八年级初二数学下学期平行四边形单元达标提高题检测试题
一、解答题
1．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ?沿BE 折叠，点A 的对应点为点
G ．
图1 图2
（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ． ①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB =
，试探索线段DF 与FC 的数量关系．
2．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．
3．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”． （1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC 中，AB =2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点
P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．
4．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90?得到点B ,连接AB .
(1)求出直线BC 的解析式；
(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 10,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值. (3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.
5．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.
（1）当1x =时，点M 的坐标为（ ， ）
（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围. （3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）
6．如图，ABCD 中，60ABC ∠=?，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．
（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，
AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=?，求证：3BG GD AG +=．
7．如图，ABC ?是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点
B 、
C 重合），ADE ?是以A
D 为边的等边三角形，过点
E 作BC 的平行线，交直线
AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由； （2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
8．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒： （1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示） （2）当t 为何值时，△ABP ≌△DCP ？
（3）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /秒的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
9．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以
E 为顶点，ED 为一边，作DE
F A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有1
2
CBE ABF ∠=
∠．
（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=?，求证：BE BF =；
（2）如图2，当3
2
b a =
时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________；
②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=； ③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ?矩形的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF 【分析】
（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ?∠=∠=，由折叠得：
90BGE A ?∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：
AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；
（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；
②设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=
14a ，即CF=14
a ，DF=a-x=
3
4
a ，进而可得DF 与CF 关系． 【详解】
（1）四边形ABGE 的形状是正方形． 理由是：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90A ABC ?∠=∠=，
由折叠得：90BGE A ?∠=∠=，
∴四边形ABGE 为矩形， 由折叠得：AB=BG ， ∴矩形ABGE 为正方形； 故答案为：正方形． （2）①如图，连结EF ，
在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°， ∵E 是AD 的中点， ∴AE=DE ，
∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ， ∴BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°， ∴∠EGF=∠D=90°， Rt △EGF 和Rt △EDF 中，
EG ED
EF EF =??
=?
， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ）， ∴DF=FG ，
∴BF=BG+GF=AB+DF ；
②不妨假设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ， 由①得BF=AB+DF=a+a-x=2a-x ， 在Rt △BCF 中，由勾股定理得： BF 2=BC 2+CF 2， 即(2a-x)23a)2+x 2， 整理得：x=1
4
a ， ∴CF=
1
4
a ，DF=a-x=34a ，
∴DF=3CF ． 【点睛】
本题主要考查了折叠的性质，正方形的判定，三角形全等的判定，勾股定理等内容，根据图形作出辅助线找出线段的等量关系列出方程是解题的关键．
2．（1）BD ⊥CF ，CF=BC-CD ；（2）CF=BC+CD ，见解析；（3）①CF=CD?BC ，②等腰三角形，见解析
【分析】
（1）先说明△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得
CF⊥BD、CF=BD，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD；
（2）先利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；（3）①与（2）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；
②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出
∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明
△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半求出OC=1
2
DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC
是等腰三角形．
【详解】
（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAF
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°
∴∠FCB=∠ACF+ ∠ACB=90°，即CF⊥BC
∵BD+CD=BC
∴CF+CD=BC；
故答案为：BD⊥CF，CF=BC-CD；
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠CAF=∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；
（3）①与（2）同理可得，BD=CF ， 所以，CF=CD?BC ； ②∵∠BAC=90°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 则∠ABD=180°?45°=135°， ∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD=AF ，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF ， 在△BAD 和△CAF 中， AB=AC ，∠BAD=∠CAF ，AD=AF ， ∴△BAD ≌△CAF(SAS)， ∴∠ACF=∠ABD=180°?45°=135°， ∴∠FCD=∠ACF?∠ACB=90°， 则△FCD 为直角三角形， ∵正方形ADEF 中，O 为DF 中点， ∴OC=
1
2
DF ， ∵在正方形ADEF 中，OA=1
2
AE ，AE=DF ， ∴OC=OA ，
∴△AOC 是等腰三角形． 【点睛】
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及同角的余角相等的性质，在（1）证明三角形全等得到思路并推广到（2）（3）是解答本题的关键.
3．（1）5；（2）正确，证明详见解析；（3）存在，有四种情况，面积分别是：
1+
2，1+2
，1+22，3+22 【分析】
（1）根据勾股定理计算BC 的长度,
（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判断,
（3）有四种情况，作辅助线，将四边形分成两个三角形和一个四边形或两个三角形，相加可得结论. 【详解】 （1）∵BD ⊥CD ∴∠BDC =90°，BC >CD
∵在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，
∴AB =AD =CD =3, ∵BD=4，
∴BC =225CD BD +=, （2）正确． 如图所示：
∵AB =AD
∴ΔABD 是等腰三角形． ∵AC ⊥BD ． ∴AC 垂直平分BD ． ∴BC =CD ∴CD =AB =AD =BC ∴四边形 ABCD 是菱形． （3）存在四种情况，
如图2，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过C 作CF PE ⊥于F ，则∠CFE=90,
∵EP 是AB 的垂直平分线， ∴90AEF A ==∠∠ , ∴四边形AEFC 是矩形， 在Rt ABC 中，2,2AB AC BC === ,
∴22
CF AE BE === , ∵2AB PC ==
∴2262
PF PC CF =
-=
∴BEP
CFP
AEFC S S S S
=++四边形ABPC 矩形
1262126222222222=?+??
