八年级初二数学提高题专题复习平行四边形练习题及答案
一、解答题
1．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF．
(1)求证：AE＝AF；
(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN．则MD，MN的数量关系是，MD、MN的位置关系是
(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
2．如图，点E为?ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．
3．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠DEF=90°，DE=8，EF=6，当AF为时，四边形BCEF是菱形．
4．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=?分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点
F ．
（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；
（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由； （3）已知2,BC =
求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．
5．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ． （1）如图①．求证：OE ＝OF ；
（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF
OF
＝ （直接填结果）．
6．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．
（1）直接写出AQH的面积（用含t的代数式表示）．
（2）当点M落在BC边上时，求t的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．
7．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．
（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为；
（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相
交于点F ，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．
9．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有1
2
CBE ABF ∠=
∠．
（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=?，求证：BE BF =；
（2）如图2，当3
2
b a =
时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________；
②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=； ③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ?矩形的值．
10．已知：正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，AE=AF （AE ＜AD ），连接DE 、BF ，P 是DE 的中点，连接AP ．将△AEF 绕点A 逆时针旋转．
（1）如图①，当△AEF 的顶点E 、F 恰好分别落在边AB 、AD 时，则线段AP 与线段BF 的位置关系为 ，数量关系为 ．
（2）当△AEF 绕点A 逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．
（3）若AB=3,AE=1，则线段AP 的取值范围为 ．
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一、解答题
1．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析
【分析】
(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明
△ABE≌△ADF即可求解；
(2)MN是△AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝
∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；
(3)连接AE，同(1)中方法证明△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF，此时MN是△AEF中位线，MD是直角△ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．
【详解】
解：(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴CE＝CF，
∴BC﹣CE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：
∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，
∴AF＝2DM，
∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，
由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；
∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，
∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，
∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，
∴∠DMN＝∠BAD＝90°，
∴DM⊥MN，
故答案为：相等，垂直；
(3)如图3中，(2)中的两个结论还成立，理由如下：
连接AE，交MD于点G，如下图所示，
∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，
∴MN∥AE，MN＝1
AE，
2
由(1)同理可证，
AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，
又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，
在Rt△ADF中，
∵点M为AF的中点，∴DM＝1
AF，
2
∴DM＝MN，
∵△ABE≌△ADF，∴∠1＝∠2，
∵AB∥DF，∴∠1＝∠3，
同理可证：∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，
∵DM＝AM，∴∠MAD＝∠5，
∴∠DGE＝∠5+∠4＝∠MAD+∠3＝90°，
∵MN∥AE，∴∠DMN＝∠DGE＝90°，
∴DM⊥MN．
故答案为：仍成立．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等几何知识，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
2．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出
BC∥FG，BC＝1
2
FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝1
2 FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝1
2 FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝1
2
EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝1
2 EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝1
2 BC，
∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，
∴EF⊥EG．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 3．（1）详见解析；（2）
145
． 【分析】
（1）由AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ，易证得△ABC ≌DEF （SAS ），即可得BC =EF ，且BC ∥EF ，即可判定四边形BCEF 是平行四边形；
（2）由四边形BCEF 是平行四边形，可得当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，所以连接BE ，交CF 与点G ，由三角形DEF 的面积求出EG 的长，根据勾股定理求出FG 的长，则可求出答案． 【详解】
（1）证明：∵AF =DC ， ∴AC =DF ，
在△ABC 和△DEF 中，
AB DE A D AC DF =??
∠=∠??=?
， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）， ∴BC =EF ，∠ACB =∠DFE ， ∴BC ∥EF ，
∴四边形BCEF 是平行四边形； （2）如图，连接BE ，交CF 于点G ，
∵四边形BCEF 是平行四边形， ∴当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形， ∵∠DEF =90°，DE =8，EF =6， ∴DF 222286DE EF +=+10，
∴S△DEF
11
22
EG DF EF DE =?=?，
∴EG
6824
105
?
==，
∴FG=CG
18
5
===，
∴AF=CD=DF﹣2FG=10﹣36
5
=
14
5
．
故答案为：14
5
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）BE=CD，理由见解析；（3）EF
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由
∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得
∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．
（3）先证明△DBF是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC和△ABD都是等腰直角三角形
∴∠CAB=∠ABD= 45°，BD AB BC=2BC=2AC
∴AC∥BD
又∵G为BD的中点，
∴BD=2DG，
∴AC=DG，AC∥DG
∴四边形ACGD为平行四边形；
（2）BE=CD，理由如下
∵△AEC和△ABD都是等腰直角三角形AE=AC，AB=AD
∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，
∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△DAC与△BAE中，
AD AB CAD EAB AC AE =??
∠=∠??=?
