磁场中的面积问题专练
一、单选题
1．如图所示，在一挡板MN 的上方，有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P 为MN 上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为v 、质量为m 、带电量为q 的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收．则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是（ ）
A ．2222m v q
B π B ．22222m v q B π
C ．22223m v 2q B π
D ．22
22m v 4q B
π
2．如图所示，在边长为L 的正方形ABCD 阴影区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一质量为m 、电荷量为q (q <0)的带电粒子以大小为v 0的速度沿纸面垂直AB 边射入正方形，若粒子从AB 边上任意点垂直射入，都只能从C 点射出磁场，不计粒子的重力影响，下列说法正确的是（ ）
A ．此匀强磁场的方向可能垂直纸面向外
B ．此匀强磁场的磁感应强度大小为0
2mv qL
C ．此匀强磁场区域的面积为
2
4
L π
D ．此匀强磁场区域的面积为()222
L π-
3．如图所示，在xOy 平面上以O 为圆心的圆形区域内存在匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xOy 平面向外。一个质量为m 、电荷量为q 的带负电粒子，从原点O 以初速度
大小为0v 沿y 轴负方向开始运动，后来粒子经过x 轴上的A 点，此时速度方向与x 轴的夹角为30。A 到O 的距离为d ，不计粒子的重力，则圆形磁场区域的半径为（ ）
A 3
B 3
C 3
D 23
4．如下图所示，电子质量为m ，电荷量为e ，从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限，
射入时速度方向不同，速度大小均为0v ，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN 上，荧光屏与y 轴平行，下列说法正确的是（ ）
A ．所加磁场范围的最小面积是
22
022
2m e B πν
B ．所加磁场范围的最小面积是()22022
22m e B πν+
C ．所加磁场范围的最小面积是()22022
324m e B πν+
D ．所加磁场范围的最小面积是22
022
32m e B πν
二、多选题
5．如图所示，半径为2cm R =的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），
磁感应强度2T B =，一个比荷为6210C /kg ⨯的带正电的粒子从圆形磁场边界上的A 点以
40810m /s v =⨯的速度垂直直径MN 射入磁场，恰好从N 点射出，且120AON ∠=︒，下列选项正确的是（ ）
A ．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1cm
B ．带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上
C ．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，一定从N 点射出
D ．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则该圆形磁场的最小面积为3π×10−4m 2 6．如图所示xOy 坐标系的第一象限内y 轴与直线y =x （x ≥0）之间的部分区域内存在垂直
纸面向里的磁感应强度B=0.5T的有界匀强磁场。从y轴上的A点()
21沿x轴正方向射出许多速率不同的相同带正电的粒子。已知粒子速率范围为0 A．所有粒子在磁场中运动的时间相同 B．粒子的比荷为2 210C kg ⨯ C．磁场区域的最小面积为2 m π D．粒子从直线y=x处运动时间2 10s π⨯射出磁场 7．一质量为m、电量为q（0 q<）的带电粒子以速度v0从x轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域磁感强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角60 θ=︒。如图所示（粒子仅受洛伦兹力），下列说法正确的是（） A．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 22 22 4 m v B q π B．如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 22 22 m v B q π C 22 0 (23)m v - D 22 0 3m v 8．情景一：如图甲所示，在xOy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐标原点O 以相同速度 v沿不同方向平行于xOy平面射入第一象限。现在加一垂直xOy平面向里的、 磁感应强度为B 的匀强磁场，要求这些入射电子都能平行轴且沿x 轴正方向运动，设符合条件的磁场的最小面积1S 。 情景二：如图乙所示，在.xOy 平面内有很多质量为m ，电量为e 的电子，从坐标原点O 以速度大小从00v -、沿y 轴正方向平行于xOy 平面射入。现在加一垂直xOy 平面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场，要求这些入射电子都能平行x 轴且沿x 轴正方向运动，设符合条件的磁场的最小面积2S 。则下列正确的是（ ） A ．()22 01 2 2 22m v S e B π-= B ．()22 01 22 24m v S e B π-= C ．()22022224m v S e B π-= D ．()22 0222 28m v S e B π-= 三、解答题 9．如图所示，在xOy 平面坐标系的第一象限内的某区域存在匀强磁场，在第二象限内存在沿x 正方向的匀强电场，电场强度的大小为E =5×103V/m 。曲线OC 上分布着大量比荷为q m =105C/kg 的正电荷，曲线OC 上各点的坐标满足y 2=k |x |，C 点的坐标为(－0.1，0.2)。A 点在y 轴上，CA 连线平行于x 轴，D 点在x 轴上且OD =OA 。现所有正电荷由静止释放， 在第一象限内磁场的作用下都沿垂直x 轴方向通过了D 点。不计正电荷所受的重力及电荷间的相互作用力。求： (1)正电荷通过y 轴时的速度与纵坐标的关系； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小和方向； (3)匀强磁场区域的最小面积。 10．如图所示，xOy 直角坐标平面内，在第二象限有沿y 轴负方向的匀强电场，一个带正电的粒子从坐标为（3l -，3l ）的P 点沿x 轴正方向开始运动，恰好从坐标原点O 进入第四象限，在x >0的区域存在一个矩形匀强磁场区域（图中未画出），磁场方向垂直xOy 平面（纸面），粒子经过匀强磁场区域后恰能沿x 轴负方向再次通过坐标原点O ，已知粒子在匀强电场和匀强磁场中运动的加速度大小均为a ，不计粒子重力。求: (1)粒子第一次通过坐标原点O 时的速度； (2)粒子两次通过坐标原点O 的时间间隔； (3)矩形磁场区域的最小面积。 11．如图所示，在水平线PQ 和虚线MO 之间存在竖直向下的匀强电场，PQ 和MO 所成夹角30θ=︒，匀强电场的场强为E ；MO 右侧某个区域存在匀强磁场，磁场的磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里，O 点在磁场的边界上，O 点存在粒子源，粒子的质量为m 、电量为 +q ，粒子在纸面内以速度0E v v B ⎛ ⎫<≤ ⎪⎝⎭垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线 MO 时，速度方向均平行于PQ 向左，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)速度最大的粒子从O 点运动至水平线PQ 所需的时间； (2)匀强磁场区域的最小面积是多少？ 12．如图所示，在xOy 直角坐标系的第Ⅱ象限内有竖直向下的匀强电场。从电场中的A 点以初速度0v 水平向右射出一带正电的粒子（不计重力），经一段时间该粒子从y 轴上的C 点离开电场，离开电场时速度方向与y 轴负方向夹角60θ=︒，经第Ⅱ象限运动到x 轴上的M 点，然后立即飞入第Ⅱ象限内一圆形区域的匀强磁场（图中未画出），经一段时间离开磁场沿直线运动到y 轴上的N 点，此时速度方向与y 轴负方向夹角60α=︒。已知OC L =，2ON L =，A 点到y 轴的距离与OM 的间距相等。求： （1）A 点的位置坐标； （2）电场强度与磁感应强度大小之比； （3）该圆形磁场的最小面积。 13．如图，在xOy 坐标系中的第一象限内存在沿x 轴正方向的匀强电场，第二象限内存在 方向垂直纸面向外磁感应强度0 32mv B eL 的匀强磁场，磁场范围可调节（图中未画出）。一粒子源固定在x 轴上M （L ，0）点，沿y 轴正方向释放出速度大小均为v 0的电子，电子经电场后从y 轴上的N 点进入第二象限。已知电子的质量为m ，电荷量的绝对值为e ，ON 的23 ，不考虑电子的重力和电子间的相互作用，求： （1）第一象限内所加电场的电场强度； （2）若磁场充满第二象限，电子将从x 轴上某点离开第二象限，求该点的坐标； （3）若磁场是一个圆形有界磁场，要使电子经磁场偏转后通过x 轴时，与y 轴负方向的夹角为30°，求圆形磁场区域的最小面积。 14．如图，在平面直角坐标系xoy 的第四象限内有一匀强电场，其场强E =2×105V/m ，方向与x 轴成30°角斜向上。