33
2
+=
如图4，四边形ABPC 是“准等边四边形”,
∵2AP BP AC AB ==== ,
∴ABP △是等边三角形， ∴2313(2)221422
ABP ABC
S S
S
=+=
?+??=+四边形ACBP ; 如图5，四边形ABPC 是“准等边四边形”,
∵2AB BP BC === ,PE 是AB 的垂直平分线， ∴,PD AB ⊥ E 是AB 的中点， ∴12
22
BE AB =
=
, ∴2
222214
222PE PB BE ??=-=-= ? ???
∴ACBP 11417
222122APB ABC
S S
S
=+=
??+??=+四边形 如图6，四边形ABPC 是“准等边四边形”,过P 作PF AC ⊥于F ，连接AP ，
∵2AB AC PB ===
∴6
2
PE =
， ∴161231
2222222
APB APC
ABPC S S
S
=+=
?+=
四边形
【点睛】
本题考查了四边形综合题，矩形和菱形的判定和性质，“准等边四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形和矩形解题，学会用分类讨论的思想解决问题，难度较大，属于中考压轴题.
4．（1）
1
2
3
y x
=
-+；（2）t=
2
3
s时，四边形ABMN是平行四边形；（3）存在，点Q 坐标为：
618
,
55
??
?
??
或(3,1)
-或(3,1)
-或
155
,
88
??
-
?
??
.
【分析】
（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．证明△COA≌△AHB（AAS），可得BH=OA=1，
AH=OC=2，求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）利用平行四边形的性质求出点N的坐标，再求出AN，BM，CM即可解决问题．（3）如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，分别求解即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．
∵A（1，0）、C（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，∠CAO+∠BAH=90°，
∴∠ACO=∠BAH，
∵AC=AB，
∴△COA≌△AHB（AAS），
∴BH=OA=1，AH=OC=2，
∴OH=3，
∴B（3，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有
2
31
b
k b
=
?
?
+=
?
，
解得：
1
3
2
k
b
?
=-
?
?
?=
?
，
∴
1
2
3
y x
=-+；
（2）如图2中，
∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，
∴直线AN的解析式为：
11
33
y x
=-+，
∴
1
0,
3
N
?? ???
，
∴
10
3 BM AN
==，
∵B（3，1），C（0，2），∴BC=10，
∴
210 CM BC BM
=-=，
∴
2102
10
33
t=÷=，
∴t=2
3
s时，四边形ABMN是平行四边形；
（3）如图3中，
如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1．菱形OBP3Q3，连接OQ交BC于E，
∵OE⊥BC，
∴直线OE 的解析式为y=3x ，
由31
23y x y x =???=-+??，解得：35
95x y ?=????=??， ∴E （
35，9
5）， ∵OE=OQ ，
∴Q （
65，18
5）， ∵OQ 1∥BC ，
∴直线OQ 1的解析式为y=-
1
3
x ， ∵OQ 1
，设Q 1（m ，-1m 3
），
∴m 2+
19m 2
=10， ∴m=±3，
可得Q 1（3，-1），Q 3（-3，1），
当OB 为菱形的对角线时，可得菱形OP 2BQ 2，点Q 2在线段OB 的垂直平分线上， 易知线段OB 的垂直平分线的解析式为y=-3x+5，
由351
3y x y x =-+???=-??，解得：158
58x y ?=????=-??
， ∴Q 2（
158
，5
8-）．
综上所述，满足条件的点Q 坐标为：618,55??
???或(3, 1)-或( 3,1)-或155,88??- ???
. 【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．（1）点M 的坐标为(51)，
；（2）()44y x =-()04x <<；（3
）(
)
240Q x +，
()3
40Q x +
，()
4
0Q x ，
()
25160
(224)Q x x x --<<，
【分析】
（1）过点M 作ME OA ⊥，由“AAS ”可证COP PEM ???，可得4CO PE ==，
1OP ME ==，即可求点M 坐标；
（2）由（1）可知COP PEM ???,设OP=x ，则可得M 点坐标为（4+x ，x ），由直线OB
解析式可得N （x ，x ），即可知MN=4，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形BCNM 是平行四边形，进而可求y 与x 的函数关系式；
（3）首先画出符合要求的点Q 的图形，共分三种情况，第一种情况：当MN 为底边时，第二种情况：当M 为顶点MN 为腰时，第三种情况：当N 为顶点MN 为腰时，然后根据图形特征结合勾股定理求出各种情况点的坐标即可解答． 【详解】
解：（1）如图，过点M 作ME OA ⊥，
CP PM ⊥
90CPO MPE ∴∠+∠=?，且90CPO PCO ∠+∠=?
