八年级初二数学第二学期平行四边形单元提高题检测
一、解答题
1．如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?，30C ∠=?，12AC cm =，点E 从点A 出发沿
AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．
（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；
（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；
（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由． 2．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ． （1）操作发现：
①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形； ②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ． （2）深入探究：
在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23． ①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；
②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．
3．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为 时，四边形BCEF 是菱形．
4．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．
5．如图，在Rt ABC ?中，90,40,60B AC cm A ∠=?=∠=?，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .
（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；
（2）当t 为何值时，90FDE ∠=?？请说明理由.
6．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .
()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；
()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说
明理由；
()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程
中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.
7．（解决问题）如图1，在ABC ?中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ?的面积是______，CG =______． （2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ?中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ?内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求
PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
8．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由； （2）求证：CP AE =；
（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
9．在正方形
中，连接
，为射线
上的一个动点（与点不重合），连接，
的垂直平分线交线段于点，连接
，
.
提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点的两个特殊位置：
①当点与点重合时，如图1所示，____________
②当
时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：
__________；（填“变化”或“不变化”）
（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）
（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.
10．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．
取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分； 第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．
图1 图2
（1）当点F ，H 在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；
（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析． 【分析】
（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明； （3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可． 【详解】
解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =， 则122AD AC CD t =-=-，
∵DF BC ⊥，30C ∠=?，∴1
2
DF CD t == （2）∵90ABC ∠=?，DF BC ⊥，∴AB DF ，
∵AE t =，DF t =，∴AE DF =， ∴四边形AEFD 是平行四边形； （3）当3t =时，四边形EBFD 是矩形， 理由如下：∵90ABC ∠=?，30C ∠=?，
∴1
62
BC AC cm =
=， ∵BE DF ∥，
∴BE DF =时，四边形EBFD 是平行四边形， 即6t t -=，解得，3t =，
∵90ABC ∠=?，∴四边形EBFD 是矩形， ∴3t =时，四边形EBFD 是矩形． 【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．
2．（1）①等腰；②BE =；（2）①2；②存在，2
【分析】
（1）①由折叠的性质得EF ＝BF ，即可得出结论；
②当折痕经过点A 时，由折叠的性质得AF 垂直平分BE ，由线段垂直平分线的性质得AE ＝
BE ，证出ABE 是等腰直角三角形，即可得出BE AE ；
（2）①由等边三角形的性质得BF ＝BE ，∠EBF ＝60°，则∠ABE ＝30°，由直角三角形的性
质得BE ＝2AE ，AB ，则AE ＝1，BE ＝2，得BF ＝2即可； ②当点F 在边BC 上时，得S △BEF ≤
1
2
S 矩形ABCD ，即当点F 与点C 重合时S △BEF 最大，由折叠的
性质得CE ＝CB ＝EF ＝
当点F 在边CD 上时，过点F 作FH ∥BC 交AB 于点H ，交BE 于点K ，则S △EKF ＝
12KF ?AH ≤12HF ?AH ＝12S 矩形AHFD ，S △BKF ＝12KF ?BH ≤12HF ?BH ＝12S 矩形BCFH ，得S △BEF ≤12
S
矩形ABCD
＝3，即当点F 为CD 的中点时，BEF 的面积最大，此时，DF ＝
12CD E 与点A 重合，由勾股定理求出EF 即可． 【详解】
解：（1）①由折叠的性质得：EF ＝BF ，
∴BEF是等腰三角形；