一比荷为 q m =1×107kg/C 的带正电粒子从P 点由静止出发，接着在x 轴上Q 点进入第一象限，通过磁感应强度大小为B =0.2T 的圆形匀强磁场区域（图中未画出）后，从坐标原点O 沿y 轴负方向离开磁场区域。若P 、Q 间距为L =4cm ，粒子重力不计，试求： （1）粒子到达Q 点时的速度大小； （2）Q 点到坐标原点的距离； （3）圆形磁场区域的最小面积。 15．如图所示，在直角坐标系xoy中，第Ⅱ象限存在沿y轴正方向、电场强度为E的匀强电场，第Ⅱ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域。一质量为m，带电荷量为-q的粒子，以某一速度从A点垂直于y轴射入第Ⅱ象限，A点坐标为（0，h），粒子飞出电场区域后，沿与x轴正方向夹角为60°的B处进入第Ⅱ象限，经圆形磁场后，垂直射向y轴C处。不计粒子重力，求： (1)从A点射入的速度 v； (2)圆形磁场区域的最小面积； (3)证明粒子在最小圆形磁场中运动时间最长，并求出最长时间。 16．如图所示，在xOy平面内虚线AB与y轴成夹角θ=30°，在AB左侧存在电场强度大小为E、方向平行于x轴向左的匀强电场，AB右侧某个区域存在垂直纸面向外磁感应强度大小为B的匀强磁场，A点处在磁场的边界上，现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在 纸面内以速度v（0 B ）垂直于AB从A点射入磁场，所有粒子通过直线AB时，速度方 向均平行于y轴向下，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求： (1)所有带电粒子在磁场中运动的时间； (2)速度最大的粒子从A点开始射入磁场至返回y轴所用的时间； (3)磁场区域的最小面积。 17．如图所示为一矩形磁场区域（画出上边界，其余三个边界未画出），S 处有一电子源能在纸面内向各个方向持续发射电子，已知磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B =9.1×10-5 T ，S 到磁场上边界的距离为4cm 。电子源所发射电子的速率均为v =1.6×106m/s ，电子质量m =9.×10-31kg ，电荷量e =-1.6×10-19C ，不计电子重力和相互间作用力。 (1)如果矩形磁场区域足够宽，求磁场上边界有电子射出的边界长度； (2)要求电子仅能从矩形磁场的上边界射出而不能从其他三个边界射出，求矩形磁场的最小面积。 18．如图所示，平行板电容器的电压为U （未知量，大小可调），现有一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从下极板附近静止释放，经电场加速后从上极板的小孔处射出，速度方向与y 轴平行，然后与静止在x 轴上(),0P a 点的质量为m 的中性粒子发生正碰，碰后粘在一起。在x 轴上方某一圆形区域加一垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B （未知量，大小可调）。粒子最后能从y 轴上的()0,Q a 点射出磁场，且Q 点在圆形磁场上。不考虑粒子的重力和电容器外侧的电场。求： （1）若电容器电压为0U ，则带电粒子和中性粒子碰后的速度大小； （2）若粒子从P 处进入磁场，则U 与B 需要满足的关系式； （3）满足条件的圆形磁场的最小面积； （4）满足条件的所有运动轨迹圆圆心的坐标方程。 19．如图，在0x a ≤≤区域内存在与xoy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B 。在0=t 时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y 轴正方向夹角分布在0~180°范围内。已知沿y 轴正方向发射的粒 子在t t=0时刻刚好从磁场边界上P(a，a)点离开磁场。（不计重力）求： (1)粒子在磁场中做圆周运动半径； (2)最先从右边界射出的粒子在磁场中运动的时间； (3)从右边射出的粒子在通过磁场过程中，所经过的磁场区域的面积。 20．如图，在xOy坐标系的第一象限内，直线 3 (0) 2 y l kx k =->的上方有垂直纸面向外的 有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。在 3 0, 2 P l ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 点有一粒子源，能以不同速率沿与y轴 正方向成60︒角发射质量为m、电荷量为(0) q q>的相同粒子。这些粒子经磁场后都沿y-方向通过x轴，且速度最大的粒子通过x轴上的M点，速度最小的粒子通过x轴上的N 点。已知速度最大的粒子通过x轴前一直在磁场内运动， 3 NM=，不计粒子的重力， 求： （1）粒子最大速度的值与k的值； （2）粒子从P点到穿过x轴经历的最长时间；（3）有界磁场的最小面积。 参考答案： 1．【答案】C 【解析】 由题意可知粒子在磁场中的运动半径mv R qB = ，所有粒子在磁场中半径相同， 由图可知，由O 点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O 点为圆心以2R 为半径转动．如图所示： 由几何图形可知，带电粒子可能经过的区域的面积为：()2222 22 1132242m v S R R q B πππ=+=，故 C 正确， AB D 错误． 2．【答案】D 【解析】 A ．若保证所有的粒子均从C 点离开此区域，则由左手定则可判断匀强磁场的方向应垂直纸面向里，故A 错误； B ．由A 点射入磁场的粒子从 C 点离开磁场，结合图可知该粒子的轨道半径应为R =L ，则 由牛顿第二定律可得20 0v qBv m R = 可解得0 mv B qL = 故B 错误； CD ．由几何关系可知匀强磁场区域的面积应为()2 2221 124 22L S L L ππ-⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭ 故C 错误，D 正确。 故选D 。 3．【答案】B 【解析】 粒子的运动轨迹如图所示，设粒子运动的半径为R ，由几何关系可知sin 30R R d +=︒ 解得1 3 R d = 则圆形磁场区域的半径为32sin 60r R =︒= 故选B 。 4．【答案】B 【解析】 设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得20 0v ev B m R = 即0mv R eB = 电子从y 轴穿过的范围为0 22 mv OM R eB == 初速度沿x 轴正方向的电子沿OA 运动到荧光屏MN 上的P 点；初速度沿y 轴正方向的电子沿OC 运动到荧光屏MN 上的Q 点；由几何知识可得0 mv PQ R eB == 取与x 轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出础场的点为(),E x y ，因其射出后能垂直打到屏MN 上，故有sin x R θ=- cos y R R θ=+ 即222()x y R R +-= 又因为电子沿x 轴正方向射入时，射出的边界点为A 点；沿y 轴正方向射入时，射出的边界点为C 点，故所加最小面积的场的边界是以()0,R 为圆心、R 为半径的圆的一部分，如图 中实线圆所围区域，所以磁场范围的最小面积为 ()22 0222 2022 2311()4422m v mv s R R R eB e B ππππ+⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭ 故B 正确。 故选B 。 5．【答案】BCD 【解析】 AB ．根据洛伦兹力提供向心力可得20 0v qv B m r = 解得0 0.02m 2cm mv r R qB ==== 带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上，故A 错误、B 正确； C ．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，假设出射点位置在N '点，圆心在O '点，如图所示， 根据几何关系可得CON O ''为菱形，则//CO ON ''，N '和N 重合，故粒子从N 点射出，故C 正确； D ．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则该圆形磁场的最小直径等于AN 长度，即2min 3 3102m AN r -= == 最小圆的面积为n 242 mi 310m S r ππ-==⨯ 故D 正确。 故选：BCD 。 6．【答案】AB 【解析】 A ．因为所有粒子均不从磁场右边界射出，所以所有粒子在磁场中均做半个圆周运动，从y 轴上射出磁场，运动时间均为 12m t T Bq π== 选项A 正确； B ．速率2 m 10m/s v =的粒子恰好不从磁场右边界射出，其轨迹圆与直线y x =相切（如图所 示） 设粒子轨迹圆的半径为r ，由几何关系有212r r 解得1m r = 由2 m v Bqv m r =，得2 210C/kg q m =⨯ 选项B 正确； C ．磁场中区域的最小面积221m 22 S r π π== 选项C 错误； D ．速率最大的粒子从A 点运动到直线y x =处的轨迹圆心角4 π θ= 粒子从直线y x =处到从y 轴射出磁场运动的时间为2()310s 24 m t T qB πθπθπ π---===⨯ 选项D 错误； 故选AB 。 7．【答案】AC 【解析】 AB ．由洛伦兹力充当向心力得20 0v qv B m R = 所以半径为0 mv R Bq = 运动轨迹如下图所示 若是圆形区域磁场，则以CD 为直径的圆面积最小，CD =R ，故最小面积为 2 22 2 0min 22 24m v R S r B q πππ⎛⎫ === ⎪⎝⎭ A 正确， B 错误； CD ．