PCO MPE ∴∠=∠，且CP PM =，90COP PEM ∠=∠=?
()COP PEM AAS ∴???
4CO PE ∴==，1OP ME == 5OE ∴=
∴点M 坐标为(5,1)
故答案为(5,1)
（2）由（1）可知COP PEM ???
4CO PE ∴==，OP ME x ==
∴点M 坐标为(4,)x x +
四边形OABC 是边长为4的正方形，
∴点(4,4)B
∴直线BO 的解析式为：y x =
//MN AO ，交BO 于点N ，
∴点N 坐标为(,)x x
4MN BC ∴==，且//BC MN ∴四边形BCNM 是平行四边形
4(4)y x ∴=- (04)x <<
（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN ?是等腰三角形，
此时点Q 的坐标为：1(2,0)Q x +，22(416Q x x +--，0)，23(416Q x x ++-，
240)(16Q x x +-，250)(16Q x x --，0)其中(04)x <<，
理由：当（2）可知，(04)OP x x =<<，4MN PE ==，//MN x 轴，所以共分为以下几种请：
第一种情况：当MN 为底边时，作MN 的垂直平分线，与x 轴的交点为1Q ，如图2所示
111
222
PQ PE MN =
==， 12OQ x ∴=+， 1(2,0)Q x ∴+
第二种情况：如图3所示，
当M 为顶点MN 为腰时，以M 为圆心，MN 的长为半径画弧交x 轴于点2Q 、3Q ，连接
2MQ 、3MQ ，
则234MQ MQ ==，
2222Q E MQ ME ∴=-
222416OQ OE Q E x x ∴=-=+-， 22(416Q x x ∴+-0)， 32Q E Q E =，
233416OQ OE Q E x x =+=++-， 23(416Q x x ∴++-，0)；
第三种情况，当以N 为顶点、MN 为腰时，以N 为圆心，MN 长为半径画圆弧交x 轴正半轴于点4Q ，
当022x <<时，如图4所示，
则2224416PQ NQ NP x =
-=-，
24416OQ OP PQ x x ∴=+=+-，
即24(16Q x x +-，0)． 当22x =时，
则4ON =，此时Q 点与O 点重合，舍去；
当224x <<时，如图5，以N 为圆心，MN 为半径画弧，与x 轴的交点为4Q ，5Q ．
4Q 的坐标为：24(16Q x x -0)．
2516OQ x x =- 25(16Q x x ∴-0)
所以，综上所述，1(2,0)Q x +，22(416Q x x +-，0)，23(416Q x x ++-，
240)(16Q x x +-250)(16Q x x -，0)使QMN ?是等腰三角形．
【点睛】
本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，画出相应的图象，找出所求问题需要的
条件，利用数形结合的思想解答问题． 6．（1）63；（2）见详解． 【分析】
（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE ，然后求出三角形面积；
（2）利用已知条件能够求出ABF ≌ADH ，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD 转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果． 【详解】
解：（1）
如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ． ∵60ABC ∠=?，6AB AE == ∴△ABE 为等边三角形， ∴AB=BE=AE=6 即：AN=3
3∵:5:2BC CE = ∴:5:3BC BE = ∵BE=6 ∴BC=10 ∴EC=4 ∴11
3346322
ACE
S
AN EC =
=?=即：ACE △的面积为3． （2）
如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ， ∵AH=AF ， ∴∠AFH=∠AHF 即：∠AFB=∠AHD ， 又∵AF=AH ，BF=DH ， ∴ABF ≌ADH ∴AB=AD
又∵180ABG ADG ∠+∠=?，180ADP ADG ∠+∠=?， ∴∠ABG=∠ADP ∵BG=DP ， ∴ABG ≌ADP △ ∴AG=AP ，∠BAG=∠DAP ∵∠ABC=60° ∴∠BAD=120° 即：∠GAP=120° ∴∠AGP=∠APG=60°， 又∵AM ⊥GD ∴3， ∵BG=GP
∴BG+GD=GD+DP=GP 即：3．
【点睛】
本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．
7．（1）平行四边形，理由见解析；（2）9；（3）可为菱形，BD=6或0 【分析】
（1）先证明()EAB DAC SAS ???，得60ABE C ∠=∠=?，可得//AC BE ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BCFE 是平行四边形；
（2）如图2，证明90AEB =?∠，根据直角三角形30度角所对的直角边为斜边的一半可得
BE 的长，根据平行四边形的周长计算方法可得结论；
（3）分两种情况：①当D 在边BC 的延长线上；②当D 在边BC 上时；分别画图可得
BD 的长． 【详解】
解：（1）如图1，四边形BCFE 是平行四边形，理由是：
ABC ?和ADE ?是等边三角形，
AB AC ∴=，AD AE =，60EAD BAC ∠=∠=?， EAB DAC ∴∠=∠，
()EAB DAC SAS ∴???，
60ABE C ∴∠=∠=?， 60BAC ∠=?，
BAC ABE ∴∠=∠， //AC BE ∴， //EF BC ，
∴四边形BCFE 是平行四边形；
（2）如图2，ADE ?是等边三角形，且DE AB ⊥，
30EAB DAB ∴∠=∠=?，
由（1）知：60ABE ∠=?，
90AEB ∴∠=?，
1322
BE AB ∴=
=， ∴四边形BCFE 的周长3
2()2(3)92
BE BC =+=?+=；
（3）分2种情况：
①如图3，当四边形BCFE 是菱形时，BE BC =，
由（1）知：3BE CD ==， 336BD ∴=+=；
②如图4，当四边形BCFE 是菱形时，B 和D 重合，A 和F 重合，此时0BD =；
综上，BD 的长为6或0． 【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，菱形的性质，平行四边形的判定，正确画图和分类讨论思想的运用是解本题的关键． 8．（1）(10﹣2t )；（2）t ＝2.5；（3）2.4或2 【分析】
（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；
（2）当t ＝2.5时，△ABP ≌△DCP ，根据三角形全等的条件可得当BP ＝CP 时，再加上AB ＝DC ，∠B ＝∠C 可证明△ABP ≌△DCP ；
平行四边形的性质 一．选择题（共20小题） 1．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（） A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确 2．若平行四边形的一边长为5，则它的两条对角线长可以是（） A．12和2 B．3和4 C．4和6 D．4和8 3．如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60度，AB=5cm，则下面结论正确的是（） A．BC=5cm，∠D=60度B．∠C=120度，CD=5cm C．AD=5cm，∠A=60度D．∠A=120度，AD=5cm 4．如图所示，一个平行四边形被分成面积为S 1，S 2 ，S 3 ，S 4 的四个小平行四边 形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1?S 4 与S 2 ?S 3 的大小关 系为（）A．S 1?S 4 ＞S 2 ?S 3 B．S 1 ?S 4 ＜S 2 ?S 3 C．S 1 ?S 4 =S 2 ?S 3 D．不 能确定 5．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S 1，S 2 之间的大小关系（） A．S 1=S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 ＜S 2 D．无法确定
