精锐教育学科教师辅导教案
例3：求函数y=f(x)=cos 2 2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x- 23)2-4 5, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+ 2 π ,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角?，化为y=22b a +sin （x+?）,利用函数()1sin ≤+?x 即可求解。Y=asin 2 x+bsinxcosx+mcos 2 x+n 型亦可以化为此类。 例4：已知函数()R x x x x y ∈+?+= 1cos sin 2 3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 [分析] 此类问题为x c x x b x a y 2 2 cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 x b x a y cos sin +=型求解。 解： ().4 7,6,2262,4562sin 21452sin 23 2cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ 5. 利用数形结合 例5： 求函数y x x = +s in c o s 2的最值。 解：原函数可变形为y x x = ---s i n c o s () .0 2 这可看作点Ax xB (c o s s i n )() ，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 2 2 1+=上的动点。由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，y y m a x m i n .= =-333 3 ， 6、换元法 例6：若0 巧用配方法解题 配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式． 配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面． 一、用配方法解方程 例1 解方程：2x 2－3x+1=0． 分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1．将二次项的系数化为1； 2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边； 3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4．将方程化为(x+m)2=n 的形式； 5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）． 解：方程两边都除以2，得.02123— 2=+x x 移项，得.2 1—23—2=x x 配方，得222)4 3(21—)43(23—+=+x x ， 16 1)43—(2=x ， 即4143—=x 或.4 1—43—=x 所以x 1=1，.2 12=x 二、用配方法分解因式 例2 把x 2+4x-1分解因式． 分析：在原式中加上4的同时又减去4． 解：原式=x 2+4x+4-4-1=x 2+4x+4-5 =(x+2)2-2)5(=).5—2)(52(+++x x 三、用配方法求代数式的值 例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—42 2=+++b a b a ，求—ab 的平方 根． 分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+ ++b a b a ， ∴0)144()4 1—(22=++++b b a a ， 即0)12()2 1—(22=++b a ， ∴.2 1—,21==b a ∴±.2 1)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值 例4 代数式2x 2-3x-1有最大值或最小值吗？求出此值． 分析：代数式2x 2-3x-1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值． 解：2x 2-3x-1=2(x 2-23x)-1=2(x-43)2+.8 1 ∴当43=x 时，2)4 3—(x 有最小值0， ∴当43=x 时，2x 2-3x-1有最小值为8 1． 五、用配方比较两个代数式的大小 例5 对于任意史实数x ，试比较两个代数式3x 3-2x 2-4x+1与3x 3+4x+10的值的大小． 分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小． 解：（3x 2-2x 2-4x+1）-（3x 3+4x+10） =-2x 2-8x-9=-2(x+2)2-1<0， 所以对于任意实数x ，恒有 初中数学解题技巧：六种方法教你解决难题 初中数学解题技巧：六种方法教你解决难题 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2bxc=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的 21.2.2配方法解一元二次方程（1） 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 【课前预习】 导学过程 阅读教材部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？ 思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0 在三角形中巧用面积法解题 所谓面积法是指借助图形面积自身相等的性质、可拆分的性质和可比的性质进行解题的一种方法。