若是矩形区域磁场，则以CD 为长，以圆弧最高点到CD 的距离h 为宽，则矩形的面积最小。331h R R ⎛== ⎝⎭ 所以矩形区域磁场最小面积为22 20 min 223231m v S Rh R B q ⎛-=== ⎝⎭⎝⎭ C 正确， D 错误； 故选AC 。 8．【答案】AC 【解析】 AB ．如图所示 电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为mv R Be = 在由O 点射入第I 象限的所有电子中，沿y 轴正方向射出的电子转过1 4 圆周，速度变为沿 x 轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。下面确定磁场区域的下边界．设某电子做匀速圆周运动的圆心O ′与O 点的连线与y 轴正方向夹角为θ，若离开磁场时电子速度变为沿x 轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（x ，y ）。由图中几何关系可得 x =R sin θ，y =R -R cos θ 消去参数θ可知磁场区域的下边界满足的方程为222()x R y R +-=（x>0，y>0） 这是一个圆的方程，圆心在（0，R ）处，磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积，磁场的最小面积为222 2122 11(2)2()422m v S R R e B ππ-=-= 故A 正确，B 错误； CD ．由题意可知最小区域面积为如图所示 磁场的最小面积为222 2222 11(2)424m v S R R e B ππ-=-= 故C 正确，D 错误。 故选AC 。 9．【答案】(1)v 2Eq km =5×105y ；(2)B =5×105 my qr =5T ，磁感应强度的方向为垂直纸面向外； (3)1.14×10－2m 2 【解析】 (1)第二象限内，正电荷在电场力的作用下做初速为零的匀加速运动，设正电荷的坐标为(x ，y )，通过y 轴时的速度为v ，由动能定理有Eq x =12 mv 2 由于y 2=k x ，C 点的坐标为(－0.1，0.2)，得k =0.4 联立得v 2Eq km =5×105y (2)由C 点静止释放的正电荷垂直y 轴通过A 点，又垂直x 轴通过D 点，所以该正电荷由A 点进入磁场，由D 点出磁场，圆周运动的圆心为O 点，轨迹如图所示 该正电荷做圆周运动的半径r =OA =0.2m 由洛仑兹力提供向心力，有qvB =2 v m r 联立，得B =5×105my qr =5T 由左手定则可判断，磁感应强度的方向为垂直纸面向外 (3)由(2)中分析可知正电荷在磁场中圆周运动的半径与其通过y 轴时的纵坐标值相等，所有正电荷都垂直通过D 点，轨迹如图所示 磁场区域的最小面积为阴影部分的面积，由几何关系可得面积S =22 1142r r π-=1.14×10－2m 2 10．【答案】（1）22v al =60θ=；（2）42(332)3l t a π=（3）2192S l = 【解析】 （1）设粒子第一次通过坐标原点O 时速度大小为v ，方向与x 轴正向夹角为θ，粒子从P 到O 时间为t 0 由类平抛运动得0cos 23v t l θ= 0sin 32 v t l θ = 2(sin )23v a l θ=⋅ 联立解得22v al = 60θ= （2）设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r 由2 v a r =解得8r l = 设O 点到磁场边界的距离为d ，由几何关系得3d r = 粒子做匀速直线运动时间1223d r t V = = 粒子在匀强磁场中运动时间243r t v π= 粒子两次通过坐标原点O 的时间间隔12t t t =+ 4(23)3r t v π= 解得=42(332) 3l t a π=（3）由几何关系得，矩形磁场区域的最小面积22(1cos )3S r r r θ=⋅+= 解得2192S l = 11．【答案】(1)2(33)m t π+(2)222433m E S q B π⎛∆= ⎝⎭ 【解析】 (1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，周期为T ，粒子在匀强磁场中运动时间为1t 由牛顿第二定律得2 v qvB m R = 解得 mv R qB = 2m T qB π= 113 t T = 设粒子自N 点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM ，设匀速运动的距离为s ，匀速运动的时间为2t 由几何关系知tan R s θ= 2s t v = 过MO 后粒子做类平抛运动，设运动的时间为3t ，则2 33122qE R t m = 又由题意知E v B = 则速度最大的粒子自O 点进入磁场至重回水平线POQ 所用的时间为 1232(33)m t t t t π+=++= (2)由题意知速度大小不同的粒子均要水平通过OM ，则其飞出磁场的位置均应在ON 的连线上，故磁场范度是围的最小面积S ∆是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON 所围成的面积，如图所示。扇形OO N '的面积213 S R π=，OO N ∆'的面积为223cos30sin 30S R R =︒︒= ' S S S ∆=-' 解得22 2433m E S q B π⎛∆= ⎝⎭ 12．【答案】（1） 33,2L L ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2） 06v E B =；（3） 2 4 L π 【解析】 （1）由直角三角形OMC 可知tan OM OC θ= 得3OM L = 因为A 点到y 轴的距离与OM 距离相等，也就是A 点的横坐标为3L 带电粒子在C 点的竖直方向速度00 3tan y v v v θ= = 带电粒子从A 到C 03L v t = 竖直方向上 013032 v y t = 解得12 L y = 即A 点的纵坐标为132 y OC L += 所以A 点的坐标为33,2L L ⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭ （2）设粒子在电场中的加速度大小为a ，由题意可知211 2 y at = 由牛顿第二定律可得qE ma = 联立解得20 3mv E qL = 粒子出电场后的运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r ，由几何关系可知2sin ON QN ON OC MP r θ-=-== 解得3r = 粒子进入磁场时的速度0023 sin v v θ= = 又因为2 mv qBv r = 解得0 2mv B qL = 则 6 v E B = （3）由几何关系可知，第Ⅱ象限内匀强磁场的最小区域应为以MP 为直径的圆 所以圆形磁场的最小面积2 2 24MP L S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 13．【答案】（1）2 32mv E eL =；（2）（-2L ，0）；（3）289L π 【解析】 （1）在第一象限内，做类平抛运动0ON v t = 212 L at = 根据牛顿第二定律eE=ma 解得20 32mv E eL = （2）粒子射入磁场时，速度方向与y 轴夹角的正切值0 tan 3at v θ==速度大小0 02cos v v v θ = = 在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力2 mv evB R = 得4 3 mv R L eB = = 根据几何关系1cos 2x R R L θ=+= 该点的坐标为（-2L ，0） （3）根据题意，作出轨迹图如下 电子在磁场中偏转90°射出，则磁场的最小半径min sin 452 ab R R = =︒ 最小面积2 min min S R π= 解得2 min 89 S L π= 14．（1）5410m/s ⨯；（2）0.6m ；（3）2 3m 100 π 【解析】 （1）从P 到Q 由动能定理qEL =2 12 mv 解得粒子到达Q 点时的速度52410m/s qEL v m = ⨯ （2）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R ，又qvB =2 v m R 可得120.2m mEL R B q = = 由几何关系可知Q 点到坐标原点的距离为3R =0.6m （3）由图可得，最小的圆形磁场半径min 3sin 602 r R == 面积22 2min min 2 333m 42100 R mEL S r qB ππππ==== 15．【答案】23qEh m (2)2 2mhE qB π；(3)23m qB π 【解析】 (1)粒子在电场中做类平抛运动，其加速度大小为F qE a m m == 竖直方向有22 1122qE h at t m = = 故2mh t qE = 在B 处有0 tan 603y x v at v v ︒= = 因此，A 点射入的速度0233 qEh v m =(2)在B 处，根据0 cos 60v v ︒= 可得粒子进入磁场的速度为00 0222cos 603v qEh v v m = ==粒子在磁场中，由洛伦磁力提供向心力，即2 mv qvB R = 故：粒子在磁场运动的轨道半径为22E 3mv mh R qB B q = =由于粒子从B 点射入，经磁场偏转后垂直射向C 处，根据左手定则可知，圆形磁场的磁场 是垂直于纸面向里。 如图所示，延长B 处速度方向与反向延长C 处速度方向相交于D 点，作BDC ∠的角平分 专题:磁场计算题（附答案详解） 1、如图所示，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直．