7．下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（） A．B． C．D． 8．如图，?ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF、GH相交于O，则图中平行四边形的个数为（）A．9 B．8 C．6 D．4 9．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等其中正确的个数有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个10．平行四边形的对角线和它的边可以组成全等三角形（） A．3对B．4对C．5对D．6对 11．如图，在?ABCD中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（） A．8 B．4 C．6 D．12 12．如图所示，?ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD于F，CE ⊥BD于E，则图中全等三角形的对数共有（）
人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题提高题学能测试试卷 一、选择题 1．已知在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠BCD ＝90°, BC ＝CD ＝2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连结BF 、DE 交于点P ，连结CP 并延长交AB 于点Q ，连结AF ，则下列结论不正确的是（ ） A ．CP 平分∠BCD B ．四边形 ABED 为平行四边形 C ．CQ 将直角梯形 ABC D 分为面积相等的两部分 D ．△ABF 为等腰三角形 2．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长 AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ??≌； ②ABE ?是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ??=；⑤CEF ABE S S ??=中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ，又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形 2222A B C D ，……，以此类推，则第六个正方形6666A B C D 的面积是（ ） A ． 164 B ． 116 C ． 132 D ． 18 4．如图所示，在Rt ABC ?中，90ABC ?∠=，30BAC ?∠=，分别以直角边AB 、斜边 AC 为边，向外作等边ABD ?和等边ACE ?，F 为AC 的中点，DE 与AC 交于点O ，DF 与AB 交于点G ．给出如下结论：①四边形ADFE 为菱形；②DF AB ⊥；
八年级平行四边形专题汇总 一、平行四边形与等腰三角形专题 例题1已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延长 线交CD的延长线于点F． （1）求证：CD=DF； （2）若AD=2CD，请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 训练一 1．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④ 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′． （1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； （2）求证：△AB′O≌△CDO． 3.如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F． 求证：△ACE为等边三角形． 4.如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG．
二、平行四边形与面积专题 例题2 已知平行四边形ABCD ，AD=a ，AB=b ，∠ABC=α．点F 为线段BC 上一点（端点B ，C 除外），连接AF ，AC ，连接DF ，并延长DF 交AB 的延长线于点E ，连接CE ． （1）当F 为BC 的中点时，求证：△EFC 与△ABF 的面积相 等； （2）当F 为BC 上任意一点时，△EFC 与△ABF 的面积还相等吗？说明理由． 训练二 1. 如图，过?ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的?AEMG 的面积S 1与?HCFM 的面积S 2的大小关系是（ ） A. S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1=S 2 D ．2S 1=S 2 2．农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，现需将该实验田划成四个平行 四边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是14m 2，10m 2，36m 2 ，则第四块田的面积为 3．如图，AE ∥BD ，BE ∥DF ，AB ∥CD ，下面给出四个结论：（1）AB=CD ；（2）BE=DF ；（3）S ABDC =S BDFE ； （4）S △ABE =S △DCF ．其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为（ ） A ．231111+ B ．231111- C ．231111+或231111- D ．231111+或2 31+ 5.平行四边形ABCD 的周长为20cm ，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ， AE=2cm ，AF=3cm ，求ABCD 的面积．
八年级初二数学第二学期平行四边形单元提高题检测试题 一、选择题 1．在正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点，BE PD ⊥的延长线于点 E ，连接 AE 、 BE ， FA AE ⊥ 交 DP 于点 F ，连接 BF 、FC ，下列结论：① ABE ADF ? ；② FB = AB ；③ CF PD ⊥ ；④ FC = EF . 其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．①③④ C ．①②③ D ．①②③④ 2．如图，在菱形ABCD 中，AB =5cm ，∠ADC =120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB ．CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1c m/s ，点F 的速度为2c m/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为( ) A ． 34 B ． 43 C ． 32 D ． 53 3．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=?，AC 与BD 交于O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连结OG 则下列结论：①1 2 OG AB = ；②与EGD ?全等的三角形共有5个；③ABF S S ?>四边形ODGF ；④由点A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ） A ．①④ B ．①③④ C ．①②③ D ．②③④ 4．如图，在正方形ABCD 中，M 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，连接AM 、EM 、CM ，延长EM 交AB 于点F ，若AM =EM ，30E ∠=?，则下列结论：①MF ME =；②BF DE =；③MC EF ⊥2BF MD BC +=，其中正确的 结论序号是（ ）