故答案为：等腰；
②当折痕经过点A时，
由折叠的性质得：AF垂直平分BE，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∴ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝2AE；
故答案为：BE＝2AE；
（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∵∠A＝90°，
∴BE＝2AE，AB＝3AE＝3，
∴AE＝1，BE＝2，
∴BF＝2；
②存在，理由如下：
∵矩形ABCD中，CD＝AB＝3，BC＝23，
∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝3×23＝6，
第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：
此时可得：S△BEF≤1
2
S矩形ABCD，
即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，由折叠的性质得：CE＝CB＝23，
即EF＝23；
第二种情况：当点F在边CD上时，
过点F 作FH ∥BC 交AB 于点H ，交BE 于点K ，如图2所示： ∵S △EKF ＝
12KF ?AH ≤12HF ?AH ＝12S 矩形AHFD ，S △BKF ＝12KF ?BH ≤12HF ?BH ＝1
2
S 矩形BCFH ， ∴S △BEF ＝S △EKF +S △BKF ≤
1
2
S 矩形ABCD ＝3， 即当点F 为CD 的中点时，BEF 的面积最大， 此时，DF ＝
12CD
E 与点A 重合，BE
F 的面积为3， ∴EF
综上所述，BEF 的面积存在最大值，此时EF 的长为
2
． 【点睛】
此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键． 3．（1）详见解析；（2）145
． 【分析】
（1）由AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ，易证得△ABC ≌DEF （SAS ），即可得BC =EF ，且BC ∥EF ，即可判定四边形BCEF 是平行四边形；
（2）由四边形BCEF 是平行四边形，可得当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，所以连接BE ，交CF 与点G ，由三角形DEF 的面积求出EG 的长，根据勾股定理求出FG 的长，则可求出答案． 【详解】
（1）证明：∵AF =DC ， ∴AC =DF ，
在△ABC 和△DEF 中，
AB DE A D AC DF =??
∠=∠??=?
， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）， ∴BC =EF ，∠ACB =∠DFE ， ∴BC ∥EF ，
∴四边形BCEF 是平行四边形； （2）如图，连接BE ，交CF 于点G ，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠DEF=90°，DE=8，EF=6，
∴DF2222
86
DE EF
+=+10，
∴S△DEF
11
22
EG DF EF DE =?=?，
∴EG
6824
105
?
==，
∴FG=CG
2
222
2418
6
55 EF EG
??
=-=-=
?
??
，
∴AF=CD=DF﹣2FG=10﹣36
5
=
14
5
．
故答案为：14
5
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4．（1）BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）CF=BC+CD，见解析；（3）①CF=CD?BC，②等腰三角形，见解析
【分析】
（1）先说明△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得
CF⊥BD、CF=BD，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD；
（2）先利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）①与（2）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；
②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出
∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明
△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半求出OC=1
2
DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC
是等腰三角形．
【详解】
（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45°
∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAF
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°
∴∠FCB=∠ACF+ ∠ACB=90°，即CF⊥BC
∵BD+CD=BC
∴CF+CD=BC；
故答案为：BD⊥CF，CF=BC-CD；
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠CAF=∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；
（3）①与（2）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD?BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°?45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠ABD=180°?45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF?∠ACB=90°， 则△FCD 为直角三角形， ∵正方形ADEF 中，O 为DF 中点， ∴OC=
1
2
DF ， ∵在正方形ADEF 中，OA=1
2
AE ，AE=DF ， ∴OC=OA ，
∴△AOC 是等腰三角形． 【点睛】
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及同角的余角相等的性质，在（1）证明三角形全等得到思路并推广到（2）（3）是解答本题的关键.
5．（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由见解析；（2）5t =，理由见解析. 【分析】
（1）能；首先证明四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即40﹣4t ＝2t ，解方程即可解决问题；
（2）当∠FDE ＝90°时，AEFD 为矩形，再根据线段的长度关系列方程求得. 【详解】
解：（1）四边形AEFD 能够成为菱形，
理由如下：在DFC ?中，90,30DFC C ∠=?∠=?，4DC t =， ∴2DF t =，
又∵2AE t =，∴AE DF =，
∵,AB BC DF BC ⊥⊥，∴//AE DF ， 又∵AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形，
如图1，当AE AD =时，四边形AEFD 为菱形，即4042t t -=，解得203
t =
.