已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l.不计重力影响和离子间的相互作用．求： (1)磁场的磁感应强度大小；(2)甲、乙两种离子的比荷之比． 2、如图所示，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一个氕核11H和一个氘21H先后从y轴上y＝h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向．已知11H进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场.11H的质量为m，电荷量为q.不计重力．求： (1)11H第一次进入磁场的位置到原点O的距离；(2)磁场的磁感应强大小； (3)21H第一次离开磁场的位置到原点O的距离．3、一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场，其在xOy平面内的截面如图所示：中间是磁场区域，其边界与y轴垂直，宽度为l，磁感应强度的大小为B，方向垂直于xOy平面；磁场的上、下两侧为电场区域，宽度均为l′，电场强度的大小均为E，方向均沿x轴正方向；M、N为条状区域边界上的两点，它们的连线与y轴平行．一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场，经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出．不计重力．(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹； (2)求该粒子从M点入射时速度的大小；(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为 π 6，求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间． 4、如图所示，竖直放置的平行金属板板间电压为U，质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在靠近左板的P点，由静止开始经电场加速，从小孔Q射出，从a点进入磁场区域，abde是边长为2L的正方形区域，ab边与竖直方向夹角为45°，cf与ab平行且将正方形区域等分成两部分，abcf中有方向垂直纸面向外的匀强磁场B1，defc中有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，粒子进入磁场B1后又从cf 上的M点垂直cf射入磁场B2中(图中M点未画出)，不计粒子重力，求：(1)粒子从小孔Q射出时的速度；(2)磁感应强度B1的大小； (3)磁感应强度B2的取值在什么范围内，粒子能从边界cd间射出． 磁场中最小面积问题 一、磁场范围为圆形 例1. 在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速 度vo沿+x方向进入磁场，已知粒子经过y轴上p 点时速度方向与+y方向夹角为θ＝30o，OP=L 求： ⑴磁感应强度的大小和方向 ⑵该圆形磁场区域的最小面积。 二、磁场范围为矩形 例2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为0.5×103V/m, B1大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重合．一质量m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向成60°角从M点沿直线运动，经P点进入处于第一象限内的磁场B2区域。一段时间后，微粒经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出，M点的坐标为(0，-10),N点的坐标为(0，30)．不计粒子重力，g取10m/s2． (1)请分析判断匀强电场E的方向并求微粒运动速度的v大小； (2)匀强磁场B2的大小为多大？； (3) B2磁场区域的最小面积为多少？ 三、磁场范围为三角形 例3如图5，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC 边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求： （1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T； （2）该粒子在磁场里运动的时间t； （3）该正三角形区域磁场的最小边长； 四、磁场范围为树叶形 v的初速例4.如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为 度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求： （1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； （2）此匀强磁场区域的最小面积。 高考物理电磁学大题习题20题 1.如图所示，虚线MO 与水平线PQ 相交于O ，二者夹角θ=30°，在MO 左侧存在电场强度为 E 、方向竖直向下的匀强电场，MO 右侧某个区域存在磁感应强度为B 、垂直纸面向里的匀强 磁场，O 点处在磁场的边界上。现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面内以不同的速度（0≤v ≤ E B ）垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左。不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： （1）粒子在磁场中的运动时间。 （2）速度最大的粒子从O 开始射入磁场至返回水平线POQ 所用时间。 （3）磁场区域的最小面积。 【答案】（1）23m qB π（2）)m t qB π=或23m qB π（3）22 24 4(12m E S q B π-?= 或22 24 (3m E q B π 【解析】 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，周期为T ，粒子在匀强磁场中运动时间为t 1， 则2 mv qvB R =，即mv R qB =，22R m T v qB ππ==，11233m t T qB π== （2）设粒子自N 点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM ，设匀速运动的距离为x ，匀速运动的时间为t 2，由几何关系知： tan R x θ= ，2x t v =，2t =过MO 后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t 3，则： 2 33122qE R t m = 又：E v B = ，3t = 则速度最大的粒子自O 进入磁场至重回水平线POQ 所用的时间123t t t t =++ 联立解得：t = （3）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM ，其飞出磁场的位置均应在ON 的连线上，故磁场范围的最小面积S ?是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON 所围成的面积。扇形 OO N '的面积21 3S R π= OO N ?'的面积为：22 cos30sin 30S R R =??= ' 又S S S ?=-' 联立解得2224m E S q B ?=或22 24(3m E q B π。 2.如图甲所示，两平行金属板接有如图乙所示随时间t 变化的电压U ，两板间电场可看作均匀的，且两金属板外无电场，两金属板长L ＝0.2 m ，两板间距离d ＝0.2 m ．在金属板右侧边界MN 的区域有一足够大的匀强磁场，MN 与两板中线OO ′垂直，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO ′连续射入电场中，已知每个粒子速度v 0＝105 m/s ，比荷＝108 C/kg ，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的． (1)试求带电粒子射出电场时的最大速度； (2)任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN 上的入射点和在MN 上出射点的距离是一确定的值s ，试通过计算写出s 的表达式（用字母m 、v 0、q 、B 表示）． 【答案】（1）。方向：斜向右上方或斜向右下方，与初速 高中物理《磁场》典型题(经典推荐含答 案) 高中物理《磁场》典型题(经典推荐) 一、单项选择题 1.下列说法中正确的是： A。在静电场中电场强度为零的位置，电势也一定为零。 B。放在静电场中某点的检验电荷所带的电荷量 q 发生变化时，该检验电荷所受电场力 F 与其电荷量 q 的比值保持不变。 C。在空间某位置放入一小段检验电流元，若这一小段检验电流元不受磁场力作用，则该位置的磁感应强度大小一定为零。 D。磁场中某点磁感应强度的方向，由放在该点的一小段检验电流元所受磁场力方向决定。 2.物理关系式不仅反映了物理量之间的关系，也确定了单位间的关系。如关系式 U=IR，既反映了电压、电流和电阻之 间的关系，也确定了 V（伏）与 A（安）和Ω（欧）的乘积等效。现有物理量单位：m（米）、s（秒）、N（牛）、J （焦）、W（瓦）、C（库）、F（法）、A（安）、Ω（欧） 和 T（特），由他们组合成的单位都与电压单位 V（伏）等效 的是： A。J/C 和 N/C B。