八年级下册平行四边形练习题 (时间：45分钟) 分100满分：分)一、选择题(每小题3分，共24．下面的性质中，平行四边形不一定具有的 是( )1 B．邻角互补 A．对角互补．对边相等 D C．对 角相等AC，AC的中点，若DE＝4分别是边△ABC中，∠B＝90°，D，EAB，2．如图，已知，在 Rt( )＝10，则AB的值为 A．3 B．4 C．6 D．8 是平行∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCDABCD3．已知在四边形中，AB四边 形的是( )BDAC＝． A．AD＝BC B＝∠B．∠A C．∠A＝∠C D 的周长是的中位线，则四边形BEDF＝6，DE，DF是△ABC．如图，在△ABC4中，AB＝4，BC( ) 105 B．7 C．8 D． A．的中点，以下O，E是BC是平 行四边形，对角线5．如图，已知四边形ABCDAC，BD交于点说法错误的是( )1OCOA＝ A．OE ＝DC B．2＝∠OCE．∠ C．∠BOE＝∠OBA DOBE ，于点ADFCFAD中，6．如图，在平行四边形ABCDBE平分∠ABC交于点E，平分∠BCD交5，则 EF( )的长为＝，＝AB3AD．． A1 B C2 D．． ，则△CDEEAD于点6，AC的垂直平分线交如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝．7 ( )的周长是1211 D．7 B．10 C． A． 则下列结论：°.∠CFE＝110ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，8．如图所示，已知? 全等；④∠DAE＝?DCFE是等腰三角形；③?ABCD与①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE其中 结论正确的个数为( )25°.3个个 B．A．41个个 D． C．2 )分4分，共24二、填空题(每小题．°，则∠2的度数为交对角线AC于点E，若∠1＝ 209． )如图，在?ABCD中，BE⊥AB AD中，10．在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“在四边形ABCDAD是 平行四边形”．经过思考，小明说：“添加，请添加一个条件，使得四边形ABCDBC∥．的观点， 理由是＝BC.”小红说：“添加AB＝DC.”你同意 ，则四4 cmAC∥AC，＝D是AB上任意一点，DE∥BC，DF．如图，在△ABC11中，∠A＝∠B， _cm．边形DECF的周长是 的16，则△ACE，△ABD的面积为AE＝4，BD＝8AE∥BD，点12．如图，直线C在BD上，若．面 积为 将此三角形纸片.90°⊥BC，∠BAC≠AD13．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，个平 AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出沿行四边 形． 33，AD＝3，点M，N分别为线段BC°，中，∠．14如图，四边形ABCDA＝90AB＝，AB上的动点 (含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值 为． )分52共(三、解答题．
八年级下册数学平行四边形练习题及答案 一、填空： 1、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。 2、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周长等于＿＿＿＿＿。 ⑴ ⑶ ⑷ ⑵ 3、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。 5、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。 6、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。 7 8、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB ＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿＿。 9、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长＿＿＿。
10、正方形的对称轴有＿＿＿条 11、如图4，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD 上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿ 12、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。 二、选择题： 13、在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是 A、1：2：3： B、1：2：2：1 C、2：2：1：1 D、2：1：2：1 14、菱形和矩形一定都 具有的性质是A、对角线相等B、对角线互相垂直C、对角线互相平分D、对角线互相平分且相等15、下列命题中的假命题是A、等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B、对角线相等的四边形是等腰梯形C、等腰梯形是轴对称图形 D、等腰梯形的对角线相等 16、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是A、AO＝OC，OB＝OD B、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD C、AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD D、AO＝OC＝OB＝OD 17、给出下列四个命题 ⑴一组对边平行的四边形是平行四边形⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
个性化教学辅导教案 学科:数学任课教师：黄老师授课时间：2014 年06 月08 日(星期日) 姓名梁志安年级八年级性别男总课时____第___课 教学目标知识点：掌握平行四边形的有关概念和性质，在学习平行四边形的定义、性质的过程中，养成合作交流，探究讨论的意识。 难点重点重点：平行四边形、特殊的平行四边形的性质及判定，三角形的中位线，多边形的内角和与外角和。 难点：特殊平行四边形和性质及判定。 课堂教学过程课前 检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________ 过 程 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。 性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。 判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（） A ． 1：2：3：4 B ． 1：2：2：1 C ． 2：2：1：1 D ． 2：1：2：1 2．（4分）（2013?眉山）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（）A ． 9 B ． 10 C ． 11 D ． 12 3．（4分）平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（）A ． 4＜x＜6 B ． 2＜x＜8 C ． 0＜x＜10 D ． 0＜x＜6 4．（4分）（2013?泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）
