人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元提高题检测
一、解答题
1．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ?沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．
（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由． （2）设
()01AB
m m AD
=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =． ②若
AE
n AD
=，用等式表示m n ，的关系． 2．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则
2222AB CD AD BC +=+．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边
AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．
3．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．
（1）求证：四边形ECFG 是菱形；
（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=?，则BDG ?是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=?，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． 4．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．
（1）求证：PDE QCE ???；
（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、， ①求证：四边形AFEP 是平行四边形； ②求PE 的长．
5．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE =52． （1）如图1，求证：DG =BE ；
（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ． ①连结BH ，BG ，求
BH
BG
的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．
6．已知，如图，在三角形ABC ?中，20AB AC cm ==，BD AC ⊥于D ，且
16BD cm =．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为4/cm s ；同时点P 由B
点出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1/cm s ，过点P 的动直线//PQ AC ，交BC 于点
Q ，连结PM ，设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：
（1）线段AD =_________cm ； （2）求证：PB PQ =；
（3）当t 为何值时，以P Q D M 、、、为顶点的四边形为平行四边形？
7．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒
3
的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒33
22
+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点. (1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.
(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++?的值.
(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.
8．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。 （1）证明平行四边形ECFG 是菱形；
（2）若ABC 120?∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；
（3）若ABC 90?∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。
9．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．
取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分； 第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F ，H 在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________． 10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有1
2
CBE ABF ∠=
∠．
（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=?，求证：BE BF =；
（2）如图2，当3
2
b a =
时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________；
②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=； ③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ?矩形的值．
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一、解答题
1．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②2220m n n =+- 【分析】
（1）根据BEF BEA ?得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；
（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=?、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得
BCF CED ?，根据全等三角形的性质即可证明；
②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ?中应用勾股定理即可求解． 【详解】
（1） 由折叠知BEF BEA ? ， 所以90BF BA BFE A =∠=∠=?， ．
若点F 在CE 上，则90BFC ∠=?，BC BF BA >=， 与AB AD =矛盾， 所以点F 不会落在CE 上． （2）①因为
()01AB
m m AD
=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，
所以90BFC BFE ∠=∠=? ， 所以BF BA CD == ． 因为//AD BC ， 所以DEC FCB ∠=∠ ， 所以BCF CED ? ， 所以CF DE =． ②若
AE
n AD
=，则AE nAD =． 设1AD =，则AE n AB m ==，．
因为//AD BC ， 所以BEA EBC ∠=∠ ． 因为BEF BEA ∠=∠ ， 所以EBC BEC ∠=∠ ， 所以1CE CB AD === ．
在Rt CDE ?中，11DE n CE CD m ===一，， ， 所以2
2
2
11()n m -+= ， 所以2220m n n =+-．
故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②2220m n n =+-． 【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键． 2．（1）证明见解析； （2）73． 【分析】
（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222
,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；
（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案． 【详解】
解：（1）∵AC ⊥BD ，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，
222222AD BC AO DO BO CO +=+++， 222222AB CD AO BO CO DO +=+++，
∴2222AD BC AB CD +=+； （2）连接CG 、BE ，如图2，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ， 在△GAB 和△CAE 中，
AG AC GAB CAE AB AE =??
∠=∠??=?
， ∴△GAB ≌△CAE （SAS ）， ∴∠ABG=∠AEC ， 又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ， 由（1）得，2222CG BE CB GE +=+， ∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，
，
， ∴222273GE CG BE CB =+-=， ∴
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3
）【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据等角对等边可得CE=CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG ，再判断出AB=BE ，进而得出BE=CD ，即可判断出△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM=BM ，
∠DMC=∠BME ，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】 （1）证明： ∵AF 平分∠BAD ， ∴∠BAF=∠DAF ，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠CFE ， ∴∠CEF=∠CFE ， ∴CE=CF ，
又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=1
2
∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M 为EF 中点， ∴∠CEM=∠ECM=45°， ∴∠BEM=∠DCM=135°， 在△BME 和△DMC 中，
∵BE CD BEM DCM EM CM =??
∠=∠??=?