C/F 和 T·m2/s C。W/A 和 C·T·m/s D。W·Ω 和 T·A·m 3.如图所示，重力均为 G 的两条形磁铁分别用细线 A 和 B 悬挂在水平的天花板上，静止时，A 线的张力为 F1，B 线 的张力为 F2，则： A。F1=2G，F2=G B。F1=2G，F2>G C。F1G D。F1>2G，F2>G 4.一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直，先保持线框的面积不变，将磁感应强度在 1s 时间内均匀地增 大到原来的两倍，接着保持增大后的磁感应强度不变，在 1s 时间内，再将线框的面积均匀地减小到原来的一半，先后两个过程中，线框中感应电动势的比值为： A。1/2 B。1 C。2 D。4 5.如图所示，矩形 MNPQ 区域内有方向垂直于纸面的匀 强磁场，有 5 个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁场，在纸面内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧，这些粒子的质量，电荷量以及速度大小如下表所示，由以上信息可知，从图中 a、b、c 处进入的粒子对应表中的编号分别为：A。3、5、4 B。4、2、5 C。5、3、2 D。2、4、5 t 2 磁场中的面积问题专练 一、单选题 1．如图所示，在一挡板MN 的上方，有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P 为MN 上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为v 、质量为m 、带电量为q 的粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收．则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是（ ） A ．2222m v q B π B ．22222m v q B π C ．22223m v 2q B π D ．22 22m v 4q B π 2．如图所示，在边长为L 的正方形ABCD 阴影区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一质量为m 、电荷量为q (q <0)的带电粒子以大小为v 0的速度沿纸面垂直AB 边射入正方形，若粒子从AB 边上任意点垂直射入，都只能从C 点射出磁场，不计粒子的重力影响，下列说法正确的是（ ） A ．此匀强磁场的方向可能垂直纸面向外 B ．此匀强磁场的磁感应强度大小为0 2mv qL C ．此匀强磁场区域的面积为 2 4 L π D ．此匀强磁场区域的面积为()222 L π- 3．如图所示，在xOy 平面上以O 为圆心的圆形区域内存在匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xOy 平面向外。一个质量为m 、电荷量为q 的带负电粒子，从原点O 以初速度 大小为0v 沿y 轴负方向开始运动，后来粒子经过x 轴上的A 点，此时速度方向与x 轴的夹角为30。A 到O 的距离为d ，不计粒子的重力，则圆形磁场区域的半径为（ ） A 3 B 3 C 3 D 23 4．如下图所示，电子质量为m ，电荷量为e ，从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限， 射入时速度方向不同，速度大小均为0v ，现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN 上，荧光屏与y 轴平行，下列说法正确的是（ ） A ．所加磁场范围的最小面积是 22 022 2m e B πν B ．所加磁场范围的最小面积是()22022 22m e B πν+ C ．所加磁场范围的最小面积是()22022 324m e B πν+ D ．所加磁场范围的最小面积是22 022 32m e B πν 二、多选题 5．如图所示，半径为2cm R =的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）， 磁感应强度2T B =，一个比荷为6210C /kg ⨯的带正电的粒子从圆形磁场边界上的A 点以 40810m /s v =⨯的速度垂直直径MN 射入磁场，恰好从N 点射出，且120AON ∠=︒，下列选项正确的是（ ） A ．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1cm B ．带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上 C ．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C 点以相同的速度入射，一定从N 点射出 D ．若要实现带电粒子从A 点入射，从N 点出射，则该圆形磁场的最小面积为3π×10−4m 2 6．如图所示xOy 坐标系的第一象限内y 轴与直线y =x （x ≥0）之间的部分区域内存在垂直 磁场中的最小面积及动态圆积问题 因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的特殊性，时常出现最小面积问题，常见的有圆形、矩形和三角形等等，以下仅就此类问题进行专题性演练。 【例1】如图所示，一质量为m 重力不计电量为q 的带电质点, 以平行于 ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该 质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方 加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在 一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。 【解析】由牛顿第二定律有：2v qvB m R = 可得mv R qB = 圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子在穿越磁场过程中以入射点 和出射点为直径的圆，故22r R = 其最小面积是：222222m v S r q B ππ== 【例2】如图，质量为m 重力不计带电量为q 的带电粒子以速度0v 从O 点沿y 轴正向射入垂直于纸面、磁感强度为B 的圆形匀强磁场区域，粒 子飞出磁场区域后从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°。 试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o 到b 经历的时间。 【解析】（1）由牛顿第二定律有：200v qv B m R = 可得0mv R qB = 如图，圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子以入射点 和出射点为直径的圆，其半径°cos30r R = 故其最小面积为：22202234m v S r q B ππ== （2）粒子从o 到b 经历的时间为：01 32(3)3 3r m t T v qB π=+=+ 【例3】图为可测定带电粒子比荷装置的简化示意图，在第一象限 区域内有垂直于纸面向里磁感应强度-32.010B T =⨯的匀强磁场， 在x 轴上距坐标原点0.50L m =的P 处为离子的入射口，在y 上安 放接收器，现将一重力不计的带正电的粒子以43.510/v m s =⨯的 速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点0.50L m =的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，试求： （1）该带电粒子的比荷q m ； （2）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以限制在一个以PM 为边界的矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。 R R y o x A B v v o ︒300v 0v b 高考物理复习计算题专题 例1. 如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界AB 、CD 的宽度为d ，在边界AB 左侧是竖直向下、场强为E 的匀强电场。现有质量为m 、带电量为+q 的粒子（不计重力）从P 点以大小为V 0的水平初速度射入电场，随后与边界AB 成45°射入磁场。若粒子能垂直CD 边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且不碰到正极板。 ⑴.请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小V ； ⑵.求匀强磁场的磁感应强度B ； ⑶.求金属板间的电压U 的最小值。 解：⑴. 轨迹如图所示； 000 V 245sin V V == （2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动 其轨道半径R 由几何关系可知： d 245sin d R 0 == R V m BqV 2 = 解得：qd mV B 0 = （3）粒子进入板间电场至速度减为零的过程，由动能定理有： 2m V 2 1 0qU -=- - 解得：q mV U 20 = 例2．如图，在平面直角坐标系xOy 内，第Ⅰ象限存在沿y 轴负方向 的匀强电场，第Ⅳ象限以ON 为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子，从y 轴正半轴上y = h 处的M 点，以速度V 0垂直于y 轴射入电场，经x 轴上x = 2h 处的P 点进入磁场，最后以垂直于y 轴的方向射出磁场。