42×1 4 －4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米） 答:阴影部分的面积是8.56平方厘米。 练习2 计算下面图形中阴影部分的面积（单位:厘米）。 例题3。 如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO 1O 的面积。 【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影 部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。所以 19－5 4 19－7 19－8 19－6 19－ 9 19－10
3.14×12×1 4×2＝1.57（平方厘米） 答:长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。 练习3 1、如图19－11所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部 分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形 2、如图19－12所示，直径BC＝8厘米，AB＝ AC，D为AC的重点，求阴影部分的面积。 3、 如图19－13所示，AB ＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。 例题4。 如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位:厘米）。 【思路导航】我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示），因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等， 并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以I和II的面积相等。 6×4＝24（平方厘米） 答:阴影部分的面积是24平方厘米。 练习4 1、如图19－15所示，求四边形ABCD的面积。 2、如图19－16所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长度。 3、图19－17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部 分的面积（单位:厘米）。 19－11 19－12 C 8 B C 19－13 19－14 B 4 6 19－15 7 A B 19－17 D 19－16
六年级奥数--圆和组合图形 授课时间：年月日 学生姓名：老师姓名： 课时： 一、填空题 1.算出圆内正方形的面积为. 2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米. 3.一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是. 4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是厘米.(保留两位小数 )
5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28 . 6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积为. 7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是度. 8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB ,AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是平方厘米.)14.3(=π 9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是平方厘米. 45
10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是平方厘米. 二、解答题 1.求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2 、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 3.如图 :阴影部分的面积是多少?四分 10
之一大圆的半径为4.(计算时圆周率取722) 4、在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。 5.ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点,BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π) 6、如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO 1O 的面积。 7.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么 A 10 D C B
第18讲面积计算（一） 一、知识要点 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 二、精讲精练 【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米， AE＝ED，BD=2/3BC，求阴影部分的面积。 练习1： 1、如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分 的面积。 2、如图所示，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。 3、如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。 求三角形ABC的面积。
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？ 练习2： 1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？ 2、已知AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。 【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图所示）。
练习3： 1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图）。 2、如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。 【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面 积是多少平方厘米？ 练习4： 1、如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。
小升初数学组合图形的面积 +数学趣题+分数计算技巧+奥数题训练及答案解析 组合图形的面积 一、 知识要点： 1. 我们学过的常见多边形的周长和面积求法: 2.计算不规则图形的面积，常用到哪些方法？ 二、知识运用典型例题。 例题1：如图，两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形， （1） 请写出图中面积相等的三角形？ （2） 已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？ （3） 求梯形ABCD 的面积？ B C
例2：长方形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形EBC 的面积是30平方厘米，两块阴影部分的面积相差多少? 例3：如下图，长方形ABCD 的面积是20平方厘米，三角形ADF 的面积为5平方厘米，三角形ABE 的面积为7平方厘米，求三角形AEF 的面积。 例4：如下图，已知四条线段长分别是AB=2，CE=6，CD=5，AF=4，并有两个直角， 求四边形ABCD 的面积。 D B C A D
三、知识运用课堂练习。 1、三角形EBC的面积是40平方厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大 10平方厘米。 求平行四边形ABCD的面积？ 2、如下图，长方形的长和宽分别是12和9，把三角形的三条边分别平均分成三 段，得到A，B，C，D，E，F六个点，连接AF、BC、DE，得到一个六边形。这个六边形的面积是多少？ 3、在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD 的面积大 18厘米2。求ED的长。 4、下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积。
课后练习 等级 1、下图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。 2、下图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形E DF 的面积大9厘米2，求ED 的长。 3、（动手操作题）右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。（至少要有4种不同的方法） 甲 乙
六年级奥数专题-面积计算 面积计算（一） 专题简析: 计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。 例题1。 已知图18－1中,三角形ABC 的面积为8平方厘米,AE ＝ED,BD=2 3 BC,求阴影部分的面 积。 【思路导航】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF 的面积无法直接计算。由于AE=ED,连 接DF,可知S △AEF =S △EDF （等底等高）,采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。 因为BD=2 3 BC,所以S △BDF ＝2S △DCF 。又因为AE ＝ED,所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。 因此,S △ABC ＝5 S △DCF 。由于S △ABC ＝8平方厘米,所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米）,则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。 练习1 1、 如图18－2所示,AE ＝ED,BC=3BD,S △ABC ＝30平方厘米。求阴影部分的面积。 2、 如图18－3所示,AE=ED,DC ＝1 3 BD,S △ABC ＝21平方厘米。求阴影部分的面积。 3、 如图18－4所示,DE ＝1 2 AE,BD ＝2DC,S △EBD ＝5平方厘米。求三角形ABC 的面积。 A B C F D E 18－2 A B C F E D 18－1 A B C F E D 18－3 C B D A E F 18－4
六年级图形问题综合奥数含答案解析 经典图形： 1 3 1 3 1 1. 随意三角形 ABC 中， CD= 3 AC ， EC= 4 BC ，则三角形 CDE 的面积占总面积的 3 4 = 4 （为什 么？） 2. 随意平行四边形中随意一点，分别连结四个极点，构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和等于左右两个三角形面积之和。（为何？） 3. 随意梯形，连结对角线，构成四个三角形。（ 1）腰上的两个三角形面积相等；（ 2）上下两个三角形 面积之积等于左右两个三角形面积之积。（为何？） 4. 正方形的面积等于边长的平方，或许等于对角线的平方 2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方 2，或许等于斜边的平方 4.（为何？） 例题： 例 1． 如右图，三角形 ABC 的面积是 10， BE=2AB ，CD=3BC ，求三角形 BDE 的面积。 例 2． 如图，已知三角形 ABC 的面积是 1，延伸 AB 至 D ，使 BD=AB ，延伸 BC 至 E ，使 CE=2BC ，延伸 CA 至 F ，使 AF=3AC ，求三角形 DEF 的面积。 1/11
例 3．如图，三角形ABC 的面积是180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AE=ED ， EF=2BF ，求 AEF 的面积。 例 4．如图， ABCD 是个长方形， DEFG 是个平行四边形， E 点在 BC 边上， FG 过 A 点，已知，三角形AKF 与三角形ADG 面积之和等于 5 平方厘米， DC=CE=3 厘米。求三角形BEK 的面积。 G A D F K B E C 例 5．如图，三角形 ABC的 AB和 AC两条边分别被分红 5 均分。三角形ABC面积是 500，求图中暗影部分 的面积？ 例 6．如图，设正方形ABCD 的面积为 120， E、 F 分别为边 AB 、 AD 的中点， FC=3GC ，则暗影部分的面积是多少？ F A D E G B C 例 7．在以以下列图的三角形AGH中，三角形 ABC， BCD，CDE， DEF,EFG， FGH的面积分别是 1，2， 3，4，5， 6 平方厘米，那么三角形 EFH的面积是多少平方厘米？ H F D B A C E G 例 8．如图，在平行四边形ABCD中， AC为对角线， EF平行于 AC，假如三角形 AED的面积为 12 平方厘米，，求三角形DCF的面积。