在中学阶段它是数学中一种常用的解题方法。并且具有解题便捷快速、简单易懂等特点。现分类举例如下,希望同学们在今后的做题中有所启发。 一、利用面积自身相等的性质解题 例1 如图，在直角三角形ABC 中，AB=13,AC=12,BC=5,求AB 边上的高AD 的长。 C A B D 例2 在A B C 中，AB ＞AC,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，试判断BF 和CE 的大小关系，并说明理由。 D F C B E A 。 小结：利用一个图形面积自身相等的性质解题，就是从不同的角度使用面积公式来表示同一个图形的面积，列出等式求出未知的量。 二、利用面积的可比性解题 例3 如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，可得A B C 的面积为 。 D C B A 小结：我们知道等底等高的两三角形的面积相等，等底不等高的两三角形面积的比等于其对应高的比，等高而不等底的两三角形面积的比等于其对应底的比。 三、利用面积的可分性解题 例 4 如图，已知等边三角 ABC ，P 为A B C 内一点，过 P 作 ,,,PD BC PE AC PF AB ABC ⊥⊥⊥ 的高为h.试说明P D P E P F h ++=。 A B C D P F E 小结：用面积的可分性解题，一般要将图形分成若干个小三角形，利用其整体等于部分之和建立关于条件和结论的关系式，从而方便快捷地解决问题。 现提供部分习题供同学们练习： 1、如图，已知A B C 和B D C ，AC 与BD 交于点ｏ，且直线AD ∥BC,图中四个小三角形的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，试判断2S 和4S 的大小关系，并说明理由。 D B A O C S4 S3 S1 S2 2、如图，四边形ABCD 中，对角线BD 上有一点O ，OB ：OD=3：2,S A O B =6,S C O D =1,试求S A O D 与S B O C 的面积比。 D A C B O 3、 如图，P 是等腰三角形ABC 底边BC 上的任一点，PE AB ⊥于E,PF AC ⊥于F ，BH 是等腰三角形AC 边上的高。猜想：PE 、PF 和BH 间具有怎样的数量关系？ B C 4、其它练习题见《培优竞赛新方法》112-116部分习题。 实用文档之"解三角形" 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则 △ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角 为0 60，则底边长为（ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0 060120或 D ．0 015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 （ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3 ． 在△ABC 中，若 ====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则 C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证： )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求 证： C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 4．在△ABC 中，设,3 ,2π =-=+C A b c a 求B sin 的 值。 解三角形 一、选择题 1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 解一元二次方程配方法练习题 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） A．2±10B．-2±14C．-2+10D．2-10 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数D．可能为负数10．用配方法解下列方程： （1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4） 4 1 x2-x-4=0 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x2-7x+2的最小值； （2）求-3x2+5x+1的最大值。 - 1 - 用配方法解一元二次方程练习题答案: 1．①9，3 ②2.52，2.5 ③0.52，0.5 ④4.52，4.5 2．2（x-3 4）2-49 8 3．4 4．（x-1）2=5，1±55．C 6．A 7．?C 8．B 9．A 10．（1）方程两边同时除以3，得x2-5 3x=2 3 ， 配方，得x2-5 3x+（5 6 ）2=2 3 +（5 6 ）2， 即（x-5 6）2=49 36 ，x-5 6 =±7 6 ，x=5 6 ±7 6 ． 所以x1=5 6+7 6 =2，x2=5 6 -7 6 =-1 3 ． 所以x1=2，x2=-1 3 ． （2）x1=1，x2=-9 （3）x1=-6+51，x2=-6-51； 11．（1）∵2x2-7x+2=2（x2-7 2x）+2=2（x-7 4 ）2-33 8 ≥-33 8 ， ∴最小值为-33 8 ， （2）-3x2+5x+1=-3（x-5 6）2+37 12 ≤37 12 ，? ∴最大值为37 12 ． - 2 - 巧用三角函数解物理题 数学是自然科学的皇后与奴仆。数学中的许多知识在物理解题中都有非常广泛的应用，如三角函数知识在解力、热、光学题，特别是竞赛题时，有着十分独特的作用。