， ∴△DAC ≌△BAE ， ∴BE =CD ；
（3） ∵△DAC ≌△BAE ∴∠AEB=∠ACD 又∵∠EAC=90° ∴∠EFC=∠DFB=90° ∴ △DBF 是直角三角形 ∵BC
， ∴BD
根据勾股定理得CD
， ∴11
??22
CD BF BC BD = ∴
1
2=1
2
?
∴BF
∴EF =BE -BF =CD -BF
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．
5．（1）见解析；（2）FG=EP ，理由见解析；（3
【分析】
（1）证△ODE ≌△OFB （ASA ），即可得出OE=OF ；
（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；
（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得
BC=
CF=，由等腰三角形的性质得BH=CH=1
2
BC=
HF=4-，OH=1
2
OB=2，由勾股定理得
OF=，进而得出答案． 【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ， ∵AE=CF ，
∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ， 在△ODE 和△OFB 中，
ODE OBF DE BF
OED OFB ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ）， ∴OE=OF ；
（2）FG=EP ，理由如下： 连AC ，如图②所示：
由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ， 在△AOE 和△COF 中，
OA OC AOE COF OE OF =??
∠=∠??=?
， ∴△AOE ≌△COF （SAS ）， ∴AE=CF ，
由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1， ∴∠D=∠B 1，
∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ， ∴∠DPH=∠B 1GH ， ∵∠B 1GH=∠CGF ， ∴∠A 1PE=∠CGF ， 在△A 1PE 和△CGF 中，
111
A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠??
∠=∠??=?， ∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ）， ∴FG=EP ；
（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示： ∵△AOB 是等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC ，OB=OD ， ∴AC=BD ，
∴四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∵AB=OB=BF=4， ∴AC=BD=2OB=8， 由勾股定理得：BC=2222=84AC AB --=43，
∴CF=43-4， ∵OB=OC ，OH ⊥BC ， ∴BH=CH=
1
2
BC=23， ∴HF=4-23，OH=
1
2
OB=2， 在Rt △OHF 中，由勾股定理得： OF=2
2
OH HF +=()
2
2
2423
+-=2622-，
∴
434226222
CF OF -===-， 故答案为：2．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． 6．（1）
2
14
t ；（2）22t =；（3）存在，如图2（见解析），当AHQ HBM ?时，22t =3（见解析），当ADE AHE ?时，32t =4（见解析），当
EGQ HBF ?时，t =
【分析】
（1）先根据线段中点的定义可得1
2
AQ AP =
，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得45HAQ ∠=?，从而可得AQH 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可
得AH 的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；
（2）先根据平行四边形的性质可得//HQ MP ，从而可得//HQ BP ，再根据三角形中位线定理可得HQ 是ABP △的中位线，从而可得1
22
AH AB =
=，然后与（1）所求的
2
AH =
建立等式求解即可得； （3）分①当点H 是AB 的中点时，AHQ HBM ?；②当点Q 与点E 重合时，
ADE AHE ?；③当EG HB =时，EGQ HBF ?三种情况，分别求解即可得．
【详解】
（1）由题意得：2AP t =， 点Q 为AP 的中点，
1
2
AQ AP t ∴=
=， 四边形ABCD 是矩形，
90B D BAD ∴∠=∠=∠=?， AE ∵是BAD ∠的角平分线，
1
452
HAQ DAE BAD ∴∠=∠=∠=?，
QH AB ⊥，
AQH ∴是等腰直角三角形，
22
AH HQ AQ t ∴==
=， 则AQH 的面积为211
24
AH HQ t ?=； （2）如图1，
四边形PQHM 是平行四边形，
//HQ MP ∴，
点M 在BC 边上，
//HQ BP ∴，
点Q 为AP 的中点，
HQ ∴是ABP △的中位线，
1
22
AH BH AB ∴==
=，
由（1）知，
2
2 AH
t
=，
则
2
2
2
t=，
解得22
t=；
（3）由题意，有以下三种情况：
①如图2，当点H是AB的中点时，则AH HB
=，四边形PQHM是平行四边形，
//
HM PQ
∴，
HAQ BHM
∴∠=∠，
在AHQ和HBM
△中，
90
HAQ BHM
AH HB
AHQ HBM
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠=?
?
，
()
AHQ HBM ASA
∴?，
由（2）可知，此时22
t=；
②如图3，当点Q与点E重合时，
在ADE 和AHE 中，9045D AHE DAE HAE AE AE ∠=∠=???
∠=∠=???=?