不计粒子重力。求 ⑴.电场强度大小E ； ⑵.粒子在磁场中运动的轨道半径r ； ⑶.粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t 。 解：粒子的运动轨迹如右图所示 ⑴.设粒子在电场中运动的时间为t 1： 粒子在x 方向上有：10t V h 2=；粒子在y 方向有：2 1at 2 1h = 根据牛顿第二定律有：ma Eq = 求得：qh 2mV E 20 = ⑵.根据动能定理粒子离开电场时的速度V 为： 202m V 2 1m V 21Eqh -= P O 45° V 0 V 0 R B D E B - + d 小孔 U 专题11 磁场（3）-高考物理精选考点专项突破题集 三、计算题：（解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤） 1、如图所示，水平方向的匀强电场场强为E ，场区宽度为L ，竖直方向足够长。紧挨着电场的是垂直于纸面向外的两个匀强磁场区域，其磁感应强度分别为B 和2B 。一个质量为m ，电量为q 的带正电粒子，其重力不计，从电场的边界MN 上的a 点由静止释放，经电场加速后进入磁场，经过时间qB m t B 6π=穿过中间磁场，进入右边磁场后能按某一路径再返回到电场的边界MN 上的某一点b ，途中虚线为场区的分界面。求： （1）中间场区的宽度d ； （2）粒子从a 点到b 点所经历的时间t ab ； （3）当粒子第n 次返回电场的MN 边界时与出发点之间的距离S n 。 2、如图，在平面直角坐标系xoy中，第一象限内有一条通过坐标原点的虚线，虚线与y轴正方向夹角为30°，在虚线与x轴正方向之间存在着平行于虚线向下的匀强电场。在第四象限内存在一个长方形的匀强磁场区域（图中未画出），磁感应强度为B，方向垂直坐标平面向外。一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从虚线上某点以一定的初速度垂直电场方向射入电场，经过电场偏转后，该粒子恰从x轴上的P点以速度v射入匀强磁场区域，速度v的方向与x轴正方向夹角为60°，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动。经磁场偏转后，粒子射出磁场时速度方向沿x轴负方向，随后粒子做匀速直线运动并垂直经过负y轴上的Q点。已知OP=L，不计带电粒子重力。求： （1）匀强电场的电场强度E的大小； （2）带电粒子在电场和磁场中运动时间之和； （3）矩形磁场区域的最小面积和Q点的位置坐标。 电流与磁场、电磁感应、自感互感、磁场能量 一、选择题 1．如图，流出纸面的电流为2I ，流进纸面的电流为I ，则下述各式中哪一个是正确的 （A ）1 2L H dl I =?（B ）2 L H dl I =? （C ） 3 L H dl I =-? （D ）4 L H dl I =-? 分析：选D ，根据安培环路定理 L B dl I μ=∑?，当电 论。 2．如图， M 、N 为水平面内两根平行金属导轨，ab 与cd 为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线。外磁场垂直水平面向上。当外力使ab 向右平移时， cd （A ）不动。（B ）转动（C ）向左移动（D ）向右移动 分析：选D ，根据楞次定律即判定。 3． A,B 两个电子都垂直于磁场方向射入一均匀磁场而作圆周运动，A 电子的速率是B 电子速率的两倍，设A R ,B R 分别为 A 电子与 B 电子的轨道半径，A T ,B T 分别为它们各自的周期，则 （A ）:2,:2A B A B R R T T == （B ）1 :,:12 A B A B R R T T == （C ）1 :1,:2 A B A B R R T T == （D ）:2,:1A B A B R R T T == 分析：根据公式2,mv m R T eB eB π== ，即可得到答案，选D 4．真空中一根无限长直细导线上通电流I ，则距导线垂直距离拉为a 的空间某点处的磁能密度为 （A ） 2001 ()22I a μμπ （B ） 2001()22I a μμπ （C ）2012()2a I πμ （D ）2001()22I a μμ 分析：2 12m B w μ= ，而02I B a μπ= 。代入可得答案B 5．如图，无限长直载流导线与正三角形载流线圈在同一平面内，若长直导线固定不动，则载流三角形线圈 将 （A ） 向着长直导线平移（B ）离开长直导线平移 (C)转动 (D)不动 分析：利用安培力的方向判定，选A 6．如图所示，螺线管内轴上放入一小磁针，当电键K 闭合时，小磁针的N (A)向外转90(B)向里转90(C)保持图示位置不动(D)旋转180。 分析：利用右手定则可判定，螺线管内部的磁场方向从右向左，可得答案选 C I I 0 v v c 一模型界定 带电粒子在有界磁场中运动时,要完成题目要求的运动过程,空间中有粒子必须经过的一个磁场区域,按照题目要求的边界形状或由粒子临界状态下的运动轨迹所决定的有界磁场区域,其面积存在着一个最小值,此模型着重归纳有界磁场最小面积的确定与计算方法. 二模型破解 在涉及最小磁场面积的题目中,主要有两种类型,一种是单一粒子的运动中所经过磁场的最小面积,这种类型的题目通常对磁场区域的形状有明确的要求,如矩形、圆形、三角形;另一种类型是大量粒子经过磁场的运动,由临界状态下的粒子运动轨迹及对粒子的特定运动形式要求所产生的对磁场边界形状的特定要求,从而形成有界磁场的面积的极值问题. (i)确定粒子在磁场运动的轨迹半径 粒子在磁场运动的轨迹半径通常是已知的或是能够由题目中条件计算得出的,也可在未知时先将半径假设出来. (ii)确定粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向 粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向通常也是由题目给出或能够从题目中条件分析得出. (iii)确定粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点的位置 当题目中没有给定粒子在进出磁场的位置时,先延长粒子的入射方向与出射方向所在的直线得到一个交点,粒子在磁场中运动的轨迹圆心必在这两条直线所形成的两对夹角中的其中一条夹角平分线上,由粒子经过磁场前后的运动要求确定圆心所在的夹角平分线;再在此夹角平分线上取一点O,过该点作粒子入射方向、出射方向所在直线的垂线,使O点到两直线的垂直距离等于粒子的运动轨迹半径,则两垂足即分别为粒子进出磁场时的入射点与出射点. (iv)确定有界磁场的边界 连接入射点与出射点得到一条线段或直线,并作出粒子在磁场处于入射点与出射点之间的一段运动轨迹圆,再由题目对磁场边界形状的要求确定磁场边界线的位置或圆形磁场的最小半径. ①圆形有界磁场 (I)当题目对圆形磁场区域的圆心位置有规定时,连接圆心与粒子在磁场中的出射点即得到磁场区域的半径.但是这种情况下磁场区域的大小是固定的. (II)当题目对圆形磁场区域的圆心位置无规定时,若粒子在磁场中转过的圆弧为一段劣弧时，将连接入射点a与出射点b所得的线段作为磁场区域的直径,则所得圆即为最小面积的圆形磁场区域,如图1所示. 高中物理磁场经典习题(题型分类)含答案 题组一 1.在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、带电量大小为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以速度v射入。粒子的重 力不计。求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。 2.如图所示，abcd是一个正方形的盒子，在cd边的中点 有一小孔e。盒子中存有沿ad方向的匀强电场，场强大小为E。一粒子源不断地从a处的小孔沿ab方向向盒内发射相同的带 电粒子，粒子的初速度为v，经电场作用后恰好从e处的小孔 射出。现撤去电场，在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B。粒子仍恰好从e孔射出。不考虑带电粒 子的重力和粒子之间的相互作用。 1）所加的磁场的方向是什么？ 2）电场强度E与磁感应强度B的比值是多少？ 题组二 4.如图所示的坐标平面内，在y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B1 = 0.20 T的匀强磁场，在y轴的右 侧存在垂直纸面向里、宽度d=0.125 m的匀强磁场B2.某时刻 一质量为m=2.0×10^-8 kg、电量为q=+4.0×10^-4 C的带电微 粒（重力可忽略不计），从x轴上坐标为（-0.25 m，0）的P 点以速度v=2.0×10^3 m/s沿y轴正方向运动。试求： 1）微粒在y轴的左侧磁场中运动的轨道半径； 2）微粒第一次经过y轴时速度方向与y轴正方向的夹角； 3）要使微粒不能从右侧磁场边界飞出，B2应满足的条件。 5.图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域 磁场中的“最小面积”问题 河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27 带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y 轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀 强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一 圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .： 解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得："二崂 则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺 qB 由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半 径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、 出射方向的速度相切，如图所示： 则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点 就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以 0,为圆心、 R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区 域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个 是以ef 连线为直径的圆周. 即得圆形区域的最小半径 一 R sin a =皿sin ° qB 则这个圆形区域磁场的最小面积 例题2：如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q,以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。为了使该 质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy 平面、 磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布 在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最 小半径.重力忽略不计。 解析：质点在磁场中作半径为R 的圆周运动, qvB =mv l ,得 R =mv R qB 根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R 的圆上的1/4圆周, 这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过a 点作平行 于x 轴的直线,过b 点作平行于y 轴的直 线，则与这两直线均相距R 的O/点就是圆周的圆心。质点在磁场区域中的轨道就是以O,为圆 心、R 为半径的圆（图中虚线圆）上的圆弧MN ，M 点和N 点应在所求圆 形磁场区域的边界上。 S =兀 r 2 = min 兀 m 2 v 2 sin 2 a 磁场区域的最小面积问题 考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。 一、磁场范围为树叶形 例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=m q C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。 ⑴求离子在匀强磁场中运动周期； ⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106 -⨯πs 时间这些离子所在位置 构成的曲线方程； ⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。 15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2 mv qvB R =２分 运动周期22R m T v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间6 11066 t s T π-=⨯= ２分 根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动， 转过的角度均为126 3 π θπ⨯= ＝ １分 这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan 2 3 y x x θ == ２分 ⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有 2 mv qv B R =００ ２分 mv R qB =1=ｍ １分 这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90︒）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分 调整后磁场区域的最小面积2 2min 22()422 R R S ππ-=⨯-=m 2 ２分 例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电 场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。在电场左边界上A （-2l 0，-l 0）到C （-2l 0，0）区域内的某些位置，分布着电荷量+q ．质量为m 的粒子。从某时刻起A 点到C 点间的 x O y 高中物理磁场经典计算题训练 1.如图所示，一个质量为m ，带电量为+q 的粒子以速度v 0从O 点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为300.粒子的重力不计，试求: (1)圆形匀强磁场区域的最小面积. (2)粒子在磁场中运动的时间. (3)b 到O 的距离. 2．纸平面内一带电粒子以某一速度做直线运动，一段时间后进入一垂直于纸面向里的圆形匀强磁场区域（图中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后从上板边缘平行于板面进入两面平行的金属板间，两金属板带等量异种电荷，粒子在两板间经偏转后恰从下板右边缘飞出。已知带电粒子的质量为m ，电量为q ，重力不计。粒子进入磁场前的速度方向与带电板成θ= 60°角，匀强磁场的磁感应强度为B ，带电板板长为l ，板距为d ，板间电压为U ，试解答：⑴上金属板带什么电？⑵粒子刚进入金属板时速度为多大？⑶圆形磁场区域的最小面积为多大？ 3.如图所示，在y >0的区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，在y <0的区域内有垂直坐标平面向里的匀强磁场。一电子（质量为m 、电量为e ）从y 轴上A 点以沿x 轴正方向的初速度v 0开始运动。当电子第一次穿越x 轴时，恰好到达C 点；当电子第二次穿越x 轴时，恰好到 θ b x y O m ,q v 0 30° 达坐标原点；当电子第三次穿越x 轴时，恰好到达D 点。C 、D 两点均未在图中标出。已知A 、C 点到坐标原点的距离分别为d 、2d 。不计电子的重力。求 （1）电场强度E 的大小； （2）磁感应强度B 的大小； （3）电子从A 运动到D 经历的时间t ． 4.如图所示，在半径为R 的绝缘圆筒内有匀强磁场，方向垂直纸面向里，圆筒正下方有小孔C 与平行金属板M 、N 相通。两板间距离为d ，两板与电动势为E 的电源连接，一带电量为－q 、质量为m 的带电粒子（重力忽略不计），开始时静止于C 点正下方紧靠N 板的A 点，经电场加速后从C 点进入磁场，并以最短的时间从C 点射出。已知带电粒子与筒壁的 碰撞无电荷量的损失，且碰撞后以原速率返回。求： ⑴筒内磁场的磁感应强度大小； ⑵带电粒子从A 点出发至重新回到A 点射出所经 历的时间。 5.如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，电场宽度为L ；中间区域和右侧匀强磁场的磁感应强度大小均为B ，方向分别垂直纸面向外和向里。一个质量为m 、电量为q 、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O 点，然后重复上述运动过程。求： （1）中间磁场区域的宽度d ； （2）带电粒子从O 点开始运动到第一次回到O 点所用时间t 。 E y x v 0 O × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × A B A B C M N E d -q ,m R B B E L d O 专题9.8 三角形边界磁场问题 一．选择题 1、（2020金考卷）如图所示，在一个边长为a 的正六边形区域内存在磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。三个相同带正电的粒子比荷为m q ，先后从A 点沿AD 方向以大小不等的速度射入匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用。已知编号为①的粒子恰好从F 点飞出磁场区域，编号为②的粒子恰好从E 点飞出磁场区域，编号为③的粒子从ED 边上的某一点垂直边界飞出磁场区域。则下列说法正确的是（ ） A. 编号为①的粒子进入磁场区域的初速度大小为m Bqa 33 B. 编号为②的粒子在磁场区域内运动的时间qB m t 6π= C. 编号为③的粒子在ED 边上飞出的位置与E 点的距离()a 332- D. 三个粒子在磁场内运动的时间依次减少并且为4：2：1 【参考答案】ACD 【命题意图】本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的运动、洛伦兹力、牛顿运动定律及其相关的知识点。 编号为③的粒子从ED 边上的某一点垂直边界飞出磁场区域，画出粒子运动轨迹如图所示，带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为30°，偏转角为30°在磁场中运动时间为t 3=T/12；由几何关系可得编号为③的粒子在ED 边上飞出的位置与E 点的距离a/2，选项C 错误；三个粒子在磁场内运动的时间依次减少，并且为t 1∶t 2∶t 3=4：2：1，选项D 正确。 