平时解题时，若能注意引导学生充分利用三角函数知识解决相关物理题，不仅会简化解题过程，而且对增强 学生逻辑思维能力，提高解题速度，都大有裨益。 一、三角函数与追击中的最值问题 例1.如图1所示，某人站在距公路40m 的A 处，发现公路上有一汽车从B 处以的速度沿公路匀速行驶，已知AB 相距100m ，问此人最少要以多大的速 度沿什么方向奔跑才能与汽车相遇？ 解析：本题在审题时切莫以为只要人奔跑的速度最小，跑的路程就应最短， 得出应沿与公路垂直的方向，即AO 方向奔跑的错误结论来。因为速度的大小，不单纯地取决于路程的长短，还受到通过该路程所能用的时间的限制。 解法一：设人应沿与AB 成θ角的方向奔跑，经时间t 与汽车在C 处相遇（如 图2），则： s BC v t s AC v t 车人人，====0.过B 点作BD ⊥AC ，垂足为D. 因为△BCD ∽△ACO,所以B D B C A O A C =.又因为BD AB =sin θ,所以0sin v t AB BC AO AC v t θ==人,即04/sin sin v AO v m s AB θθ ==人·. 显然要v 人最小，sin θ要最大，sin θθ==?190，，此时，v m s 人min /=4。即此人最少以4m/s 的速度沿垂直于AB 的方向奔跑，才能与汽车相遇。 解法二：设人以速度v 朝某一方向奔跑经过t 时间与汽车相遇在C 点，根据题意，得010BC v t t ==，根据勾股定理 得OB ， 1010(OC BC OB t t =-=-=，勾股定理 222OC OA AC += ，222210(40()t vt +=，简化为关于 t 的一元二次方程22(100)100000t v --+=，存在 解 则 22 (2v v ?=--?=-+，2160v -≥，即4/v m s ≥，当以最小速度min 4/v m s =运动时，此时对应 的 t ==== 40cos 4θ=====，即与OA 成偏右arc θ=二、三角函数与杠杆中的最值问题 例2.如图3所示，一根4m 长的木杆下端用铰链固定在地面上，杆顶有一根绳子水平向左拉，拉力恒为T ，杆的右边用一根铁丝欲将杆竖直固定在地面上，铁丝长为4m ，为了使铁丝上的拉力最小，其 直线和圆的位置关系知识点补充 知识点1：判断直线和圆的位置关系：（1）利用圆心到直线的距离等于半径。（2）直线过一 定点，此定点在圆内，则直线和圆相交。 知识点2 圆),(,00222y x r y x 经过圆上点=+的切线方程为200r yy xx =+；点) ,(00y x 为圆,)()(222r b y a x =-+-上一点，则过该点的切线方程为 200))(())((r b y b y x x a x =--+-- 知识点 3 ;过圆外一点可作出圆的两条切线，求切线方程时，通常 ),(,00222y x r y x 经过点=+设切线的点斜式方程，若求出的k 只有一个，则说明还有一 条切线必垂直于x 轴（无斜率），。应补上。 三角函数的图象和性质 知识点1 ：只要求三角函数的周期，对称轴，对称中心，单调区间，值域，一般是将三角 函数化为同角一次，在此使用辅助角公式。)sin(?+=wx A y ，使用对三角函数的整体思 想去做。 知识点2 三角函数的两种图象平移：(1)先伸缩后平移；（2）先平移后伸缩 知识点3 三角函数周期的求解方法（1）利用求解周期的定义（2）利用公式w T w T ππ==,2 （3）对于较为复杂的三角函数转化为)sin(?+=wx A y +k 求解 知识点4 确定三角函数的单调区间 函数)sin(?+=wx A y （A>0，w>0）的单调区间的确定：基本思路是讲?+wx 看做一 个整体，由函数名称对于的原单调区间求解对于的x 的范围 若0 数形结合巧解三角函数题 在解三角函数的各种题型时，若能恰到好处地运用三角函数的图象，既能培养学生的观察能力、锻炼学生的直觉思维能力，又能很准确、快速地得到答案．下面举例以陈己见． 一、比较大小 例1 已知函数??? ??∈=2, 0,tan )(πx x x f ，若,2,0,21?? ? ??∈πx x 且21x x ≠，则 )]()([21 21x f x f +与)2 (21x x f +的大小关系是 （用不等号连接）． 解析：在直角坐标系中作出函数?? ? ??∈=2,0,tan )(πx x x f 的图象如图一： 在图一中， )2 ( 2 1x x f +表示线段11B A 的中点处1C 的函数值，即图中C 1的数量， )]()([2 1 21x f x f +表示梯形B B AA 11的中位线C C 1的数量，原问题转化为有向线段D C 1与C C 1数 量 的 大 小 关 系 ． 显 然 )]()([21 21x f x f +>)2 (21x x f +.这里曲线的凹凸性起了关键的作用． 又如：α为锐角，试比较α2sin 和)4 sin(π α+的大小． 二、求方程解的个数 例2 方程x x lg sin =的实根有 A 1个 B 2个 C 3个 D 无穷多个 图一 y x y 解析：在同一直角坐标系中作出函数x y sin =与x y lg =的图象（如右 图二所示）.由于当10>x 时，1lg >x ；而此时[]1,1sin -∈=x y ，故由图知，只有3个交点，选（C ）． 三、求解不等式 例3 已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限，则在[]π2,0内α的取值范围是 ．（98年全国高考） A ??? ?????? ??45,43,2ππππ B ??? ?????? ??45,2,4ππππ C ??? ?????? ? ?23,4543,2ππππ D ?? ? ?????? ??ππππ,432,4 解析：由题意得{0 tan 0 cos sin >>-ααα， 等价转化为{ 1 tan 0cos >>αα或{ 1 tan 00cos <<<αα， 画出函数[]π2,0,tan ∈=x x y 的图象（如右图三）,图中加深曲线部分α的范围为 ?? ? ?????? ??45,2,4ππππ，所以选（B ） ． 