，
()ADE AHE AAS ∴?，
3AD AH ∴==，
则
2
3t =， 解得32t =；
③如图4，当EG HB =时，
四边形ABCD 是矩形，四边形PQHM 是平行四边形，
//,//CD AB HM PQ ∴，
,90GEQ HAQ BHF EGQ AHQ B ∴∠=∠=∠∠=∠=?=∠，
在EGQ 和HBF 中，GEQ BHF EG HB EGQ B ∠=∠??
=??∠=∠?
，
()EGQ HBF ASA ∴?， 2
,42
AH AB =
=， 2
42
HB AB AH ∴=-=-
， 在Rt ADE △中，45,3DAE AD ∠=?=，
Rt ADE ∴是等腰直角三角形，232AE ==
32EQ AQ AE t ∴=-=-，
在Rt GEQ 中，45GEQ HAQ ∠=∠=?，
Rt GEQ ∴是等腰直角三角形，2
26
22
t EG EQ -=
=， 则由EG HB =得：262
4t t -=-， 解得7
22
t =
；
综上，如图2，当AHQ HBM ?时，22t =；如图3，当ADE AHE ?时，
32t =4，当EGQ HBF ?时，7
22
t =
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．
7．（1）①详见解析；②45°-α；③2DF BF CF =+，详见解析；（2）
2DF BF CF =，或2BF DF CF =，或2BF DF CF +=
【分析】
（1）①由题意补全图形即可； ②由正方形的性质得出1
452
DBE ABC ∠=
∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出
9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；
③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，得出2CF 即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，2CF ，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出
MF=2CF ，即可得出结论；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论． 【详解】
解：（1）①如图，
②∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，1
452
DBE ABC ∠=
∠=， ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+， ∵BF ⊥DE, ∴∠BFE=90°，
∴9045EBF BEF α∠=-∠=-, 故答案为：45°-α；
③线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系是2DF BF CF =+． 证明如下：在DF 上截取DM =BF ，连接CM ．如图2所示， ∵ 正方形ABCD ，
∴ BC =CD ，∠BDC =∠DBC =45°，∠BCD =90° ∴∠CDM =∠CBF =45°-α， ∴△CDM ≌△CBF （SAS ）． ∴ DM =BF ， CM =CF ，∠DCM =∠BCF ． ∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE =∠DCM+∠MCE =∠BCD =90°， ∴ MF 2CF ．
∴2.DF DM MF BF CF =+=+
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，2CF ，理由如下： 在BF 上截取BM=DF ，连接CM ，如图3所示， 同(1) ③，得：△CBM ≌△CDF (SAS)，
∴CM=CF ， ∠BCM=∠DCF ．
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°， ∴△CMF 是等腰直角三角形， ∴MF=2CF ，
∴BF=BM+MF=DF+2CF ；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ；理由如下： 在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，如图4所示， 同（1）③得：△CDM ≌△CBF ， ∴CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，
∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°， ∴△CMF 是等腰直角三 角形， ∴MF=2CF , 即DM+DF=2CF ， ∴BF+DF=2CF ;
综上所述，当点E 在直线BC 上时，线段BF ，CF ，DF 之间的数导关系为：
2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=．
【点睛】
此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解． 8．（1）OE OF =;（2）成立.理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE ，从而求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA ，再根据已知条件求证出Rt △BOE ≌Rt △AOF ，得到OE=OF. 【详解】
解：（1）正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥BE ， ∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°， ∵∠AFO=∠BFM （对顶角相等）， ∴∠OAF=∠OBE （等角的余角相等），
又OA=OB （正方形的对角线互相垂直平分且相等）， ∴△BOE ≌△AOF （ASA ）， ∴OE=OF.
故答案为：OE=OF ； （2）成立.理由如下：
证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴90BOE AOF ∠=∠=?，OB OA = 又∵AM BE ⊥，
∴90F MBF ∠+∠=?，90E OBE ∠+∠=?， 又∵MBF OBE ∠=∠ ∴F E ∠=∠∴BOE AOF ???， ∴OE OF = 【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比
的思想，两个问题都是证明BOE AOF ???解决问题. 9．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③732
【分析】
（1）证明()BAE BCF ASA ???可得结论．
（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．
②将ABE ?绕BE 翻折得到BEH ?，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设
2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可． ③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题． 【详解】
解：（1）证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形， 90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=?，
60EBC =?∠，1
2
CBE ABF ∠=∠，
120ABF ∴∠=?，
906030ABE ?∴-?∠==?，1209030CBF ∠=?-?=?，
ABE CBF ∴∠=∠，
AB BC =，
()BAE BCF ASA ∴???，
BE BF ∴=．
（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=?．
理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，
90BCF ∠=?，
90FBC y ∴∠=?-，
=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，
(90)ABE x y ∴∠=-?-，
90ABE EBC ∠+∠=?，
(90)90x y x ∴-?-+=?，