2．(2020河南漯河五模)如图所示，在一个直角三角形区域ABC内，存在方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，AC边长为3l，∠C=90°，∠A=53°．一质量为m、电荷量为+q的粒子从AB边上距A 点为l的D点垂直于磁场边界AB射入匀强磁场，要使粒子从BC边射出磁场区域（sin53°=0.8， cos53°=0.6），则（） A．粒子速率应大于 B．粒子速率应小于 C．粒子速率应小于 D．粒子在磁场中最短的运动时间为 【参考答案】AC． 【名师解析】由几何知识知BC=4l，BD=4l，粒子运动轨迹与BC边相切为一临界，由几何知识知： r+r=4l 得：r=1.5l 根据牛顿第二定律：qvB=m 得：v==，即为粒子从BC边射出的最小速率； 粒子恰能从BC边射出的另一边界为与AC边相切，由几何知识恰为C点， 1．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成600 角。现将带电粒子的速度变为v/3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为 A ．1 2 t ∆ B ．2t ∆ C ．1 3t ∆ D ．3t ∆ 2．半径为a 右端开小口的导体圆环和长为2a 的导体直杆，单位长度电阻均为R 0。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B 。杆在圆环上以速度v 平行于直径CD 向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O 开始，杆的位置由θ确定，如图所示。则 A ．θ=0时，杆产生的电动势为2Bav B ．3π θ=3Bav C ．θ=0时，杆受的安培力大小为20 3(2)R B av π+ D ．3π θ=时，杆受的安培力大小为203(53)R B av π+ 3．如图，质量分别为m A 和m B 的两小球带有同种电荷，电荷最分别为q A 和q B ，用绝缘细线悬挂在天花板上。平衡时，两小球恰处于同一水平位置，细线与竖直方向间夹角分别为θ1与θ2（θ1＞θ2）。两小球突然失去各自所带电荷后开始摆动，最大速度分别v A 和v B ，最大动能分别为E kA 和E kB 。则 （ ） （A ）m A 一定小于m B （B ）q A 一定大于q B （C ）v A 一定大于v B （D ）E kA 一定大于E kB 4．如图，理想变压器原、副线圈匝数比为20∶1，两个标有“12V ，6W ”的小灯泡并联在副线圈的两端。当两灯泡都正常工作时，原线圈中电压表和电流表（可视为理想的）的示数分别是 A ．120V ，0.10A B ．240V ，0.025A C ．120V ，0.05A D ．240V ，0.05A 5．如图，均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合；磁场方向垂直于半圆面（纸面）向里，磁感应强度大小为B 0.使该线框从静止开始绕过圆心O 、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，在线框中产生感应电流。现使线框保持图中所示位置，磁感应强度大小随时间线性变化。为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率t B ∆∆的大小应为 A.πω0 4B B.πω0 2B C.πω0B D.π ω20B 6．如图所示直角坐标系xoy 中，矩形区域oabc 内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B=5.0×10-2 T ；第一象限内有沿y -方向的匀强电场，电场强度大小为5100.1⨯=E N/C 。已知矩形区域Oa 边长为0.60m ，ab 边长为0.20m 。在bc 边中点N 处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为 一、磁场形状为圆状的最小面积计算 1.如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标(－l，0)，MN与y 轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场(图中未画出)。现有一质量为m、电荷量大小为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点(0，0.5l)射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从圆 形有界磁场边界上Q点(3l 6，－l)射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力。求： (1)匀强电场的电场强度E的大小？ (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小？电子在磁场中运动的时间t是多少？ (3)圆形有界匀强磁场区域的最小面积S是多大？ 解析(1)设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时沿y轴方向的速度大小为v y，则 a＝eE m v y＝at l＝v0t v0＝v y tan 30° 解得E＝3m v20 el。 (2)设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为x D，则x D＝0.5l tan 30° x D＝3l 6 所以DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示。 设电子离开电场时速度为v ，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ， 则v 0＝v sin 30° r ＝m v eB ＝2m v 0eB r ＋ r sin 30° ＝l (有r ＝l 3) t ＝13T T ＝2πm eB ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫或T ＝2πr v ＝πl 3v 0 解得B ＝6m v 0el ，t ＝πl 9v 0 。 (3)以切点F 、Q 为直径的圆形有界匀强磁场区域的半径最小，设为r 1，则 r 1＝r cos 30°＝3r 2＝3l 6 S ＝πr 21＝ πl 2 12。 答案 (1)3m v 20 el (2)6m v 0el ，πl 9v 0 (3)πl 212 2．如图所示，在直角坐标系xoy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴正方向、电场强度为E 的匀强电场，第Ⅳ象限存在一个方向垂直于纸面、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域。一质量为m ，带电荷量为-q 的粒子，以某一速度从A 点垂直于y 轴射入第Ⅰ象限，A 点坐标为（0，h ），粒子飞出电场区域后，沿与x 轴正方向夹角为60°的B 处进入第Ⅳ象限，经圆形磁场后，垂直射向y 轴C 处。不计粒子重力，求： 专题8 磁场〔含复合场〕 【2021 年高考命题预测】 磁场局部近年的考察分为两个方向，一个是对根本概念原理和物理学史的考察，主要集中于对于磁感应强度的定义，安培力大小方向的判断，磁感线的性质，右手安培定那么等这些电磁学局部根本的概念原理的认识和理解，重在理解。命题形式会侧重于设置新的情景，提出模棱两可的判断选项，考察理解是否透彻全面。另外一个就是带电粒子在匀强磁场中的运动，由于带电粒子仅在洛伦兹力作用下，假设速度方向和磁场垂直，将做匀速圆周运动，而不同的磁场区域对圆周运动轨迹也会有不同的影响，程度边界的，圆形边界的匀强磁场，这个命题是经常考察的形式，而且还可以和其他复合场里面的运动结合，把功能关系和类平抛运动结合，把安培力做功和机械能变化结合，把电磁力和经典动力结合起来，这是选择题局部的一个热门考点和命题方向。 安培力的考察不但考察安培力的大小方向判断，而且考察安培力做功的情况，涉及到安培力做功是个难点也是个热点，2021 年高考仍然会就这些热门考点命题。我们的备考工作首先做到概念明晰，理解到位。对安培力做功，既要明确安培力做功和闭合回路电功的关系，又要清楚安培力做功和动能变化的功能关系，安培力做功和机械能守恒的关系，这种综合性的偏难的题目要多训练多熟悉，选择题容易涉及。带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，做到熟悉相关物理量的表达式，包括向心力，半径，周期，线速度，知道这些物理量与什么有关，选项出现时可以快速做出判断。 【2021 年高考考点定位】 作为一个热门的考点，一个每年必考的考点，近年来命题形式频出新意，主要侧重于两个方面，一个是描绘磁场的相关物理量和定义的考察，如磁场、磁感应强度、磁感线、安培力、左手定那么、右手定那么等，考察这些根本的概念，不过情景可能会新。另外一个方面就是带点粒子在匀强磁场中的运动和安培力做功，涉及到运动过程的描绘和功能关系。 【考点pk】名师考点透析 考点一、磁场和磁感应强度 【名师点睛】 1、磁场：性质是对放入其中的磁体、电流和运动电荷有力的作用。磁场的强弱用磁感应强度B表示， 方向为小磁针静止时N极所指的方向。大小定义为 F B IL ，此定义为电流垂直磁场时所受到的磁场 力与电流大小和长度的比值，当然只针对一小段长度，我们称之为电流元〔微元法〕。 2、磁感线：与电场线的一样点都是假设的不存在的，都以切线方向表示磁场方向〔或电场方向〕，不同点电场线是不闭合的，而磁感线是闭合的。常见磁场的磁感线如下高中物理 磁场计算专题(附答案详解)
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