四、求函数的最值 例4 函数)cos()(?ω+=x M x f （ 0>ω ）在区间 []b a , 上是增函数，且)(a f =M b f M =-)(,,则函数)sin()(?ω+=x M x g 在[]b a ,上 .（99年全国高考） (A) 是增函数 (B) 是减函数 (C) 可以取得最大值M (D) 可以取得最小值M - 解析：由题意可作出如右示意（图四）， 再联想余弦曲线，用特殊值法，不妨令x =a 时， 图二 y 图三 巧用补形法解平面几何题 王立文王兴林 补形法就是根据题设的条件和图形，经过观察、分析和联想，运用添加辅助线的方法，将其拓展为围更广的、其特征更明显、更为熟悉的几何图形，从而沟通条件和结论之间的联系．下面就补形法，谈谈它在解平面几何题中的应用． 一、补成直角三角形 例1如图1，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，CD=1，AB=2，求BC、AD的长。 解：延长BC交AD的延长线于E。 ∵∠A=60°，∠B=90°， ∴∠E=30° 在△CED中， ∵∠CDE=∠ADC=90°，CD=1， ∴CE=2CD=2，DE=。 在△AEB中，同理有：AE=2AB=4，。 ∴BC=BE－EC=2－2， AD=AE－DE=4－。 二、补成等腰三角形 例2已知：如图2，△ABC中，，∠ABC的平分线交AC于E，CD⊥BE于D，求证：BE=ED。 证明：延长BA交CD的延长线于F。 易证△BCF是等腰三角形（ASA）。 ∴。 ∵， ∴。 作DG∥CA交BF于点G。 ∴， ∴BE=ED。 三、补成等边三角形 例3如图3，凸五边形ABCDE，有∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2， CD=DE=4，求这个五边形的面积。 简解延长DE、BA相交于K，延长DC、AB相交于M。易知△DKM为等边三角形。 S五边形ABCDE=S等边三角形DKM－2S等边三角形AKE = 四、补成平行四边形 例4如图4，已知六边形ABCDEF中，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，且AB+BC=11，AF－CD=3，求BC+DE的长。 解：延长FA、CB交于点P，延长CD、FE交于点Q。 ∵∠A=∠B=120°， ∴∠PAB=∠PBA=60°， ∴∠P=60°， ∴△ABP是等边三角形。 同理可得：△DEQ是等边三角形。 ∴∠P=∠Q=60°。 ∵∠C=∠F=120°， ∴四边形PCQF为平行四边形。 ∴PF=CQ。 用三角巧解几何角度计算问题（三） 河南师大附中 赵振华 近来许康华竞赛优学连续登出了许多比较优美的几何计算问题，笔者习作之余，发现这类问题用三角处理起来也是可以有章可循的，不过部分题目会用到一个三角恒等式4sin α sin(60?α) sin(60?-α)sin α= sin3α（或余弦）的结论，做起来感觉很好，这里我从第25题开始解答，欢迎大家批评指正。 题25.设D 为△ABC 内部一点，且∠ABD=18°，∠DBC=15°，∠BCA=63°，∠CAD=55.5°.求∠ADC 。 解：设∠BCD=θ，则∠ACD=63°-θ ,∠BAD=28.5° ∴ 1=DA DB ×DB DC ×DC DA =sin18sin 28.5°°×sin sin(63)θθ?-×sin 55.5sin15°° ∴θ θsin )63(sin -?=sin18sin 55.5sin 28.5sin15???? ……① 又∵2cos36°cos72°=sin1442sin 36°°=12 =sin30°=2sin15°cos15° ∴cos36°cos72°-cos75°sin18°=sin15°cos15°-sin15°sin18° ∴sin18°(cos36°-cos75°)=sin15°(cos15°-cos72°) ∴2sin18°sin55.5°sin19.5°=2sin15°sin43.5°sin28.5° ∴sin18sin 55.5sin 28.5sin15????=sin 43.5sin19.5°° ……② 由①②可知：θ θsin )63(sin -?=sin 43.5sin19.5°°=sin(6319.5)sin19.5?-?? ∴θ=19.5° ∴63°- θ=43.5° ∴∠ADC=180°-55.5°-43.5°=81° ∴∠ADC 为81°. 题26.直角△ABC 中，∠ABC=90°，点D ，E 分别在直角边AB ，BC 上，∠CDE=10°，∠BED=20°，∠DEA=30°. 求∠DCA. 解：设∠ACD=α，则∠CAE=40°-α，∠EAB=40° ∴1=DE EC =DE EA ×EA EC =sin 40sin 70°°·sin(10)sin(40) αα?+?- 巧用配方法解题 配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式． 配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面． 一、用配方法解方程 例1 解方程：2x 2－3x+1=0． 分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是： 1． 将二次项的系数化为1； 2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边； 3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4．将方程化为(x+m)2=n 的形式； 5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）． 解：方程两边都除以2，得.02123— 2=+x x 移项，得.2 1—23—2=x x 配方，得222)4 3(21—)43(23—+=+x x ， 16 1)43—(2=x ， 即4143—=x 或.4 1—43—=x 所以x 1=1，.2 12=x 二、用配方法分解因式 例2 把x 2+4x —1分解因式． 