18.1.1 平行四边形及其性质(一) 学习目标： 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 学习重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 一、自主预习 1.由条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形；四边形有条边，个角,四边形的内角和等于度； 2.如图AB与BC叫边，AB与CD叫边；∠A与∠B叫角，∠D与∠B叫角; 3多边形中不相邻顶点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有条，它们是 自学课本 1.有两组对边的四边形叫平形四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形ABCD记作。 2.如图□ABCD中，对边有组，分别是，对角有_____组，分别是_______________，对角线有______条，它们是___________________。你能归纳ABCD的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。 二、合作解疑 1.平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2：3，则两邻边分别为： 2. ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（） A.1：2：3：4 B.3：4：4：3 C.3：3：4：4 D.3：4：3：4 3. ABCD 的周长为40cm，△ABC的周长为27cm,AC的长为（） A.13cm B.3 cm C.7 cm D.11.5cm 三、综合应用拓展1. 如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ ABC， 求证AB=CE. 四、当堂检测 （一）填空： 1．在ABCD中，∠A= 50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． 2．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。 3．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．
平行四边形 一．平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．平行四边形的性质： 角：平行四边形的邻角互补，对角相等； 边：平行四边形两组对边分别平行且相等； 对角线：平行四边形的对角线互相平分； 3．平行四边形的判定定理： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形； 二、特殊的平行四边形 （一）矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、矩形的性质 具有平行四边形所有性质外还有以下性质：四个角都是直角；对角线相等。 3、矩形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321?四边形ABCD 是矩形. （二）菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、菱形的性质： 具有平行四边形所有性质外还有以下性质：四条边都相等；两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 A B D O C A D B C A D B C O C D B A O
3、菱形的判定方法： ?? ? ??+行四边形）对角线互相垂直的平（）四个边都相等（一组邻边等 ）平行四边形（321?四边形四边形ABCD 是菱形. （三）正方形 1、 定义：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形 2、正方形的性质： ①边：四条边都相等；②角：四角都是直角； ③对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分每组对角。 3、正方形的判定方法： ?? ? ?? ++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是正方形 (四）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 如图:∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE ∥BC ，DE=2 1BC （五）几种特殊四边形的面积问题 ① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a ,b ，则S 矩形=ab ． ② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的 长分别为b ,c ，则S 菱形=bc 21 ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则a S 2=正方形；若正方形的对角线的长为b ，则b S 2 21=正方形 C D A B E D C B A
图1 A B C D 初二数学平行四边形专题练习 1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ． 2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2． 3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形． 4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝ ⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 . 5．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ． 6．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)， B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ． 二、选择题（每题3分，共30分） 7．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( ) A ．110° B ．30° C ．50° D ．70° 图2 图3 图4 8．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．四边相等 C ．对角线互相平分 D ．四角相等 9．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．9 cm D ．12 cm 10．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 E A F D C B H G
平行四边形的判别（一） 教学目标： 知识技能目标 1．运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法。 2．理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。 过程与方法目标 1．经历平行四边行判别条件的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识。 2．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。 情感态度价值观目标 通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。 教学重点：平行四边形的判别方法。 教学难点：根据判别方法进行有关的应用。 教学准备：学生、教师自制平行四边形框架模型。 教学方法： 探索法：让学生在动手拼摆各种平行四边形的活动过程中，积累数学活动经验。 讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。 教学过程： （一）复习引入 问题： 1．平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 作用：判断一个四边形是平行的四边形。 2．平行四边形有哪些性质？ 平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的邻角互补； 对角线 平行四边形的对角线互相平分。 （二）探索活动 活动1： 工具：两根不同长度的笔（或小棒）。 动手：能否用这两根笔（或小棒）在平面上摆出平行四边形？ 你这样在作业本上画出一个平行四边形（师生共同动手）？ 思考1：你能说明你们摆出的和画出的四边形是平行四边形吗？ 思考2：以上活动事实，能用文字语言表达吗？ 如图，将两根笔（或小棒）AC 、BD 的中点O 重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD 是平行四边形。 如果：OA=OC,OB=OD 那么：四边形ABCD 是平行四边形 边 角