∴当20
3
t =秒时，四边形AEFD 为菱形. （2）
如图2，当90FDE ∠=?时，四边形EBFD 为矩形， 在Rt AED ?中，60A ∠=?，则30ADE ∠=?，∴2AD AE =， 即4044t t -=， 解得5t =. 【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想，学会构建方程解决问题. 6．（1）见解析；（2）FH+FE=2DF ，理由见解析；（3）2 【分析】
（1）如图1中，证明△AFB ≌△DGA （AAS ）可得结论．
（2）结论：FH+FE=2DF ．如图2中，过点D 作DK ⊥AE 于K ，DJ ⊥BF 交BF 的延长线于J ，证明四边形DKFJ 是正方形，可得结论．
（3）如图3中，取AD 的中点J ，连接PJ ，延长JP 交CD 于R ，过点P 作PT ⊥CD 于T ，PK ⊥AD 于K ．设PT=b ．证明△KPJ 是等腰直角三角形，推出点P 在线段JR 上运动，求出JR 即可解决问题． 【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，∠BAD=90°， ∵DG ⊥AE ，AE ⊥BH ， ∴∠AFB=∠DGH=90°，
∴∠FAB+∠DAG=90°，∠DAG+∠ADG=90°， ∴∠BAF=∠ADG ， ∴△AFB ≌△DGA （AAS ）， ∴AF=DG ，BF=AG ，
∴BF-DG=AG-AF=FG．
（2）结论：FH+FE=2DF．
理由：如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD，
∵AE⊥BH，
∴∠AFB=90°，
∴∠DAE+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABH=90°，
∴∠DAE=∠ABH，
∴△ABH≌△DAE（ASA），
∴AH=AE，
∵DE=EC=1
2
CD，CD=AD，
∴AH=DH，
∴DE=DH，
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE，
∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°，
∴四边形DKFJ是矩形，
∴∠JDK=∠ADC=90°，
∴∠JDH=∠KDE，
∵∠J=∠DKE=90°，
∴△DJH≌△DKE（AAS），
∴DJ=DK，JH=EK，
∴四边形DKFJ是正方形，
∴FK=FJ=DK=DJ，
∴2FJ，
∴2DF；
（3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b．
∵△ABH ≌△DAE ， ∴AH=DE ，
∵∠EDH=90°，HP=PE ， ∴PD=PH=PE ， ∵PK ⊥DH ，PT ⊥DE ， ∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°， ∴四边形PTDK 是矩形， ∴PT=DK=b ，PK=DT ，
∵PH=PD=PE ，PK ⊥DH ，PT ⊥DE ， ∴DH=2DK=2b ，DE=2DT ， ∴AH=DE=1-2b ， ∴PK=
12DE=1
2
-b ， JK=DJ-DK=
1
2
-b ， ∴PK=KJ ， ∵∠PKJ=90°， ∴∠KJP=45°，
∴点P 在线段JR 上运动， ∵2DJ=
22
， ∴点P 的运动轨迹的长为22
． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 7．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）534）4 【分析】
解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ???=+，即可解决问题； （2）解法同（1）；
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出
1
52
BM BC =
=，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=，得出ABC ?的面积1
2532
BC AM =
?=，由ABC ?的面积BCP =?的面积ACP +?的面积APB +?的面积1111
()2532222
BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =
?+?+?=++=，即可得出答案； （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为
Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF
即可． 【详解】
解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =， ∴ABP ?的面积11
1031522
AB PE =
?=??=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥， 且ABC ABP ACP S S S ???=+， ∴AB CG AB PE AC PF ?=?+?， ∵AB AC =，
∴358CG PE PF =+=+=. 故答案为：15，8.
（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥， 且ABC ABP ACP S S S ???=+， ∴AB CG AB PE AC PF ?=?+?， ∵AB AC =， ∴CG PE PF =+.