分析：在原式中加上4的同时又减去4． 解：原式=x 2+4x+4—4—1=x 2+4x+4—5 =(x+2)2—2)5(=).5—2)(52(+++x x 三、用配方法求代数式的值 例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—42 2=+++b a b a ，求—ab 的平方根． 分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+ ++b a b a ， ∴0)144()41 —(2 2=++++b b a a ， 即0)12()2 1—(22=++b a ， ∴.2 1—,21==b a ∴±.2 1)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值 例4 代数式2x 2—3x —1有最大值或最小值吗？求出此值． 分析：代数式2x 2—3x —1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值． 解：2x 2—3x —1=2(x 2— 23x)—1=2(x —43)2+.8 1 ∴当43=x 时，2)4 3—(x 有最小值0， ∴当43=x 时，2x 2—3x —1有最小值为81． 五、用配方比较两个代数式的大小 例5 对于任意史实数x ，试比较两个代数式3x 3—2x 2—4x+1与3x 3+4x+10的值的大小． 分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小． 解：（3x 2—2x 2—4x+1）—（3x 3+4x+10） =—2x 2—8x —9=—2(x+2)2—1<0， 所以对于任意实数x ，恒有 3x 3—2x 2—4x+1<3x 3+4x+10． 六、用配方法证明等式和不等式 例6 已知方程中(a 2+b 2)x 2—2b(a+c)x+b 2+c 2=0中字母a ，b ，c 都是实数． 高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一．转化一次函数 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法. 例1．求函数2cos 1y x =-的值域 [分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈- 二. 转化sin()y A x b ω?=++(辅助角法) 观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一. 例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为. [分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ω?=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意 观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值. ()f x ≤三. 转化二次函数(配方法) 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理. 例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值. [分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =， 巧用三角函数线解题 江西省南康中学 刘光训 邮编：341400 [摘要]数学家认为：“三角学其实就是三角形的解析几何，它是整个解析几何的基础所在，也是用解析法系统研究几何的基础工具。” 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．要深入理解应用单位圆求解三角不等式的方法的实质，培养数形结合的意识．三角函数线的主要作用是求函数的定义域、解不等式、证明简单三角不等式等． 解三角函数的有关题目经常用到数形结合的思想方法,而三角函数线又是三角函数的“形”的重要体现形式, 单位圆结合三角函数线，是研究三角函数的一种重要工具，恰当地利用它往往可以快速解题，在此介绍几方面的应用以飨读者。 一、利用三角函数线解三角不等式。 例1：已知的取值范围。 求x x ,2 3 sin ≥ 解：如图所示，解题步骤如下 (1) 作平面直角坐标系xoy (2) 作单位圆， (3) 标出终边落在坐标轴的 四个正弦函数值， ,12sin ,00sin ==π (4) 找出2 3 sin = x 在[)π2,0内x 的值，即323ππ==x x 或，图 中为OA 是3π的终边、OB 是32π 的终边。(点A 、B 即为直线 2 3 = y 与单位圆的两个交点) (5) 根据正弦函数的单调性，找出在[)π2,0内x 的取值范围，即 }3 23| {π π ≤ ≤x x ，图中为阴影部分。 (6) 写 出 在 R 上 所 求 x 的取值范围： },23 223 | {Z k k x k x ∈+≤ ≤+ππ ππ 数学解题方法与步骤_答题技巧 数学解题方法与步骤 配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2 bx c=0(a、b、cR，a0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5 待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。巧用配方法解题3
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