人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题提高题学能测试 一、选择题 1．如图，正方形ABCD的边长为2a，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A、D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D、C重合)，点E与点F 的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：①∠BGF是定值； ②BF平分∠CBE；③当E运动到AD中点时，GH= 5 2 a；④当C△AGB = (2) 6a 时，S四边形 GEDF =1 6 a2，其中正确的是( ) A．①③B．①②③C．①③④D．①④ 2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，点D是BC上的一个动点，点D关于AB，AC的对称点分别是点E，F，四边形AEGF是平行四边形，则四边形AEGF面积的最小值是（） A．1 B． 6 2 C．2D．3 3．如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，当△OPD是以PD 为底的等腰三角形时，CP的长为（） A．2 B．18 5 C． 7 5 D． 5 2 4．如图所示，E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，AE交CD于点F，那么∠AFC的度数为（）
A ．112.5° B ．125° C ．135° D ．150° 5．如图，在ABC ，90C ∠=?，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为（ ） A ．1.2 B ．2.4 C ．2.5 D ．4.8 6．在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，∠EFB=2∠AFE=2∠BCE ，CD=9，CE=20，则线段AF 的长为（ ）． A ．32 B ． 112 C ．19 D ．4 7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 是BC 边上一点，将矩形沿AE 折叠，点B 落在点B '处，当△B 'EC 是直角三角形时，BE 的长为（ ） A ．2 B ．6 C ．3或6 D ．2或3或6 8．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=?，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=?；②·ABCD S AC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（ ）
【镭霆数学】平行四边形专题复习 一、平行四边形与等腰三角形专题 例题1已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延长 线交CD的延长线于点F． （1）求证：CD=DF； （2）若AD=2CD，请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 训练一 1．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④ 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′． （1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； （2）求证：△AB′O≌△CDO． 3.如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F． 求证：△ACE为等边三角形． 4.如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG．
二、平行四边形与面积专题 例题2 已知平行四边形ABCD ，AD=a ，AB=b ，∠ABC=α．点F 为线段BC 上一点（端点B ，C 除外），连接AF ，AC ，连接DF ，并延长DF 交AB 的延长线于点E ，连接CE ． （1）当F 为BC 的中点时，求证：△EFC 与△ABF 的面积相 等； （2）当F 为BC 上任意一点时，△EFC 与△ABF 的面积还相 等吗？说明理由． 训练二 1. 如图，过?ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的?AEMG 的面积S 1与?HCFM 的面积S 2的大小关系是（ ） A. S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1=S 2 D ．2S 1=S 2 2．农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，现需将该实验田划成四个平行 四边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是14m 2，10m 2，36m 2 ，则第四块田的面积为 3．如图，AE ∥BD ，BE ∥DF ，AB ∥CD ，下面给出四个结论：（1）AB=CD ；（2）BE=DF ；（3）S ABDC =S BDFE ； （4）S △ABE =S △DCF ．其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB=5，BC=6，则CE+CF 的值为（ ） A ．231111+ B ．231111- C ．231111+或231111- D ．231111+或2 31+ 5.平行四边形ABCD 的周长为20cm ，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ， AE=2cm ，AF=3cm ，求ABCD 的面积．
八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题提高题检测试卷 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A落在y轴上，点C落在x轴上，随着顶点C由原点O向x轴正半轴方向运动，顶点A沿y轴负半轴方向运动到终点O，在运动过程中OD的长度变化情况是（） A．一直增大B．一直减小C．先减小后增大D．先增大后减少2．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( ) A．3 B．3 2 C．2或3 D．3或 3 2 3．如图，正方形ABCD 中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作 FH⊥AE于F，过H 作HG⊥BD 于 G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH 的周长为 8．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线AC上一点，且CG=CB，连接BG，取BG上任意一点H，分别作HM⊥AC于点M，HN⊥BC于点N，若正方形的边长为2，则HM+HN的值为（）
A ．2 B ．1 C ．3 D ． 22 5．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 6．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，若1S =3，3S =8，则2S 的值为（ ） A ．22 B ．24 C ．44 D ．48 7．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝1 2 AC ，M 、N 、P 分别是OA 、OB 、CD 的中点，下列结论： ①CN ⊥BD ； ②MN ＝NP ； ③四边形MNCP 是菱形； ④ND 平分∠PNM ． 其中正确的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 8．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论： ①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =． 以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
初二年级平行四边形典 型题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