， ∴△BME ≌△DMC （SAS ）， ∴MB=MD ， ∠DMC=∠BME ．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ∴△BMD 是等腰直角三角形． ∵AB=10，AD=24， ∴
=26，
∴2
DM BD == 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 4．（1）见解析；（2
）①见解析；②PE =【分析】
（1）由四边形ABCD 是正方形知∠D=∠ECQ=90°，由E 是CD 的中点知DE=CE ，结合∠DEP=∠CEQ 即可得证；
（2）①由PB=PQ 知∠PBQ=∠Q ，结合AD ∥BC 得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，由△PDE ≌△QCE 知PE=QE ，再由EF ∥BQ 知PF=BF ，根据Rt △PAB 中AF=PF=BF 知∠APF=∠PAF ，从而得∠PAF=∠EPD ，据此即可证得PE ∥AF ，从而得证；
②设AP x =，则1PD x =-，1CQ x =-，2BQ x =-，利用三角形中位线定理得到
()1
22EF x =
-，由EF AP =，构造方程即可求得23x =，在Rt PDE ?中，利用勾股定理即可求解． 【详解】
（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠ECQ=90°， ∵E 是CD 的中点， ∴DE=CE ， 又∵∠DEP=∠CEQ ，
∴△PDE ≌△QCE （ASA ）； （2）①∵PB=PQ ， ∴∠PBQ=∠Q ， ∵AD ∥BC ，
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ， ∵△PDE ≌△QCE ， ∴PE=QE ， ∵PF=BF ，
∴EF 是PBQ ?的中位线， ∴EF ∥BQ ，
∴在Rt △PAB 中，AF=PF=BF ， ∴∠APF=∠PAF ， ∴∠PAF=∠EPD ， ∴PE ∥AF ， ∵EF ∥BQ ∥AD ，
∴四边形AFEP 是平行四边形； ②设AP x =，则1PD x =-， ∴1CQ x =-， ∴2BQ x =-，
∵EF 是PBQ ?的中位线， ∴()1
22
EF x =-， ∵EF AP =，
∴
()1
22
x x -=， ∴23
x =
， 在Rt PDE ?中，222PD DE PE +＝，即2
22
21(1)()3
2
PE -+＝，
∴PE =． 【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识点．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
5．（1）证明见解析；（2）①BH
BG
=②BH 的长为或． 【分析】
（1）证()DAG BAE SAS △≌△，即可得出结论；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，证
()GAB GFH SAS △≌△，得GH GB =，GHF GBA ∠=∠，证GHB ?为等腰直角三角形，即
得结论；
②分两种情况，证出点B 、E 、G 在一条直线上，求出
210AF EG AE ===，则5OA OG OE ===，由勾股定理求出12OB =，求出BG ，即可得出答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AD =AB =CB ，AG =AE ，∠DAB =∠GCE =90°， ∴∠DAB ﹣∠GAF =∠GCE ﹣∠GAF ， 即∠DAG =∠BAE ， 在△DAG 和△BAE 中，
AD AE DAG BAE AG AE =??
∠=∠??=?
， ∴△DAG ≌△BAE (SAS)， ∴DG =BE ；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，如图2所示：
∵四边形BCHF 是平行四边形， ∴HF //BC ，HF =BC =AB ． ∵BC ⊥AB ， ∴HF ⊥AB ， ∴∠HFG =∠FMB ， 又AG //EF ， ∴∠GAB =∠FMB ， ∴∠HFG =∠GAB ， 在△GAB 和△GFH 中，
AG FG GAB HFG AB FH =??
∠=∠??=?
，
∴△GAB ≌△GFH (SAS)， ∴GH =GB ，∠GHF =∠GBA ， ∴∠HGB =∠HNB =90°， ∴△GHB 为等腰直角三角形， ∴BH 2=BG ，
∴
2BH
BG
=； ②分两种情况： a 、如图3所示：
连接AF 、EG 交于点O ，连接BE ． ∵四边形BCHF 为菱形， ∴CB =FB ． ∵AB =CB ， ∴AB =FB =13，
∴点B 在AF 的垂直平分线上． ∵四边形AEFG 是正方形，
∴AF =EG ，OA =OF =OG =OE ，AF ⊥EG ，AE =FE =AG =FG ， ∴点G 、点E 都在AF 的垂直平分线上， ∴点B 、E 、G 在一条直线上， ∴BG ⊥AF ． ∵AE 2， ∴AF =EG 2=
=10，
∴OA =OG =OE =5， ∴OB 2222135AB OA -=-=12，
∴BG =OB +OG =12+5=17， 由①得：BH 2=
2；
b 、如图4所示：
连接AF、EG交于点O，连接BE，
同上得：点B、E、G在一条直线上，OB=12，BG=OG+OB﹣OG=12﹣5=7，
由①得：BH2
=2；
综上所述：BH的长为2或2．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．（1）12；（2）证明见详解；（3）
12
5
t s
=或t=4s．
【分析】
（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-
AD=4t-12，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴2222
201612
AD AB BD
=-=-=（cm），
（2）如图所示：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB=∠C，
∴∠PBQ=∠PQB，
∴PB=PQ；
（3）分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，
∴MD=AD-AM=12-4t，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，即：当t=12-4t，时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：
12
5
t （s）；
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ=BP=t ，AM=4t ，AD=12， ∴MD=AM-AD=4t-12， ∵PQ ∥AC ， ∴PQ ∥MD ，
∴当PQ=MD 时，四边形PQDM 是平行四边形， 即：当t=4t-12时，四边形PQDM 是平行四边形， 解得：t=4（s ）； 综上所述，当12
5
t s =或t=4s 时，以P 、Q 、D 、M 为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定方法，进行分类讨论是解决问题（3）的关键．
7．（1）2t =；（2）222=24PD PE PD PE ++?-； (3)①当06x ≤≤时，
S △PAE =
(6)(34x -+,②当6x ≥时, S △PAE =(6)(34
x -+.