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：
∵10AB AC BC ===， ∴ABC ?是等边三角形， ∵AM BC ⊥， ∴1
52
BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =
--=
∴ABC ?的面积11
105325322
BC AM =
?=??=， ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，
∴ABC ?的面积BCP =?的面积ACP +?的面积APB +?的面积
111222BC PE AC PF AB PG =
?+?+?1
()2
AB PE PF PG =++ 253=，
∴2253
5310
PE PF PG ?++=
=. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=?， ∵8AD =，3CF =，
∴5BF BC CF AD CF =-=-=，
由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠， ∵90C ∠=?， ∴2222534DC DF FC =
-=-=，
∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=?， ∴90EQC C ADC ∠=?=∠=∠， ∴四边形EQCD 是矩形， ∴4EQ DC ==， ∵//AD BC ， ∴DEF EFB ∠=∠， ∵BEF DEF ∠=∠， ∴BEF EFB ∠=∠， ∴BE BF =，
由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=， ∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4. 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的
性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
8．（1）四边形PBCE 为平行四边形，证明过程见解析；（2）见解析；（3）四边形APCE 为矩形，证明过程见解析. 【分析】
（1）证明四边形ABCD 为平行四边形，从而得BP//CE ，根据内错角相等证明AD//PE,从而可证PE//BC ，得四边形PBCE 为平行四边形；（2）证明△CBP≌△ACE 即可证明CP=AE ；（3）证明四边形APCE 为平行四边形，然后根据三线合一证明∠APC=90°，可证四边形APCE 为矩形. 【详解】
解：（1）四边形PBCE 为平行四边形. 证明：∵AD BC =，AD BC ∥， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴PB//EC, ∵DAE AEP ∠=∠, ∴AD//PE, ∴PE//BC,
∴四边形PBCE 为平行四边形. （2）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B=∠D，AB//CD, ∴BAC ACE =∠∠ 又∵D ∠=BAC ∠， ∴∠B=BAC ∠， ∴BC=AC ，B ACE ∠=∠ ∵四边形PBCE 为平行四边形， ∴PB=CE， 在△CBP 和△ACE 中
BP CE B ACE BC AC =??
∠=∠??=?
∴△CBP≌△ACE. ∴CP AE =.
（3）四边形APCE 为矩形， 证明：∵P 为AB 的中点 ∴BP=AP ,
∵四边形PBCE 为平行四边形， ∴BP=CE, ∴AP=CE,
又∵AB//CD
∴四边形APCE为平行四边形，
∵CB=CA，AP=BP，
∴CP⊥AB，
∴∠APC=90°，
∴ABCD为矩形.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形“三线合一”.熟记平行四边形的判定和矩形的判定定理，能根据题意分析得出线段与线段、角与角之间的关系，选择合适的定理是解决本题的关键.
9．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；
（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；
（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得
∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得
∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.
【详解】
解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APE=45°
②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；
故答案为：45°，不变化.
(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；
故答案为：成立；
(3)证明一：如图所示.
过点作于点，于点.
∵点在的垂直平分线上，
∴.
∵四边形为正方形，
∴平分.
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
证明二：如图所示.
过点作于点，延长交于点，连接.
∵点在的垂直平分线上，
∴.
∵四边形为正方形，
∴，
∴.
∴，.
∴.
又∵，
∴.
又∵，∴.
∴.
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点
10．28
【分析】
（1）利用旋转的旋转即可作出图形；
（2）先求出ABC的边长边上的高为12，进而求出DE与BC间的距离为6，再判断出FH最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论.
【详解】
（1）∵DE是△ABC的中位线，
1
∴====
DE BC4,AD BD,AE CE
2
∴四边形BDFH绕点D顺时针旋转，点B和点A重合，
四边形CEFH绕点E逆时针旋转，点C和点A重合，
∴补全图形如图1所示，
（2）∵△ABC的面积是48，BC=8，
∴点A到BC的距离为12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴平行线DE与BC间的距离为6，
由旋转知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，
∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=180°，
∴点H''，A，H'在同一条直线上，
由旋转知，∠AEF'=∠CEF，
∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，
∴点F，E，F'在同一条直线上，
同理：点F，D，F''在同一条直线上，
即：点F'，F''在直线DE上，
由旋转知，AH''=BH，AH'=CH，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H'，
∴F'F''=2DE=BC=H'H''，
∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，
∴?F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，
∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH最小，