平行四边形测试题 一、选择题 1．若平行四边形ABCD的周长是40cm，△ABC的周长是27cm，则AC的长为( ) A．13cm B．3cm C．7cm D．11.5 cm 2．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( ) A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对边分别相等的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 3．已知平行四边形周长为28cm，相邻两边的差是4cm ，则两边的长分别为( ) A．4cm、10cm B．5cm、9cm C．6cm、8cm D．5cm、7cm 4．下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．一组邻边相等，一组对角相等 D．一组对边平行，一组对角互补 5．若A、B、C三点不在同一条直线上，则以其为顶点的平行四边形共有( )个A．1 B．2 C．3 D．4 6．能够判定四边形是平行四边形的条件是( ) A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直 C．两条对角线互相平分 D．一条邻角互补 7．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是( ) A．10与6 B．12与16 C．20与22 D．10与18 8．四边形ABCD中，AD∥BC，当满足条件( )时，四边形ABCD是平行四边形A．∠A＋∠C =? 180 B．∠B＋∠D =? 180 C．∠A＋∠B =? 180 180 D．∠A＋∠D =? 9．已知下列三个命题 ⑴两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一、选择题: 1．下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）． A ．一组对边相等; B ．两条对角线互相平分 C ．一组对边平行; D ．两条对角线互相垂直 2．下列命题中正确的是（ ）． A ．对角线互相垂直的四边形是菱形; B ．对角线相等的四边形是矩形 C ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形; D ．对角线相等的平行四边形是矩形 3．如图所示，四边形ABCD 和CEFG 都是平行四边形， 下面等式中错误的是（ ）． A ．∠1+∠8=1800 ; B ．∠2+∠8=180°; C ．∠4+∠6=180°; D ．∠1+∠5=180° 4．在正方形ABCD 所在的平面上，到正方形三边所在直线距离相等的点有（ ）． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 5．菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积为（平方单位）（ ）． A ．12 B ．6 C ．5 D ．7 6．矩形两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15cm ，则矩形较短边长为（ ） A ．4cm B ．2cm C ．3cm D ．5cm 7．下列结论中正确的有（ ） ①等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且有三条对称轴； ②矩形既是中心对称，又是轴对称图形，且有四条对称轴； ③对角线相等的梯形是等腰梯形； ④菱形的对角线互相垂直平分． A ．①③； B ．①②③; C ．②③④； D ．③④ 8．小李家住房的结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少要买（ ）m 2的木地板 A ．12xy B ．10xy C ．8xy D ．6xy 二、填空题: 1．用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有______?个正三角形和______个正方形． 2．平行四边形的一组对角和为300°，则另一组对角的度数分别为______． 3．已知P 为□ABCD 的边AB 上一点，则S △PCD =____ABCD S ． 4．已知□ABCD 中，∠A 比∠B 小20°，那么∠C 的度数是________． 5．在□ABCD 中，若一条对角线平分一个内角，则四边形ABCD 为_______形． 6．一个正方形要绕它的中心至少旋转______，才能和原来的图形重合；若绕它的一个顶点至少旋转________，才能和原来的图形重合． 7．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，共有_____对相等的线段． 8．梯形的上底长为acm ，下底长为bcm （a人教版八年级数学下册平行四边形(提高)典型例题讲解+练习及答案.doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 平行四边形（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 【要点梳理】 【平行四边形知识要点】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系 或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个
第十九章四边形 单元要点分析 教材内容 本单元教学的主要内容： 现实世界中，四边形在我们的生活中，随处可见，如宏伟的大厦，各种地砖，别具一格的窗棂、各种型号的电视机、风扇、电冰箱等，处处都有着四边形的身影，在本单元，我们将着重研究这些特殊的四边形，分析它们的联系与区别，探索并证明它们的性质及判定方法，从而进一步提升分析问题、解决问题的水平． 本单元知识结构图： 本单元教材分析： 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在小学，我们已经学过一些特殊的四边形，如长方形、正方形、平行四边形和梯形等，这些特殊的四边形与我们的生活联系的较为紧密，本单元探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，为今后学习“立几”与图形等内容打下坚定的基础，教材通过平行线、三角形、图形变换等几何知识，推得平行四边形性质，将梯形问题的研究用“化归”思想转化为平行四边形和三角形问题上来研究；而平行四边形的性质的学习又丰富与发展了平行线和三角形的性质，教材安排上围绕着从“特殊→一般”的思想展开讨论．以观察、分析、探究的方法，辅以简单的情理推动研究． 本单元为学生提供了生动有趣的现实情境，安排了观察、动手操作、合作交流等活动，推动学生对四边形性质的理解、识图、作用等操作技能的理解与掌握．积累数学思维的活动经验，形成合情推理水平，提升学生分析问题与解决问题水平． 教学目标（三维目标） 知识与技能： 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的关系；探索并掌握它们的相关性质和判别方法． 过程与方法： 经历特殊四边形性质的探索过程，掌握合情推理水平，以及几何说理的基本方法，了解多边形的相关概念．
八年级初二数学下学期平行四边形单元达标提高题检测试题 一、解答题 1．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ?沿BE 折叠，点A 的对应点为点 G ． 图1 图2 （1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ． ①求证：BF AB DF =+． ②若3AD AB = ，试探索线段DF 与FC 的数量关系． 2．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________． （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明； （3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系． ②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由． 3．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”． （1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长； （2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例； （3）如图2，在△ABC 中，AB =2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点