【解析】 【分析】
（1）设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入，求得k ，确定解析式；再设设t 秒后构成平
行四边形，根据题意列出方程，求出t 即可；
（2）过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）得到当
t=2时，有C 0），D(3+,3)，再根据AB ∥CD ，求出直线CD 和AB 1的解析式，确定E 的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.
（3）根据（1）可以判断有06x ≤≤和6x ≥两种情况，然后分类讨论即可. 【详解】
（1）解：设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入得：
033k =-+
∴1k = ∴3y
x
由题意得：
设t 秒后构成平行四边形，则
332t ?+=????
解之得：2t =，
（2）如图:过E 作关于x 轴对于点E ',
连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小. 由（1）t=2得：
∴C 30），D(33,3) ∵AB ∥CD
∴设CD 为1y x b =+ 把C 30）代入得 b 1=3
∴CD 为：y x 3=-易得1AB 为：3y x =-+ ∴33y x y x ?=-?
?
=-+??
解之得：33+33
- ∴2
2
2222
33332()32433PD PE PD PE PD PE E D '?-+++?=+==++=- ?
??? (3)①当06x ≤≤时
S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=1
33(6)(33)(6)32x x ?--+--= ??
②当6x ≥时： S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=1
33(6)(33)(6)32x x ?--+--= ??
【点睛】
本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信. 8．（1）见解析；（2）①见解析；②∠BDG=60°；（3130
【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质和角平分线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再根据四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）①根据已知和菱形的性质得出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS）
②先得出∠CGE=60°再由①得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可
DM=BM,∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到
△BDM是等腰直角三角形,等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=1
2
∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），②∵△BEG≌△DCG
∴BG=DG ，∠BGE=∠DGC ， ∴∠BGD=∠CGE ， ∵CG=GE=CE ，
∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE=60°， ∴∠BGD=60°， ∵BG=DG ，
∴△BDG 是等边三角形， ∴∠BDG=60°； （3）连接BM ，MC ，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG 为菱形， ∠ECF=90°，
∴四边形ECFG 为正方形． ∵∠BAF=∠DAF ， ∴BE=AB=DC ， ∵M 为EF 中点， ∴∠CEM=∠ECM=45°， ∴∠BEM=∠DCM=135°， 在△BME 和△DMC 中，
BE CD BEM DCM EM CM =??
∠=∠??=?
∴△BME ≌△DMC （SAS ）， ∴MB=MD ， ∠DMC=∠BME ．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ∴△BMD 是等腰直角三角形． ∵AB=8，AD=14， ∴65
12
302
DM BD ∴=
=
【点睛】
此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
9．28
【分析】
（1）利用旋转的旋转即可作出图形；
（2）先求出ABC的边长边上的高为12，进而求出DE与BC间的距离为6，再判断出FH最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论.
【详解】
（1）∵DE是△ABC的中位线，
1
∴====
DE BC4,AD BD,AE CE
2
∴四边形BDFH绕点D顺时针旋转，点B和点A重合，
四边形CEFH绕点E逆时针旋转，点C和点A重合，
∴补全图形如图1所示，
（2）∵△ABC的面积是48，BC=8，
∴点A到BC的距离为12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴平行线DE与BC间的距离为6，
由旋转知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，
∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=180°，
∴点H''，A，H'在同一条直线上，
由旋转知，∠AEF'=∠CEF，
∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，
∴点F，E，F'在同一条直线上，
同理：点F，D，F''在同一条直线上，
即：点F'，F''在直线DE上，
由旋转知，AH''=BH，AH'=CH，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H'，
∴F'F''=2DE=BC=H'H''，
∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，
∴?F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，
∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH 最小， 即：FH⊥BC， ∴FH=6，
∴周长的最小值为16+2×6=28， 故答案为28． 【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形的判断和性质，判断出四边形'''''FH H F 是平行四边形是解本题的关键. 10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③732
【分析】
（1）证明()BAE BCF ASA ???可得结论．
（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．
②将ABE ?绕BE 翻折得到BEH ?，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设
2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可． ③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题． 【详解】
解：（1）证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形， 90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=?，
60EBC =?∠，1
2
CBE ABF ∠=∠，
120ABF ∴∠=?，
906030ABE ?∴-?∠==?，1209030CBF ∠=?-?=?，
ABE CBF ∴∠=∠，
AB BC =，
()BAE BCF ASA ∴???，
BE BF ∴=．
（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=?．
理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，