知识梳理:
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形,它不但具有一般四边形的所有性质,而且还具有特殊的性质,主要体现在边、角、对角线
关于边{一组对边平行且相等
两组对边分别平行两组对边分别相等
关于角{
对角相等邻角互补
关于对角线:对角线互相平分
四边形的知识是三角形知识的延伸,因此,在解平行四边形相关问题时,既要注意三角形知识、全等三角形的运用,又要善于在平行四边形的背景下思考问题,利用平行四边形的性质解决问题
例题精讲:
例1:如图,在□ABCD 中,AD =2AB ,F 是AD 的中点,作CE ⊥AB ,垂足E 在线段AB 上,连接EF ,CF ,则下列结论中一定成立的是 ;
① ∠DCF =1
2∠BCD ; ②EF =CF ; ③S △BEC =S △CEF ; ④∠DFE =3∠AEF
例2:在面积为15的平行四边形ABCD 中,过点A 作AE ⊥直线BC 于点E ,作AF ⊥直线CD 于点F ,若AB =5,BC =6,则CE +CF 的值为( )
A. 11+11√3
2
B. 11?
11√3
2
C. 11+
11√32
或11?
11√3
2
D. 11+
11√3
2
或1+
√32
注意:四边形具有不稳定性,面积一定的平行四边形,其形状不能确定,所以要全面讨论
例3:如图,△ABC的边长是6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动,(与A,C 不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长
(2)运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长,如果变化,请说明理由
解析:对于(2),怎样运用隐含的条件PA=QB是解题的关键,构造全等三角形、平行四边形是思路之一。
例4:如图是某区部分街道示意图,其中CE垂直平分AF,AB∥DC,BC∥DF,从B站乘车到E 站只有两条路线有直达的公交车,路线1是B→D→A→E,路线2是B→C→F→E,请比较两条路线的路程的长短,并说明理由
解析:解题的关键是判定四边形BDFC的形状
例5:已知四边形ABCD,仅从下列条件中任取两个加以组合,能否得出四边形ABCD是平行四边形的结论?
①AB∥CD;②BC∥AD;③AB=CD;④BC=AD;⑤∠A=∠C;⑥∠B=∠D
基础练习:
练习1:已知平行四边形ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD 的延长线于点F,则DF= cm
练习2:如图,平行四边形ABCD中,AC,BD相交于O点,AB=10cm,AD=8cm,若AC⊥BC,则OB=
练习3:如图,平行四边形ABCD的对角线相较于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD 于点M,如果△CDM的周长为8,那么平行四边形的周长是;
练习4:如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE,EF⊥AB于点F,连接DF,当AC∶AB=时,四边形ADFE时平行四边形
练习5:平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=12,BD=10,AB=m,那么m 的取值范围是;
练习6:如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE=;
练习7:顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从①AB∥CD;②BC=AD;③∠A =∠C;④∠B=∠D四个条件中任取其中两个,可以得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有种
练习8:如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,且
∠ADC=60°,AB=1
2BC,连接OE,下列结论:①∠CAD=30°;②S
□ABCD
=AB·AC;③OB
=AB;④OE=1
4
BC,其中正确的有;
练习9:如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,G为BD的中点,连接CG,BE,CD,BE与CD交于点F
(1)判断四边形ACGD的形状,并说明理由
(2)求证:BE=CD,BE⊥CD
练习10:如图□ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°≤α<90°)
(1)当α=60°时,求CE的长
(2)当60°<α<90°时,是否存在正整数k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由
练习11:已知△ABC中,∠B=∠C,P是BC边上一点,作∠CPE=∠BPF,分别交边AC,AB 于点E,F
(1)若∠CPE=∠C(如图①),求证:PE+PF=AB
(2)若∠CPE≠∠C,过点B作∠CBD=∠CPE,交CA(或CA的延长线)于点D,试猜想:线段PE,PF和BD之间的数量关系,并就∠CPE